二项式定理及展开式
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0 n 2 n 1 n 3 n
n 1
练习
1.C C
1 n 2 n 1 11 3 11 5 11
2 1 C _____;
n n
n
C C C C C C
7 11 9 11
11 11
_____ . 2
10
2.在 2 x 3 y
10
展开式中
1024
(1)求二项式系数的和;
r n
nr
r
1 8 ) 的展开式中 例 已知 ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a b)
6
这样的二项式系数表，早在我国南宋数 学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一 书里就已经出现了，在这本书里，记载着类 似下面的表： 一
一 一 二 三 四 五 十 六 十 三 四 一 一 一 五 一 一
变式练习：
已知(2x+1)10=
a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
3
10
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1 10 ( 3 1) 2
小结:
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
1 18 4 4 x 3 x
4
性质3：各二项式系数的和
(1 x) C C x C x C x (n N )
n 0 n 1 n r r n n n n *
C C C ... C ... C ？ 2n
0 n 1 n 2 n r n n n
赋值法
1 1 1 2
1 1
4 1
也就是说, 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1
(a+b)n的
1
1 4
3 3
6
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
1
例2
证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C C C 2
1 1 1 1 2 3 3 1 1
当n是奇数时，中间的两
项
Cn 和 C
n 1 2
n 1 2 n
1Leabharlann Baidu
1
4
6
4
1
1 1
相等，
1
5 10 10 5
且同时取得最大值。
6 15 20 15 6
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ).
x
3r 由8 5可得r 2 2
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2
1 C10 C1
1 1
1 2
0 1 2 C2 C2 C2
1 3 C30 C3 C32 C3
1 1
4 1 1 1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1
1 1 1 4
(2)各项系数的和;
1
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和;
练习
3.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
3
10
1 10 ( 3 1) 2
C C C
r n 1
一
r 1 n
r n
一 一 六
一 一
十五
二十 十五 六
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
性质1：对称性
C C
m n
nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质2：增减性与最大值 先增后减
n 2
当n是偶数时,中间的一项 C n
取得最大值 ；
（2） 数学思想：函数思想 （3） 数学方法 ： 赋值法
作业:
书P114习题10.4
4(3)(4),9,10
X
复习回顾: 二项式定理及展开式:
( a b)
n
C a C a b C a b C b (n N )
0 n n n n n *
1 n 1 n
r nr r n
二项式系数 通 项
C (r 0,1, , n)
r n
Tr 1 C a b
3 3
6
0 1 3 4 2 C4 C4 C C C4 4 4
3 5 1 C50 C5 C54 C5 C52 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6
5 10 10 5 6 15 20 15 6
二项式系数的性质
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
(a b) 2 (a b) 3 (a b) 4 (a b) 5 (a b)
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
1 x 4 3 展开式中只有第10 例1 已知 x
n
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n 1 10, n 18, 2
T5 T41 C
4 18
4
3060 x .
n 1
练习
1.C C
1 n 2 n 1 11 3 11 5 11
2 1 C _____;
n n
n
C C C C C C
7 11 9 11
11 11
_____ . 2
10
2.在 2 x 3 y
10
展开式中
1024
(1)求二项式系数的和;
r n
nr
r
1 8 ) 的展开式中 例 已知 ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a b)
6
这样的二项式系数表，早在我国南宋数 学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一 书里就已经出现了，在这本书里，记载着类 似下面的表： 一
一 一 二 三 四 五 十 六 十 三 四 一 一 一 五 一 一
变式练习：
已知(2x+1)10=
a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
3
10
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1 10 ( 3 1) 2
小结:
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
1 18 4 4 x 3 x
4
性质3：各二项式系数的和
(1 x) C C x C x C x (n N )
n 0 n 1 n r r n n n n *
C C C ... C ... C ？ 2n
0 n 1 n 2 n r n n n
赋值法
1 1 1 2
1 1
4 1
也就是说, 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1
(a+b)n的
1
1 4
3 3
6
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
1
例2
证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C C C 2
1 1 1 1 2 3 3 1 1
当n是奇数时，中间的两
项
Cn 和 C
n 1 2
n 1 2 n
1Leabharlann Baidu
1
4
6
4
1
1 1
相等，
1
5 10 10 5
且同时取得最大值。
6 15 20 15 6
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ).
x
3r 由8 5可得r 2 2
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2
1 C10 C1
1 1
1 2
0 1 2 C2 C2 C2
1 3 C30 C3 C32 C3
1 1
4 1 1 1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1
1 1 1 4
(2)各项系数的和;
1
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和;
练习
3.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
3
10
1 10 ( 3 1) 2
C C C
r n 1
一
r 1 n
r n
一 一 六
一 一
十五
二十 十五 六
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
性质1：对称性
C C
m n
nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质2：增减性与最大值 先增后减
n 2
当n是偶数时,中间的一项 C n
取得最大值 ；
（2） 数学思想：函数思想 （3） 数学方法 ： 赋值法
作业:
书P114习题10.4
4(3)(4),9,10
X
复习回顾: 二项式定理及展开式:
( a b)
n
C a C a b C a b C b (n N )
0 n n n n n *
1 n 1 n
r nr r n
二项式系数 通 项
C (r 0,1, , n)
r n
Tr 1 C a b
3 3
6
0 1 3 4 2 C4 C4 C C C4 4 4
3 5 1 C50 C5 C54 C5 C52 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6
5 10 10 5 6 15 20 15 6
二项式系数的性质
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
(a b) 2 (a b) 3 (a b) 4 (a b) 5 (a b)
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
1 x 4 3 展开式中只有第10 例1 已知 x
n
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n 1 10, n 18, 2
T5 T41 C
4 18
4
3060 x .