二项式定理及展开式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式二项式定理是高中数学中的重要内容之一，它描述了任何一个二项式的展开形式。
在这篇文章中，我将介绍如何展开形如xyn的二项式，并提供具体的计算步骤和示例。
二项式定理是由数学家牛顿提出的，它的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ...+ C(n,r)a^(n-r) b^r + ... + C(n,n)a^0 b^n其中，a和b是实数，n是非负整数，C(n,r)表示组合数，计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!).现在，我们的目标是展开形如xyn的二项式。
首先，我们可以把xyn表达为(x+y)^n的形式，其中a=x，b=y。
根据二项式定理，我们可以得到展开公式：(x+y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)x^0 y^n然而，这仍然不是我们想要的形式。
我们希望展开结果中只包含x和y的幂次，而不带组合数C(n,r)。
为了达到这个目的，我们需要引入组合恒等式：C(n,r) = C(n,r-1) * (n-r+1) / r利用这个恒等式，我们可以对展开公式中的组合数进行简化，得到：(x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1) y + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)y^n现在，我们已经成功地将xyn展开为了一系列含有x和y的幂次的项。
下面，我将以具体的示例来说明展开过程。
假设我们要展开的二项式是(x+y)^4，根据上面的公式，展开式为：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4展开过程中，我们通过计算并应用组合恒等式，逐项得到展开式中各项的系数。
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项展开公式
二项展开公式（原创实用版）目录1.二项式定理的概述2.二项展开公式的推导3.二项展开公式的应用4.结论正文1.二项式定理的概述二项式定理，也叫做二项式公式，是组合数学中的一个重要定理。
它是一种用于展开二项式幂的数学方法，可以方便地计算二项式幂的特定项的值。
二项式定理可以描述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中，a 和 b 是任意实数或复数，n 是任意非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从 n 个元素中取 k 个元素的组合数。
2.二项展开公式的推导二项式定理的推导过程比较简单。
我们假设有一个二项式 (a+b)^n，我们要展开这个二项式。
首先，我们可以将这个二项式看作是 a 的 n 次方与 b 的 0 次方的和，即 a^n + 0*b^0。
然后，我们可以将这个和式中的每一项都乘以 b，得到 a^n*b + 0*b^1。
接着，我们再将这个和式中的每一项都乘以 b 的平方，得到 a^n*b^2 + 0*b^2。
我们依次类推，直到将这个和式中的每一项都乘以 b 的 n 次方，得到的和式就是二项式定理的展开式。
3.二项展开公式的应用二项式定理在实际应用中有广泛的应用，例如在概率论、统计学、组合数学等领域都有重要的应用。
其中，二项式定理的一个最常见的应用就是计算二项式幂的特定项的值。
例如，如果我们要计算 (3+2)^5 的第四项，我们可以直接套用二项式定理的公式，得到第四项的值为C(5,3)*3^2*2^3 = 10*9*8 = 720。
4.结论二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它可以方便地用于展开二项式幂，计算二项式幂的特定项的值。
二项式定理所有公式
二项式定理所有公式二项式定理啊，这可是高中数学里挺重要的一部分呢！咱们先来说说二项式定理到底是啥。
二项式定理就是指$(a+b)^n$ 展开后的式子。
这里面就有一系列的公式。
比如说，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ 。
那如果是更高次幂呢，像$(a+b)^4$ 、$(a+b)^5$ 等等，展开就会更复杂一些。
咱们来具体看看二项式定理的通项公式：$T_{r+1} = C_{n}^r a^{n-r}b^r$ 。
这里的 $C_{n}^r$ 叫做二项式系数，计算方法是 $C_{n}^r =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
给大家讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次我在课堂上讲二项式定理，有个学生就特别迷糊，怎么都弄不明白这个系数是怎么来的。
我就给他举了个例子，说假如咱们要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这其实就和二项式系数的计算是一个道理。
咱们先算5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1，然后 2 的阶乘是 2×1，3 的阶乘是 3×2×1，用 5 的阶乘除以 2 的阶乘和 3 的阶乘的乘积，就能得到从 5 个里选 2 个的组合数，这就和二项式系数的计算是一样的思路。
这学生听了之后，恍然大悟，后来做这类题就很少出错啦。
再来说说二项式定理的性质。
二项式系数具有对称性，就是说$C_{n}^r = C_{n}^{n-r}$ 。
而且二项式系数的和是 $2^n$ ，也就是当$a = b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$ 。
在解题的时候，二项式定理用处可大啦。
比如求展开式中的特定项，或者求系数之和等等。
咱们拿个具体的题目来看看。
比如说求 $(2x - 1)^6$ 展开式中$x^3$ 的系数。
那咱们先根据通项公式，$T_{r+1} = C_{6}^r (2x)^{6-r} (-1)^r$ ，要得到 $x^3$ ，那 $6 - r = 3$ ，所以 $r = 3$ 。
二项式定理与多项式展开
二项式定理与多项式展开二项式定理和多项式展开是高中数学中的重要概念，它们在代数学习中扮演着极为重要的角色。
二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的和的规律，而多项式展开则是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
本文将详细介绍二项式定理和多项式展开的概念、公式及应用。
一、二项式定理的概念与公式二项式是指由两个项构成的代数式，常写成(a+b)^n的形式，其中a和b为实数，n为非负整数。
二项式定理是指将(a+b)^n展开成一系列项的和的规律。
根据二项式定理，当n为非负整数时，展开的式子将由多个组合而成的项组成，而每个组合项的系数则和展开式中的位置有关。
二项式定理可以表示为以下公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ … + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)在展开式中，每一项的次数和系数满足以下规律：- 当k为偶数时，系数为正整数。
- 当k为奇数时，系数为负整数。
二项式定理可以用于求解二项式的幂及其性质，例如二次方、三次方等。
二、多项式展开的概念与公式多项式是指由多个项构成的代数式，其中每个项包含变量的幂和系数。
多项式展开是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
多项式展开涉及到各种计算方法，比如乘法法则、分配率等。
下面以一个简单的示例来说明多项式展开。
假设我们有一个多项式表达式为(a+b)^3，按照展开的规则，我们可以将其展开为：(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3在展开的过程中，我们需要运用乘法法则和分配率，逐步计算得到每个项的系数。
多项式展开不仅可以用于简化多项式的形式，还能帮助我们解决实际问题。
二项分布展开式公式
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
p^k表示成功的概率p乘以k次，q^(n-k)表示失败的概率q乘以(n-k)次。
通过计算不同的k值，可以得到二项分布的概率分布情况，即不同成功次数的概率。
二项分布展开式公式
二项分布展开式是项式定理在离散概率分布中的应用。假设有一次试验，成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p，进行n次独立的重复试验，X表示成功的次数。那么，X服从二项分 布B(n, p)。
二项分布展开式的公式如下：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
二项分布展开式公式
需要注意的是，二项分布展开式只适用于离散的二项分布情况，且试验之间是独立的。
展开式公式 二项式定理
展开式公式二项式定理一、二项式定理内容。
1. 二项式定理表达式。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，C_n^k也被称为二项式系数。
2. 展开式的特点。
- 项数：展开式共有n+1项。
- 次数：各项中a与b的次数之和为n，其中第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n -kb^k中a的次数为n - k，b的次数为k。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 二项式系数C_n^k = C_n^n - k，这反映在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)最大；- 当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n + 1)/(2)最大。
- 二项式系数先增大后减小，由C_n^k=(n(n - 1)·s(n - k + 1))/(k!)，随着k的增大，当frac{C_n^k+1}{C_n^k}=(n - k)/(k + 1)>1时，二项式系数增大；当(n - k)/(k+1)<1时，二项式系数减小。
3. 二项式系数之和。
- ∑_k = 0^nC_n^k=2^n，即(1 + 1)^n = 2^n。
- 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2^n-1，即∑_k = 0^⌊(n)/(2)⌋C_n^2k=∑_k = 0^⌊(n - 1)/(2)⌋C_n^2k + 1=2^n-1。
三、二项式定理的应用。
1. 求二项展开式中的特定项。
- 求指定项：例如求(x+(1)/(x))^10的展开式中的常数项。
- 首先写出通项公式T_k + 1=C_10^kx^10 - k((1)/(x))^k=C_10^kx^10 - 2k。
二项展开式
二项展开式1. 什么是二项展开式在高等代数中，二项展开式是一种表示两个实数(或复数)之和的公式。
它是根据二项式定理推导出来的，二项式定理是代数学中非常重要的一条定理，用于计算二项式(形式如(a+b)^n)的展开式。
二项展开式的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)·a n·b0 + C(n,1)·a(n-1)·b1 + C(n,2)·a(n-2)·b2 + … + C(n,k)·a(n-k)·b k + … + C(n,n)·a0·b n其中，C(n,k)表示组合数，可以用以下公式计算：C(n,k) = n! / (k!·(n-k)!)2. 二项展开式的例子以一个具体的例子来说明二项展开式的应用。
我们假设要计算(2x + 3y)^4的展开式，其中x和y均为变量。
首先，在这个例子中，n的值为4，a的值为2x，b的值为3y。
根据二项展开式公式，我们可以把展开式表示为：(2x + 3y)^4 = C(4,0)·(2x)4·(3y)0 + C(4,1)·(2x)3·(3y)1 + C(4,2)·(2x)2·(3y)2 +C(4,3)·(2x)1·(3y)3 + C(4,4)·(2x)0·(3y)4计算组合数C(4,k)的值：C(4,0) = 4! / (0!·(4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1!·(4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2!·(4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3!·(4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4!·(4-4)!) = 1将这些计算结果代入二项展开式公式，可以得到展开式的具体形式：(2x + 3y)^4 = 1·(2x)4·(3y)0 + 4·(2x)3·(3y)1 + 6·(2x)2·(3y)2 + 4·(2x)1·(3y)3 + 1·(2x)0·(3y)4化简计算，得到最终的展开式：(2x + 3y)^4 = 16x^4 + 96x^3y + 216x2y2 + 216xy^3 + 81y^4通过计算，我们得到了(2x + 3y)^4的展开式，可以使用这个展开式计算很多复杂表达式的值。
二项式定理展开式通项公式
二项式定理展开式通项公式摘要：1.二项式定理简介2.二项式定理的展开式3.通项公式及其应用4.示例与解析正文：一、二项式定理简介二项式定理是数学中一个重要的定理，它描述了二项式（a+b）的展开式中各项的系数规律。
该定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n, n)b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合的个数。
二、二项式定理的展开式根据二项式定理，我们可以将二项式（a+b）展开为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n, n)b^n展开式中的每一项都与组合数C(n, k)有关，其中k从0到n。
三、通项公式及其应用二项式定理的通项公式为：Tk = C(n, k)a^(n-k)b^k其中，k为展开式中的项数，a和b为任意实数或复数。
通项公式在许多实际问题中有广泛的应用，如求解概率问题、计算组合数等。
四、示例与解析示例1：求(2 + 3)^5的展开式中，第3项的系数。
解析：根据通项公式，展开式中的第3项系数为C(5, 2) * 2^(5-2) * 3^2 = 10 * 2^3 * 3^2 = 432。
示例2：求解概率问题。
某同学投掷两个骰子，求点数之和为7的概率。
解析：投掷两个骰子，共有6 * 6 = 36种可能的结果。
点数之和为7的情况有（1，6）、（6，1）、（2，5）、（5，2）、（3，4）和（4，3）共6种。
所以，点数之和为7的概率为6/36 = 1/6。
综上所述，二项式定理及其展开式、通项公式在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
级数二项式展开定理
级数二项式展开定理级数二项式展开定理是高等数学中的重要定理之一，它能够将一个幂函数的幂指数为任意实数的表达式展开为二项式的形式。
本文将从介绍定理的概念、展开定理的公式和应用以及一些例题讲解等方面进行阐述。
一、定理概念级数二项式展开定理是指对于任意实数x和正整数n，都存在唯一的一组实数a0、a1、a2...an，使得下面的等式成立：(1+x)^n = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n其中，(1+x)^n表示幂函数，a0、a1、a2...an为展开系数。
该定理的重要性在于它将高次幂函数转化为了低次幂的和，简化了函数的计算和应用。
二、展开定理的公式级数二项式展开定理有一个重要的公式，即二项式定理。
当n为自然数时，二项式定理的公式为：(1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + ... + C(n,n)x^n其中，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)。
当n为自然数时，二项式定理的公式可以直接应用，计算较为简便。
三、展开定理的应用级数二项式展开定理在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，该定理可用于求解多项式的展开式，简化计算过程。
在概率论和统计学中，二项式定理可用于计算二项分布等概率分布的概率。
在微积分中，展开定理可用于计算复杂函数的极限、导数和积分等。
此外，在物理学、工程学等应用科学中，级数二项式展开定理也有着重要的作用。
四、例题讲解现以一个具体的例题来说明级数二项式展开定理的应用。
例题：将函数f(x) = (1+x)^3展开为二项式的形式。
解答：根据二项式定理，可将(1+x)^3展开为：(1+x)^3 = C(3,0) + C(3,1)x + C(3,2)x^2 + C(3,3)x^3= 1 + 3x + 3x^2 + x^3通过展开定理，我们得到了函数f(x) = (1+x)^3的二项式展开式为1 + 3x + 3x^2 + x^3。
二项式定理
(a +b) = C a +C a b +⋅⋅⋅ +C a b +⋅⋅⋅ +C b
n 0 n n 1 n−1 n r n−r r n n n n
二项展开式的特点：
（1）展开式共有n+1项 （2）展开式中各项的指数和都等于幂指数n； （3）展开式中字母 a 按降幂排列由n逐项减1直 到0，字母b按升幂排列由0逐项加1直到n。
二.知識应用: （一）再現性練習： 《新高考總複習》P182：
【基礎練習】
（二）鞏固性練習：
《新高考總復習》P182~183： 【例題精選】
（三）提高性練習： 《新高考總複習》B P54~55：二项式定理
r n
⋅⋅⋅,n)叫做二项式系数。
注意： 注意：
二项式系数与项的系数的区别！
2.二项式系数的性质： （1）杨辉三角： （2）对称性： （3）增减性与最大值： （4）各二项式系数的和：
① C +C +C +⋅⋅⋅ +C = 2
0 n 1 n 2 n n n
n
②在二
2.二项展开式的通项：
Tr+1 = C a b
n
r n−r r , 其中 r = 0,1 2,⋅⋅⋅, n n
T 是展开式的第 r +1 （1） r+1 项；
( （2） a +b) 的展开式的第 r +1项与 (b+a) 展开式的第 r +1项是不同。
n
（二）二项式系数及其性质： 1.二项式系数： 在二项展开式中，组合数 C (r = 0,1， ,
n为奇数时：
二项式定理展开式
二项式定理展开式篇一：二项式定理知识点总结二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。
r(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式rn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cnaab叫做二项式展开式的通项。
rn?rrb表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a?b)n与(b?a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于n.012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：0122rrnn令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0nkk?1Cn?Cn,·Cn?Cn012rn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn ?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0123nn在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn????(1)C(11)?n0n??0242r132r?1?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????从而得到：Cn，1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0n01n?12n?22n0n(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cn ax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0?x?1, ?a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n???????????x??1,?a0?a1?a2?a3???an?( a?1)n?????????(a?1)n?(a?1)n????,a0?a2?a4??an?(???????)2(a?1)n?(a?1)n????,a1?a3?a5??an?(???????)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?Tn取得最大值。
二项展开式
例.求展开式中系数最大项和最小项 解： 通项= 通项的系数= 设系数最大，则 解得：，因为，所以，故系数最大项为和 由于最大项在中间取得，所以最小项在两端，计算得：，故系数最小项为
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行。 例.展开式中的常数项 解：展开式的通项=，令，解得 故常数项为：
谢谢观看
性质
（1）项数：n+1项 （2）第k+1项的二项式系数是 （3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。 （4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的 的二项式系数最大，并且相等。 （5）二项式通学归纳法对二项式定理进行证明 当， 假设二项展开式在时成立，设，则：
（取出的项） （设 ） （取出项） （两者相加） （套用帕斯卡法则） 等式也成立 结论：对于任意自然数n，等式均成立。
例题
系数最值项
某项的系数
指定项
求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有一定的题出现。 例1.求的展开式中的系数 解：要取2个，故的系数是 例2.求的展开式中的系数 解：要取4个，故的系数是
二项式定理
其中，，又有等记法，称为二项式系数，此系数亦可表示为杨辉三角形。等式的右边即为的展开式，称为二 项展开式。
理解
将看成个相乘，从每个括号中取一项 (非即 )相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取的个数分为类，不 取的是，取 1个的是，...，取个的是，...，取个的是
注意： （1）选取性，二项式的两项怎样选取 (各取几个)才能构成所求的项； （2）有序性，的展开式第项是取个 (同时取个 )，这里的和不能互换 （3）项、项的系数与二项式系数的区别 某项要把这一项全部写出来；某项的系数只写这一项的系数，不带字母 (即把每个字母当作数 1) ；某项的 二项式系数就是相应的组合数
二项式定理的基本公式
二项式定理的基本公式二项式定理是高中数学中的重要概念，它能够方便地计算任意两个数的幂次和。
二项式定理的基本公式如下：$$(a+b)^n = C_n^0a^n+b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots + C_n^na^0b^n$$其中，$C_n^r$表示从$n$个元素中选取$r$个元素的组合数，也叫做二项式系数。
二项式定理可以通过数学归纳法来证明。
下面我们来详细解释一下二项式定理的应用和意义。
二项式定理可以用来展开任意整数次幂的二项式。
例如，如果我们要计算$(a+b)^3$的展开式，根据二项式定理，展开式为：$$(a+b)^3 = C_3^0a^3+b^0 + C_3^1a^2b^1 + C_3^2a^1b^2 + C_3^3a^0b^3$$化简后得到：$$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$这就是$(a+b)^3$的展开式。
二项式定理可以用来快速计算幂次较大的数。
例如，如果我们要计算$(2+3)^5$，根据二项式定理，展开式为：$$(2+3)^5 = C_5^02^5+3^0 + C_5^12^4\cdot3^1 + C_5^22^3\cdot3^2 + C_5^32^2\cdot3^3 + C_5^42^1\cdot3^4 + C_5^52^0\cdot3^5$$化简后得到：$$(2+3)^5 = 2^5+5\cdot2^4\cdot3+10\cdot2^3\cdot3^2+10\cdot2^2\c dot3^3+5\cdot2\cdot3^4+3^5$$计算后得到$(2+3)^5= 243$。
二项式定理还可以用来推导和证明其他数学定理。
例如，二项式定理可以用来证明组合恒等式：$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n$$这个恒等式在概率论和组合数学中有重要的应用。
二项式定理公式展开式
二项式定理公式展开式二项式定理，这可是高中数学里的一个重要知识点呢！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题。
咱先来说说二项式定理的公式展开式到底是啥。
它呀，形如$(a+b)^n$的式子，展开后就是一系列项的和。
具体的公式是：$(a+b)^n = C_{n}^0 a^n b^0 + C_{n}^1 a^{n-1}b^1 + C_{n}^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_{n}^n a^0 b^n$ 。
这里的$C_{n}^r$叫做二项式系数，计算公式是$C_{n}^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号和公式，感觉像天书一样，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们来玩个小游戏。
”我拿出了一袋子的糖果，说：“假设这里面有两种口味的糖果，草莓味和柠檬味。
咱们现在要从袋子里拿 n 颗糖，那有多少种拿法呢？”学生们开始七嘴八舌地讨论起来。
有的说一个一个数，有的说先分类再计算。
我引导他们：“其实呀，这就可以用二项式定理来解决。
把草莓味的糖果看成 a ，柠檬味的看成 b ，那拿糖的不同组合方式，不就是$(a+b)^n$的展开式嘛！”经过这么一解释，学生们好像有点开窍了。
咱们再深入讲讲二项式定理的应用。
比如说在概率统计中，它能帮我们计算某些随机事件的概率。
还有在数列求和中，也能发挥大作用。
而且，二项式定理还和我们的生活有点关系呢。
就像我们做选择的时候，比如你今天要决定穿什么衣服，有几件上衣和几条裤子可以选，那么总的搭配方式就可以用类似二项式定理的思路来计算。
在解题的时候，咱们得注意一些细节。
比如说计算二项式系数的时候，可别粗心大意算错了阶乘。
还有，展开式中各项的指数也要看清楚，别弄混了。
总之，二项式定理公式展开式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的规律，多做几道题练练手，就能把它变成我们解题的得力工具。
二次项展开式公式
二次项展开式公式二次项定理展开式为：（a+b）^n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+…+Cn^r*a^n-rb^r+…+Cn^n*b^n（n∈N*）。
右边的多项式叫做（a+b）n的二次展开式，其中的系数Cn^r（r=0，1，……n）叫做二次项系数，式中的Cn^r*a^n-rb^r叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=Cn^r*a^n-rb^r。
二次项定理，又称为牛顿二项式定理，它是由艾萨克·牛顿于1665年发现的。
需要主要的关于通项公式的几个要点有：1. 项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项，2. 通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的系数3. 如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项二次项系数最大。
如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。
4.指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n 二项式通项公式的应用场景很多，利用通项公式，很容易就可以求出某个二项式里面的第几项的二次项系数，注意，展开式中的a按降幂排列，b按升幂排列，所以第四项就是a4b3项。
利用通项公式在排列组合中还有一个非常经典的应用：伯努利概型。
他研究的是在一个n重独立试验中，每次试验的结果只有2个，这样的试验就叫做伯努利概型。
而计算伯努利改型中事件A在各次试验中发生的概率，则符合我们二次项通项公式：从这个图可以看出，P(k)和通项公式表达方式完全相同，不过是研究a 和b变成p和q（p+q=1）。
比较景点的应用提醒有，比如某人射箭，每次命中率是1/3，那么他连续射击10次命中7次的概率，那么就可以很快利用这个定理求出了，P=1/3，q=2/3，综上，二项式的通项公式和二项式展开定理是数学必备的知识点。
分数二项式定理展开式公式
分数二项式定理展开式公式分数二项式定理是高中数学中的重要概念之一，它在代数中的应用非常广泛。
分数二项式定理可以将一个分数幂展开为一系列项的和，其中每一项都是由二项式系数和幂次方组成。
分数二项式定理的公式如下：$$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^r a^{n-r} b^r+ ... + C_n^n a^0 b^n$$其中，$C_n^r$表示组合数，可以用以下公式计算：$$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$现在我们来看一个具体的例子来理解分数二项式定理的展开式公式。
假设我们要将$(x+\frac{1}{x})^4$展开为多项式，根据分数二项式定理，我们可以得到展开式如下：$$(x+\frac{1}{x})^4 = C_4^0 x^4 (\frac{1}{x})^0 + C_4^1 x^3 (\frac{1}{x})^1 + C_4^2 x^2 (\frac{1}{x})^2 + C_4^3 x^1 (\frac{1}{x})^3 + C_4^4 x^0 (\frac{1}{x})^4$$化简上述式子后，我们可以得到：$$(x+\frac{1}{x})^4 = x^4 + 4x^2 + 6 + 4(\frac{1}{x})^2 +(\frac{1}{x})^4$$从以上展开式中可以看出，$(x+\frac{1}{x})^4$可以展开为5项，每一项都是由$x$和$\frac{1}{x}$的幂次方组成，其中的系数为组合数$C_4^r$。
分数二项式定理的应用非常广泛，它可以用于求解代数方程的根、展开多项式等。
下面我们来看一些具体的例子。
例1：求解代数方程$x^3+\frac{1}{x^3}=28$的解。
我们可以将$x^3+\frac{1}{x^3}$看作是$(x+\frac{1}{x})^3$的展开式中的一项，根据分数二项式定理展开$(x+\frac{1}{x})^3$，可以得到：$$(x+\frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + 3(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^3$$将上述展开式代入原方程，得到：$$x^3 + 3x + 3(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^3 = 28$$化简上述方程，我们可以得到一个新的方程：$$x^3 + (\frac{1}{x})^3 + 3(x+\frac{1}{x}) = 28$$由于$(x+\frac{1}{x})=t$，我们可以将上述方程转化为$t^3 + 3t =28$。
二项式定理的推广高阶二项式展开的计算方法
二项式定理的推广高阶二项式展开的计算方法二项式定理是代数学中的重要定理之一，它提供了计算二项式的高阶展开式的方法。
在本文中，我将探讨二项式定理的推广以及高阶二项式展开的计算方法。
二项式定理是指对于任意实数 a 和 b 以及非负整数 n，有：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示组合数，可以用以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)这个定理可以在计算二项式的展开式时帮助我们减少计算量，特别是当 n 的值较大时。
然而，当 n 较大时，直接使用二项式定理展开式计算会导致大量的计算工作。
因此，我们需要寻找其他方法来简化这个过程。
一种常见的计算高阶展开的方法是使用 Pascal's 三角形。
Pascal's 三角形是一个由组合数构成的三角形，如下所示：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1在这个三角形中，每个数字都等于它上方两个数字的和。
通过观察Pascal's 三角形中的每一行，我们可以发现它与二项式系数之间存在着一定的关系。
具体来说，当我们要计算 (a + b)^n 的展开式时，我们可以使用Pascal's 三角形中的第n+1 行的数值作为展开式中对应项的二项式系数。
例如，对于展开 (a + b)^3，我们可以使用 Pascal's 三角形的第 4 行数值来计算展开式的每一项：(a + b)^3 = 1 * a^3 * b^0 + 3 * a^2 * b^1 + 3 * a^1 * b^2 + 1 * a^0 *b^3这种方法有效地将计算高阶二项式展开的复杂度降低为 O(n)。
除了使用 Pascal's 三角形，我们还可以使用递归的方法来计算高阶二项式展开。
二项式定理减法展开式公式
二项式定理减法展开式公式
二项式展开公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，-1)ab^(n-1)+b^n
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克.牛顿于1664~1665年间提出。
二项展开式是高考的一个重要考点。
在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。
二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。
二项展开式的性质
1、项数：n+1项；
2、第k+1项的二项式系数是C*；
3、在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等；
4、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 1 1 2 3 3 1 1
当n是奇数时，中间的两
项
Cn 和 C
n 1 2
n 1 2 n
1
1
4
6
4
1
1 1
相等，
1
5 10 10 5
且同时取得最大值。
6 15 20 15 6
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ).
3 3
6
0 1 3 4 2 C4 C4 C C C4 4 4
3 5 1 C50 C5 C54 C5 C52 C5 0 1 3 5 6 C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6
5 10 5 6 15 20 15 6
二项式系数的性质
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示：
n
(a b) 2 (a b) 3 (a b) 4 (a b) 5 (a b)
（2） 数学思想：函数思想 （3） 数学方法 ： 赋值法
作业:
书P114习题10.4
4(3)(4),9,10
0 n 2 n 1 n 3 n
n 1
练习
1.C C
1 n 2 n 1 11 3 11 5 11
2 1 C _____;
n n
n
C C C C C C
7 11 9 11
11 11
_____ . 2
10
2.在 2 x 3 y
10
展开式中
1024
(1)求二项式系数的和;
0 n 1 n 2 n r n n n
赋值法
1 1 1 2
1 1
4 1
也就是说, 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1
(a+b)n的
1
1 4
3 3
6
1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
1
例2
证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C C C 2
x
3r 由8 5可得r 2 2
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2
1 C10 C1
1 1
1 2
0 1 2 C2 C2 C2
1 3 C30 C3 C32 C3
1 1
4 1 1 1
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1
1 1 1 4
C C C
r n 1
一
r 1 n
r n
一 一 六
一 一
十五
二十 十五 六
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
性质1：对称性
C C
m n
nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质2：增减性与最大值 先增后减
n 2
当n是偶数时,中间的一项 C n
取得最大值 ；
1 18 4 4 x 3 x
4
性质3：各二项式系数的和
(1 x) C C x C x C x (n N )
n 0 n 1 n r r n n n n *
C C C ... C ... C ？ 2n
r n
nr
r
1 8 ) 的展开式中 例 已知 ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
1 x 4 3 展开式中只有第10 例1 已知 x
n
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n 1 10, n 18, 2
T5 T41 C
4 18
4
3060 x .
X
复习回顾: 二项式定理及展开式:
( a b)
n
C a C a b C a b C b (n N )
0 n n n n n *
1 n 1 n
r nr r n
二项式系数 通 项
C (r 0,1, , n)
r n
Tr 1 C a b
(2)各项系数的和;
1
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和;
练习
3.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
3
10
1 10 ( 3 1) 2
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a b)
6
这样的二项式系数表，早在我国南宋数 学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一 书里就已经出现了，在这本书里，记载着类 似下面的表： 一
一 一 二 三 四 五 十 六 十 三 四 一 一 一 五 一 一
变式练习：
已知(2x+1)10=
a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
3
10
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1 10 ( 3 1) 2
小结:
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和