随机过程第二章期末练习题

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随机过程-习题-第2章

2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。

试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。

证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。

随机过程第二章作业及参考答案

第二章平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。

试证（1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程；（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。

（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。

随机过程期末试题及答案(2)

{N(t),t ≥ 0} 独立，令 X(t)=∑X(t)] = λ tE {Y1} 。
k=1
N(t)
2
证明：由条件期望的性质 E [X(t) ] = E E ⎡ ⎣ X(t) N(t) ⎤ ⎦ ，而 E ⎡ ⎣ X(t) N(t) = n ⎤ ⎦ = E⎢
P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t1 )-X(0)=x1 , X(t 2 )-X(0)=x 2 , X(t n )-X(0)=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，又因为 P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )= P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，故 P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )
2 2
0 0 1 4 0
4 0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥ 4⎥ 1⎥ ⎦
（2） p33 = 1, 而p30，p31，p32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 C1 = {3} ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 C2 = {0， 1}，且它们都是正常返非周期状态；由于状态 2 可达 C1，C 2 中的状态，而 C1，C 2 中的状态不可能达到它，故状态 2 为非常返态，记 D= {2} 。（3）状态空间 I 可分解为： E=D ∪ C1 ∪ C2 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。答：（略）

概率统计随机过程-期末试卷-参考答案

7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15

D S 2 2 15
2

得 D S

2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二参考答案一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}

南京大学随机过程练习题附中文解释及答案

（以第九版为准）第二章 Random Variables 随机变量 1、（2.16）An airline knows that 5 percent of the people making reservations on a certain flight will not show up. Consequently, their policy is to sell 52 tickets for a flight that can hold only 50 passengers. What is the probability that there will be a seat available for every passenger who shows up? 航空公司知道预订航班的人有 5%最终不来搭乘航班。因此，他们的政策是对于一个能容纳 50 个旅客的航班售 52 张票。问每个出现的旅客都有位置的概率是多少？
8、(3.8)An unbiased die is successively rolled. Let X and Y denote, respectively, the number of rolls necessary to obtain a six and a five. Find (a) E[X], (b) E[X|Y=1] 相继地掷一颗不均匀的骰子。令 X 和 Y 分别记得到一个 6 和一个 5 所必须的抛掷次数。求（a）E[X]，（b）E[X|Y=1]。重要：E[E[X|Y]]=E[X]
3、(4.32) Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off? 在一天中两个开关或者开或者关。在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是[1+ 第 n-1 天是开的开关数]/4。例如，如果在第 n-1 天两个开关都是开的，那么在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是 3/4。问两个开关都是开的天数的比例是多少？两个开关都是关的天数的比例是多少？

[应用随机过程][习题][01]

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2010-7-30
第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]

《随机过程》第二章补充习题

1、设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题：（1）求出该马氏链进入各常返类的概率；（2）求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3）计算：nn P ∞→lim 。

2、（网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。

平分是指第五球后双方分数相同。

平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。

如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。

如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。

若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1）试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2）分析各状态的性质；（3）试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4）试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。

3、设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1）研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2）针对状态1和2，确定其平稳分布；（3）若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4）假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5）假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6）计算：}12{35==X X P ；（7）计算：nn P ∞→lim 。

随机过程第二章期末练习题

应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
第二章练习题判断题
确定信号为特殊的随机信号，如果称某个确定信号为平稳的，意味着该信号为常量。（V）则该随机过程一定隐含周若平稳随机过程的功率谱密度函数在 0 处含有冲激，期性。（X）平稳随机过程一定是各态历经的。（X）平稳随机过程经过线性变换后一定是平稳的。（V）如果平稳随机过程的任意样本函数是连续的，则该过程依均方意义连续，反之亦然。若平稳随机过程的协方差函数 K X ( ) 不满足 K X () 0 ，则该过程必定隐含周期性。（V）对随机过程作重复多次的观测时，各次所得到的时间 t 的函数具有相同的形式。（X）可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。（V）数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性，还能反映随机过程不同时刻取值之间的内存联系。（X）具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。（X）自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。（V）一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。（V）自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。（X）二阶矩过程的自相关函数必定存在。（V）平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。（V）如果随机过程 X(t)的任意 n 维概率密度在时间上平移任意△t 后，此函数不变，则称 X(t)为广义平稳随机过程。（X）狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关，即 X(t)与 X(t+△t) 有相同的统计特性。（V）广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳的。（X）相关时间小，意味着相关系数随τ的增大而迅速减小，这说明随机过程随时间而激烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。（V）自相关函数是实偶函数。（X）设随机过程 X(t)=u sin(ω t+Φ)，其中 u 和ω 皆为常数，Φ为 [0,2π]上均匀分 m m 0 0 布的随机变量，则 X(t)为一平稳随机过程。（V）设随机过程 X(t)=At，A 为在[0,1]上均匀分布的随机变量，则 X(t)是平稳过程。（X）设随机过程 Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t< ∞，其中 X，Y 为相互独立的随机变量，并分别以概率 2/3、1/3 取值-1 和 2。则 Z(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随机过程。（X）设随机过程 X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布的随

《随机过程》第二章习题

S 0 { 0} 为吸收态集，为瞬时态集，且转移矩阵为 P
~
P P0 ，其中 P0 ( I P) e ， 0 1
e (1,1,1) 。定义从瞬时态集到吸收态集的首达时间为：
inf{ n : n 0, X n S 0 } 。
g
k 0
kk 。Biblioteka k 1 P0 P k 1 ( I P)e ；
1
（b）对于任意 0 1 ，有： G( ) 0 ( I P) ( I P)e 。 13、设有一生灭过程 { (t ); t 0} ，其中参数 n , n n ，和均为大于零的
（1）试求概率 P{ X 0 0, X 1 1, X 2 1} ；（2）计算 p 01 ；
( 2)
中国科学院大学 2014～2015 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
（3）试求首达概率 f 00 , n 1,2,3, ；
(n)
（4）写出四个状态的常返性、周期性；此链是否遍历？说明理由。 9、考虑三个状态的齐次马氏链，其转移概率矩阵为
j k t
) k (1 e t ) j k ， j k 1 是上述方程的解，并计算
E{ X (s t ) X (s) X (s) m }。
15、在一个线性生灭过程中，假定人口中每个人在间隔 (t , t t ) 内以概率
知正常工作的机器在某天出故障的概率为 a ，机器处于故障修理状态在某天恢复正常工作的概率为 b ，其中 0 a, b 1 。令 X n 表示第 n 天车间正常工作的机器数，试求：（1）证明 X n ; n 1,2, 是一齐次马氏链，并写出其一步转移概率矩阵；（2）此马氏链是否存在极限分布？存在的话，计算其平稳分布；（3）若车间里有 m 台独立工作的机器，假设条件不变，问其平稳分布是什么？ 12、设 { X n ; n 0} 是一齐次马氏链，状态空间为 S S 0 S ，其中: S {1, 2,, m}

期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则这个随机过程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t+a 。

评卷人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A )=P(B A )P(C AB)。

2.设{X (t ),t ?0}是独立增量过程,且X (0)=0,证明{X (t ),t ?0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ijik kjk Ip p p l l ∈=∑，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

（解答）《随机过程》第二章习题

（解答）《随机过程》第二章习题第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。

任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。

（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323=== =========?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。

随机过程第2章习题

= x m-1 • exp{− xm xm −1} ( xm ≥ 0, xm −1 ≥ 0)
4
fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) ( x m /x1 , x 2 , L, x m-1 ) 只与 ξ ( m − 1) 有关，该过程是马尔可夫过程。
第7题有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过 n 次交换，过程的状态为 ξ ( n ), n = 1,2,3, L 。（1）试问该过程是否为马尔可夫链；（2）计算它的一步转移概率矩阵。解（1）：该过程是马尔可夫链；解（2）：
⎧e − x1 ( x1 ≥ 0) f ξ (1) ( x1 ) = f1 ( x1 ) = ⎨ ⎩0 (其它xi 值)
ξ (1), ξ (2), L , ξ ( m) 的 m 维联合概率密度为
⎧f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ⎪ ⎪ = x1x 2 L x m-1 • exp{−( xm xm −1 + xm −1 xm − 2 + L + x2 x1 + x1 )} ⎨ ( x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L , xm ≥ 0) ⎪ ⎪f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) = 0 (其它xi 值) ⎩
= ftm+2 / tm+1 ( xm + 2 / xm +1 ) ftm+1 / tm ( xm +1 / xm ) = ftm=1 ,tm+2 / tm ( xm +1 , xm + 2 / xm )

《概率论与随机过程》第2章习题答案

a2 2
cos(0
)
2.12
若随机过程并

t
的导数存在，求证：

t

d t
dt

dR t，t
dt

t
d t
dt

E

X

(t
)

lim
t 0
X (t

t) t
X (t)
证：

lim
t 0
3
f (x,6) 1 (x 2) (x 5) (x 7)
3
F(x,6) 1 U(x 2) U(x 5) U(x 7)
3
fX
(
x1,
x2
,
2,
6)

1 3

(
x1

3)
( x2

5)

( x1

4)
( x2

7)

(
x1

6)
F
x;1 以及二维分布
F

x1
,
x2
;
1 2
,1
解： f x, 1 0.5 x 0.5 x 1
2
Fx

x,
1 2

0.5 pcos

2

x

0.5 p2 *

1 2

x
0.5 px

0
3
3
E[X(6)]= 1 (2 5 7) 14

南京大学随机过程练习题附中文解释及答案

南京⼤学随机过程练习题附中⽂解释及答案（以第九版为准）第⼆章Random Variables 随机变量1、（2.16）An airline knows that 5percent of the people making reservations on a certain flight will not show up.Consequently,their policy is to sell 52tickets for a flight that can hold only 50passengers.What is the probability that there will be a seat available for every passenger who shows up?航空公司知道预订航班的⼈有5%最终不来搭乘航班。

因此，他们的政策是对于⼀个能容纳50个旅客的航班售52张票。

问每个出现的旅客都有位置的概率是多少？答：05.0*95.0*52-95.0-15152）（）（2、(2.25略变动)Suppose that two teams are playing a series of games,each of which is independently won by team A with probability p and by team B with probability 1-p.The winner of the series is the first team to win i games.If i =4,find the probability that a total of 7games are played.Find the p that maximizes/minimizes this probability.假定两个队玩⼀系列游戏，A 队独⽴地赢的概率是p ，B 队独⽴地赢的概率是1-p 。

期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》1设随机变量X 服从参数为的泊松分布，贝U X 的特征函数为。

2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。

8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变量，且A 和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。

10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。

4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。

6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。

《随机过程》第二章题目与答案

第二章一、填空题1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类.2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度.3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿.4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿.5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿.二、计算题1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)，若其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数.2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数.3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.4、设随机过程：0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数.5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令)0,0(,)(>>=-Y t t X eYt，求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2).6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从N(0,)的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t).参考答案:一、填空题1、离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程2、均值函数m X(t)，方差函数D X(t)，协方差函数B X(s，t)，相关函数R X(s，t)3、q+p4、5、二、解答题1、1、g(t)===其中：Γ(α)=2、g(t)= = ===3、由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m x(t)，D X(t)，即可. m x(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D X(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2，B X(s,t)=EX(s)X(t)- m x(s) m x(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，==，故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为f t(x)=exp{-}，t>0，f s,t(x1,x2)=.exp{[]}, s,t>0,其中4、由数学期望的性质)sin()cos()]sin()cos([)(=+=+=EZ t EY t t Z t Y E t EX θθθθ又因为Y 、Z 相互独立，故])cos[()()sin()sin()()cos()cos()]sin()cos()][sin()cos([)]()([),(),(σ222θθθθθθθθθs t Z E t s Y E t s t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s t s RBxX-=+=++===DX(t)=5、有随机变量函数的概率密度公式知：X(t)的一维概率密度：0,/)/ln ()(/)()()()(>-='='=t tx t x f y x y f x y y f x fX(t)的均值函数和相关函数为：dy e y f E t EX ytYte ⎰∞--==0)()()( dy y f e eeE t X t X E t t R t t y Yt Yt x )(][)]()([),(0)(21212121⎰∞+---===6、m(t)=E(Z t )=E[]=0，R(s,t)=E(Zs )=E===。