高中数学教学案——全称量词与存在量词(含答案)
高中数学(全称量词与存在量词-量词否定)教案3 新人教A版选修2-1 教案
全称量词与存在量词（二）量词否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究∃问题2：写出命题的否定（1）p ：∃x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B =四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。
统编通用版高考数学全套电子教案之人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)
有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“
x ”表示，读作“对任
意 x ”。
归纳整理本节课所 学知识
2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。
一般用符号简记为“ x M , p ( x) ”。读作“对任意的 x 属于 M，有 p
（x）成立。（其中 M为给定的集合， p( x) 是关于 x 的命题。）例如“对
D ．每个函数都有反函数
2．将“ x2+y2≥ 2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（
）
A ． x, y R ，都有 x 2 y 2 2xy
B ． x, y R ，都有 x2 y 2 2 xy
C． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2 xy
D． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2xy
D ．不存在这样的 α 和 β，使 cos(α +β ) ≠ cosα cosβ － sinα sinβ
5．下列全称命题中真命题的个数是（
）
①末位是 0 的整数，可以被 2 整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1
B．2
6．下列存在性命题中假命题的个数是（
式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在” 量词，记作 x ， y 等；
，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在
4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式： “对 M 中的所有 x，p(x) ”的命题，记为 : x M , p( x)
是不同的
区 等于 . 别
否定词 : 不等于、不大于、不小于、不是、不都是
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
高中数学教师用书全称量词与存在量词含答案
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P21～P26的内容，回答下列问题．（1)观察教材P21“思考"中的4个语句:①这4个语句中是命题的有哪几个？提示：(1)（2)不是命题;(3)(4)是命题．②语句(3）和语句（1)之间有什么关系？提示：语句(3)在语句（1）的基础上，用短语“对所有的"对变量x进行限定．③语句(4）和语句(2）之间有什么关系？提示：语句（4)在语句(2）的基础上,用短语“对任意一个”对变量x进行限定．（2)观察教材P22“思考”中的4个语句：①这4个语句都是命题吗？提示:（1)（2)不是命题;（3)（4）是命题．②语句（3)和语句（1）之间有什么关系？提示:语句(3)在语句（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定．③语句（4)和语句（2）之间有什么关系？提示：语句（4）在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定．（3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定．提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形；命题(2）的否定：存在一个素数不是奇数；命题（3）的否定：∃x0∈R,x20－2x0＋1<0．(4）写出教材P25“探究”中三个命题的否定．提示：命题（1)的否定：所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定：每一个平行四边形都不是菱形;命题（3）的否定:∀x∈R，x2＋1≥0．2．归纳总结，核心必记（1)全称量词和全称命题形式“对M中任意一个x，有p（x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p（x)(2）存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0）成立"，可用符号简记为∃x0∈M,p（x0)(3）含有一个量词的命题的否定[问题思考](1）命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．(2）命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？提示：是全称命题,且是假命题．(3）下列命题是特称命题的有哪些？①有一个平行四边形是菱形;②任何一个平行四边形是菱形；③某些平行四边形是菱形；④有的平行四边形是菱形．提示：①③④．（4）全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？提示:全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．（1)全称量词：，全称命题: ;（2)存在量词：,特称命题：；(3)全称命题及其否定的形式：，特称命题及其否定的形式: ．［思考］判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．讲一讲1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题:(1）凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；（3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1;（4）有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[尝试解答] （1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．（2)含有存在量词“有的”,故是特称命题．（3）含有全称量词“任意”,故是全称命题．（4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤（1）首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．（2）若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题．（3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．练一练1．下列语句是特称命题的是( ）A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n,使n能被11整除C．x〉7D．∀x∈M,p（x）成立解析：选B B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1)负数没有对数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除,又能被5整除;(3）∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；（4)∃x0∈Z，log2x0>0。
全称量词和存在量词【课时教学设计】高中数学新教材必修第一册
1.5.1 全称量词与存在量词一、 教学内容 全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的定义及符号简记，判断全称量词命题、存在量词命题的真假。
二、教学目标（1）通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义.（2）能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题.（3）掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法.三、教学重点与难点教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别.教学难点：正确使用全称量词命题、存在量词命题.四、教学过程设计（一）复习回顾，问题导入 问题1：我们已经学习过命题，什么是命题？师生活动：学生独立思考后回答。
追问1：3x >是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。
追问2:对所有的,3x R x ∈>是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
追问3：21x +是整数，是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。
追问4：对任意一个,21x Z x ∈+是整数，是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
追问5：本来不是命题的陈述句，是如何变成了命题的？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
设计意图：让学生明确命题时可以判断真假的陈述句，在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它不是命题，但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以是它变成一个命题。
我们把这样的短语称为量词。
从而引出本节课的内容。
（二）探究交流，获取新知探究一:全称量词与全称量词命题定义问题2：对所有的,3x R x∈>，对任意一个,21x Z x∈+是整数，这两个都是命题，是因为变量前加了“所有的”、“任意一个”，这两个词语有什么含义呢？师生活动：学生先独立思考后回答。
追问：表示某个范围内的整体或全部的短语还有哪些呢？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
设计意图：通过以上问题，引出全称量词的定义。
全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科教师上课日期上课时间课题9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.知识点二、存在量词与特称命题1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1；(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1为真命题．(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝13∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.类型二 含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。
高中数学(必修第一册)-1.5-全称量词与存在量词(精讲)学案(含解析)
1.5 全称量词与存在量词(精讲)考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：①x R ∀∈10+>；②2,0x N x ∀∈>；③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【一隅三反】1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )A ．2,x R x x ∃∈>B ．2,x R x x∀∈>C ．20,320x x x ∃<-+<D ．2,20x R x x ∀∈++>3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈x=D ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )A ．x ∃∈Z ，143x <<B ．x ∃∈Z ，22310x x -+=C ．x ∀∈R ，210x -=D ．x ∀∈R ，2220x x ++>考点二 命题的否定【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是( )A ．x R ∀∈，210x +>B ．x R ∃∈，210x +>C ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：(1):p x ∃∈R ，210x +≥；(2)p ：所有自然数的平方都是正数；(3)p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；(4)p ：有些分数不是有理数.【一隅三反】1．(2021·全国高三其他模拟)命题“22,26x x ∀>+>”的否定( )A ．22,26x x ∃≥+>B ．22,26x x ∃≤+≤C ．22,26x x ∃≤+>D ．22,26x x ∃>+≤2．(2021·四川遂宁市)设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为( )A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.3．(2021·黑龙江大庆市)命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是( )A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤4．(2021·浙江高一期末)命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是( )A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥考点三 求含有量词的参数【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【一隅三反】1．(2021·全国高三专题练习(文))若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.3．(2021·江西)已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.4．(2021·福建高一期末)若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______5．(2021·河北)已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案与解析考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：①x R ∀∈10+>；②2,0x N x ∀∈>；③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，x R ∀∈110≥>，故命题成立；对于②，显然当0x =时满足x ∈N ，但20x =，故命题为假；对于③，显然0x =时满足x ∈N ，200≤成立，故命题为真；对于④，22x =的实数根为x =，是无理数，故命题为假.综上，真命题的个数为2.故选：B.【一隅三反】1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =【答案】ACD 【解析】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确，故选：ACD2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )A ．2,x R x x ∃∈>B ．2,x R x x∀∈>C ．20,320x x x ∃<-+<D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】AD【解析】对选项A ，当2x =时，满足2,x R x x ∃∈>，故A 为真命题；对选项B ，当12x =时，不满足2,x R x x ∀∈>，故B 为假命题；对选项C ，2320x x -+<，解得12x <<，所以不满足20,320x x x ∃<-+<，故C 为假命题.对选项D ，因为22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以满足2,20x R x x ∀∈++>，故D 为真命题.故选：AD3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈x=D ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件【答案】AB【解析】对于A ，2210x x --=，解得1x ==0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确；对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x =不正确，所以C 不正确．对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确．故选：AB ．4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )A ．x ∃∈Z ，143x <<B ．x ∃∈Z ，22310x x -+=C ．x ∀∈R ，210x -=D ．x ∀∈R ，2220x x ++>【答案】AC 【解析】A. 由143x <<，得1344x <<，故错误；B.由22310x x -+=得：12x =或1x =，故正确；C. 由210x -=得：1x =±，故错误；D. 由()2222110x x x ++=++>，故正确；故选：AC考点二 命题的否定【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是( )A ．x R ∀∈，210x +>B ．x R ∃∈，210x +>C ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“2,10x R x ∃∈+≤”的否定是“2,10x x ∀∈+>R ”.故选：A【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：(1):p x ∃∈R ，210x +≥；(2)p ：所有自然数的平方都是正数；(3)p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；(4)p ：有些分数不是有理数.【答案】(1):p x ⌝∀∈R ，210x +<；(2):p ⌝有些自然数的平方不是正数；(3):p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；(4):p ⌝一切分数都是有理数.【解析】(1):p x ⌝∀∈R ，210x +<；(2):p ⌝有些自然数的平方不是正数；(3):p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；(4):p ⌝一切分数都是有理数.【一隅三反】1．(2021·全国高三其他模拟)命题“22,26x x ∀>+>”的否定( )A ．22,26x x ∃≥+>B ．22,26x x ∃≤+≤C ．22,26x x ∃≤+>D ．22,26x x ∃>+≤【答案】D【解析】因为原命题“22,26x x ∀>+>”，所以其否定为“22,26x x ∃>+≤”，故选：D.2．(2021·四川遂宁市)设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为( )A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.【答案】A【解析】命题0:p x R ∃∈，200310x x -+<，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则p ⌝为：x R ∀∈，2310x x -+…．故选：A ．3．(2021·黑龙江大庆市)命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是( )A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.4．(2021·浙江高一期末)命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是( )A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C 考点三 求含有量词的参数【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【答案】(1)1k ≤(2)5【解析】(1)由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.(2)当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤.故答案为：5【一隅三反】1．(2021·全国高三专题练习(文))若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.【答案】(]3,0-【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题.当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意；当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-.故答案为：(]3,0-.3．(2021·江西)已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >4．(2021·福建高一期末)若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______【答案】[1,2]-【解析】依题意可得，命题等价于2220x mx m +++≥恒成立，故只需要()2=4420m m ∆-+≤解得12m -≤≤，即[]1,2m Î-故答案为：[]1,2-5．(2021·河北)已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)412m -≤≤；(1)存在，08m ≤≤【解析】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素，假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-，解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤.(2)存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，则B ⊆A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤，所以m 的取值范围为08m ≤≤.。
2024年新高一数学初升高衔接《全称量词与存在量词》含答案解析
第05讲 全称量词与存在量词模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念；2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法；3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定.知识点 1 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”．2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（2）符号表示：通常，将含有变量x 的语句用()p x ，()q x ，()r x ，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∀∈．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来．如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ．3、判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可．知识点 2 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等．2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．（2）符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∃∈【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题．3、判断存在量词命题真假只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个命题为真，否则为假．知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定1、命题的否定：（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p 的否定可用“p ⌝”来表示，读作“非p ”或p 的否定．（2）命题的否定与原命题的真假关系：p 的否定与p “一真一假”命题p p⌝真假假真（3）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个2、全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式(),x M p x ∀∈(),x M p x ∃∈否定形式(),x M p x ∃∈⌝(),x M p x ∀∈⌝结论全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，230x -<B ．0x ∃>，230x -≥C ．0x ∀≤，230x -<D ．0x ∀>，230x -≥【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．Q x ∀∈，31Q x -∈B ．存在一个菱形是正方形C ．每个命题都可以判断真假D ．所有等边三角形的三条高都相等【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（ ）A ．能被5整除的整数都是偶数B ．有的偶数是质数C ．梯形的对角线相等D ．某些平行四边形不是菱形【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．有些自然数是13的约数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得0x ≤考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（ ）A ．x ∃∈R ，21x =B ．x ∃∈R ，使得210x +≠成立C ．x ∀∈R ，2210x x -+>D ．所有的菱形都是平行四边形【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（ ）A ．R,||11x x ∀∈+>B ．1R,12||x x ∃∈+=C ．R,||1x x ∃∈<D ．2N ,(10x x *∀∈->）【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C ．{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数D ．存在x ∈R ，使得212x x+<【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）A ．2R,10x x x ∃∈+-=B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对任意的R a ∈，都有2210a a -+>D ．菱形的两条对角线相等考点三：全称量词命题的否定例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为（ ）A ．2,x x ∃∈∉R Q B ．2,x x ∃∉∈R Q C ．2,x x ∀∈∉R QD ．2,x x ∀∈∈Q R【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“x Q Q ∀∈∈”的否定是（ ）A ．x Q Q ∀∉∈B ．x Q Q ∃∈∉C ．x Q Q∀∈∉D ．x Q Q∃∈∈【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是（ ）A ．*N x ∃∈，220x x -≥B ．*N x ∀∈，220x x -≥C ．*N x ∃∈，220x x ->D ．*N x ∀∈，220x x ->【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“1x ∀≤，2350x x -+>”的否定是（ ）A ．1x ∃>，2350x x -+≤B ．1x ∃≤，2350x x -+≤C ．1x ∀>，2350x x -+≤D ．1x ∀≤，2350x x -+≤考点四：存在量词命题的否定例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为（ ）A ．2,320x x x ∀∈+-=R B ．2,320x x x ∀∈+-≠R C ．211,320x x x ∃∉+-=R D ．2111,320x x x ∃∈+-≠R 【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“N n ∃∈，2n n >”的否定为（ ）A ．N n ∀∈，2n n >B ．N n ∃∈，2n n ≤C ．N n ∀∈，2nn ≤D ．N n ∃∈，2nn =【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（ ）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（ ）A ．1x ∀≥，10x +<B ．1x ∃≥，10x +<C ．1x ∀≥，10x +≥D ．1x ∃<，10x +<考点五：根据全称量词命题的真假求参数例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“2R,40x x x a ∀∈-+≠”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a <-D ．4a ≥-【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.若p 为假命题，则实数a 的值可以是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．3-【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．()(),012,-∞+∞ B ．(](),012,∞∞-+ C ．()0,12D ．[)0,12【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．27a >B ．12a ≤C ．12a <D ．27a ≥考点六：根据存在量词命题的真假求参数例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“0x ∃∈R ，220x x a ++=”是真命题，则实数a 的取值范围是.【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则a 可能的取值有（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,-∞-B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．⎡-⎣一、单选题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．同位角相等C ．任何实数都存在相反数D ．存在实数没有倒数2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．存在一个实数的平方是负数B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个四边形的内角和都是360°D ．x ∃∈R ，2x x=3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“2Z,2x x ∃∈+为偶数”，下列说法正确的是（ ）A ．该命题是假命题B ．该命题是真命题C ．该命题的否定为：2Z,2x x ∃∈+不是偶数D ．该命题的否定为：2R,2x x ∃∈+不是偶数4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是（ ）A ．不存在2R,10x x x ∈++>B ．2R,10x x x ∃∈++≤C ．2R,10x x x ∃∈++>D ．2R,10x x x ∀∈++≤5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p ：,22n n ∃∈-N 是素数，则p ⌝为（ ）A ．,22n n ∀∉-N 不是素数B ．,22n n ∃∈-N 不是素数C ．,22n n ∃∉-N 不是素数D ．,22n n ∀∈-N 不是素数6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，“,2x M x ∀∈<”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．{}0x x <B ．{}01x x ≤≤C ．{}13x x <<D ．{}1x x ≤二、多选题7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）A ．至少有一个x ∈R ，使2210x x ++=成立B ．对任意的x ∈R ，都有2210x x ++=成立C ．对所有的x ∈R ，都有2210x x ++=不成立D ．存在x ∈R ，使2210x x ++=成立8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（ ）A ．存在整数,x y ，使得243x y +=B ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax +-=无实数根C ．1x ∀∈≠D ．*2N ,252n n n ∃∈++能被2整除三、填空题9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题2:140p x x ∃>-<，，则p ⌝是.10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为.11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为．四、解答题12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++≤.13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合{}27A xx =≤≤∣，{}3421B x m x m =-+≤≤-∣，且B ≠∅．（1）若:,p x A x B ∀∈∈是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:,q x B x A ∃∈∈是真命题，求实数m 的取值范围．第05讲 全称量词与存在量词模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念；2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法；3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定.知识点 1 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”．2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（2）符号表示：通常，将含有变量x 的语句用()p x ，()q x ，()r x ，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∀∈．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来．如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ．3、判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可．知识点 2 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等．2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．（2）符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∃∈【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题．3、判断存在量词命题真假只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个命题为真，否则为假．知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定1、命题的否定：（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p 的否定可用“p ⌝”来表示，读作“非p ”或p 的否定．（2）命题的否定与原命题的真假关系：p 的否定与p “一真一假”命题p p⌝真假假真（3）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个2、全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式(),x M p x ∀∈(),x M p x ∃∈否定形式(),x M p x ∃∈⌝(),x M p x ∀∈⌝结论全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，230x -<B ．0x ∃>，230x -≥C ．0x ∀≤，230x -<D ．0x ∀>，230x -≥【答案】D【解析】命题“0x ∃>，230x -<”为存在量词命题，其否定为：0x ∀>，230x -≥.故选：D【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．Q x ∀∈，31Q x -∈B ．存在一个菱形是正方形C ．每个命题都可以判断真假D ．所有等边三角形的三条高都相等【答案】ACD【解析】根据全称量词命题的概念，选项ACD 都是全称量词命题，选项B 是存在量词命题.故选：ACD 【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（ ）A ．能被5整除的整数都是偶数B ．有的偶数是质数C ．梯形的对角线相等D ．某些平行四边形不是菱形【答案】BD【解析】AC 是全称量词命题，BD 是存在量词命题．故选：BD.【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．有些自然数是13的约数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得0x ≤【答案】AD【解析】对选项A ，有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A 正确.对选项B ，正方形是菱形表示：所有正方形是菱形，是全称命题，故B 错误.对选项C ，能被6整除的数也能被3整除表示：一切能被6整除的数也能被3整除，是全称命题，故C 错误.对选项D ，存在x ∈R ，使得0x ≤，“存在”是存在量词，故D 正确.故选：AD考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（ ）A ．x ∃∈R ，21x =B ．x ∃∈R ，使得210x +≠成立C ．x ∀∈R ，2210x x -+>D ．所有的菱形都是平行四边形【答案】C【解析】对于A ，显然1x ∃=，使21x =成立，故A 为真命题；对于B ，显然1x ∃=，使得210x +≠成立，故B 为真命题；对于C ，显然1x ∃=时，2210x x -+=，故C 为假命题；对于D ，显然所有菱形均是平行四边形，故D 为真命题.故选：C【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（ ）A ．R,||11x x ∀∈+>B ．1R,12||x x ∃∈+=C ．R,||1x x ∃∈<D ．2N ,(10x x *∀∈->）【答案】BC【解析】对于A ，R x ∀∈，||0x ≥，所以||11x +≥，选项A 是假命题；对于B ，1x =±时，112||x +=，所以选项B 是真命题；对于C ，由||1x <，得11x -<<，所以选项C 是真命题；对于D ，1x =时，2(10x -=），所以选项D 是假命题．故选：BC ．【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C ．{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数D ．存在x ∈R ，使得212x x+<【答案】ABC【解析】对于A ，x ∃∈R ，0x ≤，如0x =，A 正确；对于B ，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B 正确；对于C ，{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数，如x C 正确；对于D ，2221(1)0x x x +=-≥-恒成立，即不存在x ∈R ，使得212x x +<成立，D 错误.故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）A ．2R,10x x x ∃∈+-=B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对任意的R a ∈，都有2210a a -+>D ．菱形的两条对角线相等【答案】AB【解析】对于A ，方程210x x +-=的判别式21450∆=+=>，故A 正确；对于B ，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B 正确；对于C ，()222110a a a -+=-≥Q ，故C 错误；对于D ，菱形的对角线不一定相等，故D 错误.故选：AB.考点三：全称量词命题的否定例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为（ ）A ．2,x x ∃∈∉R QB ．2,x x ∃∉∈R QC ．2,x x ∀∈∉R QD ．2,x x ∀∈∈Q R【答案】A【解析】命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为：2,x x ∃∈∉R Q .故选：A.【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“x Q Q ∀∈∈”的否定是（ ）A ．x Q Q ∀∉∈B ．x Q Q∃∈∉C ．x Q Q ∀∈∉D ．x Q Q∃∈∈【答案】B【解析】“x Q Q ∀∈∈”的否定是“x Q Q ∃∈∉”.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是（ ）A ．*N x ∃∈，220x x -≥B ．*N x ∀∈，220x x -≥C ．*N x ∃∈，220x x ->D ．*N x ∀∈，220x x ->【答案】C【解析】命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是：*N x ∃∈，220x x ->.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“1x ∀≤，2350x x -+>”的否定是（ ）A ．1x ∃>，2350x x -+≤B ．1x ∃≤，2350x x -+≤C ．1x ∀>，2350x x -+≤D ．1x ∀≤，2350x x -+≤【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“21,350x x x ∀≤-+>”的否定是“21,350x x x ∃≤-+≤”.故选：B.考点四：存在量词命题的否定例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为（ ）A ．2,320x x x ∀∈+-=RB ．2,320x x x ∀∈+-≠R C ．211,320x x x ∃∉+-=R D ．2111,320x x x ∃∈+-≠R 【答案】B【解析】命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为“2,320x x x ∀∈+-≠R ”.故选：B【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“N n ∃∈，2n n >”的否定为（ ）A ．N n ∀∈，2nn >B ．N n ∃∈，2n n ≤C ．N n ∀∈，2nn ≤D ．N n ∃∈，2nn =【答案】C【解析】命题“N n ∃∈，2n n >”是特称量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“n ∃∈N ，2n n >”的否定为：n ∀∈N ，2n n ≤.故选：C 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（ ）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-【答案】C【解析】命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是“20,251x x x ∀≤≥-”.故选：C 【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（）A ．1x ∀≥，10x +<B ．1x ∃≥，10x +<C ．1x ∀≥，10x +≥D ．1x ∃<，10x +<【答案】A【解析】命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是1x ∀≥，10x +<．故选：A ．考点五：根据全称量词命题的真假求参数例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“2R,40x x x a ∀∈-+≠”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a <-D ．4a ≥-【答案】A【解析】易知：2R,40x x x a ∃∈-+=是上述原命题的否定形式，故其为真命题，则方程240x x a -+=有实数根，即Δ16404a a =-≥⇒≤．故选：A ．【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.若p 为假命题，则实数a 的值可以是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．3-【答案】BC【解析】若命题p 为真命题，则Δ440a =+<，解得1a <-，则当命题p 为假命题时，1a ≥-.故选：BC 【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．()(),012,-∞+∞ B ．(](),012,∞∞-+ C ．()0,12D ．[)0,12【答案】D【解析】若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则当0a =时，不等式为120>对R x ∀∈恒成立；当0a ≠时，要使得不等式恒成立，则20Δ4480a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<综上，a 的取值范围为[)0,12.故选：D.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．27a >B ．12a ≤C ．12a <D ．27a ≥【答案】B【解析】由命题()2:2,3,30a p x x ∀->∈为真命题，即不等式23a x <在()2,3x ∈上恒成立，当()2,3x ∈，可得221831x <<，所以12a ≤.故选：B.考点六：根据存在量词命题的真假求参数例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“0x ∃∈R ，220x x a ++=”是真命题，则实数a 的取值范围是 .【答案】1a ≤【解析】0x ∃∈R ，220x x a ++=，为真命题，故440a ∆=-≥，解得1a ≤，故实数a 的取值范围是1a ≤.【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则a 可能的取值有（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则x ∀∈R ，210ax ax +-≠.当0a =时满足题意；当0a ≠时，有()2Δ410a a =-⨯-<，解得40a -<<.综上有40a -<≤故选：ABC【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <【答案】A【解析】由题意得()2min 1a x >-，又()2min 11x -=-，此时0x =，故1a >-.故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,-∞-B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．⎡-⎣【答案】D【解析】由于命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，所以(2120a a a ∆=-=+-≤，解得a -≤≤故选：D一、单选题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．同位角相等C ．任何实数都存在相反数D ．存在实数没有倒数【答案】D【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，A 选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B 选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C 选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D 选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．存在一个实数的平方是负数B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个四边形的内角和都是360°D ．x ∃∈R ，2x x=【答案】C【解析】选项A ，B ，D 中，分别有“存在”，“至少”，“∃”这样的特称量词，所以选项A ，B ，D 都为特称命题，选项C ：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.故选：C.3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“2Z,2x x ∃∈+为偶数”，下列说法正确的是（ ）A ．该命题是假命题B ．该命题是真命题C ．该命题的否定为：2Z,2x x ∃∈+不是偶数D ．该命题的否定为：2R,2x x ∃∈+不是偶数【答案】B【解析】当2x =时，226x +=为偶数，故该命题为真命题，故A 错误，B 正确；该命题的否定为：2Z,2x x ∀∈+不是偶数，故C ，D 错误．故选：B.4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是（ ）A ．不存在2R,10x x x ∈++>B ．2R,10x x x ∃∈++≤C ．2R,10x x x ∃∈++>D ．2R,10x x x ∀∈++≤【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题可得命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是“2R,10x x x ∃∈++≤”.故选：B.5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p ：,22n n ∃∈-N 是素数，则p ⌝为（ ）A ．,22n n ∀∉-N 不是素数B ．,22n n ∃∈-N 不是素数C ．,22n n ∃∉-N 不是素数D ．,22n n ∀∈-N 不是素数【答案】D【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以p ⌝为N,22n n ∀∈-不是素数.故选：D.6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，“,2x M x ∀∈<”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．{}0x x <B ．{}01x x ≤≤C ．{}13x x <<D ．{}1x x ≤【答案】C【解析】若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，则A 错误，又“,2x M x ∀∈<”为假命题，则“,2x M x ∃∈≥”为真命题，则B,D 错误，则集合M 可以是{}13x x <<.故选：C 二、多选题7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）A ．至少有一个x ∈R ，使2210x x ++=成立B ．对任意的x ∈R ，都有2210x x ++=成立C ．对所有的x ∈R ，都有2210x x ++=不成立D ．存在x ∈R ，使2210x x ++=成立【答案】BC【解析】由全称量词命题的否定可知，BC 选项中的命题为全称量词命题，AD 选项中的命题不是全称量词命题.故选：BC.8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（ ）A ．存在整数,x y ，使得243x y +=B ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax +-=无实数根C ．1x ∀∈≠D ．*2N ,252n n n ∃∈++能被2整除【答案】ABC【解析】对于A ，由,Z x y Î，得24x y +为偶数，而3是奇数，显然等式243x y +=不成立，A 错误；对于B ，对于一切实数a ，方程210x ax +-=中2Δ10=+>a ，此方程必有实数根，B 错误；对于C ，当0x =1=，C 错误；对于D ，2252(21)(2)n n n n ++=++，N n *∈，21n +是正奇数，当n 为正偶数时，2n +是正偶数，此时2252n n ++能被2整除，D 正确.故选：ABC三、填空题9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题2:140p x x ∃>-<，，则p ⌝是 .【答案】21,40x x ∀>-≥.【解析】命题2:140p x x ∃>-<，，故p ⌝是：21,40x x ∀>-≥.10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为 .【答案】0（答案不唯一）【解析】因为命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，所以命题“x ∃∈R ，使2250x x m +-=”是真命题，即方程2250x x m +-=有解，所以()2Δ5420m =-⨯⨯-≥，得258m ≥-，故实数m 的一个可能取值为0（满足258m ≥-即可）．11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为 ．【答案】(],1-∞【解析】若命题“R x ∃∈，使得220x x m -+=”是真命题，也就是“方程220x x m -+=有实数解”，∴0∆≥⇒440m -≥⇒1m ≤.四、解答题12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++≤.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）0:R p x ⌝∃∈，方程2000x x m +-=未必有实根，由于:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根，是真命题，因此p ⌝为假命题，（2）:R q x ⌝∀∈，使得210x x ++>.由于140∆=-<，所以210x x ++>恒成立，所以q ⌝为真命题13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合{}27A xx =≤≤∣，{}3421B x m x m =-+≤≤-∣，且B ≠∅．（1）若:,p x A x B ∀∈∈是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:,q x B x A ∃∈∈是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|4m m ≥；（2）3|2m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由于:,p x A x B ∀∈∈是真命题，所以A B ⊆．而B ≠∅，所以2173423421m m m m -≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤-⎩，解得4m ≥，故m 的取值范围为{}|4m m ≥．（2）因为B ≠∅，所以3421m m -+≤-，解得m 1≥．由q 为真命题，得A B ⋂≠∅，当A B ⋂=∅时，347m -+>或212m -<，解得32m <．因为m 1≥，所以当A B ⋂=∅时，312m ≤<；所以当A B ⋂≠∅时，32m ≥．故m 的取值范围为3|2m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案
全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
人教课标版高中数学选修1-1：《全称量词与存在量词》教案-新版
1.4全称量词与存在量词一、教学目标【核心素养】发展数学思维，形成辩证的逻辑推理能力.【学习目标】(1)理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；(2)掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习重点】通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习难点】全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：阅读教材预习教材P21—P23，思考：什么叫“全称量词”和“特称量词”任务2：思考如何否定含有一个量词的命题2.预习自测1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为（）A.所有奇数都是质数B.2∀∈+≥x R x,11C.对每个无理数x，则x2也是无理数D.每个函数都有反函数答案：B2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A.,x y R∀∈，都有222+≥x y xyB.,x y R∃∈，都有222+≥x y xyC.0,0x y∀>>，都有222+≥x y xyD .0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤答案：A3.判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ ）A .2,10x R x ∀∈+=B .2,10x R x ∃∈+=C .,sin tan x R x x ∀∈<D .,sin tan x R x x ∃∈<答案：D4.对于下列语句:（1）2,3x Z x ∃∈=（2）2,2x R x ∃∈=（3）2,302x R x x ∀∈>++（4）2,05x R x x ∀∈>+-其中正确的命题序号是 .（全部填上）答案：（2）（3）（二）课堂设计1.知识回顾（1）给定一个命题p ，如何得到命题p 的否定，它们的真假有什么关系？（2）回顾逻辑联结词“非”的含义和用法.2.问题探究问题探究一 全称量词观察与思考：观察以下命题：（1）对任意R x ∈，x >3；（2）所有的正整数都是有理数；（3）若函数f (x )对定义域D 中的每一个x ，都有f (-x )=f (x )，则f (x )是偶函数；（4）所有中国国籍的人都是黄种人想一想：（1）这些命题中的量词有何特点?（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫全称量词与全称命题（1）短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“_____”表示.含有_______的命题，叫做全称命题.(2)全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为__________，读作“________________.试一试：判断下列全称命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x ；（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数.（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2.想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题探究二 特称量词观察与思考：观察以下命题：（1）存在一个,0R x ∈使3120=+x ；（2）至少有一个00,x Z x ∈能被2和3整除；（3）有些无理数的平方是无理数.想一想：（1）这些命题中的量词有何特点? 与全称量词有何区别？（2）上述3个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论类比归纳，思考什么叫存在量词与特称命题：(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“___”表示.含有________的命题，叫做特称命题.(2)特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为____________，读作“_______________.练一练：判断下列特称命题的真假. 命题 命题的否定∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，p (x 0)（1）有一个实数2000230x x x ++=，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数.问题探究三、含有量词的命题的否定常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x 0∈A 使p (x 0)假3.课堂总结【知识梳理】 1.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词.全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题二种.2.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题.全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p (x )”的命题，记为: ∀x ∈M ，p (x )存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x ，q (x )”的命题，记为: ∃x ∈M ，q (x )注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"any "中的首字母.存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist "中的首字母.存在量词的“否”就是全称量词.【重难点突破】(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.命题的否定与命题的否命题是不同的.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.(3)要判断“¬p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与¬p 的真假相反.4.随堂检测1.下列命题不是“0x R ∃∈,203x >”的表述方法的是（ ）A.有一个0x R ∈,使203x >B.有些0x R ∈,使203x >C.任选一个x R ∈,使23x >D.至少有一个0x R ∈,使203x >解析：【知识点：特称命题】答案：C2.下列命题中的真命题是（ ）A .,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=B .(0,),1x x e x ∀∈+∞>+C .(,0),23x x x ∃∈-∞<D .(0,),sin cos x x x π∀∈>解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B(0,)x ∀∈+∞,设()1x f x e x =--,则()10x f x e '=->,而(0)0f =,所以有10x e x -->,即1x e x >+,故选B.3.已知命题⌝p :0,23x x ∃≥=,则（ ）A . p :0,23x x ∀<≠B . p :0,23x x ∀≥≠C . p :0,23x x ∃≥≠D . p :0,23x x ∃<≠解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B因为特称命题的否定是全称命题,故选B.4.给出下列四个命题:①a ⊥b ⇔a ·b =0 ;②矩形都不是梯形;③220000,,1x y R x y ∃∈+≤;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________.答案：①②④解析：【知识点：全称命题】在②,④中含有全称量词“都”“任意”,为全称命题.③为特称命题.又①中的实质是:对任意a ,b 有a ⊥b ⇔a ·b =0,故①②④为全称命题.5.下列说法正确的是（ ）A.对所有的正实数t,有t t <B.存在实数x 0,使错误！未找到引用源。
《全称量词与存在量词》示范课教学设计【高中数学人教】 (2)
环节三全称量词与存在量词◆教学目标1．通过对一些语句与命题之间关系的分析，抽象出全称量词，全称量词命题，存在量词，存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过具体问题的分析解决，掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法，在这个过程提升逻辑推理、直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：全称量词和存在量词的意义；教学难点：判断全称量词和存在量词命题的真假．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）整体概览问题1：阅读教科书第24页第一段（见下图片），本节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？师生活动：学生自主阅读教科书，独立梳理，展示交流，老师板书．预设的答案：研究内容及思路：通过具体实例，了解什么是全称量词和存在量词？因为加上量词的限定，使得语句成为一个命题，所以接下来要学习含有一个量词的命题的真假判断．进而研究对含有一个量词的命题的否定．设计意图：通过阅读教科书，梳理本节的研究内容及研究过程，初步构建本节学习内容的框架，让学生对将要学习的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：下列语句是命题吗？为什么？ （1）3>x ； （2）12+x 是整数．师生活动：学生独立作出判断，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x 代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．设计意图：从学生熟悉的问题出发，为后续引出量词、认识量词的作用做好铺垫． （三）新知探究 1．形成概念问题3：语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）3>x ； （2）12+x 是整数；（3）对所有的x ∈R ，3>x ；（4）对任意一个x ∈Z ，12+x 是整数．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．老师讲解：用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“3>x ”“12+x 是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．通常，将含有变量x 的语句用 ),(),(),(x r x q x p ，表示，变量x 的取值范围用M 表示．那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，)(x p 成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∀．2．辨析理解问题4：你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正，老师将学生举出的例子板书在黑板上．预设的答案：常见的全称量词：“每一个”“一切”“任给”等． 全称量词的含义：在指定范围内，表示整体或者全部的含义． 全称量词命题举例：（1）对任意的x ∈R ，012>+x ；（2）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）所有的一元二次方程都有实根； ……追问：全称量词命题可以简记为“)(,x p M x ∈∀”．在上述命题中，“M ”，“p （x ）”分别指的是什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正． 预设的答案：（1）“M ”指的是R ，“p （x ）”指的是“012>+x ”；（2）“M ”指的是“所有无理数”，“p （x ）”指的是“2x 也是无理数”； （3）“M ”指的是“所有一元二次方程”，“p （x ）”指的是“方程都有实根”； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对全称量词的认识，熟悉全称量词命题的概念和符号表示．问题5：请判断上述全称命题的真假，并说明理由．师生活动：学生独立判断，写出判断结果及理由，展示交流．老师帮助学生规范过程． 预设的答案： （1）是真命题；对于∀x ∈R ，总有0112>≥+x ．所以，全称量词命题“对任意的x ∈R ，012>+x ”为真命题；（2）是假命题；因为2是无理数，2)2(2=是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题；（3）是假命题；一元二次方程012=++x x 没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．追问：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法． 预设的答案：如果对集合M 中的每一个x ，p （x ）都成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为真命题； 如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）不成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为假命题． 设计意图：通过对具体的全称量词命题真假的判断，使学生进一步理解全称量词的意义．学会全称量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．3．形成概念问题6：下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）312=+x ； （2）x 能被2和3整除；（3）存在一个x ∈R ，使312=+x ； （4）至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．老师讲授：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M 中的元素x ，)(x p 成立”可用符号简记为)(,x p M x ∈∃．4．辨析理解问题7：你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正． 预设的答案：常见的存在量词：“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义． 存在量词命题：（1）有一个实数x ，使012=+x ； （2）存在一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）有些平行四边形是菱形； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念． 问题8：你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．师生活动：学生独立判断，写出判断结果、理由、总结，展示交流．老师帮助学生规范过程．预设的答案：（1）是假命题；对于∀x ∈R ，总有012>+x ，即不存在x ∈R ，使得012=+x ．所以，存在量词命题“有一个实数x ，使012=+x ”为假命题；（2）是真命题；因为12+是无理数，223)12(2+=+是无理数．所以，存在量词命题“存在一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题；（3）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．方法：如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为真命题；如果对集合M 中每一个x ，p （x ）都不成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为假命题． 设计意图：通过对具体的存在量词命题真假的判断，使学生进一步理解存在量词的意义．学会存在量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．（四）归纳小结问题9：本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．。
全称量词与存在量词附答案
2解：① x N ,x 0;2 2②(x,y) x, y /x y 1 ,1.4全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词情景设计：已知p(x):x2 x 2 0, q(x):sinx cosx ,(1) 语句p(x) , q(x)是命题吗？为什么？(2) 如果在语句p(x)或q(x)前面加上"对所有x R”或"存在一个x R”，它们是命题吗？为什么？点拔提示：(1)在x未赋值之前，语句p(x)，q(x)不能判断其真假，所以它们不是命题；(2)在语句p(x)或q(x)前面加上对所有x R 或存在一个x R 后，的真假就能确定，所以它们是命题.p(x), q(x)阅读与积累：1•短语“”、“”逻辑中称为全称量词，并用符号“表示。
对所有的对任意一个2.短语“”、“”逻辑中称为存在量词，并用符号“表示。
存在一个至少有一个3.含有全称量词的命题称为________________ ;含有存在量词的命题称为_______________全称命题特称命题4.全称命题形式：_______________ ;特称命题形式： _____________ 。
其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题。
x M , p(x) x M , p(x)问题与思考：题1:判断下列命题是全称命题还是特称命题.(1 )对任意的n €乙2 n+1是奇数(2)所有的正方形都是矩形(3 )有的平行四边形是菱形(4)有一个素数不是奇数答案：(1) (2)都是全称命题;(3) (4)都是特称命题题2：判断下列命题的真假吗？(1) x N ,有x41(2) x R,有x2x 1 0(3) x R,使x2 x 1(4) x乙使X25答案：(1)假命题(2)真命题⑶真命题(4)假命题［合作学习与问题探究］［难点•疑点•方法］问题1：你能用符号“ ”与“ ”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零___________________________________________②圆x2 y21上存在一个点到直线y x 1的距离等于圆的半径③基本不等式:④对于数列，总存在正整数n ,使得a n与1之差的绝对值小于0.01:n 1③a, b R，-_b Tab;④n N , a n1 0.012名师讲析：一般地，全称命题写成" x M , p（x）”，特称命题写成"x M , p（x）”，其中M为给定的集合，p（x）是一个关于x的命题。
人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)
变化规律；
（ 2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一 个量词的命题进行否定；
（ 3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规
律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【教学目标 】：
（ 1）知识目标：
通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义
1、引导学生阅读教科书 可能出现的逻辑错误。
P22 上的例 1 中每组全称命题的真假，纠正
自
规律： 全称命题 x M , p( x) 为真， 必须对给定的集合的每一个元
主
学
习 素 x, p (x) 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内
找出一个 x0 ，使 p (x0) 为假
巩
课本 P23 练习 1
（ 4）的否定：所有的质数都不是奇数。
引入本节课要讨论的 内容，激发学生探究 新知的兴趣。
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4 全称量词与存在量词（含答案）
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4 全称量词与存在量词（含答案）
定义：
引导学生通过
（1）存在量词及表示 : 表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一
通过一些数学实例
个”，“存在一个” , “有点” , “有些” 、至少有一个等。通常用符号
【教学难点 】：
正确的对含有一个量词的命题进行否定。
【教学过程设计 】：
教
学 环
教学活动
节
设计意图
判断下列命题是全称命题 (1) 所有的人都喝水 (2) 有的人不喝水
, 还是特称命题 , 并指出它们的关系 .
全称量词与存在量词 第1课时 全称量词命题与存在量词命题 导学案(含答案)高一上学期北师大版必修
2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1.掌握常用的全称量词和存在量词及其含义.2.掌握全称量词命题和存在量词命题的概念,并能准确判断真假.◆知识点一全称量词命题1.全称量词命题:在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“”表示,读作“对任意的”.【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题. ()(2)“能被6整除的数也能被3整除”是全称量词命题. ()(3)“至少有一个实数x,使得|x|=4”是全称量词命题.()(4)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.()2.全称量词命题中一定含有全称量词吗?◆知识点二存在量词命题1.存在量词命题:在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.2.存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“”表示,读作“存在”.【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)“有些自然数是偶数”是存在量词命题.()(2)“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题.()(3)“对每一个无理数x,x2也是无理数”是存在量词命题.()(4)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题.() 2.怎样判定一个存在量词命题的真假?◆探究点一全称量词命题与存在量词命题的判断与表示例1 (1)判断下列给出的命题是全称量词命题,还是存在量词命题?并指出其中的量词.①存在一个实数,它的绝对值不是正数;②对任何实数a,方程ax2+x+1=0都有解;③在平面直角坐标系中,每一个有序实数对(x,y)都对应一个点;④有一个质数是偶数.(2)将下列命题用“∀”或“∃”表示.①实数的平方是非负数;②方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负实根;③有一个有理数x满足x2=3.变式(多选题)[2024·陕西西安庆安高级中学高一月考] 下列命题是存在量词命题的是()A.能被5整除的整数都是偶数B.有的偶数是质数C.梯形的对角线相等D.某些平行四边形不是菱形[素养小结]全称量词命题的判断:常用的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”等,只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.存在量词命题的判断:常用的存在量词有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等,只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.◆探究点二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2 (多选题)下列命题中,为真命题的是()A.∀x∈R,有x2>0B.空集是任何一个非空集合的真子集C.∃x∈{-2,-1,0,1,2},使|x-2|<2D.∀a∈R,方程ax+1=0恰有一解变式(多选题)下列命题中为真命题的是()A.∀x∈R,有x3≥0B.∀x∈Z,有|x|∈NC.∃x∈Z,使x2+x为奇数D.∃x∈N,使x3<1[素养小结](1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x证明其具有性质p(x),但要判定全称量词命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x不具有性质p(x)即可,这就是通常所说的“举一个反例”;(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中能找到一个x具有性质p(x)即可,否则这个存在量词命题就是假命题.◆探究点三由含量词的命题的真假求参数的范围例3 (1)若“∀x∈[1,2],有x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.(2)若“∃x∈[1,2],使x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.变式(1)[2024·辽宁部分学校高一期中] 若“∃x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,则实数a的取值范围是.(2)已知“∃x∈[1,2],使2x-1≥m”是真命题,则实数m的最大值是.[素养小结]由含量词的命题的真假求参数取值范围的策略:(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式,确定参数的取值范围;(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题【课前预习】知识点一2.∀诊断分析1.(1)√(2)√(3)×(4)√[解析] (1)是指“所有平行四边形的对角线都互相平分”,是全称量词命题.(2)是指“所有能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题.(3)中没有“所有”的意思.(4)根据全称量词命题的定义可知其正确.2.解:不一定,如“三角形的内角和等于180°”.知识点二2.∃诊断分析1.(1)√(2)√(3)×(4)√[解析] (1)(2)均含有存在量词,是存在量词命题.(3)中“每一个”为全称量词,它是全称量词命题.(4)根据存在量词命题的定义可知其正确.2.解:要判定一个存在量词命题是真命题,只需在给定的集合中找到一个元素,使命题为真即可.如果在给定的集合中,使命题为真的元素不存在,那么这个存在量词命题是假命题.【课中探究】探究点一例1解:(1)①为存在量词命题,“存在”是存在量词;②为全称量词命题,“任何”是全称量词;③为全称量词命题,“每一个”是全称量词;④为存在量词命题,“有一个”是存在量词.(2)①∀x∈R,有x2≥0;②∃x<0,使ax2+2x+1=0(a<1);③∃x∈Q,使x2=3.变式BD[解析] A,C中命题是全称量词命题,B,D中命题是存在量词命题.故选BD.探究点二例2BC[解析] 对于A,当x=0时,x2=0,故A是假命题;对于B,空集是任何一个非空集合的真子集,B是真命题;对于C,存在x=1,使|x-2|<2,故C是真命题;对于D,当a=0时,方程ax+1=0无解,故D是假命题.故选BC.变式BD[解析] 对于A,当x=-1时,x3=-1<0,A是假命题;对于B,∀x∈Z,有|x|∈N,B是真命题;对于C,当x∈Z时,因为x2+x=x(x+1),x,x+1中必有一个是偶数,所以x2+x=x(x+1)为偶数,故不存在x∈Z,使x2+x为奇数,C是假命题;对于D,当x=0时,x3<1,故存在x∈N,使x3<1,D是真命题.故选BD.探究点三例3解:(1)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8.因为当x∈[1,2]时,x2+2x-a<0恒成立,所以a>(x2+2x)max=8,故实数a的取值范围为a>8.(2)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,因为存在x∈[1,2],使x2+2x-a<0成立,所以a>(x2+2x)min=3,故实数a的取值范围为a>3.变式(1)a<-√2(2)3[解析] (1)由x2=2,解得x=-√2或x=√2,又“∃x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,所以a<-√2.(2)当x∈[1,2]时,2x-1∈[1,3],由题意可得m≤3,即实数m的最大值是3.。
全称量词与存在量词附答案
1.4全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词情景设计：已知p(x):x2 x 2 0 , q(x):sinx cosx ,(1)语句p(x) , q(x)是命题吗？为什么？(2)如果在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有x R”或“存在一个x R”，它们是命题吗？为什么？点拔提示：(1)在x未赋值之前，语句p(x)，q(x)不能判断其真假，所以它们不是命题；(2)在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有x R”或“存在一个x R”后，p(x)，q(x) 的真假就能确定，所以它们是命题•阅读与积累：1 •短语“___________ ”、“___________ ”逻辑中称为全称量词，并用符号“ _________ ”表示。
对所有的对任意一个2•短语“___________ ”、“___________ ”逻辑中称为存在量词，并用符号“ _________ ”表示。
存在一个至少有一个3. ___________________________________ 含有全称量词的命题称为 ______________ ;含有存在量词的命题称为 _________________________ .全称命题特称命题4. ___________________________ 全称命题形式：______________ ;特称命题形式：。
其中M 为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。
x M , p(x) x M , p(x)问题与思考：题1:判断下列命题是全称命题还是特称命题(1 )对任意的n €乙2 n +1 (3)有的平行四边形是菱形(答案：(1) (2)都是全称命题；是奇数(2)所有的正方形都是矩形4)有一个素数不是奇数(3) (4) 都是特称命题题2：判断下列命题的真假吗？(1) x N ,有x41(2) x R,有x2 x 1 0(3) x R,使x2 x 1(4) x乙使x25答案：(1)假命题 (2)真命题(3)真命题(4)假命题［合作学习与问题探究］［难点•疑点•方法］问题1：你能用符号“ ”与“”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零___________________________________________②圆x2 y21上存在一个点到直线y x 1的距离等于圆的半径③基本不等式:④对于数列，总存在正整数n ,使得a n与1之差的绝对值小于0.01:n 1解：①x2 2 2x y 1 N,x20;②(x,y) x, y /x2 y2 1 ,—1V2③ a,b R，-^^ 屈；④ n N , a n 1| 0.01名师讲析：一般地，全称命题写成“x M, p(x) ”特称命题写成“x M , p(x) ”其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。
1.5 全称量词与存在量词(答案版)
1.全称量词和全称量词命题(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.(2)将含有变量x 的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M 表示。
那么，全称量词命题“对M 中任意一个x, ,p(x)成立”可用符号简记为：)(,x x p M ∈∀2.存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.(2) 存在量词命题“存在M 中的元素x, p(x)成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∃3.全称量词命题和存在量词命题的否定(1) 全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“)(,x x p M ∈∀”，则它的否定为“并非)(,x x p M ∈∀”,也就是")(,x p M x ∈∃不成立”。
通常，用符号")(x p ⌝”表示"p(x)不成立".(2) 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：)(,x x p M ∈∀，它的否定：)(,x x p M ⌝∈∃,也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个” “至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一 个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“)(,x p M x ∈∃” ,则它的否定为“不存在M x ∈,使p(x)成立”，也就是“)(,x x p M ∈∀不成立”.(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：)(,x p M x ∈∃它的否定：)(,x x p M ⌝∈∀也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.全称量词与存在量词知识讲解例1：命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．一、选择题 1．下列语句是存在量词命题的是（ ）A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若370x -=,则73x = D ．,()x M p x ∀∈ 【答案】B 【解析】对于A ，无特称量词． 对于B ，命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B 是特称命题．对于C ，无特称量词．对于D ，无特称量词． 故选：B ．2．下列命题是特称命题的是（ ）x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤典型例题 同步练习A ．每个正方形都是矩形B ．有一个素数不是奇数C ．正数的平方必是正数D ．两个奇数之和为偶数【答案】B 【解析】选项A ，每个指所有，全称；选项C ，正数的平方指所有正数的平方，全称选项D ，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称；选项B ，有一个素数指存在一个素数，是特称命题. 3．下列命题中，全称量词命题的个数为（ ）①平行四边形的对角线互相平分；①梯形有两条边的长度不相等；①存在一个菱形，它的四条边不相等；①高二（1）班绝大多数同学是团员．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题①可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题①为存在量词命题①可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题∴全称量词命题为：①①4.下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B 【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A 【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 6．（2020·浙江高一单元测试）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x+< 【答案】D 【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x+<,故选D.7．（2020·江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题p ：x R ∃∈，()()2110m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx -+>恒成立.若p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤【答案】B 【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-；当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<， 当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩.命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题.所以此时2m ≤-或1m >-.故选：B .8．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立， 所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 9．命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D 【解析】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D二、填空题1．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________；【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.2．“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________；【答案】1k ≤【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()21min k x ≤+，即1k ≤，3．命题2:,20p x R x mx ∃∈++，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________.【答案】m -<【解析】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<4．若命题“p ：x R ∀∈,2210ax x ++>”是假命题,则实数a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞【解析】若命题“p ：①x ①R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则①x ①R ，ax 2+2x +1≤0， 当a ＝0时，y ＝2x +1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝下的二次函数，满足条件； 当a ＞0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x 轴有交点，即①＝4﹣4a ≥0，解得：0＜a ≤1 综上可得：实数a 的取值范围是：(],1-∞三、解答题1．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤， 而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤，依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <；若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 2．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，AB =∅”为真命题 当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅，当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅ 得23a m <+对于m R ∀∈恒成立，所以()233min a m <+=，则03a ≤<，综上，实数a 的取值范围为3a <.。
高中数学《全称量词与存在量词》微课精讲+知识点+教案课件+习题
▼知识点：一、全称量词与全称命题1、全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；2、全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题；3、全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。
二、存在量词与特称命题1、存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示；2、特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；3、“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p （x0）成立”。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：它的否命题。
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：，其否定命题。
教案：3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3[答案]C2．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案]B3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2019<1D．∃x∈R,2x＞2B[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是()A．￢p：∃x∈R，sin ≥1B．￢p：∀x∈R，sin x≥1C．￢p：∃x∈R，sin x＞1D．￢p：∀x∈R，sin x＞1[答案]C全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使x－11＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝21.[解](1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使x－11＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝21，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1. 判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，2＋y2＝0，故它是所以不存在x，y为正实数，使x假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．含有一个量词的命题的否定2>2n，则命题【例2】(1)设命题p：∃n∈N，np的否定为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2(1)C(2)D[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是2>2n”的“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2≤2n”，故选C.否定是“∀n∈N，n(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以*，使得n≥x2”的否定形式为“∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2”．]“∃x∈R，∀n∈N含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，212≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解](1)￢p：∃x∈R，212＜0，假命题．2≥0恒成立，所以￢p是假命题．因为∀x∈R，21(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成因为∀x∈R，x立，所以￢r是真命题．(4) ￢s：∀x∈R，x＋1≠0，假命题．3＋1＝0，所以￢s是假命题．因为x＝－1时，x全称量词命题与存在量词命题的应用2＋4x－1的【例3】对于任意实数x，函数y＝x函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解]令y＝x2＋4x－1，x∈R，2－5，则y＝(x＋2)2＋4x－1>m恒成立，因为∀x∈R，不等式x所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y max(或a＜y min).(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y min(或a＜y max).3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B[命题p：∀x∈R，x－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B.]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C[A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.] 4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3.[解](1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理由于使x数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．课件：练习：。
高中数学全称量词与存在量词《导学案》答案
第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 参考答案 【典例分析】 例1.【解析】选C.命题①含有全称量词,命题②含有存在量词,为特称命题,而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”,故有两个全称命题.例2.【解析】(1)真命题.因为04141)21(21122>≥+-=-+-x x x 所以2112>+-x x 恒成立. (2)真命题.例如2,400πβπα== ,符合题意. (3)假命题.例如x=1,y=5,x-y=-4∉N.例3.【解析】设函数f(x)=sinxcosx,x ∈R,则f(x)=21sin2x,所以函数f(x)的值域是]21,21[- 由于命题p 是真命题,即对任意x ∈R,恒有sinxcosx ≥m 成立,所以对任意x ∈R,恒有f(x)≥m 成立,又函数f(x)的最小值为21-, 所以只需m ≤21- , 所以实数m 的取值范围是]21,(-∞.【变式拓展】：1.【解析】选B.A,C,D 是特称命题,B 是全称命题.2.【解析】选C.因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D 均为特称命题,选项C 为全称命题.3.【解析】选C.选项A,lgx=0⇒x=1;选项B,tanx=1⇒ππk x +=4(k ∈Z); 选项C,3x >0⇒x>0;选项D,x2>0⇒x ∈R.故选项C 是假命题.4..【解析】对于任意x>3,x>a 恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a ≤3.答案:(-∞,3]5.【解析】由于“∃x 0∈R,错误!未找到引用源。
=m ”是真命题,则实数m 的取值集合就是指数函数f(x)=2x 的值域,即(0,+∞).答案:(0,+∞)6.【解析】由题意错误!未找到引用源。
解得m>2.答案：m>27.【解析】(1)全称命题，∀一个人x ∈{我们班同学}，这个同学x 很棒.(2)不是全称命题.(3)全称命题，∀x ∈R ，2x ≥0.(4)不是命题.四、随堂检测1.【解析】选B.命题②既是全称命题又是真命题；命题③是特称命题又是真命题；命题①是假命题.故选B.2.【解析】选D.φ=k π+错误!未找到引用源。
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§1.4.1 全称量词与存在量词
【学情分析】：
1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等；
4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈
存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x 0，q(x 0)”的命题，记为: ∃x 0∈M ，p （ x 0）
5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题. 6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； （2）过程与方法目标：
能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容； （3）情感与能力目标：
培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.
【教学重点】：
理解全称量词与存在量词的意义；
【教学难点】：
全称命题和特称命题真假的判定.
课后练习
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A ．所有奇数都是质数
B ．2
,11x R x ∀∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数 D ．每个函数都有反函数 2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥
B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥
C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥
D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤ 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A ．2
,10x R x ∀∈+= B ．2
,10x R x ∃∈+= C ．,sin tan x R x x ∀∈< D ．,sin tan x R x x ∃∈<
4．下列命题中的假命题是（ ）
A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β 5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A
§1.4.2 全称量词与存在量词
【学情分析】：
（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；
（2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题进行否定；
（3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
（2）过程与方法目标：
进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；
（3）情感与能力目标：
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力。
【教学重点】：
通过探究，了解含有一个量词的命题与他们的否定在形式上的变化规律，会正确的对含有一个量词的命题进行否定。
【教学难点】：
正确的对含有一个量词的命题进行否定。
课后练习
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除
C ．存在一个被5整除的整数不是奇数
D ．存在一个奇数，不能被5整除
2． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数
B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数
D. 至少有一个自然数的平方不是正数 3． 命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（ B ）
A ．存在一个三角形，内角和等于1800
B ．所有三角形，内角和都等于1800
C ．所有三角形，内角和都不等于1800
D ．很多三角形，内角和不等于1800 4． “2
2
0a b +≠”的含义是（ ）
A ．,a b 不全为0
B ． ,a b 全不为0
C ．,a b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
5. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）
A ．存在实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根；
B ．不存在实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根；
C ．对任意的实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根； D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 6. “至多四个”的否定为 （ ） A ．至少有四个 B ．至少有五个 C ．有四个 D ．有五个 参考答案：
1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B。