第七课时等比数列(一)

第七课时等比数列（一）

教学目标：

掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学 生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识 教学重点：

等比数列的定义及通项公式 • 教学难点：

灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题 教学过程：

I •复习回顾

前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 n •讲授新课 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点 ？

1，2, 4，8，

63

16，…，2 ；

① 5， 25， 125，

625，…; ②

1 1 1

1 — - _ ，2，4， —

8，…；

③

仔细观察数列, 寻其共同特点 •

对于数列①， a n — 2 ；

= 2(n 》2) a n -1

对于数列②， n

a n

a n — 5 ； — 5(n 》2)

a n -

1

对于数列③， n+1 1 a n 1

a n — (— 1) - n -1 ; —- (n > 2)

2 a n -

1 2 ' '

共冋特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于冋一个常数

也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点

1淀义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列 •这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母

q 表示（q

丰 0），即：a n ：

a n _i = q （q 丰 0）

1

女口：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是 2, 5,— 2 .与等差数列比较，仅

一字之差•

总之，若一数列从第二项起， 每一项与其前一项之 “差”为常数，则为等差数列，之“比” 为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”

注意（1）公差“ d ”可为0，（2）公比“ q ”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢 ？

2•等比数列的通项公式

请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式

解法一：由定义式可得： a 2= ag ，a 3= a ?q = （a i q ）q = a i q ， a 4= a 3q = （a i q ）q = a i q ，…，

a n= a n-i q = a i q n 1（a i, q丰0）, n = 1时，等式也成立，即对一切

解法二：由定义式得：（n—1）个等式

a2

£= q

若将上述n- 1个等式相乘，便可得:

即：a n= a1 • q n—^n》2）

当n = 1时，左=a1,右=a1，所以等式成立，

•••等比数列通项公式为：a n= a1• q^1（a1, q* 0）

如：数列①，a n= 1X 2n—1= 2n —1（n < 64）

数列②：a n= 5X 5n—1= 5n，数列③：a n = 1X （—j ）n—1= （—1）n—1^,与等差数列比较，两

者均可用归纳法求得通项公式•

或者，等差数列是将由定义式得到的n- 1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比

数列则需将由定义式得到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.

下面看一些例子：

［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？

分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，

然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题

解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1 = 120, q = 120的等比数列{a n}.

由等比数列通项公式可得：a n= a1 • q n—1= 120X 120n—1= 120n

• a5= 1205~ 2.5 x 1010.

答：到第5代大约可以得到种子 2.5X 1010粒.

评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型

［例2］—个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式

解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q

则: a1 q2= 12 a1 q3= 18

③代入①得: a1 = n € N *成立.

a1

a3 a4

a2 a3

a n

a n—

1

n—1

=q

a3

a n

a n —

1

…a n = a 1 • q

16

X( 3

) n

T , a 2= a i • q =罟 x | = 8.

答：这个数列的第1项与第2项分别是 弓 和8.

3 评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式 川.课堂练习 课本P 48练习1, 2 , 3 已知｛a n ｝是无穷等比数列，公比为 q. (1) 将数列｛a n ｝中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如 果是，它的首项和公比各是多少？ 解：设｛a n ｝为：a 1, a 2,…,a k , a k+1，… 则去掉前k 项的数可列为：a k+1, a k+2，…，a n ,… 可知，此数列是等比数列，它的首项为 a k+1，公比为 (2) 取出数列｛a n ｝中的所有奇数项，组成一个新的数列， 它的首项和公比各是多少？ 解：设｛a n ｝为：a 1, a 3 , a 5 , a 7,…，a 2k —

1 ,

2k a 2k+1 a 1 q -

= 2k -2 a 2k —

1

a 1q

a 2, a 3,…，a 2k -1 , a 2k ，…，取出 a 2k+1，… q 2(k > 1) •••此数列为等比数列，这个数列的首项是 ⑶在数列｛ a n ｝中，每隔10项取出一项， 果是，它的公比是多少？ 解：设数列｛a n ｝为：a 1, a 2,-

每隔10项取出一项的数可列为： a n , a 11 , q. 这个数列是等比数列吗？如果是

｛a

n ｝中的所有奇数项，分别为: q 2.

a i ,公比为 组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如

a 22, a 22 an 评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式 IV .课时小结 可知，此数列为等比数列，其公式为:

a 33 , ............... 11 anq 11 an =q . 本节课主要学习了等比数列的定义，即: a n

a n —

1 =q(q 丰0, q 为常数，n > 2) 等比数列的通项公式：a n = a i • q n T (门》2)及推导过程. V •课后作业 课本P 52习题 1, 2, 3, 4

a 1,