余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。

过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，

cos cos ,CD AC b c ==

在Rt ABD ∆中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，

法二（平面向量）：

2

2

2

()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 2

22cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-

法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，

CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．

法四（利用正弦定理）：

先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 2

2

2

=-+ ⑴ 证明：C B A 2

2

2

sin sin sin -+

A

C B

()()()()()[]

C

B A B A B A

C C B A B A C B A coos C

B A cos sin sin 2cos cos cos cos cos cos 2

2cos 12cos 22122cos 122cos 122cos 12

=+--=+-+-=++

+-=---+-=

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

)2(sin 2sin 2sin 2⎪⎩

⎪

⎨⎧===C R c B

R b A R a

结合⑴、)2(有

()

.

cos 2cos sin sin 24sin sin sin 422222222C ab C B A R C

B A R c b a =⋅=-+=-+

即 C ab b a c cos 22

22-+=.

同理可证 A bc c b a cos 22

2

2

-+=；B ca a c b cos 22

2

2

-+=.

法五（用相交弦定理证明余弦定理）:

如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。现在以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内。BC 的延长线交圆B 于点D 和E

这样以来，DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c 。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c 。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG ，带入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简以后就得b 2=a 2+c 2+2accosα。也就是我们的余弦定理。

法六（面积解释）：

如图9，以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形，，

交AB 于K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将

看作是

旋转而成)，进而可得；同理，所以直角三角形斜边上的正方

形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松可得射影定理。

图9 图10

假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，，，，则

，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。

余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则；由面积关系得，即

，

即

，化简得。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。

余弦定理证明2：只要注意到，，立马可得。

余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得；

在AB边上取点D，使得；易得△AEC∽△CDB∽△ACB，；由

得

，

化简得。

图3