直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程

知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a

2－

y 2b 2

＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2

－4AC 。

若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题

设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。

弦长公式：12||PP =1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲：

例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．数k 的取值围；

解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①

依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故⎩⎪⎨⎪⎧

k 2－2≠0，

Δ＝(2k )2

－8(k 2

－2)>0，－2k k 2－2>0，

2

k 2

－2>0.

解得k 的取值围是－2

例2：已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为21

3

的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。

例3：已知椭圆C 1的方程为x 2

4＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，

而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋

2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →

>2 (其中

O 为原点)，求k 的取值围．

解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a

2－

y 2b 2

＝1，

则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 2

3－y 2＝1.

(2)将y ＝kx ＋

2代入x 2

3

－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6

2kx －9＝0.

由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ⎩⎪⎨⎪

⎧

1－3k 2

≠0.Δ＝(－62k )2

＋36(1－3k 2

) ＝36(1－k 2

)>0.

∴k 2≠

1

3

且k 2<1. ①

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9

1－3k 2.

∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋

2)

＝(k 2＋1)x 1x 2＋

2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7

3k 2－1

.

又∵OA →·OB →

>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，

∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13

②

由①②得13

⎪⎪⎫33，1. 例4：已知双曲线的中心在原点，

焦点12,F F 在坐标轴上，

，且过点(4,． （1）求双曲线方程；

（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ；

（3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．

解：（1）由题意，可设双曲线方程为22

x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=

∴ 双曲线方程为2

2

6x y -=；

（2）由（1）可知，a b ==

c =， ∴ ()1F -，()

2F

∴ ()13,MF m =--u u u u r ，()

23,MF m =-u u u u r ， ∴ 2

123MF MF m ⋅=-u u u u ru u u u u r ，

又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=，

∴ 2

3m =， 即120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ；

（3）121211

622

S F MF F F m =

=⋅=V ∴21MF F ∆的面积为6．

知识点2：抛物线及其标准方程

1．抛物线定义

平面与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

焦点坐标

⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0 准线方程 x ＝－p 2

x ＝p

2

离心率

e ＝1

例1：(1)(2011·高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )

A.3

4 B ．1 C.54

D.74

(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝5

4

.

(2)由题知点A 在抛物线部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上

一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．

[答案] (1)C (2)B

练习1：(2012·高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.

解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标