(完整版)基本不等式练习题(带答案)

基本不等式专题练习(含参考答案)

数学基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号．答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。

基本不等式练习题(带答案)

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥C ．2xy ≥D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 345 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 二．填空题11. 1212.3600 13.212-14.对三、解答题15．ab16.略17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c=。

基本不等式练习题(带答案)

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题,每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。

若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（ )A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2。

若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是（）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3。

设x >0，则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14。

设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。

10 B. C. D. 5. 若x ， y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ) Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166。

若a ， b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（ )A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x 〉0， y >0,且x +y ≤4，则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥8。

a ，b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是（ )Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9。

某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ,则有( ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（ )Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题，本大题共4小题,每小题3分，满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11。

基本不等式例题

1、已知正数a, b满足a + b = 1，则下列不等式中成立的是？A. ab ≤ 1/4B. ab ≥ 1/4C. ab < 1/4D. ab > 1/2（答案：B）2、设x, y为正实数，且x + y = 2，则下列不等式中正确的是？A. xy ≤ 1B. xy ≥ 1C. xy < 1D. xy > 2（答案：A）3、若a, b, c为正数，且a + b + c = 3，则下列不等式中不成立的是？A. a2 + b2 + c2 ≥ 3B. abc ≤ (a + b + c)3 / 27C. (a + b + c)/3 ≥√(abc)D. a3 + b3 + c3 ≥ 9（答案：D）4、已知x > 0, y > 0，且x + y = 4，则下列不等式中错误的是？A. 1/x + 1/y ≥ 1B. xy ≤ 4C. √(xy) ≤ (x + y)/2D. x2 + y2 ≥ 8（答案：A）5、设a, b为正实数，且a + b = 5，则下列不等式中正确的是？A. ab ≤ 25/4B. ab ≥ 25/4C. ab < 25/4D. ab > 10（答案：A）6、若x, y为正数，且xy = 100，则下列不等式中不成立的是？A. x + y ≥ 20B. x2 + y2 ≥ 200C. 1/x + 1/y ≤ 1/10D. x + y ≤ 50（答案：D）7、已知a, b, c为正数，且a + b + c = 1，则下列不等式中正确的是？A. a3 + b3 + c3 ≥ 3(abc)2B. a2b + b2c + c2a ≤ 1/3C. abc ≥ (a + b + c)3 / 27D. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1（答案：B）8、设x, y为正实数，且x + y = 6，则下列不等式中错误的是？A. xy ≤ 9B. x2 + y2 ≥ 18C. √(xy) ≥ 3D. 1/x + 1/y ≤ 1/3（答案：D）9、若a, b为正数，且ab = 8，则下列不等式中不成立的是？A. a + b ≥ 4B. a2 + b2 ≥ 16C. 1/a + 1/b ≤ 1/2D. √(a) + √(b) ≤ 4（答案：D）10、已知x, y, z为正数，且x + y + z = 3，则下列不等式中正确的是？A. xyz ≤ 1B. x2 + y2 + z2 ≥ 3C. √(xyz) ≥ (x + y + z)/3D. 1/x + 1/y + 1/z ≥ 3（答案：B）。

(完整word版)基本不等式练习题(含答案)

基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案－2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。

高中数学基本不等式练习题(含答案)

基本不等式【习题1】已知实数且, 则的最小值是.【习题2】若实数且, 则的最小值是, 的最小值是.【习题3】已知满足方程, 当时, 则的最小值为_______.【习题4】已知为实数, 且, 则的最小值为_______.【习题5】已知, , 则的取值范围为 .【习题6】已知, , 则的最小值为.【习题7】若实数满足, 则的范围是.【习题8】的三边成等差, 且, 则的取值范围是．【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【习题10】实数满足, 设, 则 .【习题11】非零向量夹角为, 且, 则的取值范围为．【习题12】已知, 且, 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【习题13】正实数满足, 则的最小值为 .【习题14】已知实数满足则的最小值为, 的最小值为.【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且, 则的最小值为 .【习题16】设, 满足, 则的最小值是______．【习题17】已知正实数 , 满足: , 则的最大值是 .【习题18】已知正数满足 , 则的最小值为________.【习题19】已知 , , 且 , 则的最小值是_______, 此时 _______.【习题20】已知 , 且 , 则的最小值是；的最大值是 .【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则的最小值是（）A. 33B. 26C. 25D. 21【习题22】若实数满足 , 则的最小值是 .【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则的取值范围是 .【习题24】实数满足 , 则的最小值是________.【习题25】已知实数 , 若 , 则的值域为 .【习题26】设为正实数, 则的最小值为 .【习题27】若正数满足 , 则的最小值是 .【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数的最大值为_________.【习题29】若 , , 则的最小值为___________.【习题30】已知正数满足 , 则的最大值为__________, 当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知 , 则的取值范围为__________.【习题33】已知实数满足 , 则的最小值为________, 的最小值为_______.【习题34】已知实数满足 , 则的取值范围是________.【习题35】已知 , , 且满足 , 则的最小值为________.【习题36】已知非负实数满足，则的最大值.....【习题37】若 , , 则的最大值为_______.【习题38】设正实数, 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【习题39】已知均为正数, 且, , 则的最小值为_________.【习题40】设实数且满足, 则使不等式恒成立的的最大值为______.【习题41】若, 且, 则的取值范围是______.【习题42】已知正实数满足, 则的最小值为________.【习题43】已知实数满足, 则的取值范围是_________.【习题44】已知实数满足, 且, 则的最大值为___________.【习题45】若正数满足, 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【习题46】若正实数满足, 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是. 【习题47】已知为正实数, 若, 则的最小值为.【习题48】若正数满足, 则的最大值为_________.【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________.【习题50】设, , 则的最小值是.基本不等式（答案）【习题1】已知实数且 , 则的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数且 , 则的最小值是 , 的最小值是 .【答案】 ,【习题3】已知满足方程 , 当时, 则的最小值为_______.【答案】8【习题4】已知为实数, 且 , 则的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知 , , 则的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知 , , 则的最小值为 .【习题7】若实数满足 , 则的范围是 .【答案】]0,2[-【习题8】的三边成等差, 且 , 则的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【答案】8【习题10】实数满足 , 设 , 则 . 【答案】85【习题11】非零向量夹角为 , 且 , 则的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知 , 且 , 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【答案】),1[+∞【习题13】正实数满足 , 则的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数满足则的最小值为 , 的最小值为 . 【答案】3627+；845【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且 , 则的最小值为 .【答案】2【习题16】设 , 满足 , 则的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数 , 满足: , 则的最大值是 . 【答案】3332+【习题18】已知正数满足 , 则的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知 , , 且 , 则的最小值是_______, 此时 _______. 【答案】212+；2【习题20】已知 , 且 , 则的最小值是；的最大值是. 【答案】16；413-【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则的最小值是（）A. 33B. 26C. 25D. 21【答案】C【习题22】若实数满足 , 则的最小值是 .【答案】2【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则的取值范围是 . 【答案】]23,12[-【习题24】实数满足 , 则的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数 , 若 , 则的值域为 . 【答案】]716,0[【习题26】设为正实数, 则的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数满足 , 则的最小值是 .【答案】5【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若 , , 则的最小值为___________. 【答案】212- 【习题30】已知正数满足 , 则的最大值为__________, 当且仅当___________. 【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则b b a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知 , 则的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数满足 , 则的最小值为________, 的最小值为_______.【答案】 , 1【习题34】已知实数满足 , 则的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知 , , 且满足 , 则的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数满足 , 则的最大值..... 【答案】241+【习题37】若 , , 则的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数 , 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【答案】A【习题39】已知均为正数, 且 , , 则的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数且满足 , 则使不等式恒成立的的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若 , 且 , 则的取值范围是______. 【答案】]4,34[ 【习题42】已知正实数满足 , 则的最小值为________.【答案】55【习题43】已知实数满足 , 则的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数满足 , 且 , 则的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数满足 , 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【习题46】若正实数满足 , 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知为正实数, 若 , 则的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数满足 , 则的最大值为_________.【答案】432【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设, , 则的最小值是【答案】24。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

基本不等式专题练习(含参考答案)

数学基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号．答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案－2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。

(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

基本不等式练习题带答案

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，用于解决最优化问题、估计值域和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式等。
基本不等式的证明方法：可以通过代数、几何和概率统计等方法证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

基本不等式练习(含答案)

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2基本不等式的常用推论1. ①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+2a b +≤≤≤222b a +。

2.(1)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2. (2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b ≤－2例1 已知，求函数y=x （1-3x ）的最大值例3 求22515(1)1x x y x x ++=>-在最小值例4 已知正数x 、y 满足611x y+=，求32x y +的最小值130x13,,3x y x x x 例2 若函数当为何值时，函数有最大值，并求其最大值。

>=+-一、选择题1．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b总结 (1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．2.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4答案 B3．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝34时取等号)．4．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．5.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（）A.最小值1B. 最大值1C. 最小值-1D.最大值-16.函数1)(+=x xx f 的最大值为（）A.52B. 21C. 22D. 17．若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)4328.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是9.设a>0,b>0,2212ba ,则_______________10.（1）已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；（2）已知0,0>>y x ，且1=+y x ，求yx 94+的最小值.11.已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112答案 B解析 ∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2)2. ∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号12.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．1C ．94 D ．313．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．【答案】B .14. 求函数()()y x x x=++49的最值。

基本不等式练习题(带答案)

,基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )*A. 10B. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥C 2D ．11xy≥|8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+~11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.、16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥）17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.(（18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y恒成立试证明你的结论.？《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1214.对三、解答题1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。

(完整版)基本不等式练习题(带答案)

Ａ． 1 Ｂ． a2 b2 Ｃ．2ab Ｄ．a 2
3. 设 x>0,则 y 3 3x 1 的最大值为 x
（）
Ａ．3 Ｂ． 3 3 2 Ｃ． 3 2 3 Ｄ．－1
4. 设 x, y R, 且x则 y 5, 3x 3y 的最小值是(
2
2
2
2
10. 下列函数中，最小值为 4 的是
（）
Ａ． y x 4 x
Ｂ． y sin x 4 (0 x ) sin x
Ｃ． y ex 4ex
Ｄ． y log3 x 4 logx 3
11. 函数 y x 1 x2 的最大值为
.
The shortest way to do many things is
（）
A． a2 b2 c2 2
B． (a b c)2 3
111 C． 2 3
abc
D． a b c 3
7. 若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是
（）
A．
x
1
y
1 4
B． 1 1 1 xy
C． xy 2
D． 1 1 xy
8. a,b 是正数，则 a b , ab, 2ab 三个数的大小顺序是（）
12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2 的造价为
200 元和 150 元，那么池的最低造价为
元.
13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是
.
14.
若 x, y 为非x2
8( x y
y ) 15 的值恒为正，对吗？答 x
)
A. 10
B. 6 3

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。

$a^2+1>a$B。

$\frac{1}{2}<a<1$C。

$a^2+9>6a$D。

$\log_{a+1}。

\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。

$1$B。

$2$C。

$a^2+b^2$D。

$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。

$3$B。

$\frac{3}{2}$C。

$\frac{3}{4}$D。

$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。

$10$B。

$6\sqrt{3}$C。

$4\sqrt{10}$D。

$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。

最小值 $\frac{1}{36}$B。

最大值 $\frac{1}{36}$C。

最小值 $\frac{16}{9}$D。

最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。

$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。

$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。

$xy\ge 2$D。

$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。

基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。

因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。

2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。

3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。

因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。

房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。

求侧面的长度为多少时，总造价最低。

去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。

今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。

每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。