SECTION黎曼几何初步
黎曼几何的基本概念
第一章 黎曼几何的基本概念本章作为后续各章的准备知识，只对一些必要知识加以介绍，详细的内容可以参考文献[1]、[2]、[3]。
§1.1 微分流形定义1.1 设M 是Hausdorff 拓扑空间，如果M 是局部欧氏空间，即：对于任意p M ∈，存在p 点的邻域V 和映射φ：()n V V R φ→⊂是同胚映射，则称M 是n 维拓扑流形。
这里φ叫做坐标映射，V 叫做坐标域，(,)V φ叫做坐标卡。
定义1.2 n 维拓扑流形M 上的k C 类微分构造是M 上的坐标卡之集{}(,)V ααφαΦ=∈A （A 是指标集），满足：（1）M =V αα；（2）,αβ∀∈A ，坐标卡(,)V ααφ和(,)V ββφ是k C 类相容的，即：当V V αβ非空时，1βαφφ-和1αβφφ-分别是()V V ααβφ和()V V βαβφ之间的k C 类微分同胚；（3）集合关于（2）是极大的，即：若(,)V φ与中每个坐标卡是k C 类相容的，则(,)V φ属于。
定义1.3 n 维拓扑流形M 带上一个k C 类微分构造，称为k C 类微分流形。
若k=+∞，则称M 是一个光滑流形。
例1 n 维实射影流形()n P R 。
设X={}0n R -，在X 中定义1111(,,),(,,),0n n x x x y y y X xy t ++∀=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈⇔∃≠，使得y=tx 。
设:/X X π→[记为()n P R ]是商映射，()n P R 的拓扑取为商拓扑{}1()()n W P R W X τ-=⊂π⊂，则是连续映射。
下面证明()n P R 是n 维光滑流形。
首先证明()n P R 是Hausdorff 拓扑空间。
为此作映射t φ：X →X ，t φ(x )=tx ，t ≠0，于是t φ(x )等价于x ，且11/t t φφ-=。
显然t φ是同胚映射。
对V X ∀⊂是开集，因t φ(V )是开集，所以[][]{}0()(),()t t t x Vt V x x X x x x V V φφφ∈≠==∈∈=是开集，由此知:/X X π→是开映射。
微分几何部分习题解答
因为
∂G ∂ = det(gij ) = i ∂x ∂xj
∂gkl Gkl . ∂xi
Gkl G ,
其中Gkl 是矩阵(gkl )中元素gkl 的代数余子式. 又g kl =
1 ∂G = G ∂xi
n
故
g kl
k,l=1
∂gkl . ∂xi
利用上式计算得
Γk ki
k=1
1 1 ∂gil ∂gkl ∂gki 1 = = g kl ( k பைடு நூலகம் − )= i l 2 2 ∂x 2 ∂x ∂x
故M 的结构方程限制在M 上有 又M 是常曲率，
1 α k β j α α α α i dωi = −ωβ ∧ ωi − ωj ∧ ωi − Kikl ω ∧ ω l = −λβ ωβ ∧ ω i − λα ωj ∧ ωj . 2 2
由上面两式子可得
α (dλα + λβ ωβ ) ∧ ω i = 0, ∀(i, α).
2. 3. 4. 5. 6.
γ α α Ωα β = dωβ + ωγ ∧ ωβ = 0.
即：
α = 0. 由Ricci方程可得 i.e., Rβkl
1 α k R ω ∧ ω l = 0, 2 βkl
β α β (hα ik hil − hik hil ) = 0, i
此题用到了外围空间是常曲率的假设。上式即为：
由于ω i 线性无关， 故有
α dλα + λβ ωβ = 0, ∀α.
由Gauss方程, 当i = j ,
Rijij = Kijij +
α α α α (hα ii hii − hij hij ) = Kijij + α
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
黎曼几何
微分流形与黎曼几何的基本概念和结论目录1．缩并2．外形式及其求值公式3．外形式的可除性定理4．李群上左移动的切映射5．李群的结构常数6．李群的Maurer-Cartan形式与结构方程7．微分流形的定向8．微分同胚9．切向量10．浸入、淹没与嵌入11．光滑切向量场12．Poisson括号积的运算律13．外微分式与外微分算子14．向量丛15．黎曼流形与黎曼向量丛16．等距映射、等距、等距变换与共形变换17．联络18．黎曼联络19．黎曼流形上的微分算子20．平行移动21．测地线22．挠率张量与挠率形式23．曲率张量24．曲率形式25．截面曲率26．Ricci曲率与数量曲率27．反函数定理与映射秩定理28．单位分解定理29．Stokes定理30．Frobenius定理31．散度定理与Green公式32．弧长第一变分公式33．Hopf-Rinow定理34．Gauss-Bonnet-Chern定理35．Ricci恒等式36．难点公式汇集1． 缩并任取两个指标s r ,，p r ≤≤1，q s ≤≤1，则从任意一个),(q p 型张量p q V ∈ξ出发可构造)1,1(--q p 型张量)(ξr s C 如下：),,,,,))(((1111--q p r sv v C ααξ∑=----=ni q s i s p r i r v v v v 1111111),,,,,,,,,,,,,( δααδααξ其中}{i δ是V 的一个基底，}{i δ是它的对偶基底。
映射r s C ：11--→p q p q V V 称为缩并。
缩并算子在单个张量积上的作用为)(11q p r s v v C αα⊗⊗⊗⊗⊗ q s p r r s v vv v αααα⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= ˆˆ))((11 一般公式为)(1111q p p q jj i i ii j j r s C δδδδξ⊗⊗⊗⊗⊗)1111111111------⊗⊗⊗⊗⊗=q p p r r q s s j j i i ii k ii j j k j j δδδδξ 。
什么是黎曼几何？
什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。
是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。
数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。
欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。
物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。
而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。
以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。
欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。
因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。
两点之间的距离也是直的。
但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。
若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。
现代数学基础黎曼几何初步教学设计 (2)
现代数学基础黎曼几何初步教学设计前言黎曼几何是现代数学的重要分支之一，它在多个领域有着广泛应用。
因此，对于现代数学领域的研究者来说，了解黎曼几何的基础知识是至关重要的。
本文将对初步的黎曼几何学习进行设计和讨论，旨在帮助读者快速入门。
教学目标•理解平面和空间曲线的概念，并能够对曲线的特征进行描述和分析；•理解切向量的概念，并能够用切向量来描述曲线的性质；•理解曲率的概念，并能够计算曲线的曲率；•理解表面的概念，以及曲面上的切向量、法向量和曲率等性质。
教学内容1.平面与空间曲线课时数量：2–平面曲线的概念和性质；–空间曲线的概念和性质；–参数方程和向量函数的意义和使用方法；–曲线的切向量、切线和切平面。
2.曲率课时数量：2–曲率的概念和性质；–曲率的计算公式和意义；–平面曲线和空间曲线的曲率计算方法。
3.曲面与微分几何基本概率课时数量：2–曲面的概念和性质；–曲面上的切向量、法向量和曲率；–Theorema Egregium (高斯·斯图姆引理)的定义和应用。
教学方法•给学生讲授数学概念，并提供案例和演示，以帮助他们更好地理解。
•强调关键概念和术语，让学生能够理解数学领域的术语和概念。
•将数学概念应用到实际问题中，以帮助学生更好地理解和应用这些概念。
•发挥学生的创造力和想象力，鼓励他们解决数学问题的不同方法。
考核与评估•在每堂课的末尾，设计不同类型的习题，既可以是选择题，也可以是填空题或者简答题。
•在学期末还应设置考试，考察学生对于黎曼几何的掌握程度。
结论黎曼几何是现代数学中的重要分支。
本文以初步掌握黎曼几何的知识为目标，设计了相应的教学内容和方法，并提供了相应的考核与评估方式。
通过这样的教学和考核，学生可以更好的理解和应用黎曼几何的基础知识，为将来的学习和工作打下良好的基础。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
黎曼几何公式
黎曼几何公式黎曼几何公式是黎曼几何中最重要的公式之一。
黎曼几何是一种非欧几何，它与欧几何有很大的不同。
欧几何是一种平面几何，它研究的是平面上的图形和空间中的图形。
而黎曼几何则是一种曲面几何，它研究的是曲面上的图形和空间中的图形。
在黎曼几何中，我们需要考虑曲率这个概念，而黎曼几何公式就是描述了曲率与拓扑之间的关系。
黎曼几何公式的全称是黎曼-罗氏公式（Riemann-Roch Formula），它是由黎曼和罗氏在19世纪中期分别独立提出的。
黎曼几何公式的形式非常复杂，但是它可以简化为下面这个形式：$$%chi(X)=%frac{1}{2}%int_X K dA+%sum_{i=1}^n (1-g_i)$$其中，$%chi(X)$表示紧黎曼曲面$X$的欧拉示性数，$K$表示$X$的高斯曲率，$dA$表示面积元素，$g_i$表示$X$的亏格，$n$表示$X$上的奇点数。
黎曼几何公式的意义非常深刻。
它告诉我们，对于一个紧黎曼曲面$X$，它的欧拉示性数$%chi(X)$与其高斯曲率$K$、亏格$g_i$之间存在着一种深刻的联系。
这个联系不仅仅是数学上的，而且还有着物理上的意义。
例如，在弦论中，黎曼几何公式被广泛地应用于描述弦论中的紧致化过程。
黎曼几何公式的证明非常复杂，需要运用到许多高深的数学知识。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解黎曼几何公式的意义。
考虑一个球面$S^2$，它有一个亏格为0，高斯曲率为1。
那么根据黎曼几何公式，我们有：$$%chi(S^2)=%frac{1}{2}%int_{S^2} K dA+(1-0)=2$$这个结果非常有趣。
它告诉我们，在球面上任意取两个点，我们可以通过一个简单的路径将它们连起来。
这个路径将球面分成了两个部分，每个部分都是一个圆盘。
因此，球面上存在着两个圆盘。
这个结论非常直观，但是它却是由黎曼几何公式推导出来的。
总之，黎曼几何公式是黎曼几何中最重要的公式之一。
黎曼几何
黎曼几何黎曼，是一个养活了近一个世纪的数学家，并（目测）将要养活接下来至少500年的数学家的男人。
我对数学史不是很熟（以后有机会说不定会开个专栏扒扒历史），所以我这里写的所有和数学史有关的内容你都可以认为我在胡扯（对，我就是懒得查资料……）。
今天只想谈谈数学，我会尽量做到科普，所以不要追究我的细节。
我对这篇文章的定位是睡前读物，可能很长，但是绝对不会难读懂。
以及，不要因为看了我的文章而走上民科的道路，想要真正了解请老老实实从数学分析线性代数学起。
这篇文章里我只谈两个概念：流形，度量。
OK，Let's start!流形的概念绝对是一个非常伟大的构想，以我浅薄的数学史知识，这个概念第一次出现大概就是在黎曼为了谋一份教职而做的一份公开报告里。
在黎曼之前，几何几乎就是笛卡尔的坐标（当然这个也是一个非常伟大的概念），大家总是在一个高维的欧氏空间做东西。
欧氏空间，大家可以理解为横平竖直的那种空间，比如的三维欧氏空间，就是在牛顿绝对时空观下我们生活的世界。
二维的呢？就是高中折磨了大家很久的解析几何。
关于这样的空间的例子，其实我们有很好的直观：比如两点之间直线最短，过直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行，三角形内角和180度等等，这些都是大家从小学就知道的事情。
黎曼说，你们考虑的东西啊，TOO YOUNG！TOO SIMPLE！应该考虑所谓的流形。
流形是啥呢？大家知道足球吧，就那个黑白花纹的，一块一块皮缝出来的球形物体。
其实每一块皮基本上都是平的（就是你能理解的那种“平”），但是缝起来就是个足球。
流形也是一样，它的比较数学化的表述是，有一个点组成的集合M，M中每一个点的附近都有一个邻域，那个邻域和欧式空间“长”的差不多（数学术语叫同胚，很形象的一个词）。
还是刚刚的足球，足球上每一个点都在某块皮上，那块皮扯下来就是个平坦的东西。
（不要追究细节，不要追究细节！）这个概念为啥重要呢？因为大家的视野一下子变得不一样了！以前我们看几何对象，我们都是所谓的“外蕴”的看，就是说，我们在这个几何体在的更高维的空间里看它，比如足球，它是个二维的东西（就是一大块布嘛），但是我们是在三维空间看它。
「第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2」
§２ 场论初步一、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度［标量场] 空间区域D 的每点M (x ,y ,z )对应一个数量值ϕ(ｘ,y ,z )，它在此空间区域D 上就构成一个标量场,用点M （x,y,z )的标函数ϕ(x ,y ，z )表示.若M 的位置用矢径ｒ确定，则标量ϕ可以看作变矢r 的函数ϕ＝ϕ(r ).例如温度场u (x ,ｙ,z ),密度场),,(z y x ρ,电位场ｅ（x ,y ,z )都是标量场.[矢量场] 空间区域D 的每点M (x ，ｙ，z )对应一个矢量值R (x ，ｙ，ｚ)，它在此空间区域D 上就构成一个矢量场,用点M (x ,y ，z )的矢量函数Ｒ(x ，ｙ,ｚ)表示.若M 的位置用矢径r 确定,则矢量R 可以看作变矢ｒ的矢函数R (ｒ)：R （r )＝Ｘ(x ，ｙ，z )i ＋Ｙ（x ，y ,z ）j ＋Z (x ，ｙ,z )k例如流速场 υ(x ,y ,z ），电场E (ｘ，ｙ，z )，磁场H (x ，y ，z )都是矢量场.与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义．[梯度]ｇrad ϕ＝(x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ,z ∂∂ϕ)=∇ϕ＝x ∂∂ϕi ＋y ∂∂ϕｊ＋z∂∂ϕk 式中∇=ix ∂∂＋ｊy ∂∂+ｋz∂∂称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.ｇr ａd ϕ有的书刊中记作de ｌϕ.ｇrad ϕ的方向与过点(x ，y ,z )的等量面ϕ=Ｃ的法线方向Ｎ重合,并指向ϕ增加的一方,是函数ϕ变化率最大的方向,它的长度等于N∂∂ϕ. 梯度具有性质:ｇrad(λϕ+μψ)＝λ gr ａd ϕ＋μgrad ψ （λ、μ为常数)grad(ϕψ)=ϕ grad ψ＋ψ gr ａd ϕ gra ｄF (ϕ)＝()ϕϕgrad F ' [方向导数]l ∂∂ϕ＝ｌ·g ｒa ｄϕ=x ∂∂ϕcos α+y ∂∂ϕcos β+z∂∂ϕc ｏs γ式中l =(ｃｏs α，c ｏs β，ｃｏs γ)为方向l 的单位矢量，α,β，γ为其方向角.方向导数为ϕ在方向l 上的变化律，它等于梯度在方向l 上的投影. [散度]d ｉv R =x X ∂∂＋y Y ∂∂＋zZ ∂∂=∇·R =div （X , Y , Ｚ) 式中∇为哈密顿算子. 散度具有性质：d ｉv （λa +μｂ)=λ div a ＋μdi ｖb (λ、μ为常数) div(ϕa )＝ϕdiv ａ＋a g ｒad ϕ ｄiv(a ×b ）＝ｂ·ｒo ｔ ａ－a ·ｒot b[旋度]rot R =（z Y y Z ∂∂-∂∂)i +(xZ z X ∂∂-∂∂)j ＋(y X x Y ∂∂-∂∂)k =∇×Ｒ=ZYXz y x ∂∂∂∂∂∂k j i式中∇为哈密顿算子,旋度也称涡度，rot Ｒ有的书刊中记作cu ｒl R ．旋度具有性质：r ｏt(λa +μb )＝λ rot a ＋μro ｔ b (λ、μ为常数) ｒot(ϕa )=ϕrot a +a ×ｇrad ϕro ｔ(a ×b )＝(b ·∇）a －(a ·∇)b +(ｄiv b )a －（di ｖ ａ）b[梯度、散度、旋度混合运算］ 运算g ｒad 作用到一个标量场ϕ产生矢量场grad ϕ,运算d ｉv 作用到一个矢量场 Ｒ产生标量场d ｉv Ｒ,运算ｒot 作用到一个矢量场R 产生新的矢量场r ｏt R .这三种运算的混合运算公式如下：d ｉｖ ｒｏt R =０ ｒot ｇr ａd ϕ＝0div gr ａｄϕ=22x ∂∂ϕ ＋22y∂∂ϕ+22z ∂∂ϕ=∆ϕg ｒａd ｄi ｖ Ｒ＝∇（∇R ) ro ｔ ｒot R =∇×(∇×R )ｄiv gra ｄ(λϕ+μψ）=λ d ｉｖ g ｒad ϕ+μｄiv gra ｄψ （λ、μ为常数)d ｉｖ grad(ϕψ）＝ϕd ｉv g ｒad ψ+ψｄｉv grad ϕ＋２gra ｄϕ·grad ψg ｒad div Ｒ-ｒo ｔ ro ｔ R =∆R式中 ∇为哈密顿算子,∆=∇·∇＝∇２为拉普拉斯算子.[势量场（守恒场)］ 若矢量场R (ｘ，y ，z )是某一标函数ϕ(x ,y ,z ）的梯度，即R ＝ｇra ｄϕ 或 Ｘ＝x ∂∂ϕ,Y ＝y ∂∂ϕ,Z ＝z∂∂ϕ则Ｒ称为势量场，标函数ϕ称为R 的势函数.矢量场R 为势量场的充分必要条件是：rot R ＝０，或y X ∂∂ =x Y ∂∂,z Y ∂∂=y Z ∂∂,x Z ∂∂=zX∂∂ 势函数计算公式ϕ(ｘ，y ，z )＝ϕ(ｘ０，y 0，z 0)＋()⎰xx x z y x X 0d ,,00＋()⎰yy y z y x Y 0d ,,0+()⎰zz z z y x Z 0d ,,[无散场(管形场)] 若矢量场R 的散度为零,即div R ＝0，则R 称为无散场．这时必存在一个无散场Ｔ,使Ｒ＝r ｏt Ｔ，对任意点Ｍ有T ＝14π⎰V r d rot R式中ｒ为d Ｖ到Ｍ的距离，积分是对整个空间进行的.［无旋场] 若矢量场R 的旋度为零，即r ｏt R ＝0，则R 称为无旋场．势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数ϕ,使R ＝grad ϕ，而对任意点M 有ϕ=-14π ⎰V r d div R式中r 为d V 到M 的距离,积分是对整个空间进行的.二、 梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式１．单位矢量的变换［一般公式] 假定x =ｆ(ξηζ,,),y =g (ξηζ,,),z =h (ξηζ,,)把(ξηζ,,)空间的一个区域 一对一地连续映射为（ｘ,y ，z ）空间的一个区域D ,并假定f ，g ，h 都有连续偏导数,因为对应是一对一的,所以有ξ＝ϕ(x ,y ，z )，()()ηψζχ==x y z x y z ,,,,,再假定ϕψχ,,也有连续偏导数，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ζζηηξξζζηηξξζζηηξξd d d d d d d d d d d d z z z z y y y y x x x x 或逆变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=z z y y x x z z y y x x z z y y x x d d d d d d d d d d d d ζζζζηηηηξξξξ沿d ｘ,ｄy ，d z 方向的单位矢量记作i ，j ，k ,沿ζηξd ,d ,d 方向的单位矢量记作ζηξe e e ,,，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=222222222ζζζζζζηηηηηηξξξξξξζηξz y x z y x z y x zy x z y x z y x k j i e k j i e kj i e [圆柱面坐标系的单位矢量］ 对于圆柱面坐标系（图8.11)⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x ϕρϕρsin cos ()002≤≤∞≤<-∞<<∞ρϕπ,,z 单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=k e j i e j i e zϕϕϕϕϕρcos sin sin cos 它们的偏导数为000=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂zz z zzze e e e e e e e e e e ϕρϕρρϕϕρρρρϕϕϕ,,[球面坐标系的单位矢量］ 对于球面坐标系（图８．1２）⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ()0020≤<∞≤<≤≤r ,,ϕπθπ单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=j i e k j i e k j i e ϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin r它们的偏导数为θϕϕθϕϕθθϕθθθϕθϕθϕθθθe e e e e e e 0e e e e e 0e e e cos sin ,cos ,sin ,,--=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂r rr rr rr r 2.矢量的坐标变换［一般公式] 一个由(x ,y ,ｚ)坐标系所表达的矢量可以用(ξηζ,,)坐标系来表达:υ=(x υ,υｙ,υｚ)=x υｉ＋υｙ j ＋υz ｋ＝ζζηηξξυυυe e e ++式中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=222222222222222222222222222ζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζηξζηξζηξz y x z z y x z z y x z z y x yz y x y z y x y z y x x z y x x z y x x z y x[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=z zy x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρϕρcos sin sin cos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=z zy x y x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρcos sin sin cos [球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=θυθυυϕυϕθυϕθυυϕυϕθυϕθυυθϕθϕθsin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin r zr y r x 由直角坐标系到球面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=ϕυϕυυθυϕθυϕθυυθυϕθυϕθυυϕθγcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin y x z y x z y x ３．各种算子在不同坐标系中的表达式设U ＝U (ｘ，y ，z ）是一个标函数，V ＝V (x ，y ,z )是一个矢函数． [在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子 ~∇=ρρ∂∂e +ϕρϕ∂∂1e +zz ∂∂e梯 度 grad U = ~∇Ｕ＝ρρ∂∂U e +ϕρϕ∂∂U 1e +z U z ∂∂e散 度 di ｖV ＝ ~∇·V ＝()zz ∂∂+∂∂+∂∂υϕυρρυρρϕρ11 旋 度 ro ｔＶ＝ ~∇×V =ρϕυϕυρe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z 1+ϕρρυυe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z +()z e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂ϕυρρρυρρϕ11拉普拉斯算子 ∆U ＝d ｉv grad U =2222211z UU U ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕρρρρρ [在球面坐标系中各种算子的表达式］哈密顿算子 ~~∇=r r ∂∂e +θθ∂∂r 1e ＋ϕθϕ∂∂sin r 1e梯 度 grad Ｕ＝ ~~∇U ＝r U r ∂∂e +θθ∂∂U r 1e ＋ϕθϕ∂∂U r sin 1e散 度 di ｖ V=~~∇·V =()()ϕυθθυθθυϕθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂sin sin sin r r r r r r 11122 旋 度 rot V ＝ ~~∇×Ｖ＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ϕυθυθθθϕsin sin r 1r e ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂ϕυϕυθr r r r r 11sin θe ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂θυυθr r rr r 11ϕe 拉普拉斯算子 ∆U =d ｉｖ g ｒad U＝2222221111ϕθθθθθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂U r U r r r U r r rsin sin sin三、 曲线积分、曲面积分与体积导数［矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场R (r )沿曲线Γ的曲线积分定义为⎰ΓR (r )·d r ＝∑=∞→→ni n r 1lim∆Ｒ(i r ~)·∆ｒｉ-１ 式中∆ｒi －１＝ｒi -r i -1，右边极限与i r ~的选择无关,曲线 Γ由A 到B （图８．１3)若矢函数R (r ）是连续的(就是它的三个分量是 连续函数）, 曲线Γ也是连续的, 且有连续转动的切线, 则曲线积分()⎰⋅Γr r R d存在.若R (ｒ)为一力场,则Ｐ＝()⎰⋅Γr r R d 就等于把一质点沿着Γ 移动时力R 所作的功. 矢量曲线积分的计算公式如下： ()⎰Γ⋅r r R d =()⎰++z Z y Y x X d d d Γ()⎰+⋅21ΓΓr r R d ＝()⎰⋅1Γr r R d +()⎰⋅2Γr r R d （图8.14)()⎰⋅Γr r R d ＝-()⎰-⋅Γr r R d()()[]⎰⋅+Γr r T r R d =()⎰⋅Γr r R d ＋()⎰⋅Γr r T d()⎰⋅Γr r R d k =k ()⎰⋅Γr r R d（k 为常数）[矢量的环流] 如果Γ为一闭曲线，则沿曲线Γ 的曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰++Γz Z y Y x X d d d 称为矢量场R (r )沿闭曲线Γ 的环流．势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(ｒ)为一势量场,且它的势函数为ϕ时，则曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰⋅B Ar r R d ＝ϕ(B )-ϕ(A ）与连接A ,B 两点的路径无关,只依赖于Ａ，B 两点的 位置(图8.１5).[矢量的曲面积分] 设S 为一曲面,令N ＝()cos ,cos ,cos αβγ表示在曲面S 上一点的法线单位矢量, 而ｄS ＝N d Ｓ表示面积矢量元素.又设ϕ(ｒ)=ϕ(x , y ,z ）是定义在曲面S 上的连续标函数,R （r ）＝(Ｘ(x , ｙ,ｚ),Y （x ， y ,z ）， Z （ｘ, y ,z ))是定义在曲面Ｓ上的连续矢函数,这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.则曲面积分有如下的三种形式：1标量场的通量(或流量)ϕS⎰⎰ｄS =ϕS yz⎰⎰d y d z i ＋ϕS zx ⎰⎰d z d x j +ϕS xy⎰⎰d x d y k式中S ｙz ，S zx ，Ｓxy 分别表示曲面S 在Oyz 平面,Ｏz ｘ平面, O ｘｙ平面上的投影．Ｓx ｙ的正负号规定如下：当从ｚ轴正方 向看去时，看到的是曲面S 的正面，认为S xy 为正，如果 看到的是曲面的反面,则认为S xy 为负(图８．16).2矢量场的标通量S⎰⎰R ·d S =S yz⎰⎰X d ｙd z +S zx ⎰⎰Y d z d ｘ＋S xy⎰⎰Z d ｘd ｙ式中S yz 等的意义同1.３矢量场的矢通量S⎰⎰R ×d Ｓ=S yz⎰⎰（Z ｊ-Ｙk )ｄy d z ＋S zx ⎰⎰(X ｋ－Z ｉ)ｄz d x +S xy⎰⎰(Y i -Ｘj ）d x d ｙ式中S y ｚ等的意义同1.[矢量的体积导数] 如果S 是包围体积V 的闭曲面,并包含点ｒ，则沿闭曲面S 的曲面积分(S⎰ϕd S ,S⎰R ·ｄＳ,S⎰R ×d S )与体积Ｖ之比,当V 趋于零时(即它的直径→0)的极限称为标量场ϕ(或矢量场R ）在点r 处的体积导数(或空间导数). 1标量场ϕ的体积导数就是它的梯度：grad ϕ＝VSV ⎰→Sd limϕ02矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度:ｄiv Ｒ＝VSV ⎰⋅→SR d lim３矢量场R 的另一个体积导数是它的旋度： rot Ｒ=－V S V ⎰⨯→S R d lim四、 矢量的积分定理[高斯公式]⎰⎰⎰V div R ｄV ＝S ⎰⎰R ·d Ｓ=S⎰⎰R ·N d Ｓ 即()⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SS Z Y X z y x z Z y Y x X d cos cos cos d d d γβα 式中S 为空间区域V 的边界曲面，N ＝()cos ,cos ,cos αβγ为在S 上一点的法线单位矢量,Ｒ(ｒ）=(X (x , ｙ,z ),Y (x ， ｙ,z ）,Z (x , y ，z ）)在V +Ｓ上有连续偏导数.[斯托克斯公式] S ⎰⎰r ｏｔ R ·ｄＳ=S ⎰⎰rot R ·N d S ＝L⎰R ·d r 即y x y X x Y x z x Z z X z y z Y y Z S d d d d d d ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ = ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S S y X x Y x Z z X z Y y Z d cos cos cos γβα = ⎰++L z Z y Y x X d d d式中S 为一定曲面的一侧，L 为曲面S 的闭边界曲线（L 的正向与N 构成右手系).Ｓ的每点有切面,其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线Ｌ上的每点都有切线(图8.17）. R (r )=(X (x , y ,z ),Y (x , y ,z ),Z (x , ｙ，z )）在曲面的所有点单值，并在与S 足够靠近的点处有连续偏导数．[格林公式]⎰⎰S ψϕgrad ·ｄS =()⎰⎰⎰⋅+VV d grad grad Δψϕψϕ ()⎰⎰-S ϕψψϕgrad grad ·d S ＝()⎰⎰⎰∆-∆VV d ϕψψϕ式中S 为空间区域V 的边界曲面,ϕψ,为两个标函数,在Ｓ上具有连续偏导数，且在V 上具有二阶连续偏导数,∆为拉普拉斯算子,特别⎰⎰S ϕgrad ·d S =⎰⎰⎰∆V V d ϕ 即⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂S V V z y x y x z x z y z y x d d d d d d d 222222ϕϕϕϕϕϕ。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
黎曼几何基本定理
黎曼几何基本定理黎曼几何基本定理，也被称为黎曼度量的基本定理，是黎曼几何中的重要定理之一。
黎曼几何是非欧几何的分支，主要研究曲面的性质和几何性质。
黎曼几何基本定理是研究曲面的内部和外部关联的关键定理之一。
本文将简要介绍黎曼几何基本定理及其应用。
黎曼几何基本定理是由德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）于19世纪中叶提出的。
该定理阐述了一个曲面上的点的刻画，通过该点可以确定曲面上的一个局部坐标系。
具体来说，在一个给定的曲面上，任意一点的内部有且仅有一个共轭点，共轭点之间的关系是对偶的。
这就意味着，我们可以通过一个点来确定曲面上的几何性质。
黎曼几何基本定理在许多领域中都有广泛的应用。
一方面，它为计算曲率和度量提供了一种有效的方法。
通过黎曼几何基本定理，我们可以计算曲面上的曲率，而曲率又是很多几何性质的重要指标。
例如，曲面的高斯曲率用于描述曲面的弯曲程度，平均曲率用于描述曲面上各点的平均弯曲程度。
这些指标在物理学、地理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
另一方面，黎曼几何基本定理也为解决曲面上的几何问题提供了一种方法。
通过该定理，我们可以确定曲面上的曲线以及曲线上的点，从而解决与曲线相关的几何问题。
例如，我们可以通过曲线的渐近线和曲率半径来描述曲线的性质，进而解决曲线与曲面的相交、相切等问题。
此外，黎曼几何基本定理还被应用于解决一些实际问题。
例如，在机器学习中，我们经常需要处理高维数据和非线性关系。
通过黎曼几何基本定理，我们可以将这些问题转化为曲面上的几何问题，从而更好地理解和处理这些数据。
总而言之，黎曼几何基本定理是描述曲面上点与点之间关系的重要定理，它为计算曲面的几何性质提供了一种方法，并被广泛应用于各个领域。
通过了解该定理，我们可以更好地理解曲面的特性，解决曲面上的几何问题，并在实际问题中应用这些知识。
黎曼几何初步白正国课后解析
黎曼几何初步白正国课后解析1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲线、曲面以及更一般的黎曼流形的数学学科。
它的发展源于高斯、黎曼等数学家在研究曲面的性质时提出的一系列理论与方法。
黎曼几何在数学及其他领域中具有广泛的应用和深远的影响，是现代几何学的重要基础。
黎曼几何的研究对象是黎曼流形，它是一个具有弯曲性质的空间。
与欧几里德空间中直线、平面等刚性几何概念不同，黎曼流形上的曲线和曲面具有弯曲、扭曲与变形等特性。
这种弯曲性质使得黎曼几何能够更好地描述现实世界中的各种物理现象，如引力、光的传播等。
黎曼几何研究的核心是黎曼度量，它是黎曼流形上定义的一种度量方式。
黎曼度量赋予了流形上的每一个点一个内积结构，使得我们可以定义长度、角度、曲率等几何量。
通过黎曼度量，我们可以描述流形的几何性质，并推导出相应的几何定理。
黎曼几何的意义不仅在于研究曲线、曲面的几何性质，更重要的是它提供了一种能够研究弯曲空间中的物理现象的数学工具。
在相对论、天体物理、地理学等领域中，黎曼几何都扮演着重要的角色。
例如，广义相对论将引力场描述为弯曲时空，黎曼几何为其提供了数学基础。
因此，对黎曼几何的深入理解对于现代物理学的发展至关重要。
该解析将从黎曼几何的基本概念以及黎曼度量与黎曼流形的关系入手，系统地介绍黎曼几何的基础理论，并探讨其在数学及其他学科中的应用和未来发展的展望。
通过学习本文，读者将能够对黎曼几何有一个初步的认识，并获取一定的研究和应用能力。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和安排进行介绍。
可以从以下几个方面展开：1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对黎曼几何的研究背景和意义进行概述，并介绍了本文的目的和结构安排。
正文部分分为两个小节——黎曼几何的基本概念和黎曼度量与黎曼流形。
- 黎曼几何的基本概念部分将详细介绍黎曼几何的基本概念，包括曲率、曲线和曲面的测度等。
在这一部分，将探讨黎曼几何的起源和发展，介绍关键概念的定义和性质，并介绍相关的定理和证明。
黎曼几何长度
黎曼几何长度
摘要：
1.黎曼几何简介
2.黎曼几何中的长度概念
3.黎曼几何长度的计算方法
4.黎曼几何长度的应用实例
5.结论
正文：
1.黎曼几何简介
黎曼几何是一种非欧几里得几何，由德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于19 世纪中叶提出。
与欧几里得几何中基于直线和角的概念不同，黎曼几何是基于曲线和度量概念的一种几何。
黎曼几何在数学、物理和工程领域有着广泛的应用，特别是在高维空间和宇宙学中。
2.黎曼几何中的长度概念
在黎曼几何中，长度的概念是通过一个称为“度量”的函数来定义的。
度量函数是一个定义在几何对象上的实数值函数，用于计算对象之间的距离。
对于黎曼几何中的曲线，度量函数可以表示为曲线上某点处的切向量与一个参考向量的内积。
3.黎曼几何长度的计算方法
计算黎曼几何长度的方法通常涉及到积分。
对于一条曲线，其长度可以通过对曲线上每个点处的切向量进行积分来计算。
具体而言，设曲线上的参数为
t，t 的取值范围是[a, b]，曲线在参数t 下的切向量为T(t)，则曲线的长度L 可表示为：
L = ∫[a, b] T(t)dt
4.黎曼几何长度的应用实例
黎曼几何长度在数学和物理中有许多应用。
例如，在相对论中，黎曼几何长度用于描述物体在弯曲时空中的路径。
另一个应用实例是在计算机图形学中，黎曼几何长度可用于计算曲线的弧长，从而实现对复杂图形的精确绘制。
5.结论
黎曼几何中的长度概念和计算方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
从数学、物理到工程领域，黎曼几何长度都在不同程度上发挥着作用。
黎曼几何学
德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。
1854年,他在格丁根大学发表的就职演说,题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。
从数学上讲,他发展了空间的概念,首先认识到几何学中所研究的对象是一种"多重广延量"，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述,即现代的微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象打下了基础。
更进一步,他认为,通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学,如果超出了这个范围,或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。
他认为这种空间(也就是流形)上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。
在无限小的意义下,这种距离仍然满足勾股定理。
这样,他就提出了黎曼度量的概念。
这个思想发源于C.F.高斯。
但是黎曼提出了更一般化的观点。
在欧几里得几何中, 邻近点的距离平方是(在笛卡儿坐标下)，这确定了欧几里得几何。
但是在一般曲线坐标下,则应为,这里是相当特殊的一组函数。
如果是一般的函数，又(g ij)仍构成正定对称阵,那么从出发,也可以定义一种几何学,这便是黎曼几何学。
由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立,所以在非常小的区域里面勾股定理近似成立。
但在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。
黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。
这是一个杰出的贡献。
其后，E.B.克里斯托费尔、G.里奇等人又进一步发展了黎曼几何，特别是里奇发展了张量分析的方法，这在广义相对论中起了基本的作用。
1915年A.爱因斯坦创立了广义相对论，使黎曼几何在物理中发挥了重大的作用，对黎曼几何的发展产生了巨大的影响。
广义相对论真正地用到了黎曼几何学,但其度量形式不是正定的,现称为洛伦茨流形的几何学（见广义相对论）。
黎曼几何初步前言
“你们的事业的成长，应该像一棵树的成长一样。
应该是顺其自然、无间断、和全面的。
我希望你们的根能够在这个学院的肥沃土地下面尽量深入，以使你们的树干长得既粗且壮。
这样，将来无论树叶多么茂盛丰满，也永不会有水分供应不暇的毛病。
在上空将不时有狂风大雨，也会有行雷闪电。
所以切勿长得太快太高。
”以上的一段话，是当代英国演员罗伦士奥利维亚在1947 年Old Vic 戏剧学院开幕典礼中，向学生致词的一部分。
这几句话对你们是有特殊意义的。
因为这本书是一本很初步的书。
如果你们有意细读这本书的话，则最少要弄清楚从这本书中你们能够得到些什么。
目前一般研究生心目中，最迫切的问题似乎是：有没有一个可以写一篇文章的小题目？因此我要先此声明：这本书不讨论这一类的小题目。
我写这本书的原意，只是希望能使“你们的根尽量向下面深入”。
以后是否开枝发芽，就只能看你们自己的努力和天赋。
书内所讨论的题目，都是一般的和基础性的，而且也是任何一个几何学家所熟悉的。
要是你们能够好好掌握这几个基本性的概念，并且在将来能对几何学有一个比较全面的理解，则日后自然能够挑一些有意义的大题目来做。
急功好利、只顾眼前的收获、和只找易做的小题目来写文章，这都不是一个数学工作者所应有的态度。
这本书应该是你们向前迈进的踏脚石之一。
我希望你们很快就会超过这本书的范围。
每一本书的作者都有一点和一个魔术师相同的地方，就是希望观众或读者所看见的一切，刚好是他希望他的读者或观众所看到一切。
那么在我心中，幻想你们能够从这本书中看到的是什么呢？第一，你们会了解书内的定义和定理既都是人为的，又同时是合理的。
也许你们认为一本书要写得高深莫测，才能显出作者的学问渊博。
但是我却希望你们会觉得书中的一切，不但是理所当然，而且是容易得只要肯化一点功夫就可以自己做出来的。
要做到这一点，除了一般的“定义→定理→证明”基本形式以外，我设法多加一些按语来说清楚每个主要定义和主要定理的来龙去脉和直观意义。
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§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2= g ij ( x)d x id xj 决定，则称空间R n为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i x x x x g g ''''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量. [矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即k ji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=liji jl j il kl k ij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij kij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号. 此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g x g ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间V n中，利用黎曼联络i jk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动. 勒维－奇维塔平行移动具有性质： 1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量. 若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl iklj iljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrl R j klr = R lrjk R jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl rj kil rk ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率. 如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。