SECTION黎曼几何初步

§5 黎曼几何初步

一、 黎曼空间

[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i

， x i

＋d x i

之间的距离ds 由一个正定二次型

d s 2

= g ij ( x

)d x i

d x

j 决定，则称空间R n

为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n

中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2

称为V n

的线素.定义曲线弧长的微分为

()j i ij x x x g s d d d =

而任一曲线x i =x i

(t )()a t b ≤≤的弧长为积分

()()⎰

=b

a

j

i ij t t

x t x t x g s d d d d d

因为在坐标变换

()

x x x i i i ='

下，ds 2

为一个不变量，所以

j j

i i ij j i x x x x g g '

'

'

'∂∂∂∂= 这表明g ij ( x

)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n

的度量张量或基本张量. [矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.

设{}

a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为

g ij a i a j

设{}i a 与{}

b i 是两个逆变矢量，则其标量积为

g ij a i b

j 这两矢量夹角的余弦为

g a b g a a

g b b

ij i j ij i

j

ij i j

设

g ij a i

=a j , g ij b i

=b j

则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为

g ij a i a j

=a j a j

, g ij a i b j

=a j b j

张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为

j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=

式中g lj 满足等式

g g il lj i j

=δ

式中j i δ为克罗内克尔符号.

[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：

(i) 仿射联络是无挠率的，即k ji k ij ΓΓ=

(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=

l

ij

i jl j il kl k ij x g x g x g g 21Γ 如果记

k ij lk l ij g ΓΓ=,

则有

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl j

il l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：

[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k

ij Γ=

它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号. 此外，还有等式

0=--∂∂l

kj il l ki jl k

ij g g x g ΓΓ

或

i kj j ki k

ij x

g ,,ΓΓ+=∂∂

还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.

二、 勒维－奇维塔的平行性

仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络i

jk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间V n

中，利用黎曼联络i jk Γ来定义相应的平行移动称为V n

的勒维－奇维塔平行移动.

设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i

(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i

(t )按规律

0d d d d d =+=t

x a t a t Da j

i k ij k k Γ 变化，则称矢量a i

(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动. 勒维－奇维塔平行移动具有性质： 1

度量张量g ij 的协变导数等于零，即

0=--∂∂=

∇l

kj il l ki jl k

ij ij k g g x g g ΓΓ

还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 0

2

若两族矢量a i (t )和b i

(t )都沿曲线平行移动，则

()

0d d

=j i ij b a g t

所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.

3

黎曼空间V n

中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完

全一样，都由微分方程

0d d d d d d 2

2=+s x s x s

x k

j i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量

s

x i

d d 互相平行.

三、 黎曼空间中的曲率

[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}

a i 时，则有

l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记

r

kl

i jr r jl i kr j

i kl

k

i

jl

i

kjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-

∂∂=

它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n

的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得

∇∇-∇∇=k j i j k i kjl i

l a a R a

左边称为逆变矢量{}

a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}i

b 的交错二阶协变导数是

r r

jki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇

张量的交错二阶协变导数是