蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展

教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B

在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路

径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A →

D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB

爬行最近。

现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬

行路线是否都最短呢？

我们不妨看一个具体的：

问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的．

下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？

A B

如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆

柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。

当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路

2）路程最近？

为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出：

（1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。

举一反三如图所示，有一圆柱，它的高为13 cm，底面周长为10 cm，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面1 cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？

B