蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2
解决蚂蚁爬行问题的小技巧_邓露
a，则三种展开方式距离一样，为 姨a2＋（a＋a）２ ＝
姨 5 a．
应用：如下图，边长为 ２ 的正方体中，一只蚂蚁从
顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短
距离是
．
第三种情况：把我们看到的左面与上面组成一个 长方形
l３＝ 姨（a＋c）２ ＋b2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２ac ．
解：最短距离＝ 姨4２ ＋6２＋3２＋2×3×4 ＝ 姨85 ． （３）蚂蚁在圆柱表面爬行。当题目没有强调蚂蚁 沿圆柱侧面爬行时，应分两种情况讨论。在一般情况 下，当圆柱的底面周长为 C，高为 h 时， 路线 １：侧面展开图中的线段 AC．如下图所示：
姨 距离为 l１＝AC＝ 姨AB２ ＋BC２ ＝
而走
B－D－C
的距离更短，∵BD＝４，BC＝
24 π
，
∴BD＋BC≈１１．６４≈１２．故选 Ｂ．
（４）蚂蚁在圆锥的侧面爬行。先计算出圆锥侧面
展开的扇形的圆心角，画出展开图，用 勾股定理解决。
应用：如图，一圆锥的底面半径为 ２， 母 线 PB 的 长 为 ６，D 为 PB 的 中 点．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆锥 的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最
h２ ＋（
c ２
）２
，
路线 ２：高线 AB＋ 底面直径 BC．如下图（１）所
示：
第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一 个长方形
l１＝ 姨（a＋b）２ ＋c2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２ab ．
第二种情况：把我们所看到的前面和上面组成一 个平面
l２＝ 姨（b＋c）２ ＋a2 ＝ 姨a２＋b２ ＋c2＋２bc ．
一部电影通常有几个故事情节构成， 故事之间都 是前后紧密联系的，每个情节都会包含开端，高潮，结局 三部分．将这一原理灵活应用到动态问题中，由于动态 问题的知识点为分段函数， 而分段函数的每个分支实 际为该运动阶段的一个数学关系式， 而分段点就是自 变量的取值端点。因此，将动态问题的运动过程看成一 部电影，把每个阶段看成一个故事情节，每个故事情节 的开端与结局就是分段函数的自变量取值左、右端
专地的题目训练蚂蚁爬行地最短路径(含答案详解)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．16． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM = =．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短，MD =MC +CD =1+2=3，MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
初二数学蚂蚁爬行最短路径问题
初二数学蚂蚁爬行最短路径问题
假设一只蚂蚁从点A出发，沿着正方形边走到点 B，然后再沿着正方形边回到点 A。
若蚂蚁只能沿着正方形边爬行，且每次只能向前或向右走一格，问蚂蚁走的最短路径是多少？
解题思路：
首先，我们画出正方形并在其上标出点 A、B。
接着，我们可以考虑蚂蚁从点 A 出发，第一步只有两种选择：向右或向上走一格。
如果向右走一格，接下来的步骤就变成了一个从点 A 右侧到点 B 的子问题。
同理，如果向上走一格，接下来的步骤就变成了一个从点 A 上方到点 B 的子问题。
因此，我们可以得到以下递归式：
f(x, y) = min{f(x+1, y), f(x, y+1)} + w(x, y) 其中，f(x, y) 表示从点 (x, y) 到点 B 的最短路径长度，w(x, y) 表示点 (x, y) 到其相邻右侧点或下方点的距离。
最终，我们得到的 f(A) 就是从点 A 出发，沿着正方形边走到点 B，再回到点 A 的最短路径长度。
代码实现：
下面是用 Python 实现的代码。
为了简化问题，我们假设正方形边长为 5，点 A 在正方形左下角，点 B 在正方形右上角。
- 1 -。
蚂蚁最短路径问题的总结
蚂蚁最短路径问题的总结蚂蚁最短路径问题是指一群蚂蚁从一个起点出发，到达终点的过程中，所走的路线最短的问题。
这个问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。
本文将对蚂蚁最短路径问题进行总结和分析。
一、问题描述假设有一条长度为 L 的木棍，上面有 n 只蚂蚁。
每只蚂蚁的速度相同，且只能向前爬行。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头。
现在，我们把这些蚂蚁放在木棍的两端，让它们开始爬行。
问最终它们会在哪里相遇？二、问题分析1. 蚂蚁相遇的情况当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的速度变成了相反方向。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
2. 蚂蚁相遇的时间由于蚂蚁的速度相同，因此它们相遇的时间是固定的。
假设蚂蚁的速度是 v，相遇的时间是 t，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。
3. 最终相遇的位置由于我们无法确定蚂蚁的相对位置，因此我们无法确定它们最终相遇的位置。
但是，我们可以确定它们相遇的位置一定是在木棍的两端之间。
三、问题解决1. 排序法我们可以将蚂蚁按照它们的位置从左到右排序，然后让它们继续向前爬行。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的位置交换了。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
2. 模拟法我们可以模拟每只蚂蚁的运动过程，直到它们相遇为止。
对于每只蚂蚁，我们可以记录它的位置、方向和状态。
当两只蚂蚁相遇时，它们会掉头，相当于它们的方向反转了。
因此，我们可以把相向而行的两只蚂蚁看成是穿过了对方，继续向前爬行。
3. 数学法我们可以通过数学公式来求解最终相遇的位置。
假设蚂蚁的数量为 n，速度为 v，木棍的长度为 L，则两只蚂蚁之间的距离是 vt。
因此，蚂蚁相遇的时间是 t=L/(2nv)。
当蚂蚁相遇时，它们的速度变成了相反方向，因此，它们会继续向前爬行，直到到达木棍的两端。
因此，最终相遇的位置一定是在木棍的两端之间。
四、应用实例蚂蚁最短路径问题在生活中有很多应用，比如在物流运输中，寻找最短路径可以节省时间和成本。
蚂蚁爬行最短路径问题深层剖析
蚂蚁爬行最短路径问题深层剖析1如图，一个长方体长、宽、高分别为4cm ，3cm ，6cm ，一只蚂蚁从A 点出发到G 点处吃食物，（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径？（2）需要爬行的最短路程是多少？【分析】做此题要把这个长方体展开，把蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短使用勾股定理即可计算．但难点在于学生在分析时往往对问题思考不够全面，在分类讨论时出现漏解或思路不够清晰所花时间较长。
我们不妨这样来分析；把长方体的六个面分为上面，下面，左面，右面，前面，后面，那么经过点A 的面有三个，分别是前面，左面，下面；经过点G 的面有三个，分别是上面，右面，后面。
接下来分类讨论第1种情况：我们把前面和上面组成一个平面，画出展开图 连结AG ,则在Rt △ABG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是979422=+=AG ;第2种情况：我们把前面和右面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ACG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是856722=+=AG ;第3种情况：如果把前面和后面组合在一起，发现它们是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第4种情况：如果把下面和上面组合在一起，它们也是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第5种情况：我们把下面和右面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △AFG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是10931022=+=AG ;第6种情况：我们把下面和后面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ABG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是974922=+=AG ;第7种情况：我们把左面和上面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △AFG 中，使用勾股定理则所走的最短路程是10931022=+=AG ;第8种情况：如果把左面和右面组合在一起，它们也是互相平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第9种情况：我们把左面和后面组成一个平面，画出展开图连结AG ,则在Rt △ACG 中，使用勾股定理 则所走的最短路程是856722=+=AG ;综上；虽然分析了9种情况，但3种情况舍去，在剩下的6种情况中………………………97=AG……………………85=AG……………………109=AG这6种情况中，虽然路径不同，但因为长方体的对称性，线段AG 的长度实际上共有3种不同结果。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．AB4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．AB1216． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM = =．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题的基本思想是，从一个点出发，经过多次爬行，最终到达另一个点，这一系列的爬行路径之中，路径总长度最短。
假设有一个圆台，有N个点，每个
点有一个指示物，每个指示物都有一个编码，它们之间存在多种不同的爬行方式，编码的大小也可以不同。
要解决这个问题，就要找到一条最短的爬行路径，经过N个点，按照指示物的
编码顺序，使得总长度最短。
圆台上蚂蚁爬行最短路径问题有多种解决方案，最常用的是蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）。
蚁群算法是一
种模拟蚂蚁搜索食物的行为，将蚁群看作一个体系，利用群体智能，来解决复杂最优化问题。
在蚁群算法中，每只蚂蚁都会经过每个点，并在经过每个点时，根据路径的费用，进行一定的机制来增加其他蚂蚁的吸引力，从而使得搜索空间中的蚂蚁分布得更加均匀，更有效地搜索最优路径。
勾股定理的应用——寻求蚂蚁爬行的最短距离
1
方法总结：侧面展开图 中两点之间的连线段即 最短路径。
三、合作探究之长方体
以小组为单位,研究蚂蚁在长方体的A点沿表面爬行 到G点的问题. 表面 A点爬行到G点？ 讨论：1、蚂蚁怎样沿长方体表面从 2、有最短路径吗？若有，那条最短？你是怎
一、问题情境
在一个圆柱石凳上， 若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A处沿石凳的侧 面爬向B处，你们想一想， 蚂蚁怎么走最近？
A
B
二、合作探究之圆柱
研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题. 讨论：1、蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2、有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎 样找到的？
H
E
G
D
F
4
2
CA1Fra bibliotekB例题变式：
H
E E
上
F 1 G
左
H
上
E
2 F 4
前
G
前
F
E 4 C
G
D
F
4
H
2
C
D
2
4 A
G
右
A
A 1
B
（3）
2
1
B
（1）
2 2
2
A
（2）
1
B
第一种： AE 2 (1 4) 29 第二种： AE 1 (2 4) 37
2 2 2
第三种： AE 4 (1 2) 25
么确定呢？H
F D A B
G
E
蚂蚁爬行问题中的最短路程问题
d2 b2 (a c)2 d3 c2 (a b)2
练习题
如图，正方体棱长为4，一只蚂蚁从A点 沿着正方体的表面积爬到B点的最短距 离是多少？
总结
A
AB5= 22 12 5
下面
B
右面
B5
B
方法六
1、展开下面和后面
2、连接AB6
A
则AB6为最短路径
由勾股定理得
下面
AB6= 22 12 5
后面
B6
总结
从A到B共有六种最短路径
最短路径为 5
方法提炼
立体图形表面两点间“最短路程”的一般策略：
c
c
b
b a
d1 a2 (b c)2
a
a
b
c
B
A
思路点拨
1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径 最短问题？ 2、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？ 3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面有哪几 个？ 4、最短路径要走几个面？怎么走？
标注六个表面
左面
后面
B 上面
右 面 前面
A
下面
思维方法
前面
后面
A点 左面
右面
B点
下面
上面
从A到B走最短路径要走几个面？
①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面； ④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.
方法一
1、展开前面和右面 2、连接AB1 则AB1为最短路径 由勾股定理得
前面
A
AB1= 22 12 5
B B1
右面
方法二
1、展开前面和上面 2、连接AB2 则AB2为最短路径 由勾股定理得
AB2= 22 12 5
蚂蚁爬行问题
蚂蚁爬行的最短路径问题当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是________________.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 ________________.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为________________.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 _________. 6. 已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ____________.2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A出发，经过3个面爬到点B．如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________________.3. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ________________5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________________.变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC＝3cm、AB＝4cm、AA1＝5cm，盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 ________________（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．A B4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）第6题A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．AB1216． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM ==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
2023年中考数学复习讲义：第六章 勾股定理 (二十七)——蚂蚁爬行模型
第六章.勾股定理模型（二十七）——蚂蚁爬行模型【模型1】蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从A到B的最短路径：AB min＝√最长边2+(最短边＋较短边)2【模型2】蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：①同测全周长＝√(2πr)2+ℎ2②异测半周长＝√(πr)2+ℎ2【模型3】蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝√(πr)2+ℎ2典例1 ☆☆☆☆☆如图，长方体的长为15，宽为10，高为 20，点B 到点C 的距离为5一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬行到点B ，则需要爬行的最短距离是________。
【答案】25【解析】本题可看成蚂蚁是在长为5，宽为 10，高为 20 的长方体表面爬行，根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论∶d min ＝ √最长边2+(最短边＋较短边)2知 d min ＝ √202+(10＋5)2 ＝25 典例2 ☆☆☆☆☆如图，一圆柱高为8cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 A 爬到点 B 处觅食，则要爬行的最短路程（π取 3）是（ ）A.20 cmB.10 cmC.14 cmD. 无法确定【答案】B【解析】根据蚂蚁在圆柱表面爬行的结论，可知d min＝√(πr)2+ℎ2＝√(3×2)2+82＝10(cm).典例3 ☆☆☆☆☆如图所示，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在容器内壁离底部2cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁 A处到达内壁 B 处的最短距离为______cm.【答案】3√5【解析】如图，将容器侧面展开，作 A关于EF（容器上沿）的对称点A´，连接A´B，过 B作 BC上FA 于点C，A´B＝√(A´C)2+BC2＝√(6−2+2)2+32＝3√5（cm）.即蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为3√5cm.1.（★★★☆☆）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9 cm，BC=6cm，BF=5cm，点 M在棱AB上，且AM＝3 cm，N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M爬行到点 N，则它需要爬行的最短路程为（）A.10 cmB.√106 cmC.(6-√34)cmD.9cm2.（★★★☆☆）如图，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到点C´处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。
蚂蚁路程问题
一.蚂蚁爬行最短路程问题的拓展教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？A BAB然而对于任意的圆柱，上面的爬行路线是否都最短呢？问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块的．．．．下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？AB举一反三如图所示，有一圆柱，它的高为13 cm，底面周长为10 cm，在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁想吃到离上底面1 cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？2.探究长方体表面最短路径问题如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？B推广延伸若探究2中的长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，找出沿正方体表面从点A到点B的最短路径，并说明理由．3．实际应用成都动物园大鸟笼（百鸟苑），苑内一条参观道围绕中间直径为20 m，高10 m的立柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类近距离接触，同时也节约了占地面积．已修成的这条参观道绕立柱一周，最高离地面10 m，总长70 m，每米造价约为1万元．若请你来当参观道的设计师，依然绕圆柱一周，最高离地面10 m，每米的造价不变，你能设计出一个最省钱的方案吗？分层练习A组1．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为6cm，那么最短路径AB长( )．A．8 B．6 C．平方后为208的数D．102．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cm B．32cm C．40 cm D．453．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？A．100 B．180 C．220 D．2604．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．5．飞机在空中水平飞行．．．．，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m，则飞机速度是多少？B组6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）．A . 2m B．3m C．6m D．9m7．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角∠A ＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝m时，有DC2＝AE2＋BC2．．8．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．。
人教版初三数学上册圆柱体表面蚂蚁爬行最短路线问题探讨
蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路线问题的探究教学目标：（1）让学生学会转化，把空间问题转化为平面问题；（2）线段公理与勾股定理的应用；教学难点：如何把空间问题转化为平面问题；教学重点：线段公理与勾股定理的应用；教学设计探究一：请看题目：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___________ 尺。
解题思路：要解决这道题首先应解决好缠绕一圈时最短长度是多少尺；探究二：有一圆柱，底面圆的周长为24cm,高为6cm，—只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形•根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽6cm处和长24cm 中点处，即AB 长为最短路线.（如图）亠----- B r12 B如果蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：探究三：如图，圆柱形容器高18cm,底面周长为"cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蜂蜜设计意图：一,1、体会转化思想（1）把空间问题转化成平面问题（2）把复杂问题转化成简单问题2、提高综合利用数学知识能力如线段公理、勾股定理、对称的性质等3、体会三个探究问题中的联系与区别（1）探究一与探究二目的地不同，展开图对应点位置也不同。
（2）探究三是探究二的拓展。
蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm。
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蚂蚁爬行最短路程问题的拓展
教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。
那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B
在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路
径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A →
D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB
爬行最近。
现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬
行路线是否都最短呢？
我们不妨看一个具体的：
问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的．
下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？
A B
如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆
柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。
不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。
反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。
不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。
当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路
2）路程最近？
为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出：
（1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。
举一反三如图所示，有一圆柱，它的高为13 cm，底面周长为10 cm，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面1 cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？
B。