特征函数与矩函数的关系

2 分布
23
分别用不同的命令 产生两个正态随机 变量 X ~ N (0, 1) 和 Y 是~ N (2, 0.5)每个变 量由1×6的随机数 构成。试用MATLAB 程序实现获得每个 随机变量的均值、 方差、标准差和这 两个随机变量的相 关系数，并分析这 两个随机变量的相 关性。
22
产生随机数及其统计特性的MATLAB函数 P 表8 1 196
分布名称 二项分布 泊松分布 离散均匀分布 均匀分布 指数分布 正态分布 瑞利分布 产生随机数 binornd poissrnd unidrnd unifrnd exprnd normrnd raylrnd chi2rnd 概率密度函数值 binopdf poisspdf unidpdf unifpdf exppdf normpdf raylpdf chi2pdf 概率分布函数值 binocdf poisscdf unidcdf unifcdf expcdf normcdf raylcdf chi2cdf 均值与方差 binostat poissstat unidstat unifstat expstat normstat raylstat chi2stat

dn dn cn ( j ) n [ n X ( )] ( j ) n [ n ln X ( )] d d 0 0
X的n阶累积量 第二特征函数也称为累积量生成函数
4
例1.2 2 求数学期望为零的高斯变量X的各阶矩 和各阶累积量.
f X ( x)
2 1 e 2 2 x2
10
高斯变量的特点
高斯变量的线性组合仍为高斯变量
若X i为高斯变量, 其数学期望和方差为mi 和 i2 , Y X i ,
i 1 n n
则Y也是高斯变量, 其数学期望和方差分别为 : mY mi
i 1
i2 2 rij i j
2 Y i 1 i j
Y服从两个自由度的中心 2分布即指数分布
19
2、莱斯分布
当高斯变量X i (i 1,2, , n)的数学期望mi 不为零时, Y X i2 是非中心 2 分布, 而R Y 则是莱斯分布.
i 1 n
R的概率密度为：
f R (r )
r
n2

r 2 2 2

2 n2
2
2 2
2
)
0

0
2 2
2
d 2 2 E[ X ] ( j ) X ( ) [( ) e 2 d 0 2 2
2
2 2
2
e
2
] 0 2
5
X ( ) e

2 2
2
1 3 5(n 1) n E[ X n ] 0
归一化高斯变量Y的特征函数为: Y ( ) e
Y X m

2
2

X Y m
X ( ) e
jm
Y ( ) e
jm
2 2
2
12
2、二维高斯分布
两个高斯变量X 1和X 2 , 数学期望分别为m1和m2 , 方差分别
2 为 12 和 2 , 它们的联合概率密度为: 1 2 (1 r 2 ) ( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 [ ] 2 2
f X (x)
1 ( 2 ) n C
e
1 T 1 ( x m) C ( x m) 2
14
2 分布 三、
n个互相独立的高斯变量X 1 , X 2 , , X n , 方差均为 2 , 则其平方和 : Y X i2 服从n个自由度的 2 分布.
2
1 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 2 1 (n) 泰勒级数 f ( x0 )( x x0 ) n x 0 n!
0
麦克劳林级数
1 1 ( n) 2 f ( x) f (0) f ' (0) x f ' ' (0) x f (0) x n 2 n!
d X ( ) f X ( x)( jx ) dx jE [ X ] d 0
数学期望或 一阶原点矩
1
d n X ( ) n jx f X ( x)( jx ) e dx n d
d X ( ) jE [ X ] d 0
一维高斯分布的随机 变量X的概率密度为 : f X ( x)
1 e 2 ( xm)2 2 2
高斯变量的概率密度
高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期 望和方差决定。
9
f X ( x)
1 e 2
( xm)2 2 2
对高斯变量进行归一化处理 : Y X m

归一化后的高 斯变量的数学 期望为零、方 差为1。 归一化高斯变量或标准高斯变量
f X ( x1 , x2 )
1 2 1 2 1 r 2
e
1
1 2
2
若X 1和X 2 是互相独立的, 则上式简化为 : f X ( x1 , x2 ) f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) 1 2 1 2 e
1 ( x1 m1 ) 2 ( x2 m2 ) 2 [ ] 2 2 2 1 2
18
四、瑞利分布和莱斯分布
1、瑞利分布
若X 1 , X 2 是数学期望为零, 方差为 2 , 且互相独立
2 的高斯变量, 则R Y X 12 X 2 服从瑞利分布, r2 2 2
其概率密度为 : f R (r )
r


2
e
r 0; 若Y为n个
自由度的中心 2 分布, 则R称为广义瑞利分布.
n
rij 是X i与X j 之间的相关系数
n
2 若X i 之间是互相独立的, 则上面的方差应修正为 : Y i2 i 1
11
如果n个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有 限的数学期望和方差，当n无穷大时，它们之和的分 布趋近于高斯分布。即使n个独立随机变量不是相同 分布的，当n无穷大时，如果满足任意一个随机变量 都不占优势或对和的影响足够小，那么它们之和的 分布仍然趋于高斯分布。（中心极限定理） 对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。
i 1 n
若n个高斯变量的数学期望均为零, 称Y为中心 2分布.
Y的概率密度为:
fY ( y )
1 (2 )
2 n 2
(n 2)
y
y n 1 2 2 2
e
y0
15
fY ( y )
1 (2 )

2 n 2
(n 2)
y
y n 2 1 2 2
e
y0
( x ) t
e
I n 21 (
r

2
)
r0
20
表1.3 1
P37
21
基于MATLAB的随机变量的产生和运算 通过物理实验装置获得随机变量 0-1分布的随机变量可以通过掷硬币实验产 生，正态分布的随机变量可以通过噪声二 极管实验电路产生。 利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准 确，几乎所有的计算机程序语言与仿真都配备有产生 随机数的措施。 计算机计算出来的随机数为伪随机数 可作随机数使用
0
x 1 t
e dt
mY n 2 Y的数学期望和方差为: 2 Y 2n 4
n 2时, Y为指数分布fY ( y ) 1 2
2 y 2 2
e
(1) 1
16
若n个高斯变量的数学期望不为零而是mi , 称Y为 非中心 2 分布, mi2 称做非中心分布参量.
17
2分布的一条重要的性质
两个互相独立的具有(非)中心 2 分布的 随机变量之和仍为(非)中心 2 分布, 若它 们的自由度分别为n1和n2 , 其和的自由度 为n n1 n2 ; 对于非中心 2 分布, 若非中 心分布参量分别为1和2 , 其和的非中心 分布参量为 1 2 .
1 f X ( x) b a 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a xb 其它
0 x a 概率分布函数为 : F ( x) b a 1
xa a xb xb
ab m , 2
概率分布函数
(b a) 2 2 12
8
二、高斯分布（正态分布）
1、一维高斯分布
13
3、多维高斯分布
12 12 C12 C1n X1 m1 2 2 X 2 m2 2 C21 2 C2 n X , m , s , C 2 X m 2 C Cn 2 n n n n n1
n为偶数 n为奇数
dn cn ( j ) n [ n X ( )] d 0
X ( ) ln X ( )
2 2
2
d c1 j[ X ( )] 0 j[ 2 ] 0 0 d
d2 c2 ( j ) 2 [ 2 X ( )] 0 [ 2 ] 0 2 d
cn 0
(n 2)
数学期望为零的高斯变量的前 三阶矩与相应阶的累积量相同
6
1.3 随机信号实用分布律
一、均匀分布
如果随机变量X的概率密度满足 1 a xb f X ( x) b a 0 其它 则称X为在[ a, b]区间内均匀分布 的随机变量.
概率密度
7
概率密度

3
( j ) n X ( ) E[ X n ] n! n 0

矩生成函数
特征函数由各阶矩函数唯一地确定
dn n ( j ) n X ( ) ln X ( ) [ n X ( )] cn n! n 0 n! n 0 d 0
d n X ( ) E[ X n ] ( j ) n d n 0
d X ( ) E[ X ] j d 0
d n X ( ) f X ( x)( jx ) n dx j n E[ X n ] d n 0
n阶原点矩
说明矩函数可由特征函数唯一地确定

t2 2 2
FT [e
] 2 e
2 2
2

2 2
2
1 X ( ) 2 e X () FT [ f X ( x)] 2
d 2 E[ X ] j X ( ) j ( e d 0
e

2 2
1.2.3 特征函数与矩函数的关系
设随机变量X的概率密度为f X ( x), 其特征函数为 : X ( ) f X ( x)e jx dx

d X ( ) d jx jx f X ( x)( e )dx f X ( x)( jx ) e dx d d
1 '' 1 (n) 2 X ( ) X (0) (0) X (0) X (0) n 2 n!
' X
dn n ( j ) n X ( ) [ n X ( )] E[ X n ] n! n 0 n! n 0 d 0
i 1 n
Y的概率密度为：
fY ( y )

1 2
2
( )
y

n2 4

y 2 2
e
y I n 21 ( 2 )
y0
( x 2) n 2 m I n ( x) n阶修正贝塞尔函数 m 0 m!( n m 1)
mY n 2 Y的数学期望和方差为： 2 Y 2n 4 4 2