特征函数与矩函数的关系
特征函数与矩函数
根据概率分布的性质和公式，计算相应的矩函数。例如，对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数和概率分布函 数来计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数和概率分布函数来计算。
数值法
对于一些复杂的概率分布，可以使用数值方法来近似计算矩函数。例如，蒙特卡洛方法可以用来模拟随 机变量的样本值，然后通过样本值的数学期望来近似计算矩函数。
05 特征函数与矩函数的扩展
广义特征函数与矩函数
定义
广义特征函数与矩函数是相对于经典的特征 函数与矩函数的扩展，它们在更广泛的意义 下描述了数据的统计特性。
性质
广义特征函数与矩函数具有更强的灵活性和适应性 ，能够更好地处理复杂的数据分布和异常值。
应用
在统计学、机器学习、数据分析等领域，广 义特征函数与矩函数被广泛应用于数据建模 、特征提取和异常检测。
03 特征函数与矩函数的应用
在概率论中的应用
特征函数用于描述随机变量的概率分布， 可以表示为复平面上的函数。通过计算特 征函数的导数，可以得到随机变量的各阶 矩，如均值、方差、偏度、峰度等。
特征函数还可以用于研究随机变量的 变换性质，例如，通过特征函数可以 推导出随机变量的变换规律，以及随 机变量的独立性、相关性等性质。
特征函数与矩函数
目录
• 特征函数 • 矩函数 • 特征函数与矩函数的应用 • 特征函数与矩函数的区别与联系 • 特征函数与矩函数的扩展
01 特征函数
定义与性质
定义
特征函数是概率论和统计学中的一个 概念，用于描述随机变量或随机过程 的特性。
性质
特征函数具有一些重要的性质，如实 部和虚部都是单调递减的，且实部和 虚部都是偶函数。
特征函数的性质
唯一性
随机过程及其在金融领域中的应用课后答案
习题二：1.证：设为X 取值为k （1k ≥）的随机变量。
且()k p p x k == 证法I （通俗证法，但不严格）：111()()(1)2(2)3(3)...()...(1)(2)(3)...()...()k k k k k E x x p kp x k p x p x p x np x n p x p x p x p x n p x k ∞∞==∞======+=+=+=+=≥+≥+≥+≥+=≥∑∑∑证法II ：111111()()()()()k k k i i k ii k EX kp x k p x k p x k p x i p x k ∞∞∞∞∞======∞========≥=≥∑∑∑∑∑∑∑证法III ：1111111()()(()(1))()(1)(1)(1)(1)(1)()k k k k k k k E X kp x k k p X k p x k kp x k k p x k p x k p k p x k p x k ∞∞==∞∞∞===∞∞=====≥-≥+=≥-+≥++≥+==+≥+=≥∑∑∑∑∑∑∑2.解：(1)0(1)0()()()1111ax ax ax x x a a x E Y E e e f x dx e e dx e dxde a a+∞+∞+∞---∞+∞-======--⎰⎰⎰⎰3.解：边缘概率密度为：12021202,01()(,)603,01()(,)60,X Y x x f x f x y dy xy dy y y f y f x y dx xy dx +∞-∞+∞-∞<<⎧===⎨⎩⎧<<===⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它其它因为(,)()()f x y f x f y =所以X ，Y 独立。
故cov(,)cov(,)0X Y Y X ==11223001132400222221()()2()23233()()3()34513cov(,)()(())cov(,)()(())1880E X xf x dx x dx E X x dx E Y yf y dy y dy E Y y dy X X E X E X Y Y E Y E Y +∞-∞+∞-∞===========-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故(,)X Y 的协方差矩阵为10cov(,)cov(,)18cov(,)cov(,)3080X X X Y Y X Y Y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦4.解：（1）22121210,1,4,2μμσσρ=====将各参数代入二维正态分布密度函数，最终得：22211(,)324f x y x xy y ⎧⎫⎡⎤=--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（2）1cov(,)12XY X Y ρ==⇒=cov(,)()()()()1X Y E XY E X E Y E XY =-∴=当Z 与X 独立时，有()()()E ZY E Z E Y =()()()()()222()()()0,()0,()404E Z aE X E Y E Y E ZY E a XY Y aE XY E Y aE XY E Ya a ⎡⎤=+===+=+⎣⎦∴+=+=⇒=-6.解：()()()1212121211()()12121()(,)!!!!!!!kn kn nk k nnk n kk P X Y n P X k Y n k ee k n k en e n k n k n λλλλλλλλλλλλ---==-+-+-=+====-=-==+-∑∑∑()()12121212()121212!!(|)(|)()!kn kk n kk n n ee k n k P X k Y n k P X k X Y n C e P X Y n n λλλλλλλλλλλλλλ-----+-⎛⎫⎛⎫==-=+====⎪ ⎪+=++⎝⎭⎝⎭+8.解：()0()()()ux ux ux x X M u E e e f x dx e e dx u uλλλλλ+∞+∞--∞====>-⎰⎰()()()()222121()X X u u E X M u E X M u D X λλλ=='''=====13.解：由特征函数与矩母函数关系知：()11X M u u=- ()()()()201()21X X u u E X M u E X M u D X =='''∴=====14.解：1,...,n X X 均相互独立。
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
特征函数和矩母函数
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
t 0
npq n 2 p 2
DX EX EX npq
2 2
例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。 x 解: 1 itx
2
g (t )
2
e e
2
dx
1 g (t ) 2
ixe e
x2 itx 2
i dx 2
e d e
l
P{N l} P ( s )
l 0 j 1
l
P{N l}[ P ( s )]l G ( P ( s ))
l 0
dG( P ( s )) EY H (1) ds
s 1
dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s 1 G (1) P (1) EN EX1 (注P (1) 1)
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
tX
1．定义
称
e
的数学期望
(t ) E[e ]
tX
为随机变量X的矩母函数。
2．原点 矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
随机变量 特征函数 矩
随机变量特征函数矩
随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的结果。
而特征函数则是描述随机变量的重要工具之一，它可以用来确定随机变量的分布和性质。
特征函数是一个复数函数，通常表示为φ(t)，其中t为实数。
对于一个随机变量X，它的特征函数φ(t)定义为：
φ(t) = E[e^(itX)]
其中E表示期望，i表示虚数单位。
特征函数在概率论中有广泛的应用，可以用来计算随机变量的矩和分布，以及求解各种概率分布的性质。
矩是描述随机变量的另一个重要工具，它表示随机变量的各阶矩值。
对于一个随机变量X，它的k阶矩定义为：
E[X^k]
其中E表示期望。
随机变量的矩可以用来描述它的分布和性质，例如均值、方差、偏度和峰度等。
特征函数和矩之间存在着紧密的联系，可以通过特征函数来计算随机变量的各阶矩。
具体来说，随机变量的k阶矩可以表示为特征函数的k阶导数在0处的值：
E[X^k] = (-i)^k φ^(k)(0)
其中φ^(k)(t)表示φ(t)的k阶导数。
这个公式可以用来计算随机变量的矩，从而求解各种概率分布的性质。
总之，随机变量、特征函数和矩是概率论中的重要概念和工具，
它们在统计学、金融学、物理学等领域有广泛的应用。
深入理解这些概念和工具，对于掌握概率论和统计学的基本原理和方法，以及解决实际问题都具有重要意义。
x2-分布、t-分布、f-分布的w特征函数和矩
x2-分布、t-分布、f-分布的w特征函数和矩
x^2-分布指的是自由度为n的卡方分布，一般用于研究样本方差的分布情况。
其概率密度函数为：
f(x) = 1/(2^(n/2)*Γ(n/2))*x^(n/2-1)*e^(-x/2)
其中Γ表示伽玛函数，是一个常见特殊函数。
x^2-分布的特征函数为：
其中i为虚数单位，E表示期望，t为实数。
对于特征函数的研究，我们可以通过它的矩来得出更多的性质。
对于x^2-分布，它的m阶矩为：
其中m为正整数。
其中n为自由度。
t-分布的特征函数为：
ϕ(t) = E(e^(itx)) = (1-it/ν)^(-ν/2)
其中ν=n-1，表示度量总体标准差的自由度。
通过特征函数，我们可以得到t-分布的m阶矩为：
E(x^m) = 0 (当m为奇数时)
当m为奇数时，矩不存在。
E(x^m) =
Γ((n1+n2+m)/2)*((n1/n2)^(m/2))*Γ((n1+m)/2)/(Γ(n1/2)*Γ(n2/2)*(n1+n2)^(m/2))。
第2章 随机变量-特征函数
例1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即 P { X c } 1 求X 的特征函数.
( t ) E( e
jtX
) e
k
jtxk
pk
pk
( t ) e
k
jtxk
e jtC 1
e
jtC
例1.2 设随机变量X 服从参数为p 的0-1分布(两点分布), 求其特征函数.
e
jtX
cos tX j sin tX
( t ) E (e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
2. 特征函数的计算
e
jtX
cos( tX ) j sin( tX )
( t ) E (e
jtX
) e jtX dF ( x )
1 1 2
2 t n X n )
]
为n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的特征函数. 其中t= (t1, t2, , tn) Rn
二、二维随机变量特征函数的性质 性质2.1 设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ) ，则有
(1) (0,0) 1, 且对任意 t1 , t 2 R, | ( t1 , t 2 ) | (0,0) 1. (2) ( t1 , t 2 ) ( t1 , t 2 );
一、定义及例
1. 特征函数的定义
定义1.1 设X 是定义在概率空间 ( , F , P )上的随机变量, 它
jtX
的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
) 为X 的特征函数.
特征函数与矩函数的关系28页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。1、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
随机变量的特征函数及其应用
一、一维随机变量的特征函数及其应用
提出问题：计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，只利 用分布函数和密度函数， 求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的 （要计算密度函数的卷积） 解决问题：利用随机变量的特征函数求随机变量的各阶矩
e itx Px dx
t 0
姓名：庞爱茹 专业：电子与通信工程 学号：201322210051
=
d k itx x dx i k x k Px dx i k k dt k e tP 0
性质 5 说明，可利用 r.v 的 c. f 的各阶微分来计算， r.v 的各阶矩，这显然比用分布密 度的积分来求矩阵方便得多。
由e
itx
当
ξ
P
a1 p1
a2 p2
… … （2）
当ξ～f（x）
1 ，故（2）的级数或积分是绝对收敛，即 r , v, 的特征函数总存在。
由（2）看出， r.v. 的 c. f 是其概率函数或密度函数的傅里叶变换，
2、特征函数与矩的关系（利用随机变量的特征函数求随机 变量的各阶矩）
设 r.v. 的 n 阶矩存在， 则 的特征函数 t 的 k 阶导数 有 即
二、 多维随机变量的特征函数及其应用
一、定义
定义 设是 1 , 2 二维随机变量，其分布函数为 F ( x1 , x2 ) ， t1 , t 2 为任意实数，记
(t1, t2 ) E[e
i ( t11 t 2 2 )
] Hale Waihona Puke s
特征函数
k = L − 3,−2,−1,0,1,2,3,L
ϕ ( t) =
1 pk = 2π
k = −∞
pk e jtk ∑
则
∫π
−
π
e − jtkϕ ( t )dt
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概 率 论
为只取0到 的整数的离散型随机变量 的整数的离散型随机变量,且其特征函数为 例 设X为只取 到n的整数的离散型随机变量 且其特征函数为 为只取
∫
+∞
−∞
e − jtxϕ ( t )dt
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概 率 论
设随机变量X 例 设随机变量 的特征函数
ϕ (t ) = e
1 − t2 2
求随机变量X 的密度函数. 求随机变量 的密度函数
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概 率 论
定理4.1.3 设X 为取整数值及 的随机变量 其概率函数为 为取整数值及0的随机变量 的随机变量, 定理 P{ X = k } = pk 其特征函数为
k
k
φ ( t ) = ∑ e itk
k =0 ∞
∞
λ k e−λ
k!
Байду номын сангаас
k （e it λ） = e−λ ∑ k! k =0
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=e e =e
−λ
λ e it
（ λ e it - 1）
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概 率 论
设随机变量X 的均匀分布, 求其特征函数. 例4.1.5 设随机变量 服从[− a , a ] 的均匀分布 求其特征函数
特征函数与矩函数的关系,写的非常不错。
∫
∞
f XY ( x, y )e j (ω1 x +ω2 y ) dxdy
f XY ( x, y ) =
1 (2π ) 2
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
Φ XY (ω1 , ω2 ) ⋅ e − j (ω1x +ω2 y ) dω1dω2
边缘特征函数
Φ X (ω1 ) = Φ XY (ω1 ,0) Φ Y (ω 2 ) = Φ XY ( 0, ω 2 )
2
σ 2ω 2
2
)
ω =0
−
=0
σ 2ω 2
2
− d 2 2 E[ X ] = ( − j ) Φ X (ω ) = −[(−σ ω ) e 2 dω ω =0 2 2
2
σ 2ω 2
2
−σ e
2
]ω =0 = σ 2
5
ΦX (ω) = e
−
σ 2ω2
2
⋅ 3⋅ 5L(n −1)σ n 1 n E[ X ] = 0
1 v v T v −1 v v − ( x −m) C ( x −m) 2
v f X ( x) =
1 (2π ) C
n
e
17
χ2 分布 三、
n个互相独立的高斯变量X 1 , X 2 , L, X n , 方差均为σ 2 , 则其平方和 : Y = ∑ X i2 服从n个自由度的χ 2 分布.
i =1 n
1 2 N
n=1
n
8
1.3 随机信号实用分布律
一、均匀分布
如果随机变量 X 的概率密度满足 1 a≤ x≤b f X ( x) = b − a 0 其它 则称 X为在 [ a , b ]区间内均匀分布 的随机变量 .
1.4 随机过程的特征函数
6、随机变量X的n阶原点矩存在，则它的特征 函数可以微分n次，且有
n (0) (i)n E[ X n ] 或 E[ X n ] (i)n n (0)
1.7.4 特征函数与矩的关系
设随机变量X的概率密度 fX (x)，其特征函数为
X (t)
定义此多维随机变量的特征函数为
X1X2 Xn (t1, t2 tn ) E[eitX1itX2 ] itXn
简写为
X (t) E[eitTX ]
式中 t1,t2, ,tn 是实变量，t T 是t的转置，而
n
tT X t1X1 t2 X 2 tn X n ti X i i 1
泊松分布
设随机变量X的分布列为
p{X
k}
k
k!
e，其中，
0
k 0,1, 2,... ， 特征函数为：
X (t)
E(eitX )
eitk
k 0
k
e
k!
e
k 0
eit k
k!
e e e eit
(eit 1)
均匀分布
X R(a, b) 时，(t) eb itx 1 dx a ba
eibt eiat
(b
a)it
1
t0 t0
指数分布
当 X E() 时，
(t) e itx e-xdx = e--itxdx
0
0
= -it
注：
'
t0
由此可得，求随机变量X的各阶矩，可以通过对 特征函数求导数的办法，而无需作非常繁杂的 积分运算。
特征函数及其应用
特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。
高斯分布moment generation function
高斯分布Moment Generating Function高斯分布（Gaussian distribution）是统计学中常见的一种概率分布，也被称为正态分布（normal distribution）。
它在自然界和社会现象中广泛出现，并且在实际生活中有着重要的应用。
高斯分布的研究对于理解数据集的分布、参数估计以及推断假设非常重要。
在统计学中，矩（moment）是描述概率分布的基本工具之一。
矩生成函数（moment generating function）是一种用来描述随机变量的矩的函数，在应用中经常被用来推导随机变量的矩，特别是求解方差和协方差等重要统计量。
在高斯分布的场景下，矩生成函数被称为高斯分布的矩生成函数。
高斯分布高斯分布是一种连续的概率分布，其特点是形成一个钟形曲线。
高斯分布的概率密度函数（probability density function，PDF）可以通过以下公式表示：[ f(x) = e^{-} ]其中，μ是均值，σ是标准差。
高斯分布的均值决定了曲线的位置，而标准差则决定了曲线的形状。
均值为μ的高斯分布将其峰值定位在μ处，标准差越大，曲线越平缓。
高斯分布在自然界和社会现象中的广泛存在具有重要的实际应用价值。
例如，在金融领域，股票价格的变化通常被假设为高斯分布，基于高斯分布的统计方法可以帮助投资者进行风险评估和投资决策。
矩生成函数矩生成函数是随机变量的矩的生成函数，对于随机变量X，其矩生成函数被定义为：[ M_X(t) = E(e^{tx}) = _{-}{}e{tx}f(x)dx ]其中，E(⋅)表示期望值运算符，f(x)是随机变量X的概率密度函数。
通过矩生成函数，我们可以推导出随机变量的矩，特别是可以求解高斯分布的方差和协方差等重要统计量。
对于高斯分布，其矩生成函数可以通过以下公式计算：[ M_X(t) = e^{t+ t^2 ^2} ]注意到，高斯分布的矩生成函数具有非常简洁的形式，这使得求解高斯分布的矩成为相对简单的任务。
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若n个高斯变量的数学期望均为零, 称Y为中心 2分布.
Y的概率密度为:
fY ( y )
1 (2 )
2 n 2
(n 2)
y
y n 1 2 2 2
e
y0
15
fY ( y )
1 (2 )
2 n 2
(n 2)
y
y n 2 1 2 2
e
y0
( x ) t
d X ( ) f X ( x)( jx ) dx jE [ X ] d 0
数学期望或 一阶原点矩
1
d n X ( ) n jx f X ( x)( jx ) e dx n d
d X ( ) jE [ X ] d 0
一维高斯分布的随机 变量X的概率密度为 : f X ( x)
1 e 2 ( xm)2 2 2
高斯变量的概率密度
高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期 望和方差决定。
9
f X ( x)
1 e 2
( xm)2 2 2
对高斯变量进行归一化处理 : Y X m
归一化后的高 斯变量的数学 期望为零、方 差为1。 归一化高斯变量或标准高斯变量
e
I n 21 (
r
2
)
r0
20
表1.3 1
P37
21
基于MATLAB的随机变量的产生和运算 通过物理实验装置获得随机变量 0-1分布的随机变量可以通过掷硬币实验产 生，正态分布的随机变量可以通过噪声二 极管实验电路产生。 利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准 确，几乎所有的计算机程序语言与仿真都配备有产生 随机数的措施。 计算机计算出来的随机数为伪随机数 可作随机数使用
10
高斯变量的特点
高斯变量的线性组合仍为高斯变量
若X i为高斯变量, 其数学期望和方差为mi 和 i2 , Y X i ,
i 1 n n
则Y也是高斯变量, 其数学期望和方差分别为 : mY mi
i 1
i2 2 rij i j
2 Y i 1 i j
Y服从两个自由度的中心 2分布即指数分布
19
2、莱斯分布
当高斯变量X i (i 1,2, , n)的数学期望mi 不为零时, Y X i2 是非中心 2 分布, 而R Y 则是莱斯分布.
i 1 n
R的概率密度为：
f R (r )
r
n2
r 2 2 2
2 n2
17
2分布的一条重要的性质
两个互相独立的具有(非)中心 2 分布的 随机变量之和仍为(非)中心 2 分布, 若它 们的自由度分别为n1和n2 , 其和的自由度 为n n1 n2 ; 对于非中心 2 分布, 若非中 心分布参量分别为1和2 , 其和的非中心 分布参量为 1 0
a xb 其它
0 x a 概率分布函数为 : F ( x) b a 1
xa a xb xb
ab m , 2
概率分布函数
(b a) 2 2 12
8
二、高斯分布（正态分布）
1、一维高斯分布
n
rij 是X i与X j 之间的相关系数
n
2 若X i 之间是互相独立的, 则上面的方差应修正为 : Y i2 i 1
11
如果n个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有 限的数学期望和方差，当n无穷大时，它们之和的分 布趋近于高斯分布。即使n个独立随机变量不是相同 分布的，当n无穷大时，如果满足任意一个随机变量 都不占优势或对和的影响足够小，那么它们之和的 分布仍然趋于高斯分布。（中心极限定理） 对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。
f X ( x1 , x2 )
1 2 1 2 1 r 2
e
1
1 2
2
若X 1和X 2 是互相独立的, 则上式简化为 : f X ( x1 , x2 ) f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) 1 2 1 2 e
1 ( x1 m1 ) 2 ( x2 m2 ) 2 [ ] 2 2 2 1 2
22
产生随机数及其统计特性的MATLAB函数 P 表8 1 196
分布名称 二项分布 泊松分布 离散均匀分布 均匀分布 指数分布 正态分布 瑞利分布 产生随机数 binornd poissrnd unidrnd unifrnd exprnd normrnd raylrnd chi2rnd 概率密度函数值 binopdf poisspdf unidpdf unifpdf exppdf normpdf raylpdf chi2pdf 概率分布函数值 binocdf poisscdf unidcdf unifcdf expcdf normcdf raylcdf chi2cdf 均值与方差 binostat poissstat unidstat unifstat expstat normstat raylstat chi2stat
d n X ( ) E[ X n ] ( j ) n d n 0
d X ( ) E[ X ] j d 0
d n X ( ) f X ( x)( jx ) n dx j n E[ X n ] d n 0
n阶原点矩
说明矩函数可由特征函数唯一地确定
cn 0
(n 2)
数学期望为零的高斯变量的前 三阶矩与相应阶的累积量相同
6
1.3 随机信号实用分布律
一、均匀分布
如果随机变量X的概率密度满足 1 a xb f X ( x) b a 0 其它 则称X为在[ a, b]区间内均匀分布 的随机变量.
概率密度
7
概率密度
dn dn cn ( j ) n [ n X ( )] ( j ) n [ n ln X ( )] d d 0 0
X的n阶累积量 第二特征函数也称为累积量生成函数
4
例1.2 2 求数学期望为零的高斯变量X的各阶矩 和各阶累积量.
f X ( x)
2 1 e 2 2 x2
f X (x)
1 ( 2 ) n C
e
1 T 1 ( x m) C ( x m) 2
14
2 分布 三、
n个互相独立的高斯变量X 1 , X 2 , , X n , 方差均为 2 , 则其平方和 : Y X i2 服从n个自由度的 2 分布.
n为偶数 n为奇数
dn cn ( j ) n [ n X ( )] d 0
X ( ) ln X ( )
2 2
2
d c1 j[ X ( )] 0 j[ 2 ] 0 0 d
d2 c2 ( j ) 2 [ 2 X ( )] 0 [ 2 ] 0 2 d
2
1 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 2 1 (n) 泰勒级数 f ( x0 )( x x0 ) n x 0 n!
0
麦克劳林级数
1 1 ( n) 2 f ( x) f (0) f ' (0) x f ' ' (0) x f (0) x n 2 n!
0
x 1 t
e dt
mY n 2 Y的数学期望和方差为: 2 Y 2n 4
n 2时, Y为指数分布fY ( y ) 1 2
2 y 2 2
e
(1) 1
16
若n个高斯变量的数学期望不为零而是mi , 称Y为 非中心 2 分布, mi2 称做非中心分布参量.
3
( j ) n X ( ) E[ X n ] n! n 0
矩生成函数
特征函数由各阶矩函数唯一地确定
dn n ( j ) n X ( ) ln X ( ) [ n X ( )] cn n! n 0 n! n 0 d 0
i 1 n
Y的概率密度为：
fY ( y )
1 2
2
( )
y
n2 4
y 2 2
e
y I n 21 ( 2 )
y0
( x 2) n 2 m I n ( x) n阶修正贝塞尔函数 m 0 m!( n m 1)
mY n 2 Y的数学期望和方差为： 2 Y 2n 4 4 2
t2 2 2
FT [e
] 2 e
2 2
2
2 2
2
1 X ( ) 2 e X () FT [ f X ( x)] 2
d 2 E[ X ] j X ( ) j ( e d 0
e
2 2
13
3、多维高斯分布
12 12 C12 C1n X1 m1 2 2 X 2 m2 2 C21 2 C2 n X , m , s , C 2 X m 2 C Cn 2 n n n n n1
1.2.3 特征函数与矩函数的关系
设随机变量X的概率密度为f X ( x), 其特征函数为 : X ( ) f X ( x)e jx dx
d X ( ) d jx jx f X ( x)( e )dx f X ( x)( jx ) e dx d d