分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
分组分配问题
解：① ③ ⑤
C92C73C44 1260 ②
C93C63C33 1680 ④
C62C42C22 A33
C33
1260
C92C73C44A337560
C
93C
3 6
C
3 3
280
A33
整理课件
12
练习4：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份 4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有 多少种分法?
分组分配问题
平均分组与不平均分组
整理课件
1
1、将四个小球分成两组，每组两个，有多
少分法？
3种
整理课件
2
2、将四个小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
整理课件
3
3、将四个小球分成两组，一组三个，一组
一个，有多少分法？ 4种
整理课件
4
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
甲 乙甲 乙
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5
分组分配问题主要有分组后有分配对象(即组 本身有序)的均分与不均分问题及分组后无分配 对象(即组本身无序)的均分与不均分问题四种类 型，常见的情形有以下几种:
(1)均匀、无序分组:
把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，
则共有 CnrCnrrCnr2r Amm
(2)均匀、有序分组:
C C r1
r2
n(m11)r1
nmr
1
A A m1 m2 m1 m2
Amk mk
Crk rk
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(解析版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以nn A ；如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以m m A .【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】选项A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有22264290C C C =种分配方法，故该选项错误；选项B ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有411362132290C C C A A =种分配方法，故该选项错误；选项C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有22A 种方法，所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故该选项错误；选项D ，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有221146421422221080C C C C A A A =种方法，故该选项正确.故选：D.例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A ．240种B ．360种C ．450种D ．540种【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种分法，再分配给3所学校，可得3390A 540⨯=种.故选：D.例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种.所以不同的安排方法共有36090450+=种，故选：A .例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A ，B 两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A ．36种B ．14种C ．22种D ．8种【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：3412238C C A ⋅⋅=；两个车间都安排两名工人的方案有：422222226C C A A ⋅⋅=.所以，不同的安排方案有8614+=.故选：B.例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A ．540种B ．300种C ．210种D ．150种【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有1,2,2和3,1,1两种分组方案，当按1,2,2分组时，有22353322C C A 90A =种方法，当按按3,1,1分组时，有3353C A 60=种方法，所以不同的选择方式有9060150+=种.故选：D.例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（）A ．42种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B 企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有22242222C C A 6A ⨯=种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有1143C C 种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B 企业，乙不去C 企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有1143C C 112⨯=种；所以不同的派遣方案共有61218+=种，故选：D .例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案；故选：C ．例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A ．36B ．81C ．120D ．180【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有15C 5=种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有2343C A 6636=⨯=种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有123543C C A 536180=⨯=种.故选：D .例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．340【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A ．1880种B ．2940种C ．3740种D ．5640种【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有3353C A 60=，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60；对于1:2:2型，女老师的分配情况有2213531322C C C A 90A =，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有242232252532A +C A C C A 32+=，即总分配情况为32902880⨯=；综上所述，2880602940+=.故选：B.例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A ．96种B ．124种C ．150种D ．130种【答案】C【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有35C 10=种分组方法；当按照1,2,2来分时共有225322C C15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种，故选：C .例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种【答案】A【解析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案，第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案，所以共3609090540++=（种）选派方案，故选：A.例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A ．240B ．180C ．690D ．150【答案】A【解析】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有322632C C A 120=种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，222642C C C 90=种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有4262C A 30=种，所以不同的分配方法种数是1209030240++=.故选：A例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A ．28种B ．32种C ．36种D ．42种【答案】C【解析】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【答案】C【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.故选：C.例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】BD【解析】对于A ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各2本，共有226415690C C =⨯=种分法，A 错误；对于B ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人4本，另两人各1本，共有1136532215690C C A A ⋅=⨯=种分法，B正确；对于C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1本，共有221642180C C C =种分法，C 错误；对于D ，6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有22146424222245241080C C C A A A ⋅=⨯=种分法，D 正确；故选：BD.例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A ．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B ．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C ．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D ．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法【答案】ABC【解析】对于A ，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有28C 28=种不同的分法，故A 正确；对于B ，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有9319683=种不同的分法，故B 正确；对于C ，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有211C 55=种不同的分法，故C 正确；对于D ，可以分11类情况：①“1，2，6型”有126986C C C 41008⨯=；②“1，3，5型”135985C C C 42016⨯=；③“1，4，4型”144984C C C 21260⨯=；④“1，7，1型”171981C C C 72=；⑤“1，8，0型”1898C C 9=；⑥“2，2，5型”225975C C C 32268⨯=；⑦“2，3，4型”234974C C C 67560⨯=；⑧“2，7，0型”2797C C 272⨯=；⑨“3，3，3型”333963C C C 1680=；⑩“3，6，0型”3696C C 2168⨯=；⑪“4，5，0型”4595C C 2252⨯=，所以有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365种不同的分法，故D 错误．故选：ABC ．例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．【答案】150【解析】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法.故答案为：150.例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.【答案】684【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有23441C C 72+=种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有234C 12=种分组方法；则护士有71219+=种分组方法；第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有3333A A 6636=⨯=种安排方法；根据分步乘法计数原理得19136684⨯⨯=种分配方法.故答案为：684.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】315【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为2222864244C C C C A ，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为224222C C A ，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【解析】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有24C 种分法，再将四组老师分到4个班级共有44A 种分法；即甲乙同队共又2444C A 144=种；②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有44A 种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有24A 种分法；即甲、乙不同队共有4244A A 288=；综上可知，不同的带队方案共有144288432+=种.故答案为：432例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．【答案】150【解析】当分成三组，分别为1，1，3时有31152122C C C P ⋅⋅种；当分成三组，分别为2，2，1时有22153122C C C P ⋅⋅种再将分好的三组对应到三所学校共有311221352153132222C C C C C C P 150P P ⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪⎝⎭故答案为：150.例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：60例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．【答案】130【解析】当恰好有2只能配成一双有：12115422C C C C 120⨯⨯⨯=；当恰好有4只能配成两双有：25C 10=；故共有12010130+=种不同的取法.故答案为：130例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【答案】36【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例26．（2023·全国·高三专题练习）A 、B 、C 、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【解析】根据题意，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343C A 36=种情况，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A 和B 参加同一科的有2323C A 6=种情况；所以，满足题意的情况共有23234323C A C A 30-=种.故答案为：30.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有26C 种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有2242C C 种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有342C 种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有()22236424C C C 2C 210+=．故答案为：210例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【解析】（1）根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；（3）先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有25C 种选法;最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有12365360C C C =(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有12336533360C C C A =.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是222642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则222642C C C 种分法中还有(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有2226423315C C C A =.（4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式222364233390C C C A A ⋅=(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有4116212215C C C A =(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式411362132290C C C A A ⋅=(种).（7）直接分配问题.甲选1本有16C 种选法,乙从余下5本中选1本有15C 种选法,余下4本留给丙有44C 种选法,共有11465430C C C =(种)选法.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【解析】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有16C 种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有26C 种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有26A 种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有1265C C ⋅种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有46C 种分法．故共有122124666656C C A C C C 126+++⋅+=（种）分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为44A 24=（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344C A 144=（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）；（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为234C 12=（种）.例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有25C 10=种，再将4组排到4个盒子，有45A 120=种投放法．∴共计101201200⨯=种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有55A 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有55A 1119-=种．（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：25C 10=种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：252C 20=种．所以满足条件的放法数为：1102031++=种．。
数学中的分组分配问题
分配中的最优化问题
总结词
分配中的最优化问题是指通过优化分配方式，使得某 个特定的目标函数达到最优值。
详细描述
在分配中的最优化问题中，需要找到一种最优的分配 方式，使得某个特定的目标函数达到最优值。这个目 标函数可以是总和最大、总和最小、平均值最大等。 例如，将一定数量的苹果分给若干个孩子，目标是使 得所有孩子获得的苹果数量之和最大，同时还要满足 每个孩子至少获得一个苹果的条件。这个问题可以通 过引入约束条件和目标函数进行求解。
解决这些冲突需要综合考虑各种因素 ，如资源的可用性、需求的紧迫性、 公平性等，通过协调各方利益，寻找 最优的解决方案。
分组与分配的解决方案
分组与分配问题的解决方案通常 需要运用数学方法和逻辑推理，
如线性规划、整数规划等。
解决方案需要满足一定的条件， 如资源的有限性、需求的合理性 等，同时还需要考虑方案的可行
总结词
固定数量的分配问题是指每个组分得固定数量的物品或资源，目标是使所有组的总和达到最大或最小 。
详细描述
在固定数量的分配问题中，每个组分得的物品或资源数量是固定的，目标是寻找一种分配方式，使得 所有组的总和达到最大或最小。例如，将一定数量的苹果平均分给若干个孩子，使得每个孩子获得的 苹果数量相等。
04
分组与分配的结合问 题
分组与分配的关联性
01
分组与分配在数学中常常是相互 关联的，分组是为了更好地进行 分配，而分配则需要在分组的基 础上进行。
02
分组与分配的关联性体现在它们 的目标上，即通过合理的分组和 分配，使得每个对象都能得到满 足其需求的资源或服务。
分组与分配的冲突与协调
在分组与分配的过程中，可能会出现 各种冲突，如资源不足、需求不均等 问题。
计数原理分组分配问题
计数原理分组分配问题
计数原理（Counting Principle）是组合学的一个基本原理，它用于计算某个事件中可能发生的不同情况数。
其中，分组分配问题是计数原理的重要应用之一。
在分组分配问题中，我们需要将n个物品分配给k个组，每个组中至少分配一个物品，而不同组之间的物品是可以相同的。
这种问题在实际中有很多应用，比如将n个人分配到k个房间、将n个球分配到k 个篮子等等。
在解决分组分配问题时，我们可以使用组合数公式来求解。
具体来说，设n个物品要分配到k个组中，每个组至少分配一个物品，则可以得到如下公式：
C(n-1, k-1)
其中，C表示组合数，n-1是因为每个物品都必须被分配到某个组中，因此总共要减去k个物品，再加上一个物品，即n-1+1=n。
k-1是因为每个组至少分配一个物品，在分配第一个物品后，剩下的物品就可以看作是n-1个物品分配到k-1个组中，因此组数为k-1。
例如，如果有8个人要分配到4个房间中，每个房间至少有一个人，则可以使用上述公式进行计算：
C(8-1, 4-1) = C(7, 3) = 35
因此，共有35种不同的分配方案。
需要注意的是，在实际问题中，有时可能会出现一些限制条件，比如某些物品不能被分配到某些组中，或者某些组必须分配到特定的物品等等。
在这种情况下，我们需要对上述公式进行适当的调整，以满足特定的限制条件。
分组分配问题
分组分配问题营山二中数学组龚玉伦分组分配问题是组合中的典型问题，弄清分组分配问题的基本类型，并采取相应的处理方法是解决分组问题的关键。
在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。
在分组时要区分是平均分组还是非平均分组或部分平均分组，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。
“分组”是指把若干个不同的元素分成几组，组与组之间除了元素数目外不加以区分；“分配”是指将元素配给到相应的对象，对象与对象之间是有区别的。
一、只分组不分配例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1)分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)平均分成三份；(3)分成三份，一份四本，另两份各一本。
解：（1）属“非平均分组”,各组间数目不同，直接依次选取元素，方法数为12365360C C C=(2)属“平均分组”,各组间数目完全相同，组与组之间实际是无区别的，分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数，方法数为2226423315 C C CA=（3）属“部分平均分组”，对其中的“均匀”部分应消去平均分组时步骤上造成的重复计数，方法数为4116212215 C C CA=二、既分组又分配1、配给对象或配给数目确定当配给对象与相应的配给数目确定时，简单的方法是“依次选取”例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法（1）分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；（2）分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；（3）平均分给甲、乙、丙三个人；解：（1）属“非平均定向分配”，等同于“非平均分组”，方法数为12365360C C C=（2）属“部分非平均定向分配”，均匀部分要分配：411262122230C C CAA=，也可理解为甲、乙、丙依次选择: 41162130C C C=（3）属“平均分配”，分组后再分配：222364233390C C CAA=，也可理解为甲、乙、丙依次选择: 22264290C C C=2、配给对象或配给数目不确定问题处理的方法主要有两种：一是先分组再分配，即先根据需要对元素进行分组，再用排列的方法进行分配；二是边选对象边分配。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
10.2排列组合中的分组分配问题
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中 选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长．
分组有
C150C55 A22
种方法，
每组中选正、副组长都有 A52 种方法．
由分步计数原理共有
C150C55 A22
A52
A52
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。
一、明确分组、分配问题的含义将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。
将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。
二、不同元素的分组、分配问题（一）平均分组、分配问题例1 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，每组两本.（2）分给三个人,每人两本.（3）甲两本、乙两本、丙两本.【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。
究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。
因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为=15(种)。
（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，（二）部分的平均分组、分配问题例2 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm,
2、平均分配问题：
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
C2C2C2 C1C1C1
Hale Waihona Puke 6423 21C62C42C22 A33
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合, 是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征:（1）分组分配特征: 问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型: 整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组, 都应注意只要有元素的个数相等的组存在, 就需要考虑均分的现象（即: 整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等, 则存在重复出现的情况, 作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组, 称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置）, 称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别: 前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同, 但因对象不同, 仍然是有区分的, 对于分配问题必须先分组后分配, 而分组通常与组合相关, 分配通常与排列相关。
二. 基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书, 分为三组, 求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本, 一组二本, 一组三本.(3)一组四本, 另外两组各一本.【分析】: (1)分组与顺序无关, 是组合问题。
注意, 这里6个元素, 分3组, 每组2个元素, 所求的分组种类: 不是“从6个元素中取2个元素的组合数”, 而是“6选2, 选3次, 分成3组, 所得的组数”；在这样的分组中, 由于要选3次, 且平均选取, 就存在选取的顺序, 故所得组中出现重复的组, 重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（3, 4）（1, 2）（5, 6）, 则这样的两组只能算一组, 不能算作两组；若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（1, 3）（2, 4）（5, 6）, 则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1, 2）（3, 4）（5, 6）与（1, 3）（2, 4）（5, 6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个, 且其中的组合（5, 6）只能算作1个计数；三. 基本的分配问题（一）定向分配问题: 将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题: 将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一. 分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）:“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
分组分配问题(教学设计)
排列组合中的分组分配问题学案例题1.（1）把a,b,c 三本不同的书分成2组, 一组2本, 一组1本, 有多少种不同的分法？变式1: 有a,b,c,d 4本不同的书,分成两组,一组1本, 一组3本, 有多少种不同的分法? 变式2: 6本不同的书分成三组, 一组1本, 一组2本, 一组3本, 有多少种不同的分法?（2）把a,b,c 三本不同的书分成3组, 每组1本, 有多少种不同的分法？能用组合数表示出来吗？变式1: 有a,b,c,d 4本不同的书,平均分成两组, 有多少种不同的分法？变式2: 有6本不同的书平均分成两组, 每组3本, 有多少种不同的分法？变式3: 有6本不同的书平均分成三组, 每组2本, 有多少种不同的分法？小结1:(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序减重(除以平均组数的全排列);(2)不平均分组是有序的,不需要消序减重例题2.有5本不同的书,分成三组.有多少种不同的分法?练习:有6本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法?小结2:局部平均分组应局部消序减重.例题3.有6本不同的书分给甲、乙、丙三人(1)若每人2本,有多少种不同的分配方法?(2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种不同的分配方法?(3)若一人1本,一人2本,一人3本, 有多少种不同的分配方法?(4)若一人4本,另两人各1本,有多少种不同的分配方法?小结3对于分配问题:分步处理,先分组,然后再分配.例题4（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上, 若每级台阶最多站人, 同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是（用数字作答）变式1:甲、乙、丙等5人站到共有级的台阶上, 若每级台阶最多站人, 同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是（用排列数与组合数作答即可）变式2: 甲、乙、丙等6人站到共有级的台阶上, 若每级台阶最多站人, 同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是（用排列数和组合数作答即可）真题回放:1.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有种2.(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中. 若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有__________（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种3.（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组, 其中两个组各2人, 另两个组各1人, 分赴世博会的四个不同场馆服务, 不同的分配方案有种(用数字作答).思考题：4个不同的球, 4个不同的盒子, 把球全部放入盒内。
分组问题和分配问题
分组问题和分配问题一、问题的提出（课本习题）4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中1个运动队，不同报名方法和种数是43还是34？解法1：分4步，第1步，第1名同学报名，有3种方法；第2步，第2名同学报名，有3种方法┅┅，所以共有43。
解法2：分3步，第1步，确定足球队的人选，有4种方法；第2步，确定篮球队的人选，有4种方法┅┅，所以共有34。
解法2错在哪里？ 依解法2应分成3类。
第1类先把4名同学分成1组，再分配给1个运动队有3种方法；第2类把同学分成2组（1、3或2、2），再分配给2个运动队，有232222241134)(A A C C C C 种；第3类分成3组（2、1、1），再分配给3个运动队，有3322111224A A C C C 种。
二、分配问题定义：把一类对象分配给另一类对象来接受的问题。
释义：把分配对象视作“元素”，接受对象视作“位置”，实质是元素和位置的对应问题。
故解题的关键是分清谁是元素，谁是位置。
基本类型：1） 元素和位置之间“一对一”。
实质就是排列问题，种数为mn A ；2） 元素和位置之间“多对一”。
即一个元素只能占一个位置，而一个位置允许容纳多个元素，种数为nm 。
例1：8名大学生分配给9个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ） 例2：9名大学生分配给8个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ）例3：将6封信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？（64） 例4：把3名学生分配给5个不同的班级，有多少种不同的分配方法？（35） 例5：将6本不同的教学参考书借给3位教师，有多少种不同的借法？（63） 例6：8名体操运动员争夺6个体操冠军，有多少种不同的结果？不设并列冠军（68）三、分组问题定义：将n 个不同的元素分成p 组，有多少种不同的分组方法；无序分组：将n 个不同的元素分成p 组，各组元素数目为m 1，m 2，┉┉m p ，其中组内元素数目相等的组数分别为k 1，k 2，┉┉k s ，那么种数为s sp pk k k k k k mm m m n m n AA A C C C N 2211211-=。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。
A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。
分组分配问题的解法
例2 六本不同旳书，分给甲、乙、丙三人求在下条 件下各有多少种不同旳分配措施？
（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙 两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.
(1)C
62C
42C
2 2
90
(2)C16C
52C
3 3
60
(3)C
64C
12C
1 1
30
分组分配题旳一般原则：先分组后排列
1、有六本不同旳书分给甲、乙、丙三名同学， 按下条件，各有多少种不同旳分法？
一、基本旳分组问题
• 例1 六本不同旳书，分为三组，求在下列 条件下各有多少种不同旳分配措施？
• (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本， 一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
(1)
C
62C
42C
2 2
15
A33
(2)C16C
52C
3 3
60
(3)
C
64C
12C
1 1
15
A22
二、基本旳分配旳问题
例2、将一种四棱锥旳每个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱旳两端点异色， 假如只有5种颜色可供使用，那么不同 旳染色措施旳总数是多少？
. 【2023浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、 二、三等奖各1张，其他5张无奖.将这8张奖券 分配给4个人，每人2张，不同旳获奖情况有 _____种（用数字作答）。
将n个一相排同。旳相元邻素名提额成之m间份形（成n，９m个为空正隙整。数C）96,
每份至少一种元素,能够用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排旳n-1个空隙中，全部分法数
C 为
m1
n1
七班 六班 五班 四班 三班 二班 一班
分组分配问题
分组分配问题贵州省毕节市第四中学 林波分组分配问题是排列组合中的一类常见问题，这类问题分为均匀分组与非均匀分组两种，在这两种分组中又分别含有有序分组和无序分组。
这里说的有序和无序指的是组与组之间的序，而不是组中元素的序，平均分组的情况又分为全平均分组和部分平均分组。
所以在解决分组问题时要先明确分组对象、是否为平均分组、是否为局部平均分组、组与组之间是否有序。
下面就一些实例谈谈这类问题的处理。
例1．8本各不相同的书，分给4人，各得2本，则分法种数共有多少？解：从8本书中选2本分给第一人，有C28种；从剩下的8本中选2本分给第二人，有C26种；依此分下去。
分法共有C 28C 26C 24C22=2520种。
说明：将相异的mn 个元素等分给m 个有序的组，各得n 个，其分法的种数为C n mnCn nmn -Cnnmn 2-……C nn2Cn n例2．8本各不相同的书，平均分为4堆（堆与堆间无序），每堆2本，则分法种数共有多少？解：将8本书平均分配到4个有序的堆，有C 28C 26C 24C22种。
但由于堆与堆间无序，所以平均分为4堆的方法为ACC C C 4422242628=105种。
说明：将相异的mn 个元素等分为无记号或无顺序的m 堆其分法的种数为AC C C C C m mnnn n nn mn n n mn n mn 22.......--例3.将8本各不相同的书分给甲、乙、丙、丁四人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，丁得2本，共有多少种分法？解：从8本中选1本给甲，从剩下的7本中选2本给乙，再从剩下的5本中选3本给丙，最后剩下2本给丁，由乘法原理可得分法种数为C 18C 27C 35C22=1680说明：将相异的p 个元素分给m 个有序的堆，第1堆n 1个元素，第2堆n 2个元素，……第m 堆有nm个元素（n 1+n 2+……+nm=p ）,其分配方法种数为C C C C n n n n nn n n m m p p p (3)21211---例4．将8本各不相同的书分为5堆，有两堆各1本，另三堆各2本，共有多少种不同的分法？解：将8本各不相同的书分为指定的5堆，如A 堆、B 堆、C 堆、D 堆、E 堆分别有1本、1本、2本、2本、2本，分法为C 18C 17C 26C 24C22种，但由于堆与堆之间无序，个数相同的堆实际上出现重复，只看为一种，所以分法种数共有AA CC C C C 33222224261718=420说明：将相异的p （n 1+n 2+……+nm=p ）个元素分给m 个无序的堆，使得一堆有n1个元素，另一堆有n 2个元素，……，另一堆有nm个元素，在n 1，n 2，…，nm这m 个数中，有a 个相等，另外有b 个相等，另外有c 个相等，……则分配方法的种数为... (3)21211A A A C C C C c cb ba ap pn nn n n p n n n m m---例5．将6本各不相同的书分给3个人，（1） 一人得1本，一人得2本，一人3本，共有多少种不同的分法？ （2） 有两人各得1本，另一人得4本，共有多少种不同的分法？ 解：（1）先将6本书分为三组，一组1本，一组2本，一组3本，有CC C 332516种分组方法；将不同的三组分给三个人，有A33种分法；所以分法种数为C C C 332516A33=360种（2）先将6本书分为3组，一组4本，两组各一本，共有AC C C 22111246种不同分法；将不同的三组分给三个人，有A 33种分法；所以分法种数为AC C C 22111246A33=90种说明：将相异的p （n 1+n 2+……+nm=p ）个元素分给m 个有序的堆，这m 堆有的n1个元素，有的n 2个元素，……，有的nm个元素，则分配方法的种数分为两种情况：①当n 1，n 2，…，nm这m 个数彼此不相等时，则分配方法的种数为C C C Cn n n n n n n n mmp p p (3)21211---Am m种②当n 1，n 2，…，nm这m 个数中，有a 个相等，另外有b 个相等，另外有c 个相等，……则分配方法的种数为A AA A C C C C mm c cb ba ap p n n n n n p n n n m m (3)21211---。
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m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2kCkk
结论
引言
“分组分配”问题是一种典型的排 列组合问题，解决这类问题的关键 在于分组，重复计数是常见错误
一、平均分组与平均分配问题
1、平均分组问题：n个不同元素平均分成m组，每组
k个元素，则分组的方法:
例1.有两本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有三本不同的书，平均分成三组有几种不同分法？ 有四本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有六本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
2、平均分配问题：
CnkCnkkCnk2k Ckk Amm,
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2kCkk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
CCCCCC 2 2 2 642
111 3 21
C62C42C22 A33
、
二、非平均分组与分配问题
二、非平均分组与分配问题