总体分布的假设检验教学活动设计
《总体分布的估计》教案（优质课）
《总体分布的估计》教案【教学目标】：通过统计案例，会用样本频率分布估计总体分布【教学重点】：用样本频率分布估计总体分布【教学难点】：频率分布表和频率分布直方图的绘制【教学过程】一、引入在统计中，为了考察一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况。
这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，一类是用样本的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征。
下面我们先通过案例来介绍总体分布的估计。
二、案例分析例1为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg)56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.572 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 7562 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 6855 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 5864 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 5876 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.568.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.557 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 5859 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 6265.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计。
解:按照下列步骤获得样本的频率分布.(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差(又称为极差)是76—55=21)所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.(2)确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的.于是组距为2，组数为11.（3）决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.（4）列频率分布表如表①频率分布表分组频数累计频数频率［54.5，56.5） 2 0.02［56.5，58.5） 6 0.06［58.5，60.5）10 0.10［60.5，62.5）10 0.10［62.5，64.5）14 0.14［64.5，66.5）16 0.16［66.5，68.5）13 0.13［68.5，70.5）11 0.11［70.5，72.5）8 0.08［72.5，74.5）7 0.07［74.5，76.5） 3 0.03合计100 1.00（5）绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图1-1所示由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在（64.5，66.5）kg 的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg 的学生较少，约占8%；等等.三巩固练习1 有一个容量为50的样本数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5） 3 ［24.5，27.5） 10 ［15.5，18.5） 8 ［27.5，30.5） 5 ［18.5，21.5） 9 ［30.5，33.5） 4［21.5，24.5） 11（1）列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图；（2）根据样本的频率分布估计，小于30.5的数据约占多少？54.5频率/组距56.558.574.572.566.568.570.576.562.5 60.564.5体重2 食品厂为加强质量管理，抽查了某天生产的罐头80只，得其质量数据如下（单位：克）342 340 348 346 343 342 346 341 344 348 346 346 340 344 342344 345 340 344 344 336 348 344 345 332 342 342 340 350 343 347340 344 353 340 340 356 346 345 346 340 339 342 352 342 350 348344 350 336 340 338 345 345 349 336 342 335 343 343 341 347 341347 344 339 347 348 343 347 346 344 343 344 342 333 345 339 350337（1）画出样本的频率分布直方图；（2）根据样本的频率分布估计，质量不小于350克的罐头约占多少？四小结获得样本的频率分布的步骤：(1)求最大值与最小值的差；(2)确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.五作业1 某人在同一条件下射靶50次，其中射中5环或5环以下2次，射中6环3次，射中7环9次，射中8环21次，射中9环11次，射中10环4次.（1）画出上述样本的频率分布直方图；（2）根据上述结果估计，该射击者射中7环—9环的概率约是多少？2 在生产过程中，测得维尼纶的纤度（表示纤维粗细的一种量）有如下的100个数据：1.36 1.49 1.43 1.41 1.37 1.40 1.30 1.42 1.47 1.39 1.41 1.36 1.401.34 1.42 1.42 1.45 1.35 1.42 1.39 1.44 1.42 1.39 1.42 1.42 1.301.34 1.42 1.37 1.36 1.37 1.34 1.37 1.37 1.44 1.45 1.32 1.48 1.401.45 1.39 1.46 1.39 1.53 1.36 1.48 1.40 1.39 1.38 1.40 1.36 1.451.50 1.43 1.38 1.43 1.41 1.48 1.39 1.45 1.37 1.37 1.39 1.45 1.311.41 1.44 1.44 1.42 1.47 1.35 1.36 1.39 1.40 1.38 1.35 1.42 1.431.42 1.42 1.42 1.40 1.41 1.37 1.46 1.36 1.37 1.27 1.37 1.38 1.421.34 1.43 1.42 1.41 1.41 1.44 1.48 1.55 1.37（1）画出样本的频率分布直方图；（2）根据上述结果估计，小于各端点值的数据所占的百分比各约是多少？。
假设检验教案（课时备课）
注：板书设计可在教学进程中直接用横线、浪线等标示出。
1
章、节、目
教学目的 和要求
假设检验教案（课时备课）
第 2 次课
第七章第一节[2]
学时 2
弄清两个正态总体均值或方差的假设检验，百分比假设检验．
重点 难点
重点：掌握各类假设检验的方法． 难点：假设检验的原理以及统计量的选择．
见讲稿
教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段、 师生互动、 时间分配、 板书设计）
注：板书设计可在教学进程目的 和要求
假设检验教案（课时备课）
第 ４ 次课
第七章第二节[2]
学时 2
弄清独立性检验的原理与步骤
重点 难点
重点：结合实例讲解 2 检验法的具体计算步骤，掌握独立性的检验方法． 难点：弄清独立性检验的原理
见讲稿
教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段、 师生互动、 时间分配、 板书设计）
重点 难点
重点：掌握总体分布的假设检验的方法。 难点：理解总体分布的假设检验的原理
学时 2
见讲稿
教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段、 师生互动、 时间分配、 板书设计）
（基本定义要有英文标识）
P１９３－１９４, 习题７.２：１，２，３，４。 作业布置
课后自我总 结分析
注重对总体分布的假设检验的步骤与原理的掌握，对具体计算推倒可以不用过多讲解．
见讲稿
教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段、 师生互动、 时间分配、 板书设计）
（基本定义要有英文标识）
P１８３－１８４, 习题７.１：１，３，４，６。 作业布置
课后自我总 结分析
假设检验的原理结合反证法的思想予以讲解，让学生理解假设检验的原理．同时结合具 体实例讲解一个正态总体假设检验统计量的选择与拒绝域的理解．
假设检验大学教案
教学目标：1. 理解假设检验的基本概念和原理。
2. 掌握单样本和双样本假设检验的方法。
3. 能够运用假设检验解决实际问题。
教学重点：1. 假设检验的基本概念和原理。
2. 单样本和双样本假设检验的方法。
教学难点：1. 假设检验中的显著性水平、P值和置信区间。
2. 实际问题中的假设检验应用。
教学过程：一、导入1. 通过实例介绍假设检验在科学研究、经济统计、质量控制等领域的应用。
2. 引导学生思考：如何判断一个现象或结论是否具有统计学上的显著性？二、基本概念和原理1. 介绍假设检验的基本概念，如原假设、备择假设、显著性水平、P值、置信区间等。
2. 解释假设检验的原理，包括零假设检验和备择假设检验。
3. 讲解假设检验的基本步骤，如提出假设、选择检验方法、计算检验统计量、确定显著性水平、做出决策等。
三、单样本假设检验1. 介绍单样本假设检验的适用条件。
2. 讲解单样本t检验和z检验的方法，包括计算公式、步骤和注意事项。
3. 通过实例演示单样本假设检验的应用。
四、双样本假设检验1. 介绍双样本假设检验的适用条件。
2. 讲解双样本t检验和F检验的方法，包括计算公式、步骤和注意事项。
3. 通过实例演示双样本假设检验的应用。
五、实际问题中的假设检验应用1. 引导学生思考实际问题中的假设检验问题。
2. 讲解如何将实际问题转化为假设检验问题，并选择合适的检验方法。
3. 通过实例演示实际问题中的假设检验应用。
六、总结与拓展1. 总结假设检验的基本概念、原理和方法。
2. 强调假设检验在实际问题中的应用。
3. 拓展学习内容，如假设检验的局限性、误差分析等。
教学评价：1. 学生能够正确理解假设检验的基本概念和原理。
2. 学生能够运用单样本和双样本假设检验解决实际问题。
3. 学生能够对实际问题中的假设检验问题进行分析和决策。
教学反思：1. 教师应注重引导学生理解假设检验的基本原理，而不是单纯记忆公式和步骤。
2. 教师应结合实际案例，帮助学生将抽象的数学理论应用于实际问题。
概率论与数理统计教案 第7章 假设检验
40
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
拒绝域
U u
2
U u
U u T t (n1 n2 2)
2
未知，但
2 1
2 2
1 2 1 2
1, 2
已知
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1, 2
未知
2 1
22
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2 1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2
未知，关于方差比
2 1 2 2
的检验
检验假设： H 0
:
2 1
2 2
,
H1
:
2 1
2 2
.
选取统计量为 F
S12
S
2 2
2 1
2 2
S12
2 1
S 22
2 2
，
在
H0 为真时, F
S12 S22
~
F(n1 1, n2
1) ，可得显著性水平为的拒绝域为
三．单侧检验
F
F1
2
(n1
1, n2
1)
或
F
40
选取检验统计量为 T
X
Y Sw
( 1
1
1
2
)
，其中
Sw2
n1 n2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
，
当 H0 为真时，统计量T X Y
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2) ，
可得显著性水平为 的拒绝域为{T t (n1 n2 2)}.
总体分布地假设检验--教学设计课题
6.课堂小结
…………5 分钟
教学手段 多媒体播放教学视频、PPT 演示与板书演练书写相结合。
教学进程 教学意图
教学内容
教学理念
引出课题 （3 分钟）
学生活动 （5 分钟）
前几节我们讨论了总体参数的假设检验，至于总体 服从什么分布我们是不关心的，这些总体要么服从正态 分布，要么不服从正态分布，不服从正态分布时，我们 就用大样本构造统计量，检验其未知参数。然而，在实 际问题中，会遇到必须了解总体的分布函数的时候。
t1，t2 ，…， tm 1，tm ，区间个数以 7~14 为宜。
教师给予引 导，回归到刚 提出的问题
然后，统计出每个区间内样本点的数目，即实际频数 fi
n
（ i 1、2、3 … ，m)，显然有 fi = n。再用 pi
i 1
上，给出总体 分布假设检 验步骤。
( i 1、2、3 …）表示变量在第 i 个区间的概率，即
i1 npi
由度为 2（k r1 = 4 11=2）的 2 分布。
将数轴分为 6 个区间： （，0 ]，（0，1 ]，（1，2 ]，（2，3 ]，（3， 4 ]，（4，5 ]，（5，），由泊松分布的概率函数分别计 算落在这些区间的概率：
p1
PX
0
PX
0
0.805 0
区
间
fi
pi
n
pi
fi
fi
pi
f2i
pi npi
2
n pi
（ ， 0]
(0，1 ] (1，2 ] (2，3 ] (3，4 ] (4， )
92 68 0.4471 89.42 2.58 6.66 0.07 28 11 0.3599 71.98 3.98 15.84 0.22
7.2总体分布的假设检验
总体分布的假设检验
总体分布的χ 3. 总体分布的χ2检验 检验法是Pearson Fisher提出并加以论 Pearson与 χ2检验法是Pearson与Fisher提出并加以论 证的检验方法， 证的检验方法，可用来检验总体是否服从某 一连续型或某一离散型的分布。 一连续型或某一离散型的分布。 对总体分布作χ 检验的步骤如下： 对总体分布作χ2检验的步骤如下： 为总体X服从某个指定的分布； ①设H0为总体X服从某个指定的分布； 将随机变量X的取值范围划分为k ②将随机变量X的取值范围划分为k个互不 相交的区间或区域D( 相交的区间或区域D(i＝1至k)；
ˆ 或理论频数的估计值n ˆ ＝ 至 ； np i 或理论频数的估计值 p i (i＝1至k)；
⑥计算χ2统计量的观测值 计算χ ( ni − npi ) χ =∑ npi i =1
k 2 k 2
ˆ i )2 ( n i − np 2 或χ =∑ ， ˆ np i i =1
当被估计的未知参数有l个 当被估计的未知参数有 个, 2 2 χ > χ 1−α ( k − l − 1)时拒绝 H 0 , 否则接受 H 0 . 检验时要求样本容量n≥50。 作χ2检验时要求样本容量n≥50。 k的大小没有严格的规定，通常取 的大小没有严格的规定， 的大小没有严格的规定 5≤k≤16。 。 一般限制np或 ˆ 的值大于5， 一般限制 或n p i的值大于 ，如果 出现不大于5的情形 的情形， 出现不大于 的情形，应该与邻近的区 间或区域合并。 间或区域合并。
③由样本的观测值求随机变量X在各个 由样本的观测值求随机变量X Di中取值的观测频数ni(i＝1至k)； 按所指定的分布求随机变量X ④按所指定的分布求随机变量X在各个 Di中取值的概率pi(i＝1至k)，如果所指 定的分布中有未知的参数时， 定的分布中有未知的参数时，可先用极 大似然法求出各个未知参数的估计量后 ˆ 再求上述各个概率的估计值 p i ； ˆ 根据样本容量n及概率p ⑤根据样本容量n及概率pi或估计值 p i 求随机变量X 求随机变量X在各个Di中取值的理论频数
概率论与数理统计教案假设检验
概率论与数理统计教案-假设检验一、教学目标1. 理解假设检验的基本概念和原理；2. 学会使用假设检验方法对样本数据进行推断；3. 掌握假设检验的类型、步骤和判断准则；4. 能够运用假设检验解决实际问题。
二、教学内容1. 假设检验的基本概念和原理假设检验的定义假设检验的目的是什么假设检验的基本原理2. 假设检验的类型单样本检验双样本检验配对样本检验3. 假设检验的步骤建立假设选择检验统计量确定显著性水平计算检验统计量的值做出判断4. 假设检验的判断准则拒绝域和接受域检验的拒绝准则检验的接受准则5. 假设检验的应用实例应用假设检验解决实际问题实例分析与解答三、教学方法1. 讲授法：讲解假设检验的基本概念、原理、类型、步骤和判断准则；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用假设检验方法解决问题；3. 互动教学法：提问、讨论、解答学生提出的问题，促进学生理解和掌握知识；4. 练习法：布置课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用能力。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、电脑等教学设备；3. 课后作业及答案。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引入假设检验的基本概念和原理；2. 讲解假设检验的基本概念和原理，阐述其目的是什么；3. 讲解假设检验的类型，引导学生了解各种类型的假设检验；4. 讲解假设检验的步骤，让学生掌握进行假设检验的方法；5. 讲解假设检验的判断准则，使学生明白如何做出判断；6. 分析实际问题，引导学生运用假设检验方法解决问题；7. 布置课后作业，让学生巩固所学知识；8. 课堂小结，总结本节课的主要内容和知识点。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握假设检验的基本概念、原理和步骤，并通过实际问题让学生学会运用假设检验方法。
要关注学生的学习反馈，及时解答他们提出的问题，提高他们的学习兴趣和积极性。
六、教学评估1. 评估方式：课后作业、课堂练习、小组讨论、个人报告2. 评估内容：学生对假设检验基本概念的理解学生对假设检验类型和步骤的掌握学生对假设检验判断准则的应用学生解决实际问题的能力七、课后作业1. 完成教材后的练习题2. 选择一个实际问题，运用假设检验方法进行分析和解答3. 总结本节课的主要内容和知识点，写下自己的学习心得八、课堂练习1. 例题解析：分析教材中的例题，理解假设检验的步骤和判断准则2. 小组讨论：分组讨论课后作业中的问题，共同解决问题，交流学习心得3. 个人报告：选取一个实际问题，进行假设检验的分析和解题过程报告九、教学拓展1. 假设检验的扩展知识：学习其他类型的假设检验方法，如非参数检验、方差分析等2. 实际应用案例：搜集更多的实际问题，进行假设检验的分析和解答3. 软件操作实践：学习使用统计软件进行假设检验，提高数据分析能力十、教学计划1. 下一节课内容预告：介绍假设检验的扩展知识和实际应用案例2. 学习任务布置：预习下一节课的内容，准备相关问题和建议3. 课后自学计划：鼓励学生自主学习，深入了解假设检验的方法和应用教学反思：在完成本节课的教学后，要关注学生的学习情况，及时解答他们提出的问题，并提供必要的辅导。
8.3(总体分布的假设检验11)
( f i npi )2 2 ~ 2 ( 3) npi i 1
4
H0的拒绝域为
2
0.05 (3) 2 7.81
2
由于观察值2=0.470未落入拒绝域，所以在显著水平 = 0.05下不能拒绝原假设H0 ，即不能拒绝孟德尔的理 论． 可见实际数据与孟德尔理
该厂两次自检的结果均为合格，厂家很有信心，认为 一定能通过药检局的质量检验．但药检局用其报送的 20的数据重新进行一次检验，结果却是不合格，这是 为什么(显著水平为= 0.05)？最终应该采纳谁的结果 呢？
§8.3 总体分布的假设检验
【质量检验问题解答】
解：用X表示该药品杂质的含量，其均值为，国家规 定杂质含量的上限 = 0.19，根据经验，一般认为X服 从正态分布, 质量检验的假设为
由此可见，不拒绝原假设的结论有时是不可靠的， 当样本容量增大时，可能就得出了相反的结论，在实 际应用中，在各种条件许可的情况下，要尽量增大样 本容量．
检验统计量为 T X 0.19 ~ t (n 1) , 厂家第一次检验
S/ n
H0： 0.19
H1： > 0.19
x 0.19 1.557 n=10, x 0.195 , s=0.01015, t s/ n
T统计量的P值为P = P{T t}= 0.0769 >0.05
其中F0(x)可以是完全已知的分布函数，也可以是已 知函数的形式，但其中含有若干个未知参数的分布函 数F0(x; 1, 2,…, m)
8.3 总体分布的假设检验
要检验假设:
H0: F(x) = F0(x) H1: F(x) F0(x)
对H0的显著性检验，称为总体分布的拟合检验.
总体分布的假设检验--教学设计
知识与技能
学 习 目 标
检验
2
教学分析 教学重点 教学难点 总体分布的假设检验、 二项式检验、 双样本的 总体分布的假设检验的适用范围、基本步骤。 检验。
1
ADMINISTRATOR
[日期]
概率论与数理统计教学设计
前 50 分： 1.引导课题 2.总体分布的假设检验 板书设计 后 50 分： 3.二项式检验 4.双样本的
2
检验
教学方法 与策略 教学时间设计
1.引导课题 2.学生活动
…………3 分钟 …………5 分钟
3.总体分布的假设检验…………42 分钟 4.二项式检验…………20 分钟 5.双样本的 6.课堂小结
2
检验 …………25 分钟 …………5 分钟
教学手段
多媒体播放教学视频、 PPT 演示与板书演练书写相结合。
概率论与数理统计教学设计
当 n 20 ，统计量为
Z ,R Z ,R
S 0.5 0 n n 0 (1 0 ) S 0.5 0 n n 0 (1 0 )
[例]商场晚上是否应该延长营业 某商场每晚 6： 30 关门， 有人建议应延长营业时间至 10： 00。为作出决定，现欲对商场周围顾客情况作一调查， 若商场的经常性的顾客有 25%以上说延长营业时间将去 通过对具体 购买商品，则延长营业时间是值得的。随机选取了 50 例 题 详 细 讲 解， 使学生们 家，发现只有 18 家被认为是商场的经常性顾客。调查 对 方 法 步 骤 理解更深刻。 结果发现有 7 个家庭表示延长营业时间将去购买。 分析：这个问题可以看作一个两点总体。定义“表 示延长营业时间将去购买的家庭为成功” ，否则为“失 败“。现在需要检验的是 H 0 : 0.25 （成功） 2 2 p(s 7 / n 18, p 0.25) 2 0.056948 0.113897
假设检验课程设计
假设检验课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握假设检验的基本原理和方法，能够运用假设检验解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：学生需要了解假设检验的基本概念、假设检验的两种类型（单样本检验和两样本检验）、检验统计量、p值和置信区间等。
2.技能目标：学生能够运用假设检验方法对实际问题进行数据分析和结论推断，掌握假设检验的计算和结果解释。
3.情感态度价值观目标：培养学生对科学探究的兴趣和好奇心，培养学生的逻辑思维和数据分析能力，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.假设检验的基本概念和类型：介绍假设检验的定义、目的和意义，讲解单样本检验和两样本检验的适用场景。
2.检验统计量、p值和置信区间：讲解检验统计量的计算方法，介绍p值的概念和判断标准，解释置信区间的含义和作用。
3.假设检验的实际应用：通过具体案例使学生掌握假设检验在实际问题中的应用，学会用假设检验进行数据分析和结论推断。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用以下几种教学方法：1.讲授法：讲解假设检验的基本概念、原理和方法，使学生掌握必要的理论知识。
2.案例分析法：通过具体案例使学生了解假设检验在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
3.讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得和经验，互相借鉴，提高学习效果。
4.实验法：安排课堂实验，让学生亲自操作，体验假设检验的过程，增强实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的数学教材，为学生提供系统的理论知识。
2.参考书：提供相关领域的参考书籍，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的PPT，直观展示假设检验的过程和实例，提高学生的学习兴趣。
4.实验设备：准备计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行课堂实验和操作练习。
五、教学评估本节课的教学评估将采用多种方式，以全面、客观地评价学生的学习成果。
假设检验教案
18
5 - 18
假设检验中的两类错误 (决策风险 决策风险) 决策风险
19
5 - 19
假设检验中的两类错误
1.第一类错误（弃真错误） 第一类错误（弃真错误） 第一类错误
– 原假设为真时拒绝原假设 – 会产生一系列后果 – 第一类错误的概率为α 第一类错误的概率为α • 被称为显著性水平
4
5-4
5.1 假设检验的基本问题
一. 二. 三. 四. 五. 六. 假设问题的提出 假设的表达式 两类错误 假设检验中的值 假设检验的另一种方法 单侧检验
5
5-5
假设检验的概念与思想
6
5-6
什么是假设? 什么是假设
(hypothesis)
对总体参数的的数值所作的一种陈述
– 总体参数包括总体均值、比例、方差等 总体参数包括总体均值 比例、方差等 总体均值、 – 分析之前必需陈述 分析之前 之前必需陈述
38
5 - 38
右侧检验
(显著性水平与拒绝域 显著性水平与拒绝域) 显著性水平与拒绝域
抽样分布
置信水平 拒绝域
1-α
α
H0值 5 - 39
临界值
样本统计量
39
5.2 一个总体参数的检验
一. 二. 三. 四. 检验统计量的确定 总体均值的检验 总体比例的检验 总体方差的检验
40
5 - 40
假设检验中的 P 值
– 我们想要证明(检验 大于或小于这两种可能性 我们想要证明 检验)大于或小于这两种可能性 检验 中的任何一种是否成立
4. 建立的原假设与备择假设应为 H0: µ = 10 H1: µ ≠ 10 •
26
5 - 26
总体分布的假设检验~~教学教案
概率论与数理统计教学设计()χ221=-=∑f np np i i ii m，且在原假设为真的条件下，这个统计量近似地服从具有m1r 个自由度的χ2分布，其中r 是需要用样本来估计的总体的未知参数的数目，若没有未知参数需要估计，则r 为零。
（3）、由给定的显著性水平，查表确定临界值()χα21m r --（这种检验是右侧检验）。
（4）、利用样本值x x x x n 123，，，…，计算实际频数f i，再计算经验概率p i，据以计算()χ221=-=∑f np np i i ii m的值。
（5）、作结论，若χ2()χα21m r --，则拒绝原假设，即认为总体的分布函数不为()F x 0；反之，则接受原假设，即认为总体的分布函数为()F x 0。
例某公路上，交通部门观察每15秒钟过路的汽车辆数，共观察了50分钟，得如下样本资料：试问通过的汽车辆数可否认为服从泊松分布，显著性水平为= 0.05。
由泊松分布的概率函数()P X k k e k==-λλ!(k =0、1、2、3、…；>0 ），的估计量为：∃λ= x =xfn∑=辆数0 1 2 3 4理论频数92 68 11 1 0 200()120009216850⨯+⨯++⨯…= 0.805 由题义，要检验的假设为：H 0：()P X k k e k ==-λλ!(k = 0、1、2、3、…；>0 ）， H 1：总体不服从泊松分布。
当原假设为真时，()∑=-=mi i ii np np f 122χ服从自由度为2（k r 1 = 4 11=2）的χ2分布。
将数轴分为6个区间：（，0 ]，（0，1 ]，（1，2 ]，（2，3 ]，（3，4 ]，（4，5 ]，（5，），由泊松分布的概率函数分别计算落在这些区间的概率： ()()()8050010805000.e !.X P X P p -===≤==0.4471()()()80501218050110.e!.X P X P p -===≤<== 0.3599 ()()()p P X P X e32080512208052=<≤===-.!.= 0.1449()()()p P X P X e43080523308053=<≤===-.!.= 0.0389 ()()()p P X P X e54080534408054=<≤===-.!.= 0.0078p 6=()112345-++++p p p p p =10.4471+0.3599+0.1449+0.0389+0.0078= 0.0014为了计算χ2统计量的值，列出下表区间 f i p i n p i f i n p i ()f p i i-2()f p np i i i- （，0 ] (0，1 ] (1，2 ] (2，3 ] (3，4 ] (4， ) 92 68 28 11 1 0 0.4471 0.3599 0.1449 0.0389 0.0078 0.0014 89.42 71.98 28.98 7.78 1.560.282.583.98 0.98 238.⎧⎨⎪⎩⎪ 6.66 15.84 0.965.66 0.07 0.220.030.59 0.91 由计算表可知()χ22=-∑f np np i i i= 0.91。
假设检验的基本思想和有关概念的教学设计
㊀㊀㊀㊀㊀假设检验的基本思想和有关概念的教学设计假设检验的基本思想和有关概念的教学设计Һ魏满满１㊀李石虎２∗㊀周㊀勤２㊀（１．江苏师范大学科文学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６；２．江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了假设检验的基本思想和有关概念的教学设计．首先，通过 女士品茶 的故事引入，提炼出假设检验的基本思想；其次，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，并介绍了假设检验的两类错误和ｐ值的概念；最后，融入思政的元素，丰富了课堂教学内容．ʌ关键词ɔ假设检验；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学课程思政专项研究（ＫＣＳＺＹ１７）；江苏师范大学数学与统计学院思政示范课程（ＸＹＫＣＳＺ０１）一㊁引㊀言概率论与数理统计课程是各个高校理工科的基础必修课，它在理工科及经管类各专业被广泛应用．假设检验是概率论与数理统计中的重要知识点，是统计推断的主要方法之一，在概率统计的理论研究与实际应用中都占有极其重要的地位．２０１９年３月１８日，在学校思想政治理论课教师座谈会上，习近平总书记明确提出［１］：要坚持灌输性和启发性相统一，注重启发性教育，引导学生发现问题㊁分析问题㊁思考问题，在不断启发中让学生水到渠成得出结论．近年来，各大高校都十分重视思政建设，通过教师培训㊁专家讲座㊁示范课程等多种方式来加深教师对课程思政的理解．教师是高校的 第一主角 ，作为专业课教师，也有责任和义务认真挖掘所授课程的 思政元素 ．例如，２０２１年，李晨和陈丽萍［２］在研究概率统计的思政元素时，以概率学者的文化素养和科学治学精神为切入点，通过多个实际案例剖析全概率公式的应用，潜移默化地引入诸多思政元素来激发学生的学习兴趣．受此启发，本文着重从概率论与数理统计课程中 假设检验 这一角度思考，通过教学设计来探索课程思政理念进概率统计课堂的实践方法，目的就是同大家交流如何上好 假设检验 这一知识点的教学课．首先，我们通过 女士品茶 这一广为流传且富有趣味性的故事引入，启发学生思考，从中提炼出假设检验的基本思想．其次，我们通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤．接着，我们介绍假设检验的两类错误和ｐ值的概念，并介绍假设检验的一些应用．最后，我们融入思政的元素，以我国著名数学家严加安院士的‘悟道诗“为结尾，阐述了概率统计的基本思想，同时激励学生向老一辈科学家学习，树立正确的价值观，从而丰富了课堂教学内容．二㊁教学过程（一）问题引入首先，我们从一个经典故事出发，来体会假设检验的基本思想．例１［３］㊀（女士品茶试验）故事发生在英国剑桥大学，那是２０世纪２０年代，一群大学精英们正在品茶．该茶是由牛奶和茶水混合而成的．在品茶过程中，一位女士宣称：先加入牛奶还是先加入茶，不同的顺序会使茶的口感不同．周围人都认为这位女士简直是在胡言乱语，这是不可能的啊！然而在场的统计学家Ｆｉｓｈｅｒ却对这个话题很感兴趣，他请人端来１０杯调制好的茶让该女士品尝，其中有的是先加的牛奶，有的是先加的茶．结果，这位女士正确地鉴别出每一杯茶的制作顺序．该如何判断该女士是否有鉴别能力呢？Ｆｉｓｈｅｒ的想法：假设该女士没有鉴别能力，这个时候她只能靠猜，从而她猜对的概率为１２．因此，她能同时判断出１０杯茶的概率为２－１０＜０．００１，这个概率非常非常小，仅仅做一次试验是几乎不会发生的，可是，它却发生了！这表明原假设不恰当，应予以拒绝，认为该女士有鉴别能力！假设检验的基本思想：小概率反证法思想．先提出假设，然后设计试验，在原假设成立的条件下计算概率，依据小概率原理来判断是否拒绝原假设．那么多大的概率属于小概率呢？对于不同的问题，会有不同的标准，在统计学中，这个小概率称为显著性水平，常取０．０５或０．０１．接下来，我们就通过生活中的一个实际案例来探索一下假设检验的奥秘．（二）实例分析在生活中，经常会遇到一组数据，我们来看下面的例子．例２［４］㊀质检部门接到投诉后，对某金店进行调查，从标有１８Ｋ的一批项链中抽取２０条，测得其含金量如下：表１㊀某金店项链含金量数据单位：Ｋ１７．６１８．１１７．９１８．３１８．０１７．４１７．５１８．６１７．３１７．８１７．３１７．８１８．１１７．４１７．６１８．０１７．２１８．３１８．３１７．５∗通信作者：李石虎，男，讲师，博士，就职于江苏师范大学，研究方向为概率论与数理统计．联系方式：江苏省徐州市江苏师范大学泉山校区数学与统计学院；电话邮编：２２１１１６；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｈｕｌｉ＠ｊｓｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀问：如何判断这批项链有没有达到标准呢？（显著性水平α＝０．０５）分析：观察表１中的数据，我们可以发现：有的含金量大于１８Ｋ，有的含金量小于１８Ｋ，还有的恰好等于１８Ｋ．那么我们能否直接说和标准值１８Ｋ有显著差别呢？根据所学的统计学思想方法，我们已经了解到答案是否定的，因为这里看到的只是样本数据，我们无法直接做出判断．那么应该如何判断呢？我们的思路如下：首先，计算出这２０条项链含金量的平均值为１７．８，它与标准值１８存在０．２的差值．这０．２的差值是由抽样引起的误差，还是有本质的差别？我们利用上述思想来检验一下．令ξ表示这批项链的含金量，由中心极限定理可知ξ ㊃Ｎ（μ，σ２），我们要检验均值是否为μ＝１８，具体步骤如下：１．建立假设．原假设Ｈ０：μ＝１８，表示这批项链符合标准；与之对立的备择假设Ｈ１：μʂ１８，表示这批项链不符合标准．２．在Ｈ０成立时，由Ｆｉｓｈｅｒ定理可知统计量Ｔ＝ ｘ－μＳｎｎｔ（ｎ－１）＝ｔ（１９）．３．由Ｔ分布图像（如图１）可以看出：Ｔ的取值集中在零点附近．这表明：｜Ｔ｜越大，对应的概率就越小．从而存在临界值Ｃ，使得｜Ｔ｜大于或等于Ｃ是一个小概率事件，则Ｃ要满足Ｐ（｜Ｔ｜ȡＣ｜Ｈ０成立）＝α，再由Ｔ分布图像的对称性可知Ｃ＝ｔ０．９７５（１９）ʈ２．０９３．图１㊀Ｔ分布图像从而，当｜Ｔ｜ȡ２．０９３时，非常小的概率事件在此就发生了，只能拒绝原假设Ｈ０．我们将Ｗ＝｛（ξ１，ξ２， ，ξｎ）｜｜Ｔ｜ȡ２．０９３｝这一集合称为拒绝域，如果样本的观测值落到Ｗ中，则原假设应被拒绝．４．代入样本均值和样本标准差进行计算，得到所观测的样本统计量ｔ的值：｜ｔ｜＝｜１７．８－１８｜０．４０３９３２０ʈ２．２１４＞２．０９３，其落到拒绝域Ｗ中，因此原假设被拒绝，故这批项链没有达到标准．为了更直观地理解拒绝域的含义，同学们可以参考Ｔ分布图像．小结㊀本案例利用假设检验思想得出了该金店项链的含金量不符合标准的结论，启发我们对待任何事情都不要抱有侥幸心理，不要弄虚作假，要诚信做人做事，方能赢得大家的信任．项链含金量不达标可能只是使消费者金钱方面的利益受损．试想一下：如果是某大型婴儿奶粉企业检测出质量不达标的产品呢？再或者是婴儿霜经检测含有毒物质呢？抑或是我们服用的某种药物检测出有危害健康的成分呢？这些案例都不是捕风捉影，均上过各大网站热搜，引起了消费者的恐慌．利用假设检验这个工具，有助于我们全面地认识这类事件，既可以让我们避免无谓的损失，又可以帮助我们找到有利的取舍依据．（三）假设检验的基本步骤通过对上述案例的分析，我们可以归纳出求解假设检验的基本步骤：第一步：从要研究的实际问题引入，先提出一个假设，一般称之为原假设，记为Ｈ０，与其对立的假设称为备择假设，记为Ｈ１．例如，在上述案例中，原假设为 这批项链符合标准 ，备择假设为 这批项链不符合标准 ．第二步：依据所研究总体服从的分布，我们来构造合适的检验统计量，并通过所学知识来确定统计量服从的分布．第三步：接下来，我们需要确定检验的拒绝域Ｗ使得Ｐ（（ξ１，ξ２， ，ξｎ）ɪＷ｜Ｈ０成立）ɤα．第四步：根据样本数值计算统计量所对应的观测值．如果计算所得观测值落进了Ｗ中，则说明原假设不当，应予以拒绝，否则原假设不可以被拒绝．（四）假设检验的两类错误在 女士品茶 的例子中，如果该女士本来就没有鉴别能力，但是她运气好，每次都猜对了，这时候我们的推断就出错了．事实上，在假设检验问题中，我们由样本提供的信息来推断总体信息，由于样本只包含总体的一部分信息，这就不可能保证从来不会犯错误．假设检验可能犯的错误有如下两类：（Ⅰ）是否在 拒绝假设Ｈ０ 时用了 小概率原理 ．注意小概率事件并非不可能事件，如果原假设本为真，但由于样本值落进了拒绝区域内而得出 拒绝 的结论，这里犯的错误为弃真错误，通常称为第一类错误，记为α，即Ｐ（拒绝Ｈ０｜Ｈ０为真）＝α．（Ⅱ）反之，如果原假设Ｈ０本来是不成立的，却由于样本值未落进拒绝区域而得出 不能拒绝 的结论．这里的错误是纳伪错误，一般称为第二类错误，记作β，即Ｐ（接受Ｈ０｜Ｈ０不真）＝β．根据检验法则知：当Ｈ０成立时，拒绝Ｈ０的概率小于或等于显著性水平α，但是显著性水平α取得越小越好，因为㊀㊀㊀㊀㊀此时拒绝域也会相应地减小，从而导致犯第二类错误的概率增大．这是一个矛盾的双方，类似于区间估计时的做法，我们需要先固定显著性水平α，再选择合理的检验统计量来适当地减小β的值．下面我们再结合一个实际例子来理解两类错误：在新冠肺炎疫情发生初期，新闻报道中时常会出现 假阳 的检测结果．我们可以从假设检验的两类错误的角度来理解：事实上，任何检验方法都会存在犯错误的可能性，理想的试剂应是 假阴 和 假阳 出现的概率都越小越好，但当样本量有限㊁检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是：人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率，我们可以增大样本容量．所以，从统计学的观点看，新闻报道中的 假阴 假阳 患者出现并不奇怪．启发：小概率事件虽然在一次试验中不易发生，但绝非不可能事件，重复次数多了，发生的可能性也就增大了．这说明做任何事情都不要存在投机取巧的心理，俗话说 常在河边走，哪有不湿鞋 勿以恶小而为之，勿以善小而不为 ．反之，再困难的事情，只要我们持之以恒，总是可以成功的，正所谓 锲而不舍，金石为开 ！（五）假设检验的ｐ值可以看出，显著性水平α变小，对应的拒绝域也会变小；当显著性水平α取得足够小时，使得样本值不落在相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下不能拒绝假设Ｈ０．当显著性水平α由上述足够小的值不断增大时，对应的拒绝域也会变大，当显著性水平α大到一定程度时，便可以使样本值落入相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下可以拒绝假设Ｈ０．对于一个确定的样本值，存在一个实数ｐ（０＜ｐ＜１），当显著性水平α＝ｐ时可以拒绝Ｈ０，而当α＜ｐ时原假设Ｈ０不可以被拒绝．可见，ｐ是使依据给定样本数值做出 拒绝Ｈ０ 的最小的那个显著性水平，我们称之为检验的ｐ值．在例２中，我们也可以通过统计软件计算ｔ统计量的值和ｐ值：表２㊀某金店项链含金量检验结果检验值＝１８ｔｄｆｐ值均值差值项链含金量－２．２１４１９０．０３９－０．２００００给定显著性水平α为０．０５，由表２可知ｐ值０．０３９＜０．０５，原假设应被拒绝，认为项链含金量与１８Ｋ之间有显著的统计差异，从而得出 项链不符合标准 的结论．（六）课堂小结与思政本节课我们主要通过 女士品茶 的案例引入假设检验的基本思想，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，也给出了假设检验的两类错误和ｐ值的含义，这为接下来进一步学习不同类型的㊁具体的假设检验打下了必要的基础．假设检验不仅是一种重要的统计方法，更是一种思维方式，告诉我们用数据来说话，理性地看待问题．正因为如此，假设检验在我们的现实生活中有着十分重要的应用．比如，专家利用假设检验，结合临床数据分析不同采样点㊁人群㊁年龄的新冠病毒核酸检测的结果，给有关部门的决策提供参考．假设检验的理论方法不仅被广泛应用于医学检验㊁生物制药等诸多领域，在我们的生产生活，特别是工业产品的质量判断中也有着十分广泛的应用［５］，因为在工厂的实际生产过程中，产品的尺寸总是左右浮动的，存在一定的误差，那么如何判断这些误差是否在允许的范围内？这就要用到假设检验的思想方法．不仅如此，假设检验的理论还可应用于文学研究．例如，东南大学韦博成教授在２００９年［６］利用假设检验的理论方法分析了‘红楼梦“前８０回与后４０回的某些文风差异，得到的结论是 这两部分内容在写作风格方面存在明显的差异 ，给关于‘红楼梦“作者的论断提供了一个强有力的证据．在现实生活中，数据是无处不在的，学习假设检验的思想方法有助于我们正确地挖掘数据背后的规律，做出更客观的判断．如今，我们身处一个大数据时代，通过学习假设检验，更重要的是培养透过现象看本质这一统计思维．这里，调查得来的数据是现象，规律是从数据中探索出来的本质属性．我们需要借助数学模型，并结合统计方法来寻找这其中的规律和随机性，在潜移默化中培养统计思维．正如我国著名的数学家严加安院士在‘悟道诗“中所题：随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．注：课后同学们若想进一步了解统计学的发展历程，可以读一读‘２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶“［７］这一科普著作．ʌ参考文献ɔ［１］习近平主持召开学校思想政治理论课教师座谈会［Ｎ］．新华社，２０１９－０３－１８，２０：５７．［２］李晨，陈丽萍．概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践［Ｊ］．大学教育，２０２１（９）：１０４－１０６．［３］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［４］朱元泽，李贤彬．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１５．［５］乔静．假设检验在工业产品质量判断中的应用［Ｊ］．机电信息，２０２０（２７）：１４２－１４３．［６］韦博成．‘红楼梦“前８０回与后４０回某些文风差异的统计分析（两个独立二项总体等价性检验的一个应用）［Ｊ］．应用概率统计，２００９（４）：４４１－４４８．［７］萨尔斯伯格．２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００４．。
第四节总体分布函数的假设检验
第四节 总体分布函数的假设检验上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中，有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设.例如检验假设：“总体服从正态分布”等.本节仅介绍2χ检验法.所谓2χ检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值x 1，x 2，…，x n 来检验关于总体分布的假设H 0：总体X 的分布函数为F （x ）；H 1：总体X 的分布函数不是F （x ） （8.22）的一种方法（这里的备择假设H 1可不必写出）.注意，若总体X 为离散型，则假设（8.22）相当于H 0：总体X 的分布律为P {X =x i }=p i ，i =1，2，…；（8.23）若总体X 为连续型，则假设（8.22）相当于H 0：总体X 的概率密度为f （x ）. （8.24）在用2χ检验法检验假设H 0时，若在假设H 0下F （x ）的形式已知，而其参数值未知，此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验.2χ检验法的基本思想与方法如下：(1) 将随机试验可能结果的全体Ω分为k 个互不相容的事件A 1，A 2，…，A k (1ki i A ==Ω，A i A j =∅，i ≠j ；i ,j =1,2,…,k ）,于是在H 0为真时，可以计算概率ˆi p =P (A i ）（i =1，2，…，k ）.（2） 寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n 次试验中，事件A i 出现的频率if n与概率ˆi p往往有差异，但由大数定律可以知道，如果样本容量n 较大（一般要求n 至少为50，最好在100以上），在H 0成立条件下ˆii f p n-的值应该比较小，基于这种想法，皮尔逊使用 2χ=21ˆ()ˆki i i i f npnp =-∑ (8.25)作为检验H 0的统计量,并证明了如下的定理.定理8.1 若n 充分大(n ≥50),则当H 0为真时(不论H 0中的分布属什么分布),统计量(8.25)总是近似地服从自由度为k -r -1的2χ分布,其中r 是被估计的参数的个数.（3） 对于给定的检验水平α，查表确定临界值2(1)k r αχ--使P {2χ＞2(1)k r αχ--）}=α，从而得到H 0的拒绝域为2χ＞2(1)k r αχ--）.（4）由样本值x 1，x 2，…，x n 计算2χ的值，并与2(1)k r αχ--比较.（5） 作结论：若2χ＞2(1)k r αχ--，则拒绝H 0，即不能认为总体分布函数为F （x ）；否则接受H 0.例8.10 一本书的一页中印刷错误的个数X 是一个随机变量，现检查了一本书的100页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5所示.错误个数i 0 1 2 3 4 5 6 ≥7 页数f i 36 40 19 2 0 2 1 0 A iA 0A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7其中f i 是观察到有i 个错误的页数.问能否认为一页书中的错误个数X 服从泊松分布(取=0.05)?解 由题意首先提出假设：H 0：总体X 服从泊松分布.P {X =i }=!e ii λλ-，i =0，1，2，…，这里H 0中参数λ为未知，所以需先来估计参数.由最大似然估计法得03614061ˆ+70100x λ⨯+⨯++⨯⨯===1.将试验结果的全体分为A 0，A 1，…，A 7两两不相容的事件.若H 0为真，则P {X =i }有估计111ˆˆ{}!!e e i p P X i i i --====，i =0，1，2，….例如10ˆˆ{0},e pP X -=== 11ˆˆ{1},e pP X -=== 12ˆˆ{2},2e pP X -=== ………………166701ˆˆˆ{7}11.!e i i i pP X p i -===≥=-=-∑∑ 计算结果如表8-6所示.将其中有些np i ＜5的组予以适当合并，使新的每一组内有np i ≥5，如表8-6所示，此处并组后k =4，但因在计算概率时，估计了一个未知参数λ，故24221ˆ()~(411).ˆi i i i f npnp χχ=-=--∑计算结果为2χ=1.460(表8-6).因为220.05(411)(2)αχχ--==5.991＞1.46，所以在显著性水平为0.05下接受H 0，即认为总体服从泊松分布.A i f i ˆi pˆi npˆi i f np- 2ˆˆ()/i i i f npnp - A 0 36 e -1 36.788 -0.788 0.017 A 1 40 e -1 36.788 3.212 0.280 A 2 19 e -1/2 18.394 0.606 0.020 A 3 A 4 A 5 A 6 A 72 0 2 1 0 e -1/6e -1/24 e -1/120 e -1/72061ˆ1i i p=-∑ 6.131 1.533 0.307 0.051 0.008-3.031.143Σ1.460例8.11 研究混凝土抗压强度的分布.200件混凝土制件的抗压强度以分组形式列出（表8-7）.n =61ii f=∑=200.要求在给定的检验水平α=0.05下检验假设H 0：抗压强度X ~N （μ，σ2）.压强区间(×98kPa) 频数f i 190~200 10 200~210 26 210~220 56 220~230 64 230~240 30 240~25014由第七章知，μ与σ2的极大似然估计值为ˆx μ=， 2211ˆ()ni i x x n σ==-∑. 设*i x 为第i 组的组中值，我们有*1195102052624514200i i i x x f n ⨯+⨯++⨯==∑=221,{}2*222211ˆ()(26)10(16)262414200i ii x x f n σ=-=-⨯+-⨯++⨯∑=152,ˆσ=12.33. 原假设H 0改写成X 是正态N （221，12.332)分布，计算每个区间的理论概率值{}11ˆ()()i i i i i pP a X a μμΦΦ--=≤<=-, i =1，2，…，6, 其中ˆi i a xμσ-=, 22()2it i t μμ--∞=e d πΦ.为了计算出统计量2χ之值，我们把需要进行的计算列表如下（表8-8）.表8-8压强区间X 频数f i 标准化区间［μi ，μi +1］ 1ˆ()()i i pμμΦΦ+=- ˆi np ()2ˆi i f np- ()2ˆˆi i i f np np-190~200 10 （-∞，-1.70） 0.045 9 1 0.11 200~210 26 ［-1.70,-0.89) 0.142 28.4 5.76 0.20 210~220 56 ［-0.89,-0.08) 0.281 56.2 0.04 0.00 220~230 64 ［-0.08,0.73) 0.299 59.8 17.64 0.29 230~240 30 ［0.73,1.54) 0.171 34.2 17.64 0.52 240~25014 ［1.54,+∞) 0.062 12.4 2.56 0.23 Σ1.0002001.35从上面计算得出2χ的观察值为1.35.在检验水平α=0.05下，查自由度m =6-2-1=3的2χ分布表，得到临界值20.05(3)χ=7.815.由于2χ=1.35＜7.815=20.05(3)χ，不能拒绝原假设，所以认为混凝土制件的抗压强度的分布是正态分布N （221，152）.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n1 和 n2 的样本，利用样本值推断两个总体是否具有某
种差异。
H 0：F1 (x) ＝ F2 (x) ，对任意的 x； H 1：F1 (x) F2 (x) ，对某个 x；
在具体研究某种特性的差异时，零假设和备择假设
可以具体化。比如不同文化程度的青年对职业的选
3．双样本的
2 检 验
（25 分钟）
择是否有不同等。观察每个总体的样本在各组分布
可以用于来自任何两点总体的样本数据。
检验的假设：
H0 ： p p0 ； H1 ： p p0 H0 ： p p0 ； H1 ： p p0 H0 ： p p0 ； H1 ： p p0
随机抽取的样本数据个数为 n 或 n 次独立试验，或
是 n 对相互比较的数组，都可以考虑应用符号检验判定
是否来自带有参数 p 的两点总体。在这 n 个数据中，每
验来确定。当 F0 x 中含有未知参数时，应利用样本资
料采用点估计求得后，再进行检验。其检验步骤为：
（1）、提出统计假设 H0 ：F x F0 x
由统计假设 H0 ：F x F0 x 出发，将总体取
值 范 围分为 m 个互 不相 容 的小 区间 ： t0 ，t1 ，
t1，t2 ，…， tm 1，tm ，区间个数以 7~14 为宜。 教师给予引
论频数 n pi 很近似，从而使实际频数 fi 与理论频数 n
m
pi 离差平方和
fi npi
2
较小，由于该离差
i1
m
平方和
fi npi
2
是有单位的，且数值的高低
i1
受 fi 水平高低的影响，所以检验的最好的统计量应为
m
2
fi npi
2
，且在原假设为真的条件下，这
i 1
npi
2
5.99
，
因为 2
0.91
2 0.05
2
5.99 ，所以接受原假设，
即认为通过该地段的汽车车辆数服从泊松分布。
二项式检验
在实际问题中，有许多总体服从二项分布，两点分
布。如赞成改革与不赞成改革；某种药对某种病的患者
起作用和不起作用。在这个两点总体中“成功”或“失
败”所占的成数是否为 p 和（1—p）。普通的符号检验
34
数
理 论 92 68
11
10
频数
200
试问通过的汽车辆数可否认为服从泊松分布，显著性水
平为 = 0.05。
由泊松分布的概率函数 P X k k e (k =
k!
0、1、2、3、…； > 0 ）， 的估计量为：
=
x
=
xf
=
n
1 0 92 1 68 … 5 0 = 0.805
3
0.8053
3!
e 0.805
通过对具体
例题详细讲
= 0.0389
解，使学生们
p5
P3
X
4
P X
4
0.805 4
4!
e 0.805
对方法步骤
= 0.0078
理解更深刻。
p6
1 p1 p2 p3 p4 p5
=10.4471+0.3599+0.1449+0.0389+0.0078=
0.0014
次观察都被分为成功或失败，作为成功的概率是 p。S 表示成功的数目， S 表示失败的数目。在 H。为真时， 成功的期望数目是 np，失败的数目是 n(1 一 p)。S 是
_
遵从带有参数 p 的二项分布， S 是带有参数 1 一 p 的 二项分布。S 和 S 被作为检验统计量。对于任何的 p，
是否一致，实际是将样本混合，观察其实际观察道
的频数与理论频数 ei1
n1
f1• N
和 ei2
n1
f 2• N
是否非常近似。
步骤：
1、 将样本的数据分为 r 个组（r>2）；
2、 分别统计两个样本在各组的频数；
观察频数
组
合计
f1
ff
_
1
f11
ff
f 1•
2
F21
ff
f 2•
r
Fr1
f r2
f r•
_
为了计算 2 统计量的值，列出下表
区
间
fi
pi
n
pi
fi
fi
pi
f2i
pi 2
npi
n pi
（ ， 92
0]
68 0.447 89.42 2.58 6.66 0.07
(0，1 ] 28 1
(1，2 ] 11
71.98 3.98 15.8 0.22
(2，3 ] 1 0.359
4
(3，4 ] 0 9
2 ( fij eij )2 近似自
i1 j1
eij
由度为 r-1,观察的频数与期望的频数非常接近时，
r
即Q
2 ( fij eij )2 很小时，支持原假设；否
_
m
（ i 1、2、3 … ，m)，且 pi = 1，令落在第 i
i 1
个区间的理论频数为 n pi （ i 1、2、3 … ，m)，
在检验中，落在每个区间的理论频数 n pi 不应该小于
5，否则应将相邻的组合并。
m
（2）、选择适当统计量 2
fi npi 2
i 1
npi
原假设为真时，从概率的角度看实际频数 fi 与理
（4，5 ]，（5，），由泊松分布的概率函数分别计算落
在这些区间的概率：
p1
PX
0
PX
0
0.805 0
0!
e 0.805
=0.4471
p2
P0
X
1
PX
1
0.805 1
1!
e 0.805
= 0.3599
p3
P1
X
2
P X
2
0.8052
2!
e 0.805
= 0.1449
p4
P2
X
3
P X
S min(S , S ) , p p(S s0 )
S min(S , S ) ,2 p p(S s0 )
当 n 20 ，统计量为
Z,R
S 0.5 0n n0 (1 0 )
Z,R
S 0.5 0n n0 (1 0 )
[例] 商场晚上是否应该延长营业 某商场每晚 6：30 关门，有人建议应延长营业时间 至 10：00。为作出决定，现欲对商场周围顾客情况作
_
概率论与数理统计教学设计
课程名称
概率论与数理 统计
课时
100 分钟
任课教师
刘涛
专业与班级
财管 B1601---B1606
课型
新授课
课题
8.4 总体分布的假设检验
“总体分布的假设检验” 属于教材第八章第四节，位于教材的第 239 页至第 243 页.在实际问题中，常常不能确切与之总体服从何种分布，这 教材分析 就需要从大量观测数据中去发现规律，对总体的分布进行推测，这类统计 检验陈伟非参数检验。可以说，总体分布的假设检验是对第八章前三节内 容的总结以及综合应用。
( fi2 ei2 )2 ei 2
f r1
f r2
er1
n1
eifN2r•
n1
(
f 2• Nf r1
er1 )2
er1
( fi2 ei2 )2 ei 2
合
( fi1 ei1)2
ei1
( fi2 ei2 )2 ei 2
计
r
Q
2 ( fij eij )2
i1 j1
eij
r
如果原假设为真，则 Q
了解总体分布的假设检验的背景来源；
知识与技能
了解总体分布的假设检验的基本思想； 掌握总体分布的假设检验的适用范围、基本步骤及其具
学 体运用。
习
目 通过问题的引入，引导学生分析、解决问题，培养学生
标
将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分
过程与方法 析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际
败“。现在需要检验的是 H0 : 0.25 （成功）
2 p(s 7 / n 18, p 0.25) 2 0.056948 0.113897 2
_
_
_
通过对具体 例题详细讲
_
解，使学生们
对方法步骤
理解更深刻。
双样本的 2 检验
分别从两个分布为 F1(x)和 F2(x)的总体中随机抽取
m
2
fi npi
2
的值。
i 1
npi
_
（5）、作结论，若
2
2
m
1
r
，则拒绝
原假设，即认为总体的分布函数不为 F0 x ；反之，则
接受原假设，即认为总体的分布函数为 F0 x 。
例 某公路上，交通部门观察每 15 秒钟内过路
的汽车辆数，共观察了 50 分钟，得如下样本资料：
辆
0
1
2
当 S 比它期望数目是 n p0 大得多时，则支持 H1 ：
p p0 ，若 S 远远地小于 np 时，则 H1 ： p p0 被
支持。对于不同的备择假设，可以选择不同的检验统计
量。将其总结如表。
二项式检验判定指导表
备择假设
P值
H1 ： 0 H1 ： 0 H1 ： 0
S min(S , S ) , p p(S s0 )
导，回归到刚
然后，统计出每个区间内样本点的数目，即实际频数 fi