导数、微分、不定积分公式

一、导数的概念及其计算

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x

y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即

x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，

x

y

∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim

→∆x x

y

∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y x ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．

（１）0)(='C （C 为常数） （２）1

)(-⋅='n n

x

n x

（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)(''Cu Cu =

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

⎪⎭

⎫ ⎝⎛v u ‘=2

''v uv v u -（v ≠0）。 二、定积分的概念及其计算（牛顿—莱布尼茨公式）

1．定积分

（1）概念

设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

∑n

i f

1

＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0

时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：

⎰

b

a

dx x f )(，即⎰b

a

dx x f )(＝∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变

量，f (x )dx 叫做被积式

定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且

⎰

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==b

a

b

a a F

b F x F dx x f )()()()(。

基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰

dx x m

＝

11

1++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x

＝x e ＋

C ；⎰dx a x

＝a

a x

ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）

（2）定积分的性质 ①⎰

⎰=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②⎰

⎰⎰±=±b

a b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③

⎰⎰⎰+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

积⎰

=

b a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b

（a

形

DMNC

＝

⎰

⎰-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。