输油管的布置模型
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2
r
当共用管线与非共用管线费用不相同时
假定共用管道费用是非共用管道的k 倍,
设 PC 长度为 y . 根据对称原理，
2. 问题1的分析与解决
PA PB的最小值可以表示成 y 的函数 ：
(a y b y ) 2 c 2 即数学模型为： min s.t z y (a b 2 y)2 c2 ky 0 y a
工程咨询公司 附加费用（万元/千米） A 21 B 24 C 20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用
B f Ù ›a ï Jê ùłïı iï ï A,r Ù ›a ï a 45»r J Ës.6 > G , łïı iï ï 845 œY
:ś‹.ov n , • € # ' ïö€ Ja żæT:ś7.2 v æ, ›ş«+ż•-ı‹ł3•ö
zmin
1 a b 3c 2
当共用管线与非共用管线费用不相同时
（2）若 y 0 ，即： a b 3c 时
取 y 0时， z
min
2. 问题1的分析与解决
2 c a b
2
c y a （3）若 ，即：b a 时 3 取 y a时， z min
当 A点将位于 B 点所引直线下方时 即c 3 b a时，
最佳方案就是把车站建在 D 点，将
管道直接铺设在 AB 和 AC 连线上
最小费用为： a
b a
2
c2 r
2. 问题1的分析与解决
情况三： 当所引直线将交于铁 路线下方。 即c 3 a b时， 最佳方案是将管道交汇点放在铁
l c
2t(b z) (b z)2 (l c)2
4t 2 1
时， g ( z ) 取最小值：
g(z)min a b 3 c 4t 2 1(l c)
1 3 1 c)) • 相应的，P 点坐标( c 3( z a) , (a z 2 2 3
当共用管线与非共用管线费用不相同时
4 k 2 （2）当c (a b ) 时 k
2. 问题1的分析与解决
取 y 0时， z
min
2 c a b
2
4 k 2 （3）当c (b a)时 k
取 y a时， z min
2 b a c ka 2
4. 问题3的分析与解决
(l c)2 (b z)2
sin
将方程改写为：
k1 cosk2 cos 0
k1 sink2 sin k3 0 k2 sin k4 sin 0
4. 问题3的分析与解决
整理得:
2 2 2 k 3 k 2 k 1 sin 2k2 k3
0 x c 约束条件: 0 y a 0 z b
问题二的 lingo 程序：
3. 问题2的分析与解决
model: min=p*(pa+pq+y)+bq*(w+p);
pa=(x^2+(a-y)^2)^(1/2);
pq=((c-x)^2+(z-y)^2)^(1/2); bq=((l-c)^2+(b-z)^2)^(1/2); x>=0;x<=c;y<=a;y>=0;z<=b;z>=0;a=5;b=8;c=15;l=20;p=7.2;w=28.7; end
y1=0.5*(a+z-sqrt(3)/3*c);
P=[x1,y1]
Q=[c,z]
3. 问题2的分析与解决
问题二的数值模型：
设点 P x, y , Q c, z ,
目标函数为总费用 F x, y, z p PA PQ PH w p BQ
其中j 为赋予三家公司的权， 它们应满足1 2 3 1 例如：常用的权值取法有 0.4:0.3:0.3；0.5:0.25:0.25 等等，相应的附加费用值 w 分别为 21.5、21.6 万元。
3. 问题2的分析与解决
二 由于城区油管铺设费用大大高于郊区，因此不考虑将共用 管道建在城区； 三 假设输油管在城乡结合处 Q 点的坐标为(c, z)，共用管道在 郊区铺设，郊区管线单价为 p ，则城区单价为w p tp t 1则
k 32 k 22 k 12 sin 2k3k4
2 2 2 k 3 k 1 k 2 sin 2k1k3
4. 问题3的分析与解决
问题三的解析模型：
• 结果
z b
2 (k32 k 2 k12 )(l c) 2 2 2 2 2 4k32k 4 (k 3 k 2 k1 )
2. 问题1的分析与解决
假设共用管线费用相同时
2. 问题1的分析与解决
费马（ Fermat） 点：到三角形三个顶点距离之和最小的点。
若三角形的三个角都小于1200 时： 当APC=APB=BPC=1200 时， PA PB PC 最小 若三角形有一个角大于等于1200 时 如：ACB 120 ，
PQ (c x)2 ( z y)2 BQ (l c)2 (b z ) 2
ki , a, b, c, l 均为已知。
问题三的解析模型： • 利用多元函数微分学的知识求极值：
F x F y k1x x2 (a y)2 k1 (a y) x2 (a y)2 k2 (c x) (c x)2 ( z y)2 k2 ( z y) (c x)2 ( z y)2 k3
问题二的解析模型：
3. 问题2的分析与解决
p min w z (a z 3 c) tp (b z)2 (l c)2 2 l c * 时，w(z )取最小值： • 当且仅当 z b 4t 2 1 p a b 3 c * w( z ) min 4t 2 1(l c) 2 1 • 相应的，P 点坐标( (c 3( z * a), 1 (a z* 3 c)) 2 2 3
Q 点坐标c, z*
问题二的解析模型：Matlab 程序 a=5;b=8;c=15;l=20;p=7.2; t=(21.5+p)/p;
m=sqrt(4*t^2-1);
3. 问题2的分析与解决
z=b-(l-c)/m;
w=p*0.5*((a+b+sqrt(3)*c)+m*(l-c))
x1=0.5*(c-sqrt(3)*(z-a));
2 b a c a 2
当共用管线与非共用管线费用不相同时
根据k 的不同取值，可分为以下两种情况：
2. 问题1的分析与解决
2 当1k 2
z y (a b 2 y ) 2 c 2 ky （1）若0 y a，则当
k 1 c) 时， y (a b 2 4 k 2 zmin 1 (a b)k 4 k 2 c 2
f x, y p( x a y (l x) b y ) kpy
2 2 2 2
3. 问题2的分析与解决
一 城区拆迁和工程补偿等附加费用的确定 根据三家
咨询公司的资质，对他们的结果进行加权 平均，
得到最终估计值。
计算公式：w j wj ，其中1 2 3 1
当共用管线与非共用管线费用不相同时
根据k 的不同取值，可分为以下两种情况：
2. 问题1的分析与解决
1 当 k 1 即共用非共用管道费用相同。
z y (a b 2 y ) 2 c 2 y
c a b （1）若0 y a，则当 y 时 2 2 3
假பைடு நூலகம்共用管线费用相同时
路线上。根据直线上取点到两定点
距离之和最小的反射原理，可以确 定 P 点的位置。 最小费用为：
a b
2
c2 r
2. 问题1的分析与解决
模型一
基于几何方法的模型
当费用相同时
1 ab 3c r 2
a b a c r
2 2
a b c2
问题三的解析模型： 设 P x, y , Q c, z 则总费用的表达式为
F (x, y, z) k1PA k2 PQ k3 y k4 BQ
4. 问题3的分析与解决
分别用 k1, k2 , k3 , k4表示 AP、PQ、PH、BQ 段管道的费率，
其中: PA x2 (a y)2
形。
1. 问题的提出
2.设计院目前须对一更为复杂的情形进行具体的设计。两 炼油厂的具体位置由附图所示。其中A厂位于郊区（图中的I 区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的 距离（单位：㎞）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若管线铺设的费用均为每千米7.2万元。 管线经过城 区 还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费 用进 行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司A具有甲 级资质 ，公司B和C具有乙级资质）进行了估算。估算结果 由下表 所示：
4. 问题3的分析与解决
F k2 ( z y) k4 (b z) z (c x)2 ( z y)2 (l c)2 (b z ) 2 F F F • 求驻点,令 0 x y z
利用几个方位角的三角函数,
x x2 (a y)2 c x (c x)2 ( z y)2 b z cos cos
总费用的数学模型为：
p w z (a z 3 c) (w p) (b z)2 (l c)2 2
问题转化为： min g ( z ) (a z 3c) 2t (b z)2 (l c)2
3. 问题2的分析与解决
先对函数 g z 求导： g '(z) 1 • 当且仅当 z b
a cotz cot c cotcot x (a y) cot y
问题三的解决一：MATLAB 计算
4. 问题3的分析与解决
a=5;b=8;c=15;l=20;k1=5.6;k2=6;k3=7.2;k4=27.5; A=asin((k1^2+k3^2-k2^2)/(2*k1*k3)); B=asin((k2^2+k3^2-k1^2)/(2*k2*k3)); C=asin((k1^2+k3^2-k2^2)/(2*k4*k3)); z=b-(l-c)*tan(C); y=(a*cot(A)+z*cot(B)-c)/( cot(A)+cot(B)); x=(a-y)*cot(A); w=k1*x/cos(A)+k2*(c-x)*cos(B)+k3*y+k4*(l-c)*cos(C) P=[x,y] Q=[c,z]
2. 问题1的分析与解决
模型二
解析模型
以A厂到铁路线的垂线AC为x轴，以铁路线CD为y轴，C为原 点，建立坐标系。
2. 问题1的分析与解决
•
设 P 的坐标为x, y, 0 x l, 0 y a ,
倍（1k 2），则管道总费用为
非共用管
道的费用单价为 p,共用管道费用为非共用管道的 k
0
则 PA PB PC 最小＝CA CB
2. 问题1的分析与解决
情况一：
分别从 A, B 两点向铁路引倾角为
300 的直线，其交点为 P ，作 PC 垂
当费用相同时
直于铁路，垂足 C 为车站
1 最小费用为： a b 3c r 2
2. 问题1的分析与解决
情况二：
当费用相同时
输油管的布置模型
邢台职业技术学院 张建勇
1. 问题的提出
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路 线上增建一车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定 的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数 学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种 不同情形，提出您的设计方案。在方案设计时，若有共用管 线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情
r
当共用管线与非共用管线费用不相同时
假定共用管道费用是非共用管道的k 倍,
设 PC 长度为 y . 根据对称原理，
2. 问题1的分析与解决
PA PB的最小值可以表示成 y 的函数 ：
(a y b y ) 2 c 2 即数学模型为： min s.t z y (a b 2 y)2 c2 ky 0 y a
工程咨询公司 附加费用（万元/千米） A 21 B 24 C 20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用
B f Ù ›a ï Jê ùłïı iï ï A,r Ù ›a ï a 45»r J Ës.6 > G , łïı iï ï 845 œY
:ś‹.ov n , • € # ' ïö€ Ja żæT:ś7.2 v æ, ›ş«+ż•-ı‹ł3•ö
zmin
1 a b 3c 2
当共用管线与非共用管线费用不相同时
（2）若 y 0 ，即： a b 3c 时
取 y 0时， z
min
2. 问题1的分析与解决
2 c a b
2
c y a （3）若 ，即：b a 时 3 取 y a时， z min
当 A点将位于 B 点所引直线下方时 即c 3 b a时，
最佳方案就是把车站建在 D 点，将
管道直接铺设在 AB 和 AC 连线上
最小费用为： a
b a
2
c2 r
2. 问题1的分析与解决
情况三： 当所引直线将交于铁 路线下方。 即c 3 a b时， 最佳方案是将管道交汇点放在铁
l c
2t(b z) (b z)2 (l c)2
4t 2 1
时， g ( z ) 取最小值：
g(z)min a b 3 c 4t 2 1(l c)
1 3 1 c)) • 相应的，P 点坐标( c 3( z a) , (a z 2 2 3
当共用管线与非共用管线费用不相同时
4 k 2 （2）当c (a b ) 时 k
2. 问题1的分析与解决
取 y 0时， z
min
2 c a b
2
4 k 2 （3）当c (b a)时 k
取 y a时， z min
2 b a c ka 2
4. 问题3的分析与解决
(l c)2 (b z)2
sin
将方程改写为：
k1 cosk2 cos 0
k1 sink2 sin k3 0 k2 sin k4 sin 0
4. 问题3的分析与解决
整理得:
2 2 2 k 3 k 2 k 1 sin 2k2 k3
0 x c 约束条件: 0 y a 0 z b
问题二的 lingo 程序：
3. 问题2的分析与解决
model: min=p*(pa+pq+y)+bq*(w+p);
pa=(x^2+(a-y)^2)^(1/2);
pq=((c-x)^2+(z-y)^2)^(1/2); bq=((l-c)^2+(b-z)^2)^(1/2); x>=0;x<=c;y<=a;y>=0;z<=b;z>=0;a=5;b=8;c=15;l=20;p=7.2;w=28.7; end
y1=0.5*(a+z-sqrt(3)/3*c);
P=[x1,y1]
Q=[c,z]
3. 问题2的分析与解决
问题二的数值模型：
设点 P x, y , Q c, z ,
目标函数为总费用 F x, y, z p PA PQ PH w p BQ
其中j 为赋予三家公司的权， 它们应满足1 2 3 1 例如：常用的权值取法有 0.4:0.3:0.3；0.5:0.25:0.25 等等，相应的附加费用值 w 分别为 21.5、21.6 万元。
3. 问题2的分析与解决
二 由于城区油管铺设费用大大高于郊区，因此不考虑将共用 管道建在城区； 三 假设输油管在城乡结合处 Q 点的坐标为(c, z)，共用管道在 郊区铺设，郊区管线单价为 p ，则城区单价为w p tp t 1则
k 32 k 22 k 12 sin 2k3k4
2 2 2 k 3 k 1 k 2 sin 2k1k3
4. 问题3的分析与解决
问题三的解析模型：
• 结果
z b
2 (k32 k 2 k12 )(l c) 2 2 2 2 2 4k32k 4 (k 3 k 2 k1 )
2. 问题1的分析与解决
假设共用管线费用相同时
2. 问题1的分析与解决
费马（ Fermat） 点：到三角形三个顶点距离之和最小的点。
若三角形的三个角都小于1200 时： 当APC=APB=BPC=1200 时， PA PB PC 最小 若三角形有一个角大于等于1200 时 如：ACB 120 ，
PQ (c x)2 ( z y)2 BQ (l c)2 (b z ) 2
ki , a, b, c, l 均为已知。
问题三的解析模型： • 利用多元函数微分学的知识求极值：
F x F y k1x x2 (a y)2 k1 (a y) x2 (a y)2 k2 (c x) (c x)2 ( z y)2 k2 ( z y) (c x)2 ( z y)2 k3
问题二的解析模型：
3. 问题2的分析与解决
p min w z (a z 3 c) tp (b z)2 (l c)2 2 l c * 时，w(z )取最小值： • 当且仅当 z b 4t 2 1 p a b 3 c * w( z ) min 4t 2 1(l c) 2 1 • 相应的，P 点坐标( (c 3( z * a), 1 (a z* 3 c)) 2 2 3
Q 点坐标c, z*
问题二的解析模型：Matlab 程序 a=5;b=8;c=15;l=20;p=7.2; t=(21.5+p)/p;
m=sqrt(4*t^2-1);
3. 问题2的分析与解决
z=b-(l-c)/m;
w=p*0.5*((a+b+sqrt(3)*c)+m*(l-c))
x1=0.5*(c-sqrt(3)*(z-a));
2 b a c a 2
当共用管线与非共用管线费用不相同时
根据k 的不同取值，可分为以下两种情况：
2. 问题1的分析与解决
2 当1k 2
z y (a b 2 y ) 2 c 2 ky （1）若0 y a，则当
k 1 c) 时， y (a b 2 4 k 2 zmin 1 (a b)k 4 k 2 c 2
f x, y p( x a y (l x) b y ) kpy
2 2 2 2
3. 问题2的分析与解决
一 城区拆迁和工程补偿等附加费用的确定 根据三家
咨询公司的资质，对他们的结果进行加权 平均，
得到最终估计值。
计算公式：w j wj ，其中1 2 3 1
当共用管线与非共用管线费用不相同时
根据k 的不同取值，可分为以下两种情况：
2. 问题1的分析与解决
1 当 k 1 即共用非共用管道费用相同。
z y (a b 2 y ) 2 c 2 y
c a b （1）若0 y a，则当 y 时 2 2 3
假பைடு நூலகம்共用管线费用相同时
路线上。根据直线上取点到两定点
距离之和最小的反射原理，可以确 定 P 点的位置。 最小费用为：
a b
2
c2 r
2. 问题1的分析与解决
模型一
基于几何方法的模型
当费用相同时
1 ab 3c r 2
a b a c r
2 2
a b c2
问题三的解析模型： 设 P x, y , Q c, z 则总费用的表达式为
F (x, y, z) k1PA k2 PQ k3 y k4 BQ
4. 问题3的分析与解决
分别用 k1, k2 , k3 , k4表示 AP、PQ、PH、BQ 段管道的费率，
其中: PA x2 (a y)2
形。
1. 问题的提出
2.设计院目前须对一更为复杂的情形进行具体的设计。两 炼油厂的具体位置由附图所示。其中A厂位于郊区（图中的I 区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的 距离（单位：㎞）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若管线铺设的费用均为每千米7.2万元。 管线经过城 区 还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费 用进 行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司A具有甲 级资质 ，公司B和C具有乙级资质）进行了估算。估算结果 由下表 所示：
4. 问题3的分析与解决
F k2 ( z y) k4 (b z) z (c x)2 ( z y)2 (l c)2 (b z ) 2 F F F • 求驻点,令 0 x y z
利用几个方位角的三角函数,
x x2 (a y)2 c x (c x)2 ( z y)2 b z cos cos
总费用的数学模型为：
p w z (a z 3 c) (w p) (b z)2 (l c)2 2
问题转化为： min g ( z ) (a z 3c) 2t (b z)2 (l c)2
3. 问题2的分析与解决
先对函数 g z 求导： g '(z) 1 • 当且仅当 z b
a cotz cot c cotcot x (a y) cot y
问题三的解决一：MATLAB 计算
4. 问题3的分析与解决
a=5;b=8;c=15;l=20;k1=5.6;k2=6;k3=7.2;k4=27.5; A=asin((k1^2+k3^2-k2^2)/(2*k1*k3)); B=asin((k2^2+k3^2-k1^2)/(2*k2*k3)); C=asin((k1^2+k3^2-k2^2)/(2*k4*k3)); z=b-(l-c)*tan(C); y=(a*cot(A)+z*cot(B)-c)/( cot(A)+cot(B)); x=(a-y)*cot(A); w=k1*x/cos(A)+k2*(c-x)*cos(B)+k3*y+k4*(l-c)*cos(C) P=[x,y] Q=[c,z]
2. 问题1的分析与解决
模型二
解析模型
以A厂到铁路线的垂线AC为x轴，以铁路线CD为y轴，C为原 点，建立坐标系。
2. 问题1的分析与解决
•
设 P 的坐标为x, y, 0 x l, 0 y a ,
倍（1k 2），则管道总费用为
非共用管
道的费用单价为 p,共用管道费用为非共用管道的 k
0
则 PA PB PC 最小＝CA CB
2. 问题1的分析与解决
情况一：
分别从 A, B 两点向铁路引倾角为
300 的直线，其交点为 P ，作 PC 垂
当费用相同时
直于铁路，垂足 C 为车站
1 最小费用为： a b 3c r 2
2. 问题1的分析与解决
情况二：
当费用相同时
输油管的布置模型
邢台职业技术学院 张建勇
1. 问题的提出
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路 线上增建一车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定 的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数 学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种 不同情形，提出您的设计方案。在方案设计时，若有共用管 线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情