第二章 2.1、2.2矩阵定义和运算(唐忠明版)
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。
它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。
本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。
其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。
每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。
二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。
矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。
行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。
三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。
4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。
四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。
线代第二章矩阵第一节
( A + B) + C = A + ( B + C )；
A + O = A；
(4)
A + (− A) = O ．
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结束
2．数乘
定义 4
设 m × n 矩阵
a11 a12 L a1n a a22 L a2 n , A = 21 M M M am1 am 2 L amn k 为一个数，称下列 m × n 矩阵 为一个数，
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相关概念： 相关概念：
元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 实矩阵 复矩阵
方阵． 当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵．
称为行矩阵 行矩阵． 只有一行的矩阵 A = ( a1 a2 L an ) 称为行矩阵．
a11b11 + a12b21 + a13b31 C = a21b11 + a22b21 + a23b31
则矩阵C 的 (i, j ) 元素恰好是矩阵 A 的第 i 行各元素与矩阵
B 的第 j 列对应元素乘积之和，称 C 为 A 与 B 的乘积． 列对应元素乘积之和， 的乘积．
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记为 A = B ．
下面介绍矩阵的运算： 下面介绍矩阵的运算： 1．加法 ． 3．乘法 ． 2．数乘 ． 4．转置 ．
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结束
1．加法
定义 3 设有同型矩阵
21矩阵的概念22矩阵的运算精品PPT课件
ka21 ta21
ka12 ta12
ka22 ta22
ka1n ta1n ka2n ta2n
kam1 tam1 kam2 tam2 kamn tamn
ka11
ka21
ka12
ka22
ka1n ta11
ka2n
ta21
ta12
ta22
ta1n
• (aij)m×n
• 特别地 当m=n时，
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
当m=1时， A a11 a12 a1n
a11
当n=1时，
A
a21
am1
称为n阶方阵 称为行矩阵
称为列矩阵
当m=n=1时，A a11 可视为普通数 a1来1 处理
ka11
kA
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kaij
kamn
例如
A
3 2
2 1
0 1
则
2A
6 4
4 2
0 2
• 数乘的性质：
设A、B、O均为m×n矩阵，k、t为常数, 则
(1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+t)A=kA+tA (3) (kt)A=k(tA)=t(kA) (4) 1A=A (5) 0A=O (6) 若k≠0, A≠O,则 kA≠O
ai1
am1
a12
ai 2
am2
a1s
ais
b11 b21
ams
bs1
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
矩阵及其运算ppt课件
5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列
得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作
AT。
如果 A是一个 m×n 阶矩阵，那么 AT 就是
一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同
序数的列
1 4 A 2
2 5
3 6
☞ (1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An 1A4A2L43A (n为正数)
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
运算。
3.矩阵的乘法：设矩阵 A为m×n 阶矩阵、矩阵 B为 n×p 阶矩阵，A= (aij) m×n 、B= (bij) n×p ， 则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×p 阶矩阵
C = (cij) m×p，记 C = AB， 且
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj
n
aikbkj
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复
数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
线性代数第二章第一节-矩阵的概念
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
线性代数第二章
第2章 矩阵
2.1 矩阵概述 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 矩阵的初等变换 2.5 行最简形矩阵与矩阵的秩 2.6 行最简形矩阵与矩阵的秩 2.7 应用实例——矩阵密码法
2.1 矩阵概述
2.1.1 矩阵的概念
Hale Waihona Puke 定义1由 m n 个数 aij (i 1，2，L ，m；j 1，2，L ，n) 排成的 m 行 n 列数表，并用括号括起来，
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2n
，
M
amn
a11 a21 L
则
AT
a12
M
a22 M
L
a1n a2n L
am1
am2 M
．
amn
2.2.4 矩阵的转置
矩阵的转置的性质
（1） ( A ) A ；
（2） ( A B)T AT BT ；
C 表示各工厂的总收入及总利润，且 C AB ．具体如下：
a11
A
a21 a31
a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
，
B
b11 b21 b31
b12 b22 b32
甲
乙
丙
，C
c11
c21
c31
c41
c12 Ⅰ
c22 c32 c42
4 7
．
2.2.2 数与矩阵相乘
定义2
数 k 与矩阵 A (aij )mn 的乘积，称为数乘，记作 kA ，规定为
ka11 ka12 L
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
167;2.1167;2.2矩阵的定义和其运算
0 1 1 0
1
1
0 0
1 0
0 1
,
0 1 0 0
这个数表反映了四城市 间航班联接情况.
返回
结 束
第二章 矩阵
3. 某企业生产 4 种产品,各种产品的季度产值 (单位:万元)如下表：
产值 产品
A
季度BLeabharlann CD180 75 75 78
2
98 70 85 84
3
90 75 90 90
4
88 70 82 80
返回
结 束
第二章 矩阵
伴随矩阵
定义: 由 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 的各个元素的代数 余子式 Ai j 所构成的如下矩阵
A11 A21
A
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
A
,
Ann
称为A 的伴随矩阵.
返回
结 束
29
第二章 矩阵
性质 AA A A A E.
证明 AA
计算AB,BA.
返回
结 束
22
第二章 矩阵
遵循的规律 (1)线性性质 A(B C) AB AC (B C )A BA CA
( AB) ( A)B A(B);
(2)结合律 ( AB)C A(BC);
(3) ABT BT AT
返回
结 束
23
第二章 矩阵
与数的乘法不同之处
(1)无交换律
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
返回
结 束
6
2.1-2.2 矩阵
两次累计:
甲 乙
A B C 420 365 390 205
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的基本运算
§2.2 矩阵的基本运算 一. 矩阵的线性运算 1. 加法(addition of matrices)
例3.
产品
甲 乙
发到各商场的数量
A B C 200 180 190 100 120 100
第一次 产品
产品 甲 乙
发到各商00 105 120 110 第二次
发到各商场的数量
两次累计:
甲 乙
A B C 420 365 390 205 240
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的基本运算
§2.2 矩阵的基本运算 一. 矩阵的线性运算 1. 加法(addition of matrices)
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的基本运算
3. 性质 设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.
第二章 矩阵
§2.1 矩阵概念
2. 方阵(square matrix) n阶方阵: nn矩阵 见例2. 3. 向量(vector) 行向量(column vector) [a1, a2, …, an] a1 a2 n–维 列向量(row vector) … (n–dimensional) an 第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n)
第二章 矩阵
第二章矩阵本章要点1. 矩阵的概念与运算；2. 分块矩阵；3. 可逆矩阵及性质；4. 矩阵的初等变换；5. 矩阵的秩。
学习目标1．理解矩阵的基本概念；2．掌握矩阵的运算及其基本性质；3. 掌握逆矩阵和矩阵的秩的求法；4. 掌握矩阵的初等变换；5. 会进行矩阵的分块运算。
矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
第一节矩阵的概念与运算一、矩阵的概念矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念,它在自然科学的各个领域和经济管理、经济分析中有着广泛的应用。
来看这样一个简单的实例：例2.1 某种物资有3个产地,4个销地,调配量如表2.1所示。
表 2.1那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210402135361或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210402135361 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由n m ⨯个数或代数式()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==构成的一个m 行n 列的矩形列表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个m 行n 列的矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行j 列的元素()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==。
矩阵的元素属于数域F ，称其为数域F 的矩阵。
若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域R 上的矩阵。
一般用大写的字母A ，B ，C ,表示矩阵；有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如n m ⨯的矩阵A 可以表为n m A ⨯；还有，要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式()nm ija ⨯标记。
线性代数 第2章 矩阵理论基础 第2节PPT课件
a a3 23 3a13 a a3 21 1
a22 a32
-6-
a 11
计算下三角行列式 a 21 a 22
a1a 12 2ann
a n1 a n 2 a nn
注意思考！
d1 d1
n(n1)
(1) 2 d1d2 dn
dn dn
-7-
行列式的性质
性质1 行列式按任意一行展开，其值相等。
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA i n , ( n i 1 , 2 , , n )
推论1 如果行列式有一行为零，则行列式等于零。 例如
000 0
-8-
性质2 互换行列式的两行,行列式变号。
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
1 2 32
2
2
r2 r1 1 1 1 3
1 1 1 3
r 3 2 r 1 1 0 0 1 4 r2 r4 1 0 1 4 1
r4 r1 2 0 3 4 2
2 0 3 4 2
0 1 4 1
00 1 4
-16-
1 1 1 3
1 1 1 3
0 2
4
1 1 0 2 r42r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
1 2 1 4
r2 r3 0 0
1 1 2 1 1 2
0 5 3 8
-14-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 1 1 2 r3 r2 0 1 1
2
0 1 1 2 r45r2 0 0 2 4
0 5 3 8
0 0 8 18
推论3 AnA, 是一个数。
推论4 行列式中如果有两行元素成比例，则此行
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本概念以及涉及的运算方法。
一、矩阵的定义与表示方法矩阵是一个按照矩形排列的数阵，它由m行n列的数构成。
一个矩阵可以用一个大写字母加上下标的方式表示，例如A、B、C等。
如果一个矩阵共有m行n列，我们将其记作A(m×n)。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法设有两个矩阵A(m×n)和B(m×n)，矩阵A与矩阵B的和记作A + B，其定义为矩阵中对应元素相加所得的新矩阵，即(A + B)(i,j) = A(i,j) +B(i,j)。
需要注意的是，两个矩阵进行加法运算时，必须满足相加的两个矩阵具有相同的行数和列数。
2. 矩阵的数乘设有一个矩阵A(m×n)和一个常数k，矩阵A乘以常数k的结果记作kA，其定义为将矩阵A的每个元素都乘以k所得的新矩阵，即(kA)(i,j) = k * A(i,j)。
同样需要注意的是，常数与矩阵的乘法满足交换律，即kA = Ak。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要一环。
设有两个矩阵A(m×n)和B(n×p)，这两个矩阵可以相乘得到一个新的矩阵C，记作C = A * B。
新矩阵C的元素由矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的内积所得，即C(i,j) = A(i,1) * B(1,j) + A(i,2) * B(2,j) + ... + A(i,n) * B(n,j)。
4. 矩阵的转置设有一个矩阵A(m×n)，将A的行换成列，列换成行所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为零的矩阵，记作O。
零矩阵的尺寸通常根据上下文来确定。
2. 方阵方阵是行数与列数相等的矩阵，记作A(n×n)。
方阵具有许多重要的性质和特点。
3. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上元素都为1，其余元素都为零的方阵，记作I。
矩阵的定义及其运算规则-矩阵的定义
矩阵的【2 】界说及其运算规矩1.矩阵的界说一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全部,在括号（）内分列成m行n 列（横的称行,纵的称列）的一个数表,并称它为m×n阵.矩阵平日是用大写字母 A .B …来表示.例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：,或.即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母 ,表示矩阵的行数,第二个注脚字母j（j＝1,2,…,n）表示矩阵的列数.当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示.当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵 .设两个矩阵,有雷同的行数和雷同的列数,并且它们的对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B.2.三角形矩阵由i＝j的元素构成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素.假如在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而别的一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵.例如,以下矩阵都是三角形矩阵：, ,, .3.单位矩阵与零矩阵在方阵中,假如只有的元素不等于零,而其他元素全为零,如：则称为对角矩阵,可记为.假如在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1,如：,则称为单位矩阵.单位矩阵常用E来表示,即：当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示.4.矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时,必需要有雷同的行数和列数.如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和,则有：m ×n式中：.即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和.由上述界说可知,矩阵的加法具有下列性质（设 A.B.C都是m×n矩阵）：（1）交流律：A＋B＝B＋ A （2）联合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5.数与矩阵的乘法我们界说用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵.如：由上述界说可知,数与矩阵相乘具有下列性质：设A.B都是m×n矩阵,k.h为随意率性常数,则：（1） k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3） k（hA）＝khA6.矩阵的乘法若矩阵乘矩阵,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义.矩阵的元素的盘算办法界说为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和.若：则矩阵的元素由界说知其盘算公式为：（2-4）【例2-1】设有两矩阵为：, ,试求该两矩阵的积.【解】因为A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其成果设为C：个中：【例2-2】已知：A＝,B＝,求A.B两个矩阵的积.【解】盘算成果如下：矩阵的乘法具有下列性质：（1）平日矩阵的乘积是不可交流的.（2）矩阵的乘法是可联合的.（3）设A是m×n矩阵, B.C是两个n×t矩阵,则有：A（B＋C）＝AB＋AC.（4）设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵.则对随意率性常数k有：k（AB）＝（kA）B＝A（kB）.【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为：（2-5）式中：（2-6）试将矩阵公式睁开,列出方程组.【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得：（2-7）将上式右边盘算整顿得：（2-8）可得方程组：可见,上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵情势.上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式.式中称为纠正数阵,称为误差方程组的系数阵,称为未知数阵,称为误差方程组的常数项阵.【例2-4】设由n个不雅测值列出r个前提式如下,试用矩阵表示.【解】现记：（2-9）则前提方程组可用矩阵表示成：（2-10）上式中称为前提方程组的系数阵,称为纠正数阵,称为前提方程组的闭合差排阵.。
矩阵(第二章)
a1n a2 n ain amn
例2 解线性方程组
x1 x2 x3 1 x2 x3 2 x1 x2 2 x3 1
代替：
1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1
二、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
(1) 定义
设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 a b m1 m1 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
结论：
(1)
a11 b11 b22 a22 bnn ann
0
0
0
0
a11 b11 a22 b22 ann bnn
0
0
(2) k为正整数时
解法二：
( A B ) T = B TA T
2 1 4 1 2 1 1 2 1 0 0 3 1 2 1 9 8 2 0 1 1
三、方阵 1.定义
记
行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为方
4. 矩阵的乘法
(1) 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n , 则A与B的
乘积 C＝AB是m×n矩阵，C = ( cij ) m×n
其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和
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24
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
1. 定义 A = [aij]ms与B = [bij]sn的乘积是一个
mn矩阵C = [cij]mn , 其中
s
cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.
k=1
1
3
1 3
2 1
1
1
0 03 3 0 1 4 0 1
0
1
9
3 2 3
4 1 3
3 2 5
10 2 6
27
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
例4.
设矩阵
A
2 1
4 2
丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 总重(Kg)
20200 +50100 +30150 +25180 = 18000 18
第二章 矩阵
§2.2矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
甲 乙 丙
200 180 190 100 120 100 150 160 140
记为C = AB. 称AB为“以A左乘B” 或 “以B 右乘A”.
矩阵A第i行的每个元素（数）aik分别乘 矩阵B第j列对应的元素bkj ,其积aik bkj再求和 得到矩阵C第i行第j列的元素cij 。
25
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj
§2.2 矩阵的代数运算
狼wolf,羊sheep，菜vegetable
8
第二章 矩阵
4. 同型: 行数相等, 列数也相等
20 50 30 与 a b c 同型
16 20 16 1 2 3
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
§2.1 矩阵的概念
5. 两个矩阵相等 记为A = B. 大前提: 同型
kam1 kam2 … kamn
加法 注: 矩阵的线性运算 数乘
15
第二章 矩阵
例2.
③
k
20 16
50 20
30 16
25 16
§2.2 矩阵的代数运算
20k 50k 30k 25k
= 16k 20k 16k 16k
④
-3
253 121
+2
553 486
=
4 -5 -3 5 10 9
16
第二章 矩阵
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
甲 乙 丙
200 180 190 100 120 100 150 160 140
丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480 10240 9840
则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终
点的最短路.
从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，
路长为7;下面一条路长为8.
7
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
思考题
一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西 渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过 河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.
你能给出几种给出渡河方法？ 哪种方法的渡河次数最少？
30 03
2 0 0 0 2 0 0 0 2
4. 单位矩阵
1 0 …0 En = 0 1 … 0
称为n阶单位矩阵. In
…
… …
0 0 … 1 nn
12
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
§2.2 矩阵的代数运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法 A = [aij]mn与B = [bij]mn的和: A+B = [aij+bij]mn.
§2.1 矩阵的概念
20 50 30 25 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
矩阵 matrix
4
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念 列
§2.1 矩阵的概念
a11 a12 … a1n
1. mn矩阵 A=
a21 …
a22 …
§2.2 矩阵的代数运算
和
，
29
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
2. 矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵 A的列数等于矩阵B的行数时, 乘积 AB才有意义. (2) Amn, Bnm AB和BA都有意义. 但 AB是m阶方阵, BA是n阶方阵. 当m n时, AB与BA不是同类型的. 当m = n时, AB与BA是同阶方阵, 但 AB与BA未必相等.
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
甲 乙 丙
200 180 190 100 120 100 150 160 140
丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480
16200 +20100 +16150 +16180 = 10480 21
线性代数
1
第二章 矩阵
2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法
2
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
§2.1 矩阵的概念
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
单价(元/箱) 20 50 30 25 重量(Kg/箱) 16 20 16 16
例如, 上述零矩阵分别可以记为:
O2,
O23,
O3.
10
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
2. 对角矩阵(diagonal matrix)
1 0 … 0 0 2 … 0 简记为 diag[1, 2, …, n].
0 0 … n
…
… …
11
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
3. 数量矩阵/纯量矩阵 diag[k, k, …, k]——数量矩阵/纯量矩阵.
丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480 10240
16180 +20120 +16160 +16150 = 10240 22
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
甲 乙 丙
200 180 190 100 120 100 150 160 140
16190 +20100 +16140 +16150 = 9840 23
第二章 矩阵
二. 矩阵的乘积
§2.2 矩阵的代数运算
200 180 190 20 50 30 25 100 120 100 16 20 16 16 2 4 150 160 140
180 150 150 4 3
= 18000 18150 16750
an1 an2 … ann
3. 向量
行向量 [a1, a2, …, an] a1
列向量 a2 n维 …
an
§2.1 矩阵的概念
一个11的矩阵 就是一个数
n
(m=n)
6
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念
例 1. 某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两
只空壶，分别为5升和3升。问如何将酒平分？
用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量
A = [aij]mn与B = [bij]mn相等: 对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立
9
第二章 矩阵
几种特殊的矩阵 1. 零矩阵——元素全为零.
00 000 00 000
§2.1 矩阵的概念
000 000 000
通常用O表示零矩阵.
有时, 加下标指明其阶数.
24 -3 6
=
08 -2 8
② -2 4 12
-
24 -3 6
=
-4 0 4 -4
14
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
2. 数乘
设矩阵 A = [aij]mn , 数k与A的乘积定义为
[kaij]mn , 记为kA.
即kA =
ka11 ka12 … ka1n ka21 ka22 … ka2n … … ……
注: ① 设矩阵 A = [aij]mn , 记A = [aij]mn , —— A的负矩阵.