线性代数第三章-线性方程组

第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
麦克劳林[英] (1698.2~1746.6.14)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
一. 线性方程组的概念 (system of linear equations) 一般形式: a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 (3.1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm 齐次线性方程组(homogeneous ~) 非齐次线性方程组(nonhomogeneous ~) 解(to solve, solution) 相容(consistent)
其中c为任意数.
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1. 线性方程组的初等变换 (elementary reduction operations / row operations / Gaussian operations) 对换变换(swapping) 倍乘变换(rescaling) 倍加变换(pivoting)
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
莱布尼茨[德] (1646.7.1~1716.11.14)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
三皇 五帝 夏朝 商朝 周朝 春秋 战国 秦朝 西楚 西汉 新朝 玄汉 东汉 三国
约前?世纪-约前30世纪初 约前30世纪初-前2029年 前2070-前1600 前1600-前1046 前1046-前256 前770-前476 前475-前221 前221-前206 前206-前202 前202-公元9年 公元8年12月-公元23年10月 23-25 25-220 220-280
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1+ 1 1 0 (A, b) = 1 1+ 1 3 1 1 1+
1 1 1+ (1) 1 1+ 1 3 1+ 1 1 0
1 1 1+ (1 ) 0 3 1+ 1 1 0 1 1 1+ 0 3 0 (2+ ) (1+ ) 1 1 1+ 0 3 0 0 (3+ ) (1)(3+ )
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
史密斯[英] (1826.11.2~1883.2.9)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
leading variables
free variables
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
3. 阶梯阵的形状与线性方程组的解. ~ ~ Ax = b Ax = b 解的数目 (A, b) 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
~ ~ (A, b)
无解
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
贝祖[法] (1730.3.31~1783.9.27)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是 系数行列式等于零
19世纪，英国数学家史密斯 (Henry John Stephen Smith)和 道奇森(Charles Lutwidge Dodgson):
前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件 是系数矩阵和增广矩阵的秩相同
注: 倍乘变换必须用非零的数去乘 某一个方程(multiplying by a nonzero scalar).
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2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型. 例如: 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 设A = … … … … , x = am1 am2 … amn
x1 x2 … , b= xn
b1 b2 , … bm
vector of unknowns
vector of constants
第三章 线性方程组
第一节 线性方程组和 Gauss消元法 第二节 齐次线性方程组 第三节 非齐次线性方程组wenku.baidu.com
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
§3.1 线性方程组和Gauss消元法 公元前1世纪,《九章算术》:
初等行变换, 相当于高斯消元法
17 世纪后期, 德国数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm von Leibniz):
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
高斯[德] (1777.4.30~1855.2.23)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
2 3 4 1 0 2 1 2 0 0 0 1 1 1 2 8 0 2 1 1 0 0 1 5
r2 = r1+1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0=0
有唯一解 有无数解
r2 = r1 = n
1 2 1 1 2 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 r2 = r1 < n
(augmented matrix).
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
二. Gauss消元法(Gauss’ method) 2x13x2+4x3 = 4 对换变换(swapping) x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2 倍乘变换(rescaling) 倍加变换(pivoting) x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 阶梯形方程组 x1 + x2 3x3 = 1 (echelon form) x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 x22x3 = 2
1
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1 1 1+ 0 3 0 0 (3+ ) (1)(3+)
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解; (2) 当 = 0时, 方程组无解; (3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 称A = … … … … 为(3.1)的系数矩阵 am1 am2 … amn
(coefficient matrix), a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 (A, b) = 为 (3.1) 的 增广矩阵 … … … … … am1 am2 … amn bm
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1+ 1 1 3+ 3+ 解: |A| = 1 1+ 1 = 1 1+ 1 1 1+ 1 1 1 1 1 1 1 = (3+) 0 = (3+) 1 1+ 1 1 1+ 0
1 1 1+ 1 1 2 3 1 0 3 ) = 0 3 3 6 ( 3 0 0 0 0 0 0 (3+ ) (1)(3+) 1 1 0 1 0 0 2 3 1 2 (1) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 0 0
含两个未知量三个方程的线性组
18 世纪上半叶, 英国数学家麦克劳林 (Colin Maclaurin):
具有二、三、四个未知量的线性方程组 得到了现在称为克拉默法则的结果
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
瑞士数学家克拉默不久也发表了这个法则 18世纪下半叶, 法国数学家贝祖 (Étienne Bé zout):
则
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 Ax = b. … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
解向量(solution vector), 解集(solution set), 同解(having the same set of solutions)
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
道奇森[英] (1832.1.27~1898.1.14)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1 0 0 1 0 0
1 1 1 2 0 0
x3 = 1 因而原方程组化为 x2 x3 = 2 x1 = x3 1 由此可得原方程组的通解 x2 = x32 x3 = x3(任意) x1 1 1 令x3 = c, 则 x2 = c 1 + 2 (c为任意实数). x3 0 1 x1
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§3.1 线性方程组和Gauss消元法
克拉默[瑞士] (1704.7.31~1752.1.4)
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
1
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
阶梯形 最简形 (echelon form) (reduced echelon form) x1 5x3 = 1 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 x2+2x3 = 2 (2) 0=0 0=0 由此可得原方程组的通解(general solution) x1 = 5x3+1 5c+1 x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 , c x3 = x3(任意)
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
例1. 设有线性方程组 (1+)x1 + x2 + x3 = 0 x1 + (1+)x2 + x3 = 3 x1 + x2 + (1+)x3 = 问为何值时, 此方程组 (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 解: 对其增广矩阵(A, b)作初等行变换, 化为阶 梯形.