1412《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(123)》(北师大版必修2)PPT课件

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1.4空间图形的基本关系与公理(北师大必修2)

1.4空间图形的基本关系与公理(北师大必修2)

§1.4空间图形的基本关系与公理 【学习目标】 了解异面直线,公理4、及等角定理及它们的应用 【学习重点】公理4、及等角定理的理解及应用 【学习难点】公理4、及等角定理的理解及应用 【知识链接】 公理1 公理2 公理3 1.提出问题:同一平面上的两条直线位置关系有哪几种? 2. 按符号画出图形:a ⊂α,b ∩α=A ,A ∉a 3. 探究:教室内的哪些直线实例?有什么位置关系? 【学法指导】归纳推理 【知识链接】 一.两条直线的位置关系: 实例探究异面直线:①讨论:分别在两个平面内的两条直线,是不是异面直线?②讨论:空间两条直线的位置关系:二、平行公理:① 提出问题:平行于同一条直线的两条直线互相平行?结论:用数学符号表示为 【典型例题】 例1:在空间四边形AB CD 中,E,F,G,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形。

三、等角定理:① 讨论:平面几何中,两角对边分别平行,则两角有何关系?立体几何中呢?② 定理:如果一个角的两边和另一个角的两条边分别对应平行,那么这两角 。

改写成:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两角 。

③ 推广:直线a 、b 是异面直线,经过空间任意一点O ,分别引直线a ’∥a ,b ’∥b ,则把直线a ’和b ’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角。

图形表示讨论:与点O 的位置是否有关?为什么?最简单的取法如何取? 什么叫两条直线 垂直探究:给出正方体和几条面、体的对角线,找出几对异面直线,并指出所成角 【总结提升】 【目标检测】 1若直线a//b, b c A = ,则a 与c 的位置关系是( )A 异面B 相交C 平行D 异面平行2在空间中下列说法中正确的个数为( )① 平行于同一条直线的两条直线互相平行;②两角的两边分别平行,那么这两角相等 ③有一组对边平行的四边形平行四边形;④异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦A 1B 2C 3D 43.已知AB // MQ ,BC // QN ,若ABC ∠150=︒则MQN ∠=( )A 150︒B 30︒C 30︒ 或150︒D 以上结论都不对4在正方体1111ABCD A BC D -中,面对角线中与A 1D 成60︒的有 条5在正方体1111ABCD A B C D -中,,,,,,E F G H M M 分别是所在边的中点,求证:E F G M N H ∠=∠【作业布置】1.空间四边形ABCD ,E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,F 、G 分别是边CB 、CD 上的点,且CF CB =CG CD =13,求证:EFGH 是梯形。

高中数学北师大版必修二课件:空间图形的基本关系与公理

高中数学北师大版必修二课件:空间图形的基本关系与公理

理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题:
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面α外,则 a∥α; ③若直线 a∥直线 b,直线 b 平面α,则 a∥α; 无数条直线. 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( A )

B
(2)点在平面外
记作: 点B 面线的位置关系有三种:
①平行直线:在同一个平面内,没有公共点的两条直线. ②相交直线:在同一个平面内,有且只有一个公共点的两条直线.
记作:直线a//直线b a b α
b 记作: 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线:
l

A
a


a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1, 判断下 列直线的位置关系.
平行 ; (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 . (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b,b α,那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错.因为 l 可能在平面α内.
②错.因为直线 a 在平面α外有两种情形:a∥α和 a 与α相交. ③错.因为 a 可能在平面α内. ④正确.无论 a 在平面α内或 a∥α,在α内都有无 数条直线与 a 平行.
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面;

《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品

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公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系,在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形:
(1)α∩β=l, m α ,n β , m∥l, n∥l;
(2)α∩β=l,直线PO
α,直线PO∩直线l=O,直线
【例3】如图,空间四边形ABCD中,
E、H分别是AB、AD的中点,F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点,且 CB CD 3
求证:三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点,可先 证直线EF与GH交于一点P,然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁,层次感强,应用方便. (2)文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来,因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线,则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面,所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面,所以点E在平面α内,所以点A、E都在 平面α内,即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A,E有且只有一个在l上,则A、
【解析】(1)α∩β=m,n∩α=A,n∩β=B,A m,B (2)α∩β=l,a α,b β,a∩l=P,b∩l=P.

m.
共面问题
1.证明共面问题的依据

高中数学第一章时空间图形基本关系的认识及公理123课件北师大版

高中数学第一章时空间图形基本关系的认识及公理123课件北师大版
2.对于指定的一个墙角(线),其余的墙角(线)中,有几条与它平行?有几 条与它相交?有与它既不平行也不相交的吗?若有,有几条?经过它的面有几 个? [提示] 3条平行的,4条相交的,4条既不平行也不相交的,有2个面经过 它. 3.对于指定的一个墙面,其余的墙面中,有几个与它相交?有几个与它 平行? [提示] 4个相交的,1个平行的.
[规律方法]
(1)证明三线共点问题的方法主要是: 先确定两条直线交于一点,
再证明该点是这两条直线所在平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线. (2)证明多点共线主要采用如下两种方法:一是首先确定两个平面,然后证明 这些点是这两个平面的公共点,再根据公理 3, 这些点都在这两个平面的交线上;二是选择其中两点确定一条直线,然后再 证明其他的点都在这条直线上.
公理 2 有三个推论: ①经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面, ②经过两条相交直线有且只有一个平面, ③经过两条平行直线有且只有一个平面. 公理 2 及其推论的作用是: ①确定平面;②证明点线共面问题. (3)公理 3 的作用是: ①判定两个平面是否相交;②证明点共线、线共点;③画两个平面的交线.
2.(1)下列表述中正确的是( A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形
)
C.若 A,B,C,D 既在平面 α 内,又在平面 β 内,则平面 α 和平面 β 重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上,a 在平面 α 内,则 M,α 间的关系为________.
l∥ n 直线 直线 l 与直线 n 平行,记作_______ 一个 公共点的两条直线.例如:直线 m 与 相交 只有_______ m∩n=A 直线 直线 n 相交于点 A,记作____________

高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件

高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1,
B1C1,
∴四边形EQC1B1为平行四边形,
∴B1E C1Q.
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单击此处编辑母版标题样式
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点,
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形,
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q,
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E,GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1,M分别为C1D1,A1B1的中点,
– 四级
则F»1五M级 C1B1,而C1B1 CB,
∴F1M∥BC且F1M=BC,
∴四边形F1MBC是平行四边形,
∴BM∥CF1,又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解

三级
–(四1)级本质:“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级:①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.

北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)

北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)

Ï 如图①,B∈b,Ba.
(2)空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①,
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体,再举出一些点、 线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物,指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2:空间图形的公理 思考1:我们知道,两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点,直线l是否
在平面α 内? 提示:实际生活中,我们有这样的经验:把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整
个边缘就落在了桌面上.
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内,那么
这条直线在此平面内(即直线在平面内).
A l 公理是进一步推理的 基础.

B
A l ,B l ,A ,B l

作用: 判定直线是否在平关系?
D
A
提示:两个平面平行或者相交.
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
空间图形是丰富的,它由一些基本的图形:点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系,对于我们认识空间 图形是很重要的,今天我们就来学习这些关系!
1.通过长方体这一常见的空间图形,了解空间图形的 基本构成----点、线、面的基本位置关系.(难点) 2.掌握空间图形的三个基本公理.(重点)
确定一个平面呢?
用三角架支撑照相机.

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主 位置关系、符号表示.





课 堂 互 动 探 究
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法 分
满足下列条件,平面α∩平面β=AB,直线a α,直线
易 误


b β且a∥AB,b∥AB的图形是( )























课 堂 互 动 探 究

【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确.






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分 析

【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨

教 学
关系?



案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系?与点P、R、Q又有何关 双 基

系?
达 标

前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α=P,



导 学
∴P∈AB,P∈平面 α.


主 导
与平面相交.
时 作


4.平行和相交.
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计

高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2

高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2
∴由公理3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P,Q,R三点共线. 方法二:∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR, ∵B∈平面APR,C∈平面APR, ∴BC 平面APR,又∵Q∈直线BC,
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认
1
识课件北师大版必修2
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形,体会点、直线、平面之间 的位置关系,并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理,并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明.
点在一个平面内,那 么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线,则存在唯一一个
平面α使A∈α, B∈α,C∈α
若A∈l,B∈l, A∈α,B∈α,则l α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点,那 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α,A∈β,且α 与β不重合,则α∩β
跟踪训练 3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,记 B1D与平面A1BCD1交于点Q,证明:B,Q,D1三点必共线.
证明:连接B1D1,BD.
∵B1D1∥BD,∴B1D1,BD确定平面B1BDD1,交平面A1BCD1 于BD1.
∵Q∈B1D,∴Q∈平面B1BDD1. 又∵Q∈平面A1BCD1,而平面A1BCD1∩平面B1BDD1=BD1, ∴点Q必在BD1上, ∴B,Q,D1三点必共线.

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

4.据图填入相应的符号:A________平面 ABC,A________平面 BCD,BD________平面 ABC,平面 ABC________平面 ACD=AC.
[答案] ∈ ∉

合作 探究 释疑 难
三种语言的相互转换 【例 1】 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)平面 α 与 β 相交于直线 l,直线 a 与 α,β 分别相交于点 A,B; (2)点 A,B 在平面 α 内,直线 a 与平面 α 交于点 C,点 C 不在直 线 AB 上.
[跟进训练] 1.(1)如果 a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,那么 l 与 α 的位置 关系是________.
(2)如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,哪几条棱所在的直 线与直线 BC′是异面直线?
(1)直线 l 在平面 α 内 [如图,l 上有两点 A,B 在 α 内,根据公 理 2,l α.]
A.P∈a,a∥α
B.a∩α=P
C.P∈a,P∉α
D.P∈a,a α
[答案] C
2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
C [若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点
不在同一直线上,则这两个平面重合.]
3.如下所示是表示两个相交平面,其中画法正确的是( ) D [画空间图形时,被遮挡部分应画成虚线,故选 D.]
对于长方体有 12 条棱和 6 个面. 思考 1:12 条棱中,棱与棱有几种位置关系? 提示:相交,平行,既不平行也不相交. 思考 2:棱所在直线与面之间有几种位置关系? 提示:棱在平面内,棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面 相交.

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2
第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1~3
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
[问题思考] 1.三点确定一个平面吗? 提示:当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当
法二:∵AP∩AR=A, ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面 APR∩平面 α=PR. ∴B∈平面 APR,C∈平面 APR,∴BC 又∵Q∈直线 BC, ∴Q∈平面 APR.又 Q∈α,∴Q∈PR. ∴P,Q,R 三点共线. 平面 APR.
证明点共线问题的常用方法有:法一是首先找出两个平
则A,B,C,D,E五点可能不共面.
综上所述,在题设条件下,A,B,C,D,E五点不一定 共面.
1.下列图形中不一定是平面图形的是( A.三角形 B.菱形
)
C.梯形
D.四边相等的四边形
解析:四边相等不具有共面的条件,这样的四 庆 高 考 )设 四面 体 的六 条棱 的 长分 别 为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是 A.(0, 2) C.(1, 2) ( ) B.(0, 3) D.(1, 3)
解析:如图所示的四面体 ABCD 中,
设 AB=a,则由题意可得 CD= 2,其他边的长都为 1, 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形,显然 a>0.取 CD 中点 E,
连接 AE,BE,则 AE⊥CD,BE⊥CD 且 AE=BE=
1-
2 2 2 = ,显然 A、B、E 三点能构成三角形,应 2 2

高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2

高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2
同理在 a 上任取一点作 b 的平行线,都与 a、b 共面,所以 这些平行线都共面.
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1.公理 1 说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直” 来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方 法.
提示:因为点可看作元素,则直线与平面都可看作是点的集合, 所以,点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系,线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系,所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致.
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2.你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的?
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1.点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示?
提示:它们都可作为确定平面的依据,还可作为判定两个平 面重合的依据.“确定”和“有且只有一个”是同义词.“有” 说明存在性,“只有一个”说明唯一性.数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”.符合某一条件的图形既存在,而且只能 有一个,就说明这个图形是完全确定的.
4.已知两条直线相交,过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线,这些平行线是否都共面?为什么?
提示:都共面,如图所示,a∩b=A,过 b 上任意一点 B 作 c∥a,则 a、c 可确定一个平面 α,因为 A∈a,所以 A∈α.又因 为 B∈c,所以 B∈α,所以 AB α,即 b α.所以 a、b、c 共面.

空间图形基本关系的认识及公理123

空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗? 提示:不一定,如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗? 提示:不一定,当三点在同一直线上时,不能判定两个平面重 合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法: ①空间不同的三点可以确定一个平面; ②如果线段AB在平面α内,那么直线AB一定在平面α内; ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图,直线a∥b,直线l∩a=A,直线l∩b=B,求证:直
线a,b,l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α,B∈平面α,说明什么 问题? 2.题(2)中,由a∥b可得到什么结论?怎样才能说明a,b,l 共面? 【探究提示】1.A∈平面α,B∈平面α,说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点,两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面; ②任意给定不在同一条直线上的四个点,不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点,可能确定三 个平面,故错误. (2)错误.若点在直线上,则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案:(1)× (2)× (3)×

1.4第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1-3课件(北师大版数学必修2)

1.4第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1-3课件(北师大版数学必修2)

2.如图所示的长方体中,试指出:
(1)与平面ABCD平行的平面________; (2)与AD平行的平面________; (3)与AD相交的平面________; (4)与AD异面的直线________. 答案:(1)平面A1B1C1D1; (2)平面BCC1B1与平面A1B1C1D1; (3)平面ABB1A1与平面DCC1D1; (4)BB1,CC1,A1B1,C1D1.
[例2] 内.
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面
[思路点拨]
先选取两条直线确定一个平面,然后证明其
他直线都在这个平面内.
[精解详析]
l1∩l3=C.
已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,
求证:直线l1、l2、l3在同一平面内.
[证明]
法一:∵l1∩l2=A,
∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B, ∴B∈l2.又∵l2 α, ∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
1.公理4 图形语言 符号语言 若a∥b, b∥c, 则 a∥c
平行于同一条直线的两
条直线 平行
2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别 对应平行 ,那 么这两个角 相等或互补 .
1.在空间中,点看作元素,直线和平面看作点 的集合,点与直线、平面,直线与直线,线面及面 面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系. 2.公理1,2,3,4是在生活实际中,人们对经
验和客观实际的总结.
公理1的主要作用是判断直线是否在平面内; 公理2的主要作用是论证共面问题;公理3是判断两 平面是否相交的重要依据;公理4是论证两直线平行 的重要依据.
[例1]
如果a
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三、解答题(每题8分,共16分) 7.(2010·西安高一检测)正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm,M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点. (1)画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面 BB′C′C的交线,并说明画法的依据; (2)设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q,求PQ的长. 【解析】(1)如图,延长MP、 A′B′相交于点E,连接NE,交 B′C′于点Q,连接QP,则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线,PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
【解析】由公理1知(1)正确;由公理3知(2)正确.由公理 2知(4)正确.对于(3),若l α,则有可能l∩α=A.此时 A∈l,也有A∈α.故(3)不正确. 答案:3
6.如图,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面,③中MN与GH 相交,④中MN与GH异面. 答案:②④
2.a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a、c的位置关系
是( )
(A)相交、平行或异面
(B)相交或平行
(C)异面
(D)平行或异面
【解析】选A.如图所示在正方体中,
a与b异面,直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
3.平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,C∈β,且C l,AB∩l=R,
理由:∵E∈直线MP, 且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP, 且E∈平面A′B′C′D′,易知,N∈平面MNP, 且N∈平面A′B′C′D′,所以,NE为平面MNP与平面A′B′C′D′ 的交线,显然,PQ为平面MNP与平面BB′C′C的交线; (2)由已知和(1)得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N,
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线,交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
【解析】选B.
连接BP并延长交B1A1的延长线于E, 连接BQ并延长交B1C1的延长线于F,连接EF. 则D1在直线EF上,连接QD1,PD1, 则四边形BQD1P为经过P、B、Q三点的截面. 可证BQ=QD1=D1P=PB但∠PD1Q≠90°. 因此四边形BQD1P是菱形但不是正方形.
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
一、选择题(每题4分,共16分) 1.(2010·深圳高一检测)下列说法正确的是( ) (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 (C)梯形一定是平面图形 (D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错,B错. 由公理2的推论及梯形有一组对边平行知C正确. 由公理3知D错.
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过A、B、C三点确定平面γ,则β∩γ=( )
(A)直线AC
(B)直线BC
(C)直线CR
(D)以上都不对
【解析】选C.由AB∩l=R知R∈AB,R∈l,又α∩β=l,
∴l β,∴R∈β,R∈γ.
又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
4.(2010·湛江高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别 是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是( ) (A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
所以,B′Q= cm,又B′P=4 cm,
4
所以,PQ= 3 cm.
4 10 3
问答
问题提问与解答
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二、填空题(每题4分,共8分) 5.(2010·豫东三校联考)给出以下四种说法:(设α、β表示 平面, l表示直线,A、B、C表示点) (1)若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α; (2)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
(3)若l α,A∈l,则A α;
(4)若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与 β重合. 则上述说法中正确的个数是__________.
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