1412《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(123)》(北师大版必修2)PPT课件

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1.4空间图形的基本关系与公理(北师大必修2)

§1.4空间图形的基本关系与公理【学习目标】了解异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用【学习重点】公理4、及等角定理的理解及应用【学习难点】公理4、及等角定理的理解及应用【知识链接】公理1 公理2 公理3 1．提出问题：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？ 2. 按符号画出图形：a ⊂α，b ∩α＝A ，A ∉a 3. 探究：教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？【学法指导】归纳推理【知识链接】一.两条直线的位置关系：实例探究异面直线：①讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？②讨论：空间两条直线的位置关系：二、平行公理：① 提出问题：平行于同一条直线的两条直线互相平行？结论：用数学符号表示为【典型例题】例1：在空间四边形AB CD 中,E,F,G,H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

三、等角定理：① 讨论：平面几何中，两角对边分别平行，则两角有何关系？立体几何中呢？② 定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别对应平行，那么这两角。

改写成:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角。

③ 推广：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

图形表示讨论：与点O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？什么叫两条直线垂直探究：给出正方体和几条面、体的对角线，找出几对异面直线，并指出所成角【总结提升】【目标检测】 1若直线a//b, b c A = ,则a 与c 的位置关系是（）A 异面B 相交C 平行D 异面平行2在空间中下列说法中正确的个数为（）① 平行于同一条直线的两条直线互相平行；②两角的两边分别平行，那么这两角相等 ③有一组对边平行的四边形平行四边形；④异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦A 1B 2C 3D 43．已知AB // MQ ，BC // QN ，若ABC ∠150=︒则MQN ∠=（）A 150︒B 30︒C 30︒ 或150︒D 以上结论都不对4在正方体1111ABCD A BC D -中，面对角线中与A 1D 成60︒的有条5在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H M M 分别是所在边的中点，求证：E F G M N H ∠=∠【作业布置】1.空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝13，求证：EFGH 是梯形。

高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理

理论迁移
知识点三直线与平面的位置关系例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α；无数条直线．其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )

B
（2）点在平面外
记作：点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作：直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l

A
a

a A B l
理论迁移
知识点二直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系．
平行； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；

《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品

公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.

m.
共面问题
1.证明共面问题的依据

高中数学第一章时空间图形基本关系的认识及公理123课件北师大版

2．对于指定的一个墙角(线)，其余的墙角(线)中，有几条与它平行？有几条与它相交？有与它既不平行也不相交的吗？若有，有几条？经过它的面有几个？ [提示] 3条平行的，4条相交的，4条既不平行也不相交的，有2个面经过它． 3．对于指定的一个墙面，其余的墙面中，有几个与它相交？有几个与它平行？ [提示] 4个相交的，1个平行的．
[规律方法]
(1)证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，
再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线． (2)证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理 3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
公理 2 有三个推论： ①经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面， ②经过两条相交直线有且只有一个平面， ③经过两条平行直线有且只有一个平面．公理 2 及其推论的作用是： ①确定平面；②证明点线共面问题． (3)公理 3 的作用是： ①判定两个平面是否相交；②证明点共线、线共点；③画两个平面的交线．
2．(1)下列表述中正确的是( A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形
)
C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________．
l∥ n 直线直线 l 与直线 n 平行，记作_______ 一个公共点的两条直线．例如：直线 m 与相交只有_______ m∩n＝A 直线直线 n 相交于点 A，记作____________

高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件

∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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单击此处编辑母版标题样式
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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单击此处编辑母版标题样式
• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.

北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)

Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置关系.
探究点2：空间图形的公理思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的基础．

B
A l ,B l ,A ,B l

作用：判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．

《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品

自
课
主位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课堂互动探究
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菜单
BS ·数学必修2
教
学
易
教
错
法分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课堂互动探究
教
【解析】由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学必修2
教
学
易
教
错
法
易
分析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何辨
析
教学
关系？
当
方
堂
案设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关双基
计
系？
达标
课
前自
【自主解答】法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主导
与平面相交．
时作
学
业
4．平行和相交．
课堂互动探究
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教学教法分析
教学方案设计

高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2

∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC 平面APR，又∵Q∈直线BC，
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认
1
识课件北师大版必修2
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
点在一个平面内，那么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个
平面α使A∈α， B∈α，C∈α
若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则l α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β
跟踪训练 3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，记 B1D与平面A1BCD1交于点Q，证明：B，Q，D1三点必共线．
证明：连接B1D1，BD.
∵B1D1∥BD，∴B1D1，BD确定平面B1BDD1，交平面A1BCD1 于BD1.
∵Q∈B1D，∴Q∈平面B1BDD1. 又∵Q∈平面A1BCD1，而平面A1BCD1∩平面B1BDD1＝BD1， ∴点Q必在BD1上， ∴B，Q，D1三点必共线．

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

4．据图填入相应的符号：A________平面 ABC，A________平面 BCD，BD________平面 ABC，平面 ABC________平面 ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
合作探究释疑难
三种语言的相互转换【例 1】用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上．
[跟进训练] 1．(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l 与 α 的位置关系是________．
(2)如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
(1)直线 l 在平面 α 内 [如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α.]
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
[答案] C
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点
不在同一直线上，则这两个平面重合．]
3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选 D.]
对于长方体有 12 条棱和 6 个面．思考 1：12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考 2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2

第1课时空间图形基本关系的认识与公理1~3
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4．集合中元素的性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当
法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∴B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 又∵Q∈直线 BC， ∴Q∈平面 APR.又 Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R 三点共线．平面 APR.
证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平
则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．
1．下列图形中不一定是平面图形的是( A．三角形 B．菱形
)
C．梯形
D．四边相等的四边形
解析：四边相等不具有共面的条件，这样的四庆高考 )设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取值范围是 A．(0， 2) C．(1， 2) ( ) B．(0， 3) D．(1， 3)
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1，故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2

高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2

同理在 a 上任取一点作 b 的平行线，都与 a、b 共面，所以这些平行线都共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．

空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×

1.4第一课时空间图形基本关系的认识与公理1-3课件(北师大版数学必修2)

2．如图所示的长方体中，试指出：
(1)与平面ABCD平行的平面________； (2)与AD平行的平面________； (3)与AD相交的平面________； (4)与AD异面的直线________．答案：(1)平面A1B1C1D1； (2)平面BCC1B1与平面A1B1C1D1； (3)平面ABB1A1与平面DCC1D1； (4)BB1，CC1，A1B1，C1D1.
[例2] 内．
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面
[思路点拨]
先选取两条直线确定一个平面，然后证明其
他直线都在这个平面内．
[精解详析]
l1∩l3＝C.
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
[证明]
法一：∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2.又∵l2 α， ∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
1．公理4 图形语言符号语言若a∥b， b∥c，则 a∥c
平行于同一条直线的两
条直线平行
2.等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系. 2.公理1，2，3，4是在生活实际中，人们对经
验和客观实际的总结.
公理1的主要作用是判断直线是否在平面内；公理2的主要作用是论证共面问题；公理3是判断两平面是否相交的重要依据；公理4是论证两直线平行的重要依据.
[例1]
如果a