第二章双曲型方程资料

因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法.
②依赖区间、决定区域、影响区域： 从D’Alembert公式看出：
ⅰ>初值问题(2.1.1)的解 u(x, t) 在 x t上半平面内任一点 A(x0 ,t0 )的值
u(x0 ,t0 ) 仅仅依赖于初值函数在 t 0(x 轴)上的区间（或线段）BC 上的值.
把 BC 或[x0 at0, x0 at0 ] 叫做点 A(x0 ,t0 )的依赖区间，它由过点A(x0 ,t0 )
泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）．
ⅱ>△ ABC 内任一点的依赖区间完全落在区间 BC 内，亦即线段 BC
上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解 u(x, t) 在△ ABC
内每一点的值，因此，把△ ABC（域I）叫做线段 BC 的决定区域（见
图2.3）．
ⅲ>.如图2.4,区域II内每一点处解u(x, t)的值，都要受到初值函数在点
(x0 ,0)处的值的影响，因此，把区域 II 叫做点 (x0 ,0) 的影响区域.而
区间 [x1, x2 ] 的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形
积分之，得 x at c1 , x at c2 .
作代换
则方程(2.1.1)化成 u 0.
(2.1.2)
积分之,得
u f ( ) g(),
u(x,t) f (x at) g(x at), （称为D’Alembert解） (2.1.3)
由初始条件，得 积分(2.1.5),得 由(2.1.4),(2.1.6)得
①行波（传播波）
若记
( )
1
( )d
，则(2.1.7)可写成
a x0
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1 [(x at) (x at)]
2
2
形如 f (x at) a. 的函数在物理上称为行波，波速为 以 f (x at)为例：
设给定波形 f (x), 则在时刻 t1 ，点 x1 处的波形为 f (x1 at1 )
区域III(见图2.5).
附注
a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法； b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题， 特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.
2.其它定解问题：
一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题 大 体上归结为如下四种：
，
x x 到了时刻 t 2 ，我们说 时刻 t1 ，点 1 处的波形传到了 2 ，即
f (x2 at2 ) f (x1 at1) ，则应有
x2 at2 x1 at1 ,即 x2 x1 a(t2 t1),
由于 a 0，因而函数 f (x at) 即表示以速度 a 向右传播的波．
a 同理，函数 f (x at) 表示以速度 向左传播的波.
第一问题（特征问题或Goursat问题）——在两条不同族的特征线上
u 给定未知函数 的值的定解问题.例如：
第二问题（初值问题或Cauchy问题）——在一条曲线上给定未知函
u u 数 , （ 的方向不与这条曲线相切）的值的定解问题. 例如：
u 第三问题（达布问题）——在一条特征线和一条非特征线上给定未知数 的值的定解问题. 例如：
u 第四问题——在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的 两条非特征线上给定未知函数 的值的定解问题.例如：
特征线族： x 常数，y 常数
可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是 正确的）．
例1
求解特征问题
u u
tt x
a 2uxx
at (x),
0,
(
X
)
(
X 2
)
f 2 (0),
f 2 (Y )
(Y ) 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f1 (0).
故 u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
u t0 f (x) g(x) (x),
ut
t0 a[ f
(x) g(x)] (x),
f
(x)
g(x)
1
x
( )d
c,
a x0
f (x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
,
2
2a x0
2
g(x) 1 (x)
1
x
(
)d
c
.
2
2a x0
2
(2.1.4) (2.1.5)
(2.1.6)
性的思想.
§2.1弦振动方程的初值问题——决定任意函数法 1.无界弦的自由振动
(2.1.1)
(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定
任意函数）： 把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为
(dx)2 a2 (dt)2 0 即 (dx adt)(dx adt) 0.
u xat (x).
(t 0),（如图2.6）其中
(0) (0),
（相容性条件）
解 u(x,t) f1(x at) f2 (x at). 由定解条件
u xat f1 (2x) f2 (0) (x),
——“函数方程组”
u xat f1 (0) f2 (2x) (x).
f1
故问题(2.1.1)的形式解为
u(x,t) f (x at) g(x at)
1 (x at)
1
xat
(
)d
c
1
(x
at)
1
xat
(
)d
c
,
2
2a x0
22
2a x0
2
即
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
(2.1.7)
称为D’Alembert公式.
(2)适定性考查：
①存在性——若 (x) C 2 , (x) C1 ，则可直接验证(2.1.7)确实是
初值问题(2.1.1)的解.（自做之） ②唯一性与稳定性（ⅰ>能量模估计：姜礼尚《数学物理方程讲义》
PP47-53;ⅱ>或西北大学《偏微分方程》P34; ⅲ>本章§2.4统一处理）．
(3)D’Alembert公式的物理解释：
第二章 双曲型方程
内容
§2.1 弦振动方程的初值问题—— 决定任意函数法
§2.2 高维波动方程初值问题—— Poisson平均值法与降维法 习题课二
§2.3 波动方程混合问题—— 分离变量法
§2.4 能量积分——唯一性与稳 定性 习题课三
要求
①理解决定任意函数法; ②掌握降维法与分离变量法； ③明确有关的物理解释； ④理解能量积分讨论唯一性与稳定