第二章双曲型方程资料
计算流体力学-第2讲-双曲型方程组
第二讲 双曲型方程组及间断解
李新亮 lixl@ ；力学所主楼21源自； 82543801知识点：
双曲型方程组边界条件提法 双曲型方程的特征方程 双曲型方程的间断解及熵条件 Riemann间断解
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寻找积分因子：
R R( , u )
dR R u R d u
du c d 0 d d
R R c 1; u
沿特征线1： dx / dt u c 有：
d (u c) d t x
M
（2）
5 4
（4）
（ 1）
x
3
2 2 u5 1 c5 u3 1 c3 u 2 c u 2 c 5 5 2 2 1 1
1
2
由于点1 和点3 均在未扰动区： u1 u2 u0 ; c1 c2 c0
2 2 u 4 1 c4 u5 1 c5 u 2 c u 2 c 4 4 5 5 1 1
U U k )0 t x
U j t k U j x )0
在x-t空间引入曲线：
d dx dt dsk x dsk t dsk
j
kj (
j
kj
dU j dsk
0
（变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程
6 Copyright by Li Xinliang
x , t 0
（1）
x
若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）； 且在间断线 x (t ) 满足： f f d
双曲型偏微分方程
双曲型偏微分方程
双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。
双曲型偏微分方程解可以分解为振动与振动相乘，或指数函数与指数函数相乘的形式，一般能量无穷。
基本介绍
双曲型偏微分方程简称双曲型方程，是偏微分方程的一种类型。
它主要用于描述振动、波动现象与相应的运动过程。
它的一个典型特例是波动方程和n=1时的波动方程。
可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。
这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。
介定
双曲型方程主要是按偏微分方程的系数特性来介定的。
当自变量个数或方程的阶数不同时，双曲型方程可以有不同的定义方式。
二阶线性偏微分方程
对于二阶线性偏微分方程
有m 个不同的实根，则称上述高阶方程为双曲型方程。
相应地，可以通过自变量的坐标可以定义关于任意方向的双曲型方程。
按上述方式定义的双曲型方程强调了特征方程有n 个单重实根，它也称为严格双曲型方程(strictly hyperbolic equation)或称完全双曲型方程，彼得洛夫斯基意义下单双曲方程。
性质。
双曲面方程及其应用
双曲面方程及其应用1. 引言双曲面是数学中的一种常见的曲面形式，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍双曲面的方程形式以及它们在现实生活中的一些应用。
2. 双曲面方程的形式双曲面的一般方程形式为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$其中$a$、$b$和$c$是双曲面的参数，决定了曲面的形状和大小。
当$a=b=c$时，双曲面成为一个旋转双曲面。
3. 双曲面的特性双曲面具有几个重要的特性：- 双曲线截痕：当我们在双曲面上选择一个平面与之相交，所得到的交线是一个双曲线。
这个性质使得双曲面在几何学中有着广泛的应用。
双曲线截痕：当我们在双曲面上选择一个平面与之相交，所得到的交线是一个双曲线。
这个性质使得双曲面在几何学中有着广泛的应用。
- 非正弧度曲率：在双曲面上，曲率并不是处处相等，而是依赖于曲面上任一点的切线方向。
这使得双曲面在物体建模、光学等领域中有重要的应用。
非正弧度曲率：在双曲面上，曲率并不是处处相等，而是依赖于曲面上任一点的切线方向。
这使得双曲面在物体建模、光学等领域中有重要的应用。
- 双曲面类型：根据$a^2+b^2$和$c^2$的大小关系，双曲面可以分为椭圆双曲面、抛物双曲面和双曲双曲面三种类型。
双曲面类型：根据$a^2+b^2$和$c^2$的大小关系，双曲面可以分为椭圆双曲面、抛物双曲面和双曲双曲面三种类型。
4. 双曲面的应用双曲面在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用：- 物体建模：双曲面可以用于建模具有特殊形状的物体，如飞机机翼、汽车车身等。
双曲面的形状可以通过调整参数$a$、$b$和$c$来实现。
物体建模：双曲面可以用于建模具有特殊形状的物体，如飞机机翼、汽车车身等。
双曲面的形状可以通过调整参数$a$、$b$和$c$来实现。
- 无线通信：双曲面是电磁波的重要的反射面之一，可以用于折射、传播和定向无线信号。
双曲线及其标准方程 课件
A．k<2 或 k>5
B．2<k<5
C．k>5 或－2<k<2
D．k>5 或 k>2
思维突破：根据双曲线的标准方程可知，需要(|k|－2)·(4－
k)<0，联立不等式组求得 k 的范围． 答案：C
焦点坐标为(_0_，__c_)_，__(0_，__－__c_)，a，b，c 的关系是_c_2＝__a_2_＋__b_2___．
【要点1】如何理解双曲线的定义？ 【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这一 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”． ①当||PF1|－|PF2||＝0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平 分线；
Байду номын сангаас
2．双曲线的标准方程． (1)焦点在 x 轴上，标准方程为_____ax_22_－__by_22＝__1__________，
焦点坐标为__(c_,_0_)，__(_－__c_,0_)__，a，b，c 的关系是__c_2＝__a_2_＋__b_2__． (2)焦点在 y 轴上，标准方程为______ay_22_－__bx_22＝__1___________，
答案：B
题型2 求双曲线的标准方程 例2：已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(－13,0)，F2(13,0)，
双曲线上一点 P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求双曲 线的标准方程．
思维突破：求解双曲线的标准方程，只要确定焦点所在坐标 轴及 a，b的值即可，通常由定义可以确定2a，根据c2＝a2 ＋b2， 基本量 a，b，c 中知道其中两个，可求出第三个．
双曲线及其标准方程精选教学PPT课件
全身有一种奇幻的陷落的感觉，有一 种本源 之力难 熬的从 身体的 细微末 节凝聚 ，虽然 力量精 微，依 然可以 触碰到 其流动 的轨迹 。
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△ PF1F2的面积．
解：由已知得 2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝62＋2×462×－452＝0，
设双曲线的标准方程为
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， a2＋b2＝9，
所以1a62 －1b52 ＝1， a2＝4， b2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y42－x52＝1.
[例2] 已知曲线C：xt22＋t2－y2 1＝1(t≠0，t＝±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． [思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参 数A、B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A、B 进行讨论．
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：
人教版选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性由标准方程12222=-b y a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值。
这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。
实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。
如右图所示，在双曲线方程12222=-by a x 中，令0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是a 2。
在方程12222=-by a x 中，令0=x ，得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y y 轴没有交点。
但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
(3)渐近线如上图所示，过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是⎪⎭⎫⎝⎛=±±=0b y a x x a b y ，这两条直线就是双曲线的渐近线。
《双曲线方程》课件
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
人教版选修21第二章双曲线双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
3.2 双曲线方程及几何性质
3.2 双曲线【知识点】 1、双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
集合12{|||||||2}P M MF MF a =−=，12||2F F c =，其中0,0a c >>，且,a c 为常数，当22a c <时，点M 的轨迹是双曲线。
2、双曲线的标准方程（1）标准方程222222221(0,0),1(0,0)x y y x a b a b a b a b−=>>−=>>。
（2）一般方程：221(0)Ax By AB +=<。
3、双曲线的简单几何性质4、三个问题①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？ ③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？【典型例题】例1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F −，双曲线上一点P 与12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
例2、已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2秒，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
例3、求双曲线22916144y x −=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例4、动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹。
例5、过双曲线22136x y −=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于,A B 两点，求弦长||AB 。
【课堂练习】题型1双曲线定义的理解1、已知双曲线2213664x y −=的左右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上一点。
若1||15PF =，则2||PF = 。
2、对于常数,a b ，"0"ab <是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、（多选）已知方程221()169x y k R k k−=∈+−，则下列说法中正确的是（ ）.A 方程可表示圆.B 当9k >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 .C 当169k −<<时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 .D 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10题型2 双曲线方程的求解4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别是12(13,0),(13,0)F F −，点P 在双曲线上，且12||||10PF PF −=，则双曲线的方程是 。
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方 程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点 坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实 轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0， －5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二 等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲 线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双 曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图 形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点 焦距
偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)
uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,
双曲方程几何理论讲义笔记2
此时，
∂H T = = ω,
∂ω
Xi
=
∂H ∂ki
=
−η2ki.
H(ξ) = 0 ⇔ T 2 − η−2|X|2 = 0.
在切空间和余切空间的图像可以如下表示：
T
ω
|η| << 1
|η| >> 1
|η| >> 1
|η| << 1
X1
k1
X2
k2
其中，在切空间中（上图左边），声速 η 越大，光锥越胖（开口越大）；声速 η 越小，光锥越瘦 （开口越小）。然而，在相空间中（上图右边），恰好是相反的，请参考上面的图像。这是一个最基本
的对偶的例子。
例子. （m = 4 的情况）我们研究空间维度为 n = 2 的情况。假设特征多项式为 H(ω, k) = (ω2 − c21k12 − c22k22)(ω2 − c22k12 − c21k22), 其中 c2 > c1 > 0.
在超平面 ω = 1 上面，C∗ 由两个椭圆 E1 : c21k12 + c22k22 = 1 和 E2 : c22k12 + c21k22 = 1 组成。E1 的
即 ∂Ix∗ ⊂ Cx∗。
5
Aµcb = gcaAµba ⇔ Aµcb(v) = gca(v)Aµba(v), v ∈ Rm.
从而，上述系统等价于
(Aµab
) ∂ub ◦ u ∂xµ
=
0.
定义 1. 如果对所有 µ，Aµab = Aµba，我们就称上述系统是对称的；如果可以找到 Rm 上的一个
Riemann 度量 g，使得系统是对称的，我们就称该系统是可对称化的。
从而，C∗ 中所包含的过原点的线对应于 TxM 中所过原点的一条线（即 λX, λ ∈ R）。这些线的全
第二章(2)双曲线知识梳理
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3， ，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（2）若直线 与曲线 有两个公共点，求 的取值范围；
（3）若 ， 为曲线 上的点，求 的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在 轴上，点 与其渐近线的距离为 ，过点P作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于M，且 是 与 的等比中项.
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）求双曲线 的方程.
［剖析］(1)由点 与其渐近线的距离为 ，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为 － = （ ≠0），再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II） ，所以P在BC线段的垂直平分线上
又 ，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为 联立两方程解得：
2.3 双曲型方程的差分方法
(1) 利用
B, C 两点线性插值
u( P) u(Q) u( B)
xQ xC xB xC
u(C )
xQ xB xC xB
a (h a ) u ( B) u (C ) h h a a (1 )u (C ) u ( B) h h h (1 a )u (C ) au ( B)
或者：
a n n 1 n n u u ( u u j j j 1 j) h u n 1 1 [u n u n 1 a (u n 1 u n 1 )] j j j j j 1 2 h
5）蛙跳格式
u
n 1 j
u
n 1 j
2
两点线性插值：
1
1
a
xb f ( x) a b
f (a)
b
a
b
xa f ( x) ba
f (b)
x b xa f ( x) f (a) f (b) a b ba
a
b
三点抛物线插值：
1
1
1
a
f ( x)
b
( x b)( x c) (a b)(a c)
u(C )
( xQ xB )( xQ xD ) ( xC xB )( xC xD )
u( D)
( xQ xC )( xQ xB ) ( xD xC )( xD xB )
a (h a ) ( h a )( h a ) ( h a ) a u (C ) u ( D) h 2h hh 2h h 1 u (C ) a[u (C ) u ( B )] a (1 a )[u ( B ) 2u (C ) u ( D)] 2 u ( B)
具有两个自变量的二阶双曲型方程.pdf
传播的速度
dx dy
由(2.10)确定。
特别值得注意的是:在:::l::上::不:::同::点:::的:::跳::跃:::量:::是::彼:::此::相:::关:::的::。:跳:::跃::量:::的::强:::度:::δ沿着曲线 l
满足一定的规律。为了找到这个规律，对(2.9)式中的前两式关于y求导可得 δ = [uxxx]ϕ + [uxxy], −(ϕ δ) = [uxxy]ϕ + [uxyy].
第二章 具有两个自变量的二阶双曲型方程
关于两个自变量的二阶双曲型方程是最基本的一类二阶方程，它在其它学科（如 物理学，力学，几何学等）以及工程技术中具有广泛的应用背景。本章我们介绍具有 两个自变量的二阶双曲型方程的一些基本知识。
§ 1. 拟线性二阶方程的特征
关于二元函数u(x, y)的一般拟线性二阶方程具有下述形式
数vx(x, y)和vy(x,
y)
的值应满足下述相容性条件(或称带条件)
:::::::::::::
::::::::
dv ds
=
vxf
(s)
+ vyg
(s).
(1.4)
特别地，对Cauchy问题的解u，其Cauchy数据之间应满足下述恒等式
h (s) = ϕ(s)f (s) + ψ(s)g (s).
(1.5)
述做法是合理的(见F. John编著的《偏微分方程》第三章，科学出版社，1986)。
当初始曲线 l 是特征时，方程(1.8)一般情况下无解。也就是说，在特征曲线上给
出Cauchy数据的Cauchy问题一般无解。特征曲线条件(1.10)可以改写成
从上式求解
dy dx
可得
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x x 到了时刻 t 2 ，我们说 时刻 t1 ，点 1 处的波形传到了 2 ，即
f (x2 at2 ) f (x1 at1) ，则应有
x2 at2 x1 at1 ,即 x2 x1 a(t2 t1),
由于 a 0，因而函数 f (x at) 即表示以速度 a 向右传播的波．
a 同理，函数 f (x at) 表示以速度 向左传播的波.
第二章 双曲型方程
内容
§2.1 弦振动方程的初值问题—— 决定任意函数法
§2.2 高维波动方程初值问题—— Poisson平均值法与降维法 习题课二
§2.3 波动方程混合问题—— 分离变量法
§2.4 能量积分——唯一性与稳 定性 习题课三
要求
①理解决定任意函数法; ②掌握降维法与分离变量法； ③明确有关的物理解释； ④理解能量积分讨论唯一性与稳定
(2)适定性考查：
①存在性——若 (x) C 2 , (x) C1 ，则可直接验证(2.1.7)确实是
初值问题(2.1.1)的解.（自做之） ②唯一性与稳定性（ⅰ>能量模估计：姜礼尚《数学物理方程讲义》
PP47-53;ⅱ>或西北大学《偏微分方程》P34; ⅲ>本章§2.4统一处理）．
(3)D’Alembert公式的物理解释：
把 BC 或[x0 at0, x0 at0 ] 叫做点 A(x0 ,t0 )的依赖区间，它由过点A(x0 ,t0 )
泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）．
ⅱ>△ ABC 内任一点的依赖区间完全落在区间 BC 内，亦即线段 BC
上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解 u(x, t) 在△ ABC
u t0 f (x) g(x) (x),
ut
t0 a[ f
(x) g(x)] (x),
f
(x)
g(x)
1
x
( )d
c,
a x0
f (x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
,
2
2a x0
2
g(x) 1 (x)
1
x
(
)d
c
.
2
2a x0
2
(2.1.4) (2.1.5)
(2.1.6)
因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法.
②依赖区间、决定区域、影响区域： 从D’Alembert公式看出：
ⅰ>初值问题(2.1.1)的解 u(x, t) 在 x t上半平面内任一点 A(x0 ,t0 )的值
u(x0 ,t0 ) 仅仅依赖于初值函数在 t 0(x 轴)上的区间（或线段）BC 上的值.
第一问题（特征问题或Goursat问题）——在两条不同族的特征线上
u 给定未知函数 的值的定解问题.例如：
第二问题（初值问题或Cauchy问题）——在一条曲线上给定未知函
u u 数 , （ 的方向不与这条曲线相切）的值的定解问题. 例如：
u 第三问题（达布问题）——在一条特征线和一条非特征线上给定未知数 的值的定解问题. 例如：
区域III(见图2.5).
附注
a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法； b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题， 特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.
2.其它定解问题：
一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题 大 体上归结为如下四种：
u xat (x).
(t 0),（如图2.6）其中
(0) (0),
（相容性条件）
解 u(x,t) f1(x at) f2 (x at). 由定解条件
u xat f1 (2x) f2 (0) (x),
——“函数方程组”
u xat f1 (0) f2 (2x) (x).
f1
u 第四问题——在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的 两条非特征线上给定未知函数 的值的定解问题.例如：
特征线族： x 常数，y 常数
可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是 正确的）．
例1
求解特征问题
u u
tt x
a 2uxx
at (x),
0,
故问题(2.1.1)的形式解为
u(x,t) f (x at) g(x at)
1 (x at)
1
xat
(
)d
c
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x
at)
1
xat
(
)d
c
,
2
2a x0
22
2a x0
2
即
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
(2.1.7)
称为D’Alembert公式.
性的思想.
§2.1弦振动方程的初值问题——决定任意函数法 1.无界弦的自由振动
(2.1.1)
(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定
任意函数）： 把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为
(dx)2 a2 (dt)2 0 即 (dx adt)(dx adt) 0.
①行波（传播波）
若记
( )
1
( )d
，则(2.1.7)可写成
a x0
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1 [(x at) (x at)]
2
2
形如 f (x at) a. 的函数在物理上称为行波，波速为 以 f (x at)为例：
设给定波形 f (x), 则在时刻 t1 ，点 x1 处的波形为 f (x1 at1 )
积分之，得 x at c1 , x at c2 .
作代换
则方程(2.1.1)化成 u 0.
(2.1.2)
积分之,得
u f ( ) g(),
u(x,t) f (x at) g(x at), （称为D’Alembert解） (2.1.3)
由初始条件，得 积分(2.1.5),得 由(2.1.4),(2.1.6)得
(
X
)
(
X 2
)
f 2 (0),
f 2 (Y )
(Y ) 2
f1 (0).
故 u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
内每一点的值，因此，把△ ABC（域I）叫做线段 BC 的决定区域（见
图2.3）．
ⅲ>.如图2.4,区域II内每一点处解u(x, t)的值，都要受到初值函数在点
(x0 ,0)处的值的影响，因此，把区域 II 叫做点 (x0 ,0) 的影响区域.而
区间 [x1, x2 ] 的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形