信号通过线性系统
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析 •信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
第 页
时域
前面，从
频
域
s
域
中研究了
激励
响
应
三者的关系
系统
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
3
一．能量谱和功率谱分析
第
页
et E j
ht rt H j H j
时域
rth t*et
频域
R j H j E j
假e定 t是能量有 et的 限能 信量 号谱 e， ， 密度 rt的能量谱 r密度
eEj2
rRj2
X
4
第
显然
页
R j2H j2E j2
所以
rH j2e
Se e j
因为
Re
Rh Rr
F h tH j F h * t H * j
所以 R r R e h t h * t R e R h
其中 R h h t h * t为系统冲激响应的自相关函数。
X
H j 2
Sr r
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积。
同样，对功率信号有
SrH j2Se 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j 2
的乘积。
X
5
二．信号经线性系统的自相关函数 第 页
由
rH j2e
SrH j2Se
得
r H j H * j e
S r H j H * j S e
信号和线性系统
1.1 信号的基本概念
3、信号总是以下面的形式传输： 信源 通过 信道 到达 信宿 甲(语言) （空气） 乙(耳朵)
信号的特性：（时间特性 频率特性）
一般地说 :信号是时间的函数;有一定的波形。 任一信号具有其自身特有的频率组成，所以信号 也是频率的函数。
1.2 信号的分类
1.3 系统的定义和分类
（3）时变系统与非时变系统
如果
ftyt
那么
ft t0 y t t0
1.3 系统的定义和分类
（4）因果系统与非因果系统 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时
才产生输出响应的系统 。 （5）记忆系统与即时系统
系统的输出只取决于该时刻的输入，与系统的 过去工作状态(历史)无关，则称之为无记忆系统 或即时系统。
2、常见非周期信号的傅氏变换 （1）门函数的傅氏变换
g
(t)
1，
0，
t
2
t
2
F( j) Sa( )
2
3.2 非周期信号的频谱分析
（2）冲激信号的傅氏变换
(t) 1
（3）单位直流信号的频谱
12()
注意推导的过程
3.2 非周期信号的频谱分析
（4）指数信号的频谱
eatu(t) 1
a j
（5）阶跃信号的频谱
3、信号的脉冲分解
2.4 系统的微分方程及其响应
1、系统的微分方程
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y / t a 0 y t ＝ b m f m t b m 1 f m 1 t b 1 f / t b 0 f t
第四章 离散时间信号和系统分析
离散时间信号 差分方程 卷积和 离散系统时域分析 离散系统的频域分析
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
输出o(t)的统计特性
2
第3章 随机过程
1.输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均：
0 (t ) h( ) i (t )d
得到
E[ 0 (t )] E
h( ) iFra bibliotek(t )d
h( )E[i (t )]d
H ( ) (1 e jT ). j 2 cos
所以
2
T
2
e
j
t
2
. j
pY ( ) H ( ) p X ( ) 2(1 cos T ). 2 p X ( )
8
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
信号与线性系统
信号与线性系统
1 信号与线性系统
信号是无起点，无终点和持续变化，可以说它是介于输入输出之
间的移动性数据。
线性系统是指输入引起输出的响应只依赖于输入本身，且不与输入的时间和相位有关的一类系统。
信号的研究可以帮助
人们了解物体的物理现象，并可以应用于很多不同的情况。
例如，在
通信中可以使用信号来传输和接收数据。
信号和线性系统之间有着紧密的联系。
信号是输入到系统中的数据，而系统会根据信号来处理数据，对其进行操作处理或改变，以产
生一个新的输出信号。
信号在线性系统中的行为会符合系统的特性，
信号的变化规律也可以用来表征线性系统的特性。
信号的研究可以帮助人们了解物体的物理现象，并可以应用于各
种不同的情况。
而线性系统的研究可以帮助人们更好地理解信号的行为，由此可以尽可能准确地实现信号中信息内容的处理和传输。
所以，信号与线性系统是相互 Depending on each other的，它们以及它们
之间的关系可以满足各种不同的应用需求。
离散时间信号通过线性时不变系统
数字信号处理实验报告实验名称：离散时间信号通过线性时不变系统姓名：专业：年级：学号：指导教师：P=16,N=32,q=2,FFT点数为512P=16,N=32,q=30 FFT点数为512时域：q取值的增大，信号波形变宽，变矮，在最大值处过度变的平缓。
频域：信号的频谱向低频靠近。
方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。
方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。
因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延P=30,N=32,q=10 FFT点数为512P=32,N=32,q=10 FFT点数为512时域：p取值的增大，信号波形逐渐向右平移。
频域：信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。
当p=32时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。
随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。
f=0.0625,N=32,FFT点数32当FFT点数为32时，频谱为单线谱，只在谱峰处有值，其他位置都为f=0.0625,N=32,FFT 点数512FFT 点数为512时除谱峰以外，其他位置也有值。
出现这种现象是由于栅栏效应引起的，导致采样时只采到谱峰与零值点。
利用频谱估计频率时，Nm f ，m 为谱峰的位置，估计值与实际值一致，所以谱峰的位置正确。
f=0.265625,N=32,FFT 点数32f=0.265625,N=64,FFT 点数32f=0.265625,N=64,FFT 点数64N=FFT 点数=32、64时没有出现单线谱 N=FFT 点数=64的时候出现单线谱因为当点数为32时，FFT 对频域采样点没有采到谱峰位置，而有一定的相位差，其他点采到了各个旁瓣的峰值。
而当点数为64点时，正好采样采到谱峰和旁瓣的零点。
要使频谱正好采到谱峰，满足Nk Fs f =。
a=0.01 f=0.21875 N=32 FFT点数32 a=0.01 f=0.4375 N=32 FFT点数32a=0.01 f=0.21875 N=32 FFT点数256 a=0.01 f=0.4375 N=32 FFT点数256FFT 点数256 （2）反三角序列⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=elsen n n n n x d 0743304)(FFT 点数为256FFT 点数=8，虽然两者的时域波形不同，但是频域波形却相同，因为二者满足循环移位关系，即)())4(()(88n R n x n x d e -=，从而)()(k X k X e d =，这种现象是栅栏效应引起的。
随机信号通过线性系统分析
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
信号与线性系统
信号与线性系统介绍信号与线性系统是信号处理的基础知识之一。
信号是对时间、空间或其他独立变量的信息，可以是任何形式的数据。
而线性系统则是对信号进行处理或转换的一种方式。
本文将介绍信号的概念、信号的分类以及线性系统的基本概念和性质。
信号的概念信号是对某一独立变量的信息的表示。
常见的信号包括连续信号和离散信号。
连续信号是在时间或空间上连续变化的信号。
它可以通过一个连续函数来进行表示，通常用x(t)表示，其中t为时间或空间上的独立变量。
连续信号可以有无穷多个取值，可以是有限区间内的实数，也可以是整个实数轴上的实数。
离散信号是在时间或空间上离散变化的信号。
它可以通过一个序列来进行表示，通常用x(n)表示，其中n为离散时间或空间上的独立变量。
离散信号只有有限个取值，通常为整数。
信号的分类根据信号的特性和表示方式，信号可以分为多种类型，如以下几种：1.按时间的性质分类：–瞬时信号：只在某一个时刻有非零取值。
–连续信号：在整个时间范围内有非零取值。
2.按幅度的性质分类：–有限信号：幅度在某一时间范围内有限。
–无限信号：幅度在整个时间范围内都不为零。
3.按周期性分类：–周期信号：信号在一定时间间隔内重复。
–非周期信号：信号没有重复出现的特点。
信号还可以根据其功率和能量来进行分类。
如果一个信号的能量是有限的，那么它的功率就是零。
反之，如果一个信号的能量是无穷大，那么它的功率就是非零。
线性系统的概念和性质线性系统是对信号进行处理或转换的一种方式。
线性系统的基本性质包括线性性和时不变性。
线性性质表示系统对输入信号的加权和具有可加性。
对于一个线性系统，如果输入信号x1(t)产生的响应为y1(t)，输入信号x2(t)产生的响应为y2(t)，那么对于任意的常数a和b，输入信号ax1(t) + bx2(t)产生的响应为ay1(t) + by2(t)。
这意味着线性系统的输出与输入信号之间存在线性关系。
时不变性表示系统对时间平移具有不变性。
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析目录1. 信号的基本性质 (2)1.1 信号的分类 (3)1.2 周期性和周期信号 (4)2. 线性系统的概念 (5)2.1 线性系统的定义 (6)2.2 线性系统的性质 (7)2.3 时不变性 (9)2.4 因果性和非因果性 (10)2.5 稳态响应和瞬态响应 (11)3. 系统的数学描述 (13)3.1 微分方程描述 (14)3.2 差分方程描述 (15)3.3 传递函数描述 (17)3.4 状态空间描述 (17)3.5 反变换方法 (18)4. 系统的分析 (20)4.1 稳态分析 (21)4.2 瞬态分析 (23)4.3 频率响应 (24)4.4 相频特性 (25)4.5 系统稳定性 (26)5. 线性时不变系统的卷积 (27)6. 系统的滤波和变换 (29)6.1 理想滤波器 (30)6.2 巴特沃斯滤波器 (31)6.3 切比雪夫滤波器 (33)6.4 系统调制和解调 (34)7. 数字信号处理 (35)1. 信号的基本性质信号是系统分析和处理的核心对象，在信号与线性系统分析中，我们需要对信号进行深入地理解，并掌握其基本性质。
信号可以被描述为时间函数，我们称之为时间域表示。
信号也可以用其频域特性来描述，即信号在不同频率成分的幅度和相位。
这两种表示形式互补，揭示了信号的不同方面。
根据信号的取样方式，信号可以分为离散信号和连续信号。
离散信号在时间上仅取固定的离散值，而连续信号在任何时刻都可取到一个确定的数值。
根据信号在定义域内的能量特性，信号可以分类为能量信号和功率信号。
能量信号在有限时间内积累能量，而功率信号在无限时间内拥有一定功率。
信号也可以是周期信号，即信号在特定时间间隔内重复相同的波形。
根据信号与其时间轴对称性，信号可分为奇信号和偶信号。
奇信号对称轴为原点，偶信号对称轴为时间中心。
因果性是指信号在时间轴上发生前先拥有一个前提条件，即该信号在任何时刻t之前均不会产生作用。
随机信号通过线性系统的分析.
1．系统输出的功率谱密度
对于输入为平稳随机信号X(t)的情况，其
功率谱密度为
S x ()
R
xx
(
)e
j
d
（6-79）
输出Y(t)也应是平稳随机信号，它的功率谱密
度应为
S y ()
R
yy
(
)e
j
d
将式（6－74）的 Ryy ( ) 代入上式，有
（6-80）
S y ()
[
h( 1 )h( 2 )Rxx (
h(
2
)
X
(t
2
)d
2
h( 1 )h( 2 )E X (t 1 ) X (t 2 ) d 1d 2
Rxx ( 2 1 )h( 1 )h( 2 )d 1d 2
（6-73）
可见系统响应的均方值与输入随机信号的自相 关函数、系统的结构及参数有关，为一常数。
1. 输出Y (t) 的自相关函数 根据自相关函数的定义，有
（6-81）
上式表明，系统输出的自功率谱等于输入功率 谱与系统幅频特性函数平方的乘积。所以可以 由系统的幅频特性 H() 与输入功率谱Sx () 来 确定输出功率谱 S y () 。可见，系统的功率传 输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的 相频特性无关。
2．系统输入与输出之间的互功率谱密度
将式（6－77）两边取傅立叶变换，并利用傅立 叶变换的时域卷积性质，得到
（6-76）
对于平稳随信号，则有 Rxy ( ) h( ) Rxx ( ) 及 Ryx ( ) h( ) Rxx ( )
（二）系统响应的频域分析
如上节所述，随机信号是功率信号，各样 本函数不存在傅立叶变换，所以不能直接利用 傅立叶变换分析的方法。但是当系统的输入、 输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦 公式，求取功率谱密度函数。
信号通过线性系统的特性分析
信号通过线性系统的特性分析一、实验原理通过频谱分析可以看出，在一般情况下线性系统的响应波形与激励波形是不同的，即：信号在通过线性系统传输的过程中产生了失真。
线性系统引起的信号失真是由两方面的因素造成的，一是系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，造成幅度失真；一是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，造成相位失真。
线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。
对于非线性系统，由于其非线性特性，对于传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。
如果信号在传输过程中不失真，则响应)(t r 与激励)(t e 波形相同，只是幅度大小或出现的时间不同。
激励与响应的关系可表示为)()(0t t ke t r -= （3-15）为了实现信号无失真传输，线性系统应该满足什么条件？由式（3-1）得)()(t j ej kE j R ωωω-= （3-16）设)(t e 与)(t r 的傅里叶变换分别是)(ωj E 和)(ωj R ，则)()()(ωωωj E j H j R = （3-17）比较式（3-2）与式（3-3），在信号无失真传输时，系统函数应为)()()(t j j keej H j H ωωφωω-== （3-18）因此，为了实现任意信号通过线性系统不产生波形失真，该系统应满足以下两个理想条件，如图3-1。
⎩⎨⎧-==0)()(t kj H ωωφω图3.13 理想线性传输系统的系统函数的频率特性很显然，在传输有限频宽的信号时，上述的理想条件可以放宽，只要在信号占有频带范围内系统满足上述理想条件即可。
ωω一、实验内容1.在Multism上实现低通滤波器的输入、输出频谱的测量及分析(1)绘制测量电路并做输入、输出信号的参数仿真(2)无失真传输线性输入、输出信号幅度频谱的仿真测量虚拟电压信号源设置参数为周期矩形信号，其中周期T=100μs，脉冲宽度τ=60μs，脉冲幅度Vp=5V；采用虚拟示波器测量滤波器输入、输出信号的时域波形，波特仪测量线性系统传输特性的频谱图，并记录输出波形。
信号与线性系统
信号与线性系统信号与线性系统是一门重要的工程学科，它研究信号在系统中的传输、变换及其处理方法。
具体地说，信号是几何或物理量对时间、空间或其他自变量的函数，而线性系统是一类特殊的物理系统，它表现为输入信号与输出信号之间的线性关系。
因此，信号与线性系统研究的核心问题是如何描述和分析信号的特性以及它们在系统中的行为。
本文将对信号与线性系统进行详尽的叙述，深入阐释其应用于各种领域的意义和作用。
一、信号的分类在信号与线性系统中，信号可以分为连续信号和离散信号。
连续信号通俗来说就是时间是连续的信号，如声音、图像、光等；而离散信号是时间是离散的信号，如数字信号和二进制信号等。
连续信号的特征在于它们是连续变化的，而离散信号则是跳跃/离散的。
这些信号中的每一个抽样都会产生一个瞬时值，这个值相对于时间指示抽样时刻的瞬时值，仅有每个连续信号的采样，它是连续信号零个离散样点的数字表示。
负责转换的数字信号处理程序是信号处理器。
数字信号处理包括滤波、加噪等处理方式，用于数字声音、数字图像处理等，在实际应用中，数字信号处理既是软件也是硬件。
二、线性系统的定义在信号处理中，系统是描述信号处理方式的一个组件，它将输入信号转换为输出信号。
线性系统是一种保持线性关系的系统，具有以下两个重要的性质：1、叠加原则：系统的输出是输入信号的线性组合，即输出可以写成输入信号的加权和的形式。
例如，对于一个线性系统以及一个给定的输入信号 u(t) 和 v(t)，输出分别为y1(t) 和y2(t)，如果同样的信号以及是否一同输入，那么输出将是它们的线性组合，即 y(t) =u(t) + v(t)的形式。
2、齐次性：当输入信号乘以一个标量时，输出信号也同样乘以相同的标量。
例如，对于一个线性系统以及一个给定的输入信号 u(t)，输出为 y(t)，当 u(t) 乘以一个标量 a 的时候，输出信号也同样乘以这个标量 a 的形式。
这些性质使得线性系统的分析成为了相当的方便。
随机信号分析 第五章随机信号通过线性系统(2)
2
0
0
0
FX ( ) N 0
K0
0
N0 K0
0
2
0
0
0
注：“窄带”的定义
1、窄带系统： 系统的中心频率
0
H ( )
系统带宽。
∥
0
0
2，窄带随机信号： 其功率谱密度的中心频率 0 e 等效噪声带宽。
G X ( )
N0 w2 L2 R 2 R 2 jw N RN0 R| |/ L e dw 0 ( ) e 2 R2 w2 L2 2 4L
题3：若图示系统的输入x(t)为平稳随机过程,求输 出的功率谱密度.
解：先求自相关函数，再求功率谱密度
RY ( ) E[Y (t )Y (t )] E{[ X (t ) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} E[ X (t ) X (t ) X (t T ) X (t ) X (t ) X (t T ) X (t T ) X (t T )]] 2 R X ( ) R X ( T ) R X ( T )
e 均由系统本身决定。
同一系统的这两个不同参数有着密切联系。
e
e
5.3.2 白噪声通过线性系统
一，输出信号的功率谱密度
N0 G X ( ) 2
FX () N0
GX ( ) FX ( )
N0 GY ( ) | H ( ) |2 ， 2 FY ( ) N0 | H ( ) |2 ， 0
这等效的限带白噪声带宽 e ←称为实际系统的“等效噪声带宽”。
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
信号通过线性系统
信号与噪声
系统函数 H ( j) 也称为频响函数，就是系统的频率响应特
性，描述了系统对输入信号的不同频率分量的响应状况。即有
Y ( j) F( j) • H ( j)
（1.22）
2．理想滤波器 系统对于信号的作用是多种多样的，有放大、滤波、延时等。 其中，滤波是某些系统要考虑的一个重要问题。若系统能让某 些频率的信号通过，而使其他频率的信号受到抑制，这样的系 统就称为滤波器。若系统函数 H ( j)的幅度 H( j) 在某一频带 内保持为常数而在该频带外为零，相位 ( ) 始终为过原点的一 条直线（这里不再讨论相位的变化），则这样的系统就称为理 想滤波器。
反变换可得
y(t) 1 Y ( j)e jt d2 1 0 e jt d
2 0
0
S a( 0 t )
即冲激信号经过理想低通滤波器后的输出信号为辛格信号。
数字与数据通信技术
常见的滤波器有低通、带通、高通、带阻滤波器。图1.20 分别表示了各种理想滤波器的频率特性。
信号与噪声
H ( j)
1
0
0
0
ω
（a） 理想低通特性
H ( j)
1
H ( j)
1
0
1
（b） 理想带通特性
2 ω
H ( j)
1
0
0
ω
0 1
2 ω
（c） 理想高通特性
（d） 理想带阻特性
图1.20 各种理想滤波器的频率特性
数字与数据通信技术
信号与噪声
信号通过线性系统
在通信中，信号通过系统，必然受到一定的影响，主要表 现在以下两个方面。
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一、实验目的：
信号通过线性系统
1、观察对称方波通过线性系统后波形的失真，了解线性 系统频率特性对信号传输的影响； 2、测试线性系统的时域特性—阶跃响应。
二、实验原理：
1、本实验所采用的激励信号为对称方波，此信号具有极 丰富的频率分量，当这样的信号通过线性系统时，若系统的 频率响应特性不满足无失真传输的条件，那么方波中的某些 频率分量必然被抑制，造成输出信号与输入信号的不同(失 真)；系统的频率响应特性不同被抑制的频率亦会不同。
C R
图3-4
串联谐振电路
当方波加至串联ห้องสมุดไป่ตู้振电路时，将引起电路的谐振，振荡
0 1 LC 的频率为： 此时只要满足方波的频率 1 0 ，就可以把响应的前半周 认为是阶跃响应。
三、实验电路(见下页) ： 四、实验前预习内容：
1、计算微分电路的截止频率（R=10KHZ,C=1000PF),并画 出幅拼特性曲线； 2、计算积分电路的截止频率（R=20KHZ,C=1000PF),并画 出幅拼特性曲线； 3、计算LC低通滤波器的截止频率（L=10mH,C=0.1μ F)； 4、计算图3-4所示串联谐振电路的阶跃响应，并画图。
R
τ ＜3T C τ ＞(3~5)T
图3-2
积分电路
同样从频域角度分析，积分电路实质上是一个低通滤波 器，其系统函数为： H(s)=(1/RC)／(S+1/RC) 其截止频率为：ω c＝1/RC 当方波通过低通滤波器时，高次谐波分量将受到衰减， 因而输出信号中只有低频分量，因此输出波形的前沿变倾 斜；而且RC越大(截止频率越小)，前沿倾斜越大，即波形失 真越大；反之波形失真较小，波形较接近方波。 (3)、对称方波通过LC低通滤波器 LC低通滤波器的电路如图3-3所示。
电路图：
C11 100pf 1
K1
1 2
K3 C
C12 1000pf
A C13 0.1μf 3
2
L32 10mH R3 360Ω
R21 5KΩ
4 R22 10KΩ 5 6 L31 10mH 7 L4 2.2mH 8 1 R1 10KΩ 2 C2 1000pf 3 C3 0.1μf
R23 20KΩ
K2
其截止频率为：ω c＝1/RC 当方波通过高通率波器时，基波及低次谐波分量将受到 衰减，从而产生平顶失真；而且RC越小(截止频率越大)失真 越大，即波形越尖；反之波形失真较小，波形较平坦。 (2)、对称方波通过积分电路(低通滤波器) 积分电路如图3-2所示，该电路的时常数为T=RC ，若 输入的方波的脉宽τ 远大于电路的时常数T，则输出的波形 近似方波；若方波的脉宽τ 远小于电路的时常数T，则输出 的精度大大降低，波形接近三角波如图3-2所示。
L1 C L2 R
图3-3
LC低通滤波器
LC低通滤波器的截止频率为： c 2 ( L1 L2)C 当对称矩形脉冲(方波)通过低通滤波器时，频率高于fc的 谐波分量将被截止(或衰减)到达不了输出端，只有f<fc的低 频分量可以到达输出端，所以当不同频率的方波通过此滤波 器时，能通过的频率分量将不同；方波的频率越高，通过的 频率分量越少即失真越大。 ①若方波的基波分量f1<fc，而三次谐波分量f3>fc ；则能 通过的只有f1，即输出端为正弦信号； ②若方波的三次谐波分量f3<fc ，而五次谐波分量 f5>fc ，则能通过的只有f1，f3，即输出端信号为基次和三 次谐波的合成波形； ③若方波的频率f<<fc ，则通过的谐波分量大大增加输出 波形更接近方波但此时在波形的前沿将出现一峰值这就是
4
C42 200pf C41 200pf 5 C43 200pf R41 8.1KΩ 6 R42 5.1KΩ
B
D
五、实验内容及步骤：
将函数发生器的CH1输出波形调为方波，频率调为 10KHz，幅度调为Vpp=5v，并将此方波接实验板的A、B两 点，示波器接实验板上的输出端CD两点。 1、将电路接成微分电路，观察并记录波形： 将实验电路中的K2置于1，K3置于1， K1分别置于1， 2，3，观察并记录波形；计算时间常数T=RC的值，并与方波 的脉宽τ 进行比较说明时间常数T的变化对输出波形的影 响。并从频域的角度(系统的频率特性)分析输出波形产生平 顶失真的原因。 2、将电路接成积分电路，观察并记录波形： 将实验电路中的K2置于2，K3置于1， K1分别置于4， 5，6，观察并记录波形；计算时间常数T=RC的值，并与方 波的脉宽τ 进行比较，说明时间常数T的变化对输出波形的 影响。并从频域的角度(系统的频率特性)分析输出波形产生 平顶失真的原因。
(1)、对称方波通过微分电路(高通滤波器)
微分电路如图3-1所示，该电路的时常数为T=RC ，若 输入的方波的脉宽τ 远大于电路的时常数T，则输出的波形 为尖脉冲；若方波的脉宽τ 远小于电路的时常数T，则输出 的波形近似方波如图3-1所示。
C τ＜ 3 T τ
R
图3-1
微分电路
τ＞3~6T
从频域角度分析，微分电路实质上是一个高通滤波器，其 系统函数为： H(s)=S／(S+1/RC)
吉伯斯现象。 2、阶跃响应的观测 阶跃响应则是指单位阶跃信号作用下系统的零状态响 应。我们用冲激响应和阶跃响应来描述系统的时域特性。由 于普通示波器无法捕捉到t=0时刻的瞬间跳变，所以我们用 方波作为激励信号；只要方波的重复周期T1足够大 (T1>>阶 跃响应建立的时间tr) ，则方波前半周的信号就可以看成是 阶跃信号，若将此方波通过系统其响应的前半周就可以认为 是阶跃响应。本实验的线性系统为一串联谐振系统，如图 3-4所示。 L
3、将电路接成LC低通滤波器，观察并记录波形： 将实验电路中的K1置于7，K2置于3， K3置于2，观察并 记录波形；然后改变信号源的频率f使之分别满足下面三个 条件①f<fc<3f，②3f<fc<5f，③f<<fc (fc=7.1KHz) ；分 别记录三种情况下的输出波形，并从频域角度进行解释。 4、将电路接成串联谐振回路，观察阶跃响应波形并记录 首先将信号源的频率调回10KHz，K1置于8，K3置于1， K2分别置于4，5，6，观察电路在不同损耗电阻值时的阶跃 响应波形，记录所见波形并进行解释。