高一数学下学期期末复习(一)

高一数学下学期期末复习（一）

三角恒等变换

基础知识

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan α

αα

=

-

3．半角公式

2cos 12

sin

αα

-±

=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±=α

α

ααsin cos 1cos 1sin -=+= 4．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等；（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 （1）降幂公式：ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=

；2

2cos 1cos 2

αα+=；αα2cos 1sin 22-=；αα2cos 1cos 22+=

（2）辅助角公式：

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+（其中

sin cos ϕϕ=

=

）

5．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角

6．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明

典型例题

题型1：两角和与差的三角函数

例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，试求)cos(βα+的值

例2．已知2

tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根根，试求βα+及)cos(βα-的值

题型2：二倍角公式

例3．化简下列各式：

（1）、⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）、⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα

α4cos 4tan 2sin cos 222

例4.若角α的终边经过点P (1,-2)，则α2tan 的值为

题型3：辅助角公式

例5、函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

例6．已知函数y ＝

3sin x ＋cos x ，x ∈R .

（1）当函数y 取得最大值时，试求自变量x 的集合；

（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

题型4：三角函数式化简

例7

．已知函数1)

4()cos x f x x

π

--=

. 设α为第四象限的角，且tan α43=-，试求()f α的值

题型5：三角函数求值

例8．设函数f (x )=3cos 2ωx +sin ωxcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为

6

x

，试求ω的值；

例9.

已知函数2

()sin sin()(0)2

f x x x x π

ωωωω=+>的最小正周期为π

（Ⅰ）试求ω的值；

（Ⅱ）试求函数f (x )在区间[0，23

π

]上的取值范围.

巩固练习一

1、已知(,0)2

x π

∈-

，4

cos 5

x =

，则=x 2tan 2、函数()cos 22sin f x x x =+的值域为

3、在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为 三角形

4、已知()cos 6f x x πω⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=

5、设0

sin14cos14a =+，0

sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系 6、若,5

3

)2sin(

=+θπ

则=θ2cos 7、设02x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为

8、若1tan 2011,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα

+=

9、已知函数R x x x x x f ∈-=,sin )cos (sin )(，则)(x f 的最小正周期是

10、函数2

(sin cos )1y x x =--的周期是

11、已知sin

cos

22

3

θ

θ

+=

那么sin θ的值为 ；cos2θ的值为 12、0

01000

1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20

-+--= 13、已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=试求cos()βγ-的值

14、已知函数.,2

cos 32sin

R x x

x y ∈+= （1）试求y 取最大值时相应的x 的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=

15、已知1

tan 3

α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）试求tan()αβ+的值；

（2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．