第六讲 多自由度振动系统-拉格朗日与影响系数法

m1
x 1 k1 k2 k m2 x2 2
k2 x1 0 x 0 k3 k 2 2
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的 方法：先求出系统的动能、势能，进而 得出质量矩阵和刚度矩阵 优点：系统的动能和势能都是标量，无需 考虑力的方向。
m1 0 0
0 m2 0
0 1 k1 k2 x 0 2 k2 x m3 3 0 x
2.位移方程—柔度影响系数法
F1
F2
F3
用柔度系数法建立系统的微分方程：
[0 0 1] x
T
T
m22 1
m32 0
m13 0,
m23 0
m33 1
因此，质量矩阵为：
运动微分方程为：
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k2 k 2 k3 k3 0 x1 0 k3 x2 0 k3 x3 0
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
二 拉格朗日方程法
n自由度系的拉格朗日方程表式： d L dt qi L Qi qi
系统的独立广义坐标
qi i 1,2,3,, n
Qi i 1,2,3,, n L T U
拉格朗日函数
系统非有势力的广义力
系统势能
系统动能
1 1 2 2 T m1 x1 m2 x2 2 2
施加的外力在数值上正式刚度矩阵K的第j列，其中Kij (i=1…n)是在第i个坐标上施加的力。 刚度影响系数---Kij的物理意义：刚度矩阵K中的元素 Kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应在 第i个坐标上所需施加的力。 同理，质量矩阵M中元素 质量影响系数---mij的物理意义：质量矩阵M中元素mij 是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于 第i个坐标上所需施加的力。
1 2 1 1 2 2 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x3 2 2 2
L T U
L L k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k2 ( x2 x1 ) k3 x3 x1 x2 L L m11 x m2 2 x x1 x2
x [ x1 x j 1
xj
x j 1 xn ]T
T
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0 1 0 0
Kx P , x 0 0 1 0 0
T
k11 k 21 P kn1
k1 j k2 j knj
0 k1n k1 j 0 k k2 n 2 j 1 0 knn knj 0
三、 影响系数法
1. 刚度影响系数法 质量矩阵和刚度矩阵元素的物理意义 假设外力以准静态方式施加于系统，这时没有加速度， 即
0 x
M Kx P x
Kx P
假设：作用于系统的外力，它们使系统只在第j个坐标上 产生单位位移，而在其他坐标上都不产生位移，即产 生的位移向量为:
只考虑静态：
k11 k1 k2 , k21 k2 , k31 0
只考虑动态 ：
[1 0 0]T x
m11 m1 1 1 x
m21
m31
由受力分析得知，为维持这种状态 ，在各个坐标上施加 的力应是：
m11 1,
m21 0
m31 0
[0 1 0] x m12 0,
汽车振动与噪声控制
山东交通学院 徐传燕
第一章 振动理论基础
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 振动系统简介 单自由度系统 多自由度系统 连续振动系统 随机振动
2 2
多自由度系统微分方程的建立
一：牛顿第二定律
解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受 力分析：
建立运动微分方程：
耦合 矩阵形式：