分解质因数
分解质因数的标准形式-概述说明以及解释
分解质因数的标准形式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述分解质因数是数学中一个重要的概念和方法，用于将一个数表示为若干个质数的乘积。
这个过程可以帮助我们深入了解一个数的因数结构，进一步探索数的性质和特征。
分解质因数也是解决很多数学问题的基础，如求最大公约数、最小公倍数，以及求解关于整数的方程等等。
在分解质因数的过程中，我们将一个数分解为一系列质数的乘积。
质数是指除了1和本身外没有其他因数的数，如2、3、5、7等。
而合数则是除了1和本身外还具有其他因数的数，如4、6、8等。
通过将一个复杂的数分解为质数的乘积，我们可以简化计算过程，更好地理解和分析数的性质。
分解质因数的标准形式能够帮助我们更方便地表示和理解一个数的分解结果。
在这种形式中，我们按照质数的升序排列，并用幂的形式表示质因数的重复次数。
比如，将60分解质因数的标准形式为：2^2 * 3 * 5。
这种形式准确、简洁地描述了一个数的因数分解结果，方便我们进行进一步的计算和分析。
分解质因数不仅在数学领域具有重要意义，在实际应用中也有广泛的应用。
例如，在密码学中，分解质因数被用于RSA加密算法，保证信息的安全传输。
此外，分解质因数也可以帮助我们解决一些实际问题，如寻找最大公约数、寻找因式分解等。
未来，随着计算机技术的发展，分解质因数的方法和应用将进一步拓展，为我们提供更多的数学工具和方法。
总之，分解质因数作为数学中一项重要的方法和概念，通过将一个数表示为质数的乘积，帮助我们更好地理解数的性质和结构。
分解质因数的标准形式能够准确、简洁地表示一个数的因数分解结果，方便我们进行进一步的计算和分析。
这一方法在数学领域和实际应用中都具有广泛的意义和应用前景。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构是指文章整体组织的框架和布局。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解文章的内容，同时也能够让作者更清晰地表达自己的思想和观点。
本文将按照以下结构来组织内容：1. 引言：介绍分解质因数的标准形式的背景和意义，概述本文的主要内容和目的。
分解质因数的作用
分解质因数的作用
分解质因数是数学中一种重要的运算方法，用于将一个正整数分
解成若干个质数的乘积。
它的作用主要有以下几点：
1. 寻找因数：通过分解质因数，可以将一个数表示为多个质数
的乘积。
这样可以方便地找到该数的所有因数，包括质数和合数因数。
2. 判断质数性质：通过分解质因数，可以判断一个数是否为质数。
如果分解后只有一个质因数，那么原数就是质数；如果分解后有
多个质因数，那么原数就是合数。
3. 素数分布：分解质因数也有助于研究素数的分布规律和性质。
素数在分解质因数时只有一个因数，因此可以通过分解质因数来研究
素数在数列中的位置和分布情况。
4. 解题和运算：分解质因数是解决一些数论问题和进行数学运
算的重要工具。
在解方程、求最大公约数、求最小公倍数等问题时，
分解质因数可以起到简化问题和求解的作用。
综上所述，分解质因数在数学领域具有重要的作用，不仅有助于
理解数字的因数结构和性质，还为解题和运算提供了有效的方法。
分解质因数的技巧
分解质因数的技巧在数学中，质因数分解是指把一个数表示成质数的乘积，例如12可以进行质因数分解为2 × 2 × 3。
质数是自然数中大于1且只有1和自身两个因子的数，如2、3、5、7、11等等。
掌握分解质因数的技巧对于学习数论、代数及解决一些数学问题至关重要。
本文将详细探讨分解质因数的方法与技巧，并结合实例帮助读者更好地理解。
质因数分解的基本概念质因数分解不仅是数学中的基础概念，也是许多复杂数学问题的核心。
一个合成数可以被表示为多个质数的乘积，而进行这一过程时，我们需要遵循以下步骤：选择合适的质数：从最小的质数2开始，如果该数能被整除，则将其作为一个因子。
重复整除：使合成数继续除以质因数，直到无法再整除。
继续下一步：若还有余下的合成部分，选择下一个更大的质数来尝试分解。
完成分解：当最终结果为1时，分解完成。
以36为例进行讲解。
首先，36是个合成数。
我们可以用2去除以36：第一步：(36 = 18)第二步：(18 = 9)第三步：9不能被2整除，因此尝试下一个质数3：第四步：(9 = 3)第五步：(3 = 1)最终，36的质因数分解结果为(2^2 × 3^2)。
手动分解的技巧在手动进行质因数分解时，会遇到较大的合成数，这时采用以下技巧可以提高效率：利用数组方法一种有效的方法是利用素数表。
我们可以提前准备好小于某个范围（如100或200）的所有素数组成的列表。
在开始分解之前，先找出该数字的最大平方根，以便限制尝试的素数组。
例如，对于84，其平方根大约为9.16，因此我们只需用小于10的素数组（2、3、5、7）进行试验。
使用快速判断法对于一些特定种类的数字，可以使用速判法来加快判断。
例如：如果数字是偶数，直接用2去做初步分解。
对于末尾是0或5的数字，可以先用5去除。
如果数字和9相加后的和能被3整除，则该数字也能被3整除。
使用这些简单规则，可以帮助我们很快确定几个初始因子，从而加速整个分解过程。
分解质因数运用10例
分解质因数运用10例分解质因数是数论中的一种重要运算，它将一个正整数分解为若干个质数的乘积。
在解决数学问题中，分解质因数是一个非常有用的工具，可以帮助我们简化和解决各种数学难题。
接下来，我将为您列举十个实际应用的例子，来演示分解质因数的应用。
例子一：寻找最大公约数144=2^4*3^2180=2^2*3^2*5最大公约数为2^2*3^2=36例子二：判断是否为完全平方数如果一个数的所有质因子的指数都是偶数，那么它就是一个完全平方数。
例如，判断7921是否为完全平方数。
分解质因数得到：7921=7^2*17^2由于指数均为偶数，所以7921是一个完全平方数。
例子三：求最小公倍数在分解质因数的过程中，我们可以找到两个正整数的所有质因子，从而求出它们的最小公倍数。
例如，求30和45的最小公倍数。
分解质因数得到：30=2*3*545=3^2*5最小公倍数为2*3^2*5=90。
例子四：判断是否为质数若一个数的分解质因数后只有一个质因子，那么它就是质数。
例如，判断37是否为质数。
由于37的质因数只有它本身，故37是一个质数。
例子五：化简分数当我们需要将一个分数进行化简时，可以通过分解质因数来做。
例如，将15/20化简为最简分数。
分解质因数得到：15=3*520=2^2*5可以看到，15/20可以化简为3/4例子六：求解勾股数勾股数指三个正整数a、b、c之间的关系为a^2+b^2=c^2，其中a、b、c都是正整数。
通过分解质因数，我们可以找到勾股数中的质数关系。
例如，求解勾股数3、4、5、分解质因数得到：3=34=2^25=5可以看到，3、4、5满足质数关系，所以它们是勾股数。
例子七：判断数的因子个数通过分解质因数，可以判断一个数的因子个数。
例如，判断144的因子个数。
分解质因数得到：144=2^4*3^2在质因数的指数上加1，然后将它们相乘，即(4+1)(2+1)=15、所以，144有15个因子。
例子八：求解约数之和通过分解质因数，可以求解一个数的所有约数之和。
分解质因数顺口溜
分解质因数顺口溜分解质因数是小学数学中的重要知识点之一，通过对数字的质因数分解可以计算它的最大公约数、最小公倍数等问题。
为了帮助同学们更好地掌握分解质因数，以下是一篇关于分解质因数顺口溜的文章。
一、什么是质数和合数？在分解质因数之前，我们需要先知道什么是质数和合数。
1. 质数：只能被1和它本身整除的数，例如2、3、5、7、11、13等。
2. 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，例如4、6、8、9、10、12等。
二、分解质因数的基本步骤分解质因数的基本步骤是：先将数字分解成质数的乘积，再将这些质数按从小到大的顺序排列。
以12为例，它可以分解为2*2*3。
这里我们先找到它的质因数2，由于12可以被2整除，因此我们将12除以2得到6。
接着，我们再将6继续除以2，得到3。
此时，3是一个质数，同时也是12的因数。
因此，12可以表示为2*2*3。
三、分解质因数的顺口溜接下来，我们来说说分解质因数的顺口溜：质数是生成数，合数可分解。
先看能否被2，再看能否被3，再看5或7，或11或13，到最后若不能分，则那就是个质啦！意思是说，分解质因数时，先判断所分解的数字是否是质数或合数。
如果是质数，则它就是一个质因数。
如果是合数，则尝试把它分解成两个因数，再对这两个因数分别进行质因数分解。
首先，我们尝试用2除以这个数，看是否能够整除。
如果可以，就把这个数除以2，保留商作为新的数，并继续尝试用2除以这个数。
如果这个数不能被2整除，就尝试用3除以这个数，以此类推。
当最后得到的数已经是一个质数时，就把这个质数加入到分解结果中即可。
四、总结分解质因数是小学数学的重要知识点之一，通过掌握这一技巧，我们可以更好地解决一些数论问题。
希望本篇文章中提供的顺口溜可以帮助同学们更好地记忆分解质因数的方法，从而更好地掌握这一知识点。
分解质因数
知识链接： 1、约数和倍数：如果a÷b=c(a、b、c都是整数b≠0)，则
a 是b的倍数，b是a的约数； 2、质数和合数：（ 非0并且不包含1的数）
（1）质数：只有1和本身这两个约数； （2）合数：除了1和本身还有其他约数； 3、质因数：如果一个质数是某个数a的约数，
这个质数就是a的质因数； 4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示； 5、幂：几个相同的数相乘，如：a5 =a×a×a×a×a; 6、100以内的25个质数：
例2、将72分解质因数
解 72=2×36 =2×2×18 =2×2×2×9 =2×2×2×3×3 =23×32
拓展练习：自然数m和n，n= m+1，
m和n的最大公约数是（ 1 ），最小 公倍数是（ mn ）。
例3、四个连续自然数的积为5040，求这四个数。
解 5040=24×32×5×7 =7×8×9×10
6+1=7（个） （3+1）×（2+1）=12（个）
（4）1200
（2）81
1200=24×3×52
81=34
（4+1）×（1+1）×（2+1）=30
4+1=5（个） （个）
求约数个数公式
指数加1连成积
拓展练习：
把A分解质因数是A=a×b×c （a，b，c均为质数），
A的因数有（ 8 ）个。
例8、求下列各数全部约数的和。
⑦所有的质数都能写成比它本身小的两
个质数相加的形式。(× )[ 2、3 ]
⑧所有的合数都可以写成比它本身小的
两个数相乘的形式。(√ )[
]
例1、写出4的倍数和72的约数。
解：4 的倍数有：4、8、12、16、20……（无穷多个） 72的约数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、
分解质因数要点
分解质因数要点：
1.质因数：把合数用质数相乘的形式表示出来，其中每个质数
都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
2.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做
分解质因数。
3.判断质数的方法：（1）查表法，（2）试除法。
判断一个自然
数是不是质数可以用所有比它小的质数从小到大依次去除它，除到商数比除数小还是除不尽，它就是质数，否则不是质数。
判断100以内的数是不是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。
判断200以内的数是不是质数，只需用2，3，5，7，11，13这六个数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。
判断500以内的数是不是质数，要依次用2，3，5，7，11，···，23试除。
4.判断互质数的技巧：
（1）两个质数互质，（2）两个连续自然数互质，（3）1和任何自然数互质，（4）2和任何奇数互质，（5）自然数a
和b ，若a＞b,且a是质数，则a与b互质，（6）自然
数a和b，若a＞b，且b是质数，a不是b的倍数，则
a与b互质，（7）两个连续的奇数互质。
5.求因数个数的技巧：
一个大于1的整数的因数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。
100以内的质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.。
分解质因数(优秀6篇)
分解质因数(优秀6篇)分解质因数篇一教学目标(一)理解质因数、的意义。
(二)会把一个合数，掌握用短除式。
(三)培养学生观察分析，概括的能力。
教学重点和难点(一)质因数与的意义。
(二)用短除式。
教学用具投影片。
教学过程设计(一)复习准备1.请说出1～12这些数中的质数和合数。
(投影片)学生口答后，投影出示答案：①2，3，5，7，11是质数；②4，6，8，9，10，12是合数。
2.说一说质数与合数的区别？3.请想一想，第1题答案中的两组数，哪一组数能分成比它本身小的两个数相乘的形式？哪一组不能？为什么？学生口答后，老师指出：像这样的数，即合数，因为它们除了1和本身外，还有别的约数，所以都可以用几个比本身小的数相乘的形式表示出来。
这节课就来研究要求连乘式子里的因数都是质数的情况。
(二)学习新课1.质因数的意义，分别质因数的意义和方法。
(1)板书例3 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？教师板书出6，学生口答后，老师再用塔式分解式写出2，3，圈上。
教师：用算式如何表示，学生口答后老师板书；6=2×3。
教师板书出28，学生口答后，老师按塔式分解式写出：4，7，7是质数，圈上。
问：4老师为什么没圈？(4不是质数，继续分解。
)板书；2，2，圈上。
请用算式表示。
板书；28=2×2×7。
教师：请用上面的方法把60分成几个质数相乘的形式。
老师巡视中请一位同学板书出塔式分解式和算式。
(如下)(2)教师：请观察，(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？(每个合数都写成了几个质数相乘的形式。
)教师：这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？(这些质数都是原来合数的因数。
) 教师：像这样，把一个合数写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
板书：质因数。
教师：请说一说什么是质因数。
请说一说上面三个算式中谁是谁的质因数。
针对学生口答，老师说明：讲质因数时，要说出这个质数是哪个合数的质因数，不能单独说一个数是质因数。
《分解质因数》课件
6 用短除法把下面各数分解质因数。
40 52 90 96
2 96
2 40 2 20 2 10 5
40=2×2×2×5
2 52
2 26 13
52=2×2×13
2 48
2 90
2 24
3 45
2 12
3 15
26
5
3
90=2×3×3×5 96=2×2×2×2×2×3
2 判断。
（1）3和8是24的质因数。( × ) （2）把24分解质因数是2×2×2×3=24。 ( × ) （3）所有非0自然数都可以写成几个质数相乘的形式。( × ) （4）能分解质因数的数都是合数。( √ ) （5） 6的因数有1、2、3、6，所以它们都是6的质因数。( × )
3 精挑细选。
24=2×2×2×3
40=2×2×2×5 66=2×3×11
45=3×3×5 78=2×3×13
任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。
1 下面的说法对吗?
（1）因为10=2×5，所以2和5都是质因数。（ × ） （2）15分解质因数: 15=5×3×1。（ × ） （3）一个数的因数一定是这个数的质因数。（ × ） （4）一个数的质因数一定是这个数的因数。（√ ） （5）质因数必须是质数，不能是合数。（√ ）
3 ……商是质数为止
54=2×3×3×3
短除法分解质因数的方法:
（1）把要分解的合数写在短除号里； （2）用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除； （3）得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得2×3×3
A.整数
B.约数
C.合数
D.质数
分解质因数的三种方法分解质因数的方法与技巧互质数的意义和特征
互质数的特点互质数即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。
公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。
互质数的特点任何两个质数都是互质数。
例如:2与7互质。
互质的两个数不一定是质数。
如：6与25互质。
互质数规律判断法1.根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。
2.两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和11、17和31是互质数。
3.两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
4.相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
5.1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
6.两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。
如：3和19、16和97是互质数。
7.两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。
如：2和15、7和54是互质数。
8.较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。
如：13和27、13和25是互质数。
质数，互质数，分解质因数，合数一个数只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这样的数叫合数。
1既不是质数也不是合数。
公约数只有1的两个数叫做互质数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
分解质因数的三种方法分解质因数的三种方法：因式分解法、提取公因式法、十字相乘法因式分解法：数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
提取公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
五年级分解质因数
五年级分解质因数
质因数分解：
1、什么是质因数分解
质因数分解，是一种数学计算方法，可以将一个复杂的数字分解为由
质数相乘的乘积形式。
质因数分解是数学上最基本的分解方法，也是
计算因式分解最基本的思路。
比如，将1000分解为2X2X2X5X5，就
是质因数分解的结果，两个2乘5乘5等于1000。
2、质因数分解的意义
质因数分解的意义是十分重要的，它不仅仅是解数学问题的一个重要
方法，还可以作为一种计算机程序的基础，进而简化大规模数学计算。
3、五年级质因数分解
在五年级的质因数分解里，学生学会通过分解与拆解大数字，将大数
字分解成最小的质数组成，从而理解乘法和除法的基本思想。
比如，将90分解质因数，可以写成2X3X3X5，其中最小的质因数是2，最大的质因数是5，90=2X3X3X5，即90可以分解为2与3与5的乘积。
90可以看做是2与3与5的共同乘积，也可以看做是2个因子组合而成的最小因子，我们可以知道，它由质因数构成的最小因子的乘积组成。
分解质因数两种方法-概述说明以及解释
分解质因数两种方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，质因数分解是将一个正整数表示为若干个质数的乘积的过程。
质因数分解是数论中的一个重要概念，它在代数、几何等领域中都有广泛的应用。
对于给定的正整数，有两种常用的方法可以进行质因数的分解，分别是质因数分解法和试除法。
质因数分解法是通过将给定的正整数不断地除以最小的质数，直到无法继续整除为止，并将得到的质因数进行乘积操作，得到最终的结果。
这种方法的基本原理是利用质数的特性，任何一个正整数都可以表示为一系列质数的乘积，而且这个质因数分解的结果是唯一的。
具体步骤包括先从最小的质数2开始，如果给定的正整数能够整除2，则将其不断地除以2，直到无法整除为止；接着再用3进行判断，再用5进行判断，以此类推，一直到给定的正整数无法被任何质数整除为止。
试除法是通过不断地用可能的质数去除给定的正整数，然后判断是否可以整除来进行分解的方法。
其基本原理是，如果一个正整数能够被某个数整除，那么这个数就一定是该正整数的一个质因数。
具体步骤包括从最小的质数2开始，不断地用质数去除给定的正整数，如果能够整除，则将其作为一个质因数，并将被除数更新为除法得到的商，继续进行下一轮的试除操作，直到被除数无法再被除尽为止。
这篇文章旨在详细介绍这两种质因数分解的方法，并比较它们的优缺点。
通过对两种方法的比较，我们可以更好地理解质因数分解的原理和操作过程，进而在实际问题中应用质因数分解来解决一些数学难题。
无论是质因数分解法还是试除法，都是数学中非常重要且有用的工具，对于培养数学思维和解决实际问题具有重要的意义。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构部分旨在介绍本文的整体框架和组成部分，以便读者能够清晰地理解文章的内容和逻辑结构。
本文共包括三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分（Chapter 1）主要包括概述、文章结构和目的。
- 概述（Section 1.1）将简要介绍质因数分解问题的背景和重要性。
分解质因数1
2 42 3 21 7
42=2×3×7
2 60 2 30 3 15 5 60=2×2×3×5
分解质因数：把一个合数用质因数相乘 的形式表示出来，叫做分解质因数。
用短除法把一个合数分解质因数，先 用一个能整除这个合数的质数（通常从最 小的开始）去除，得出的商如果是质数， 就把除数和商写成相乘的形式；得出的商 如果是合数，就照上面的方法继续除下去， 直到得出的商是质数为止，然后把各个除 数和最后的商写成相乘的形式。
一个合数可以写成几个质数相乘的形式。其 中每个质数都叫做这个合数的质因数。 例如：4=2×2 15=3×5 30=2×3×5 我们可以这样分解： 30 =2×3×5 或 者 2 15 3
2 30 3 15 5
30=2×3×5
5
我们通常用短除法来分解质因数。
例：把15、42、60分解质因数。 3 15 5 15=3×5
3个3个的装能正好装完吗？
56不是3的倍数，不能正好装完。 2个2个的装能正好装完吗？ 56是2的倍数，能正好装完。 5个5个的装能正好装完吗？
56不是5的倍数，不能正好装完。
两人一组，一人给出大于2的偶数，另一人 找出和为此数的两个质数。
10 12
14 8 ……
3＋7=10 5＋7=12
3＋11=14 3＋5=8
做一做： 把28、40分解质因数。
2 28 2 14 7 2 40 2 20 2 10 5 40=2×2×2×5
28=2×2×7
猜一猜：
质数 质数
我们两个的和是20。 我们两个的和是10。 我们两个的积是91。 我们两个的积是21。
7和13 3和7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
？
我是最小的合数。 我是最小的质数。
第八 九讲分解质因数和规律性
第八九讲分解质因数和规律性第八讲分解质因数专题分析：（1）、一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如：36=2×2×3×3.（2）.一个大于1的自然数N的因数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。
例如，2352=2×2×2×2×3×7×7，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同因数有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）。
有许多数学题用分解质因数的方法能很快地找出答案。
特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但他们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法解。
因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的问题。
例（1）、写出1～100中的所有质数，并将111111分解质因数。
例（2）、某四年级学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910。
他的年龄是多少岁？他得了第几名？他的成绩是多少分？例（3）、72有多少个不同的因数？165有多少个不同的因数？例（4）、下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=19951例（5）、三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？例（6）、把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。
例（7）、有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
例（8）、把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。
2第十二讲规律性问题【知识要点】1. 求解规律性问题的策略是：从简单情形入手，通过观察已知（特殊）的数、式或图形，类比出一般性规律（结论），最后按题目的要求完成解答。
分解质因数法
分解质因数法
分解质因数的四种方法是：1、相乘法；2、短除法；3、因式分解法；4、提取公因式法。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如30=2×3×5 。
分解质因数只针对合数。
1、相乘法：
译成几个质数相加的形式（这些不重复的质数即为为质因数），实际运算时可以使用逐步水解的方式。
如：36=2*2*3*3 运算时可逐步分解写成36=4*9=2*2*3*3或3*12=3*2*2*3
2、长乘法：
从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
分解质因数的算式的叫短除法。
3、因式分解法：
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
4、抽取公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
第九讲分解质因数
第九讲 分解质因数质数：一个大于1的数除了1和它背身之外，没有别的因数，这个数就做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=11y a ×22y a ×33y a ×......×n yn a ，其中1a 、2a 、3a 、4a 、......n a ，都是合数N 的质因数，且1a <2a <3a <4a <......<n a 。
求因数个数的公式：P=)1()1()1()1(321+⨯⨯+⨯+⨯+n y y y y 。
例一：求135因数的个数。
分析：首先对l35分解质因数： 3 1353 45 3 155所以l35=3×3×3×5。
其次，把l35的质因数作各种乘积的组合：(1)一个质因数构成的因数有：3、5，共2个；(2)两个质因数构成的因数有：3×3、3×5，共2个；(3)三个质因数构成的因数有：3×3×3、3×3×5，共2个；(4)四个质因数构成的因数有：3×3×3×5，只有1个；(5)单位1。
合计共有因数：2+2+2+1+1=8(个)也可以：l35=1×135 135=3×45 135=5×27 135=9×15或可由135=33×5，套用求因数的个数公式：P=(3+1)×(1+1)=8(个) 因此：135的因数共有8个，分别是：l ，3，5，9，15，27，45，135。
练习一1．写出852的所有因数。
分解质因数
3、现在有语文书42本，数学书126本，外语 书98本，平均分成若干堆，每堆中三种课 本的数量分别相等。最多可以分成多少堆？
4、两个自然数的和是432，它们的最大公约 数是36，求这两个数。 5、把36枝笔和40本练习本平均奖给几个三 好学生，结果多出一枚笔，练习本还缺两 本。共有几个三好学生？
1、如果已知几个数的积，要求这几个数，可以先把原数 分解质因数，然后再根据题目的要求，将这些质因数分 解合成符合条件的几个数； 2、如果给出几个数，要将它们分成几组，使每组中的几 个数的乘积相等，通常要先把这几个数分别分解质因数， 然后对所有的质因数进行分组，使得每组中各个质因数 的个数对应相等； 3、如果要求一个合数的约数共有多少个，可以把这个合 数分解质因数，然后将相同质因数的个数加上1再相乘 即可； 4、要求一个连乘算式的积的末尾有几个连续的0，可以分 别找出算式各乘数中所含有的质因数2和5各有多少个， 取其最少的个数就是乘积末尾0的个数。
园林工人要加工一种盆景，第一批加
工303盆，第二批加工179盆，第三批 加工535盆。各批都分给工人加工， 分别剩余3盆、4盆和10盆。一共有多 少工人参加加工？
甲、乙两个数的乘积是3072，它们的
最大公约数是16，求这两个数。 ？
有很多种方法能将2004写成10个大于0
的自然数（可以相同，也可以不相同） 的和，对于每一种分发，这10个数都 有相应的最大公约数。那么这些最大 公约数中最大值是多少？？
4、一条公路由A地经B地到C地，已知AB之 之间相距780米。现在路边种树，BC间相距 600米，要求相邻两棵树之间的距离相等， 而且在B地以及AB、BC的中点上都要种一 棵。那么相邻两棵树之间的距离最多有多 少米？
分解质因数的方法
分解质因数的方法分解质因数是数学中一个非常基础的概念，也是解决数论和代数问题中常用的方法之一。
通过分解质因数，我们可以将一个数分解成若干个质数的乘积，这对于简化计算和解决数学问题都具有重要意义。
接下来，我将介绍几种常用的分解质因数的方法。
方法一，试除法。
试除法是一种最基本的分解质因数的方法。
首先，我们将待分解的数进行因数分解，然后从最小的质数开始，依次试除，直到无法再分解为止。
例如，对于数字60，我们可以先将其分解为230，然后继续分解30为215，再分解15为35，此时无法再分解，因此60的质因数分解为2235。
方法二，分解树。
分解树是一种直观清晰的分解质因数的方法。
我们可以先将待分解的数写在树的根节点上，然后从最小的质数开始，依次试除，将得到的商写在树的下一层节点上，直到无法再分解为止。
最终，将所有的质数乘积即为原数的质因数分解。
这种方法在分解大数时尤其有用，可以清晰地展现出数的分解过程。
方法三，公因式分解。
公因式分解是一种将多项式分解为若干个公因式的乘积的方法，但同样适用于分解质因数。
我们可以将待分解的数进行因数分解，然后将其中的公因式提取出来，形成质因数的乘积。
这种方法在解决多个数的公共质因数时尤其有效，可以简化计算过程。
方法四，辗转相除法。
辗转相除法是一种用于求两个数的最大公因数的方法，但同样可以用于分解质因数。
我们可以先用辗转相除法求出待分解数的最大公因数，然后将待分解数除以最大公因数得到一个新的数，再对这个新的数进行分解，直到无法再分解为止。
这种方法在分解大数时尤其有用，可以简化计算过程。
总结：分解质因数是数学中一个重要的基本概念，掌握好分解质因数的方法对于解决数学问题非常有帮助。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行分解，以便更快更准确地得到质因数分解结果。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握分解质因数的方法，提高数学解题能力。
分解质因数
分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。
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p1,p2,…,pn为质数，
k2 k1 N
1 ＜ kn＜kn-1＜…＜ k2＜ k1＜N
Kn必为质数
定 理 证 明
惟一性 N＝p1 p2…pn-1 pn＝ q1 q2…qm-1 qm
假设n≠m，不妨设n＜m，
p1 p2 … pn-1 pn＝ q1 q2 … qn-1 qn qn＋1 … qm
定 理 推论
360＝3×3×2×2×2×5 360＝3×2×3×2×2×5 ＝ 2 3× 3 2× 5
推论：任何大于1的整数N可以惟一地分解为 N＝(p1)α1 (p2) α2 …(pk) αk 标准分解式
其中，P1 ，p2 ，…， pk是由小到大排列的质因数， α 1，α 2，…，α k是正整数。 注：标准分解式中的质因数排列：从左往右，由小到大
算术基本定理
数的次序，这种分解是惟一的。
对任一大于1的整数N，存在质数
存在性 可分解性
p1，p2 , …, pn，使得N＝ p1p2…… pn
若存在质数q1，q2 , … , qm， 使得N＝ q1q2… qm，则m＝n，
适当调整次序后可使qi＝pi
（i＝1，2，… ，n）
惟一性
定 理 证 明
分 解 质 因 数
例：把12705分解质因数
质因数→ 3
质因数→
12705 5 4235 847
→商为合数 →商为合数
→商为合数 →商为质数
质因数→ 7
质因数→ 11 121 11
12705＝3×5×7×11×11 ＝3×5×7×112
短除法： 用由小到大的质数去试除，直到商为质数。注：来自解质因数，一般要写成标准分解式
练 习 二
判断正误。对的画√，错的画× ，并找出错误的原因。 1、3和5都是质因数
×
× 3、只有合数才能分解质因数 ×
2、1是任何正整数的质因数
4、252的质因数的标准分解式是：252＝2×3×7×3×2
5、一个正整数的质因数都是它的约数 6、一个正整数的约数都是它的质因数 求一个数的约数的方法： 先分解质因数，质因数组合相乘得到约数
存在性
N是合数
N是大于1的整数 定理得证
N是质数
可分解性
定理1 N＝p1k1 (p1为质数，1＜k1＜N）
k1是合数 定理1 k1=p2k2
k1是质数
定理得证
N＝p1p2k2 (p1，p2为质数，1＜ k2＜ k1＜N）
k2是合数 定理1 k2=p3k3
k2是质数
定理得证
N＝p1p2…pn-1pnkn
练 习 一
用短除法把下列数分解质因数
1980
21600
65340389 =997×65537
用计算机把两个100位整数相乘，很快可以完成。而分解这个 相乘所得的200位整数，即使用现在最好的计算机也要几万年。 我方编码，只需做乘法，轻而易举； 对方破译，需要分解质因数，难上加难。 国际上通用的RSA公钥方案就是基于算术 基本定理和分解质因数的一种编码方案。
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
4
6
8
9
10
12
14
15
16
18
复
2 3 5 7 11
习
13
质数（素数）一个大于1的整数，只有1和它本身两个正约数
合数 一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有别的正约数
4 6 8 9 10 12
定理1 大于1的任何整数，至少有一个约数是质数 大于1的任何整数，至少有一个因数是质数
探
尝试：对下列数分解质因数。
36 ＝2×2×3×3 50 ＝2×5×5
究
问题2：大于1的任何整数都可以分解质因数吗？
42 ＝2×3×7 17 ＝17
53 ＝53 规定：把一个质数分解质因数就是用这个
质数本身表示。
任一大于1的整数，都可以分解为质数
的乘积（分解质因数），且如果不计因
欧几里德(古希腊） 公元前3世纪
P1＜p2 ＜ …＜pn-1＜pn n q1＜q2＜…＜qn-1＜qn n ＜…＜qm P1＝q1， p2＝q2 ， ……，pn＝qn
p1 p2…pn-1 pn＝ q1 q2…qn-1 qn qn＋1… qm
1＝ qn＋1… qm
这是不可能的！
qn＋1，…， qm
的结果总是惟一的。
都是质数，
m＝n，不计因数的次序，分解质因数
观察
思考
问题1：大于1的整数，至少有一个因数是质数, 其他的因数也是质数吗？
18 3 6
3 2 3 18 = 3 × 2 × 3 3，2叫18的质因数 分解质因数
概
质因数
念
18 = 3 × 2 × 3 3，2叫18的质因数
相对于大于1的整数，既是这个数的因数，也是质数。
分解质因数
把一个数表示成质因数乘积的形式。
（5）12人一组 (6) 20人一组
(7) 30人一组。七种分法。
小结
两个概念
•质因数
•分解质因数 任一大于1的整数，都可以分解为质数
算术 基本定理
的乘积（分解质因数），且如果不计因
数的次序，这种分解是惟一的。
分解质因 数的基本方法
短除法
作业
P62 第6，7，8题 分析小学数学教材第十册中《分解质因数》的 章节，试设计一节课，向小学生讲述－－分解质因数。
×
√ ×
练 习 三
五年级二班有学生60人，如果将他们平均分成若干小组，
使每组人数都是偶数，共有多少种分组方法？
分析：寻找60的约数 解:把60分解质因数 约数中的偶数 60=2×2×3×5
约数中的偶数 2，4，6，10，12，20，30 （1）2人一组 （2）4人一组 （3）6人一组 （4）10人一组