6.2 变形体系的虚功原理

将有关W 的计算式（ ） 将有关 外和W变的计算式（e）和（c）代入式（6-6）， ）代入式（ ）， 则平面杆件结构的虚功方程可表示为
平衡力系
∑ F ∆ = ∑ ∫ Mdθ + ∑ ∫ F
P
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N
du + ∑ ∫ FQ dv
（6-7） ）
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须注意的是：这里（ ）中的W 须注意的是：这里（2）中的 变与（1）中的 内是有 ）中的W 区别的。（ 中的W 。（1） 区别的。（ ）中的 内是指所有微段上内力在截面的 总位移（包括刚体位移和变形位移两部分） 总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚 功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（ ） 功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（2）中的 W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功 的总和。 的总和。 比较（ ）、（ ）、（b）两式， 比较（a）、（ ）两式，可得 W外=W变 就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构， 就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用 于板、壳等非杆件结构。 于板、壳等非杆件结构。
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由此可见， 由此可见，必有 W内=0 因此 W总=W外 （a） ）
(2)按刚体虚功与变形虚功计算（从力系的平衡条件考虑） 按刚体虚功与变形虚功计算（从力系的平衡条件考虑） 按刚体虚功与变形虚功计算 对微段的虚位移则区分为刚体虚位移和变形虚位移两类
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6.2.2 广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功， 对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示， 独立无关的因子的乘积来表示，即
W = FP ∆
式中， 是做功的与力有关的因素，称为广义力， 式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可 以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。 是 以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。∆是 做功的与位移有关的因素， 做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义 位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、 位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、 相对角位移等。 相对角位移等。
W变 = ∑ ∫ dW变 = ∑ ∫ Mdθ + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ FQ dv
(c )
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的 总和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。 总和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
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6.2.1 功、实功与虚功
实功
1 W11 = FP1 ∆11 2 F
FP1 1 2
P
FP1
∆11
θ21
3、常力所做的虚功 、 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度 变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。 变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。
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o
∆11
∆
6.2.1 功、实功与虚功 FP1在∆12上做的功
FP1 (先) 先
∆11 ∆12
W12 = FP1 ∆12
M2(后) 后
θ21 θ22
FP1 1 2
1
2
M2 1 2
∆12
W12是力 P1在另外的原因（M2）引起的位移上所做 是力F 在另外的原因（ 的功，故为虚功。所谓“ 的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功 的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力， 的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力， 故在计算式中没有系数“ 故在计算式中没有系数“1/2”。 。
3、关于原理的说明 、 1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变 ）在上面的推证过程中， 形的连续条件。所以， 形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方 程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形 ）虚功方程是个“两用方程” 鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此， 式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果力 系是给定的，则可虚设位移， 系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系 ） 的虚位移方程，它代表力系的平衡方程， 的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力 系中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系， 系中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系， 式（6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调 ）便称为变形体系的虚力方程， 方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。 方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章 即主要介绍虚力方程及其应用。 即主要介绍虚力方程及其应用。
位移状态
dW总=dW刚+dW变 由刚体虚功原理， 由刚体虚功原理，可知 于是， 于是，微段上总的虚功 对于全结构，有 对于全结构， 因此， 因此，有 dW刚=0 dW总=dW变
∑ ∫ dW
总
= ∑ ∫ dW 变
W总=W变
(b)
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量 、 由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ 以及分布荷载q在这些变形上所做虚功为高阶微量而可 以及分布荷载 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可 略去， 略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
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对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（ ） 对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5） W=FP∆计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在 计算， 计算 故所有外力（包括荷载和支座反力） 虚位移上所做虚功的总和为 W外=ΣFP∆ Σ （e） ）
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FR1
FP
M ds
q ds
FR2 q M FN FQ A ds M+dM
FR3 B A C C1 ds D B1 A1 C2 D2 dθ
FN+dFN FQ+dFQ
D1
γ0
dv
力状态
ds
γ0
du
ds
ds
微段总的虚功 dW总=dW刚+dW变
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6.2.3 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是， 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移， 束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零 。
6.2.4 变形体的虚功原理
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6.2.4 变形体的虚功原理 或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（ 或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于 虚变形能）。 虚变形能）。
W外 = W变
2、关于原理的证明 、
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3、关于原理的说明 、 3）在推证式（6-6）时，没有涉及到材料的性质。因此， ）在推证式（ ） 没有涉及到材料的性质。因此， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问 也适用于非弹性问题。 题，也适用于非弹性问题。 4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。 4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体 体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移， 体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形 虚功W ，于是式（ ） 虚功 变=0，于是式（6-6）成为
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dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用， 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为 它们作用在截面AB上 因而当微段变形时， 它们作用在截面 上，因而当微段变形时，它们并不做 总之， 功。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚 位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。 位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。对于平 面杆系有
(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑） 按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑） 按外力虚功与内力虚功计算
FR1 FP M ds FR2 q M FN FQ A ds M+dM FN+dFN FQ+dFQ FR3 B A C C1 ds D B1 A1 C2 D2 dθ q ds
1、关于原理的表述 、 变形体系处于平衡的必要及充分条件是， 变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚 束条件的任意微小虚位移， 位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位 位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位 上所做虚功总和。 移上所做虚功总和。
6.2
变形体系的虚功原理
6.2.1 功、实功与虚功
1、功 、 功包含了力和位移两个因素。 功包含了力和位移两个因素。 2、静力荷载所做的功 、 静力荷载， 静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地 增加到最终值，结构在静力加载过程中， 增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内 力始终保持平衡。 力始终保持平衡。 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。
D1
γ0
dv
力状态
γ0
ds
将微段ds上的作用 将微段 上的作用 力区分为外力与内 力,微段总的虚功 微段总的虚功
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du
ds
ds
位移状态
dW总= dW外+dW内
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整个结构的总虚功为
∑ ∫ dW
或简写为
总
= ∑ ∫ dW外 + ∑ ∫ dW内
W总=W外+W内 由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对 出现的，它们大小相等，方向相反； 出现的，它们大小相等，方向相反；又由于虚位 移是光滑的、连续的， 移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧 密贴在一起的，而且有相同的位移，因此， 密贴在一起的，而且有相同的位移，因此，每一 对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。 对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。
W=0
（6-8） ）
刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。 刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。
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