选修4-4参数方程(曲线的参数方程)
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x 1 2cos , ( 为参数) 解：由已知圆的参数方程为 y 2 2sin .
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
x 3t 已知曲线C的参数方程是 y 2 t 2 1 （t为参数）
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到1m）
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
2 2 .
∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
2 2 AM AP ∴(x-12, y)= (4 cos 12, 4sin ) 3 3
8 x 4 cos , 3 ( 为参数) y 8 sin . 3
.
因此，点M的轨迹的参数方程是
(θ为参数)
3 2 练习： 判断点A( 2,0), B( 2 , ), C (1,3)是否在曲线 2 x 2 cos (为参数,0 2 )上, 若在曲线上, 求 y 3 sin 出它对应的参数值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
第二讲：参数方程 曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量， 投放点 y表示物资距地面的高度，
x=100t=1000,
t=10, 投放点
y=gt2/2=10×102/2=500m.
？
救援点
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
x 1 ( 2 )t 2
代入第二个方程得: y=(x-1)2/4
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t y 2 12t
例1:
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所 以M1在曲线上．
5 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1
6 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
y (1)求 的最小值与最大值 x
(2)求x－y的最大值与最小值
例6 参数法求轨迹
已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹. AQ:QP=2:1
例7 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程： 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程； 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
A(2，7)； B(1/3, 2/3) 3
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x 1 2t 已知曲线C的参数方程是 y at 2 (t为参数，a R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？
救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有 y 什么关系？ t时刻，水平位移为 500 2/2， y=500-gt x=100t，离地面高度y，即： x 100t , 1 2 y 500 gt . 2 o 物资落地时，应有y=0， x 即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
(1) (x-2)2+y2=9
b
v O
P r y x
a
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
上的点是 ( B )
D (1, 3)
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点 的位置呢？
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为
2 2 2
参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x sin 2 5下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
的最大值为( D ) A 1
2 2
B 2
C 3
D
3 3
2
3 圆 x y 4Rx cos 4Ry sin 3R 0( R 0) 的圆心的轨迹是( A ) A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
x 2cos 1 ( 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线 y 2sin 1
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
练习
( x 5) ( y 4) 的最大值为( A )
2 2
A．36
B．6
C．26
D．25
y 百度文库 x cos 2 2 点P(x, y)是曲线 y sin ( 为参数)上任意一点，则 x
y
M(x, y) r
o
M0
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
x y cos t ,sin t r r
即
x r cos t (t为参数) y r sin t
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos ( 为参数) y r sin
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn) 的轨迹方程; (2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方 程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程. 例5 最值问题 已知P(x, y)圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
60 8(3 cos 4 sin )
60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
x 3 cos , 在例1中，由参数方程 y sin . ( 为参数)
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
x 3 2 cos y 4 2 sin
2 2
2
2
PA PB
(4 2 cos )2 (4 2 sin )2 (2 2 cos )2 (4 2 sin )2
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
x 2 y 2 的最大值为
2 2
5 已知点P是圆 x y 16 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹． 解：设点M的坐标是(x, y), xOP 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).
8 8 x 4 cos , y sin 3 3
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
x 3t 已知曲线C的参数方程是 y 2 t 2 1 （t为参数）
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到1m）
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
2 2 .
∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
2 2 AM AP ∴(x-12, y)= (4 cos 12, 4sin ) 3 3
8 x 4 cos , 3 ( 为参数) y 8 sin . 3
.
因此，点M的轨迹的参数方程是
(θ为参数)
3 2 练习： 判断点A( 2,0), B( 2 , ), C (1,3)是否在曲线 2 x 2 cos (为参数,0 2 )上, 若在曲线上, 求 y 3 sin 出它对应的参数值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
第二讲：参数方程 曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量， 投放点 y表示物资距地面的高度，
x=100t=1000,
t=10, 投放点
y=gt2/2=10×102/2=500m.
？
救援点
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
x 1 ( 2 )t 2
代入第二个方程得: y=(x-1)2/4
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t y 2 12t
例1:
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所 以M1在曲线上．
5 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1
6 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
y (1)求 的最小值与最大值 x
(2)求x－y的最大值与最小值
例6 参数法求轨迹
已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹. AQ:QP=2:1
例7 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程： 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程； 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
A(2，7)； B(1/3, 2/3) 3
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x 1 2t 已知曲线C的参数方程是 y at 2 (t为参数，a R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？
救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有 y 什么关系？ t时刻，水平位移为 500 2/2， y=500-gt x=100t，离地面高度y，即： x 100t , 1 2 y 500 gt . 2 o 物资落地时，应有y=0， x 即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
(1) (x-2)2+y2=9
b
v O
P r y x
a
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
上的点是 ( B )
D (1, 3)
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点 的位置呢？
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为
2 2 2
参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x sin 2 5下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
的最大值为( D ) A 1
2 2
B 2
C 3
D
3 3
2
3 圆 x y 4Rx cos 4Ry sin 3R 0( R 0) 的圆心的轨迹是( A ) A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
x 2cos 1 ( 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线 y 2sin 1
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
练习
( x 5) ( y 4) 的最大值为( A )
2 2
A．36
B．6
C．26
D．25
y 百度文库 x cos 2 2 点P(x, y)是曲线 y sin ( 为参数)上任意一点，则 x
y
M(x, y) r
o
M0
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
x y cos t ,sin t r r
即
x r cos t (t为参数) y r sin t
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos ( 为参数) y r sin
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn) 的轨迹方程; (2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方 程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程. 例5 最值问题 已知P(x, y)圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
60 8(3 cos 4 sin )
60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
x 3 cos , 在例1中，由参数方程 y sin . ( 为参数)
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
x 3 2 cos y 4 2 sin
2 2
2
2
PA PB
(4 2 cos )2 (4 2 sin )2 (2 2 cos )2 (4 2 sin )2
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
x 2 y 2 的最大值为
2 2
5 已知点P是圆 x y 16 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹． 解：设点M的坐标是(x, y), xOP 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).
8 8 x 4 cos , y sin 3 3