两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版本

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案

自主梳理1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π

2，k∈Z)

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中

⎩⎪

⎨

⎪⎧cos φ＝，

sin φ＝，

tan φ＝

b

a，

角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）．

【基础自测】

1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ()

A.

1

2 B.

3

3 C.

2

2 D.

3

2

2．已知cos⎝⎛⎭⎫

α－

π

6＋sin α＝

43

5，则sin⎝

⎛

⎭

⎫

α＋

7π

6的值是 ()

A．－

23

5 B.

23

5C．－

4

5 D.

4

5

3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 ()

A.

π

2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ()

A.⎝⎛⎭⎫

π

3，

π

2 B.⎝

⎛

⎭

⎫

π

3，π

C.⎝⎛⎭⎫

π

3，

4π

3 D.⎝

⎛

⎭

⎫

π

3，

3π

2

5．已知向量a

r

＝(sin x，cos x)，向量b

r

＝(1，3)，则|a

r

＋b

r

|的最大值为()

A．1 B. 3 C．3 D．9

【考点巩固】

探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值)

例

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1 求值：(1)

2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(

π

6

＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π

6

＋θ)．

探究点2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)

例

2

已知0<β<π4<α<3π4

，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3

5， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝5

13，求sin(α＋β)的值．

变式迁移 已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12

. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β

2sin αsin β＋cos (α＋β)

的值．

探究点3 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)

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例

3

已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2

10

.

(1)求sin α的值； (2)求β的值．

变式迁移 若sin A ＝55，sin B ＝10

10

，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．

【课后自主检测】

1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435

，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35

D.45

2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233

，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23

3．已知向量a r ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b r ＝(4,4cos α－3)，若a r ⊥b r

，则sin ⎝

⎛⎭⎫α＋4π3等于 A ．－34 B ．－14 C.34 D.1

4

4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )

A ．x ＝5π4

B ．x ＝3π

4

C ．x ＝－π4

D ．x ＝－π

2

5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A.π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23

π 6．设sin α＝35 ⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝1

2

，则tan(α－β)＝________. 7．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π

2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．

8． (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－5

13

.求sin α；