角的平分线的性质(2)
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
A N
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD交于G。求证：源自（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。 A
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
12.3.2角平分线的性质(2)
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
A
D
C P O E B
P到OA的距离 角平分线上的点 P到OB的距离
不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
再 见
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. A
D M 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， 结论：三角形的三条角平分线交于 C B E 一点，并且这点到三边的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理，PE=PF. 想一想，点P在∠A的平分线上 ∴PD＝PE=PF. 吗？这说明三角形的三条角平分线 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 有什么关系？ N P F
课堂练习
角平分线的性质(2)最新版
《角的平分线的性质(2)》教学设计课件
证明与表述
命题的条件是：角的内部的点到角的两边距离相等. 命题的结论是： 这个点在该角的平分线上. 你能画出图形，并用符号表示已知条件吗？
A
已知：PD =PE，
D
PD⊥OA，PE⊥OB， 垂
C 足分别为D，E.
P
求证：点P在∠AOB
O
E
B 的平分线上.
证明与表述
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
D
在Rt△PDO和Rt △PEO中，
OP=OP
∵ PD=PE
O
∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO（HL）
∴∠AOC = ∠BOC ∴点P在∠AOB的平分线上.
A
C P
E
B
证明与表述
角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上.
O
A
S
B
思考与猜想
根据角平分线的性质，点P建在∠AOB的平分 线上一定能满足它到边OA和边OB的距离相等.
到猜∠想A：OB“两角边的距内离部相到等角的的点两在边∠距A离OB相的等平的分点线在上 吗角？的平分线上”.
O
A
S
B
证明与表述
你能证明猜想“角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上”吗？
(2)点P也在∠A的角平分线上.
巩固与提升
（1）证明：过点P作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC，CA，垂 足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE， 同理可得：PE=PF， ∴ PD=PE=PF， 即：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
123.1角平分线的性质(2)
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质 (2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
04
教科书习题12.3第4、5题．
01
布置作业
02
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
八年级 上册
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
A
O
B
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD， BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分 线．你能说明它的道理吗？
B
A
E
D
C
解析、应用与拓展
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
例 如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点 P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
A
B
C
P
M
N
本节课学习了哪些主要内容？
01
本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？
02
角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这一性质时要注意哪些问题？
A
B
D
C
E
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
如何利用尺规作角的平分线 ？
(2019版)角的平分线的性质(2)
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛
12.3 角的平分线的性质(2)
典例解析
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三
边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂想平足一分分想线别，上为点吗？PD在，这∠说EA，明的F. ∵BM是△AB三C角的形角的平三分条线角平，分 点P在BM上，线有什么关系？
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC． 求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DB DC
∴BREt△ CBFDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线.
※角的平分线的判定 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系： 该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴【P归D纳=P】E三=P角F.形即的点三P到条三角边平A分B线，相BC交，于C一A的点距，离并相且等这.一点到三条边的距离 相等.
角平分线的性质(2)
11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。
2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。
【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。
(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。
变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。
四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。
角的平分线的性质2自学稿
课题：11.3角的平分线的性质（2）使用说明：先预习课本第19页和21页，然后做完学案。
【学习目标】1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个定理解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功.教学重点：角平分线的判定及其应用.教学难点: 灵活应用两个定理解决问题.【学习过程】一、自主学习1、根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？ 2、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？二、探求新知求证：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
-----角的平分线的判定分析：这个命题的题设是： ，结论是 。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）已知：求证：证明：三、学以致用1、如图CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2P N M C BA2、如图△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，（1）求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
（2）思考：点P 在∠A 的平分线上吗？为什么？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）四、合作探究比较角平分线的性质与判定五、能力提升1、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）A 、三条中线的交点B 、三条高线的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点2、练习本完成：课本22页练习题； 23页第6题； 27页第6题,第11题。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ； 求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
C
证明： 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
C ∴EB = FC．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A N
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
C
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A ND
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
作业
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线． 求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC， 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别 是M、N．求证：PM = PN．
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找 一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形， 并写出画法）
角的平分线的性质 (2)
角的平分线的性质【学习目标】：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤 2、理解角平分线的判定及运用 【学习重点】：角平分线的判定及运用【学习难点】：角平分线的性质、判定的灵活运用 〖学习过程〗：〖一、创设情境，明确目标〗如图-①：要在S 区建一个集贸市场，使它到公路a 与铁路b的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺1：20 000），〖二、自主学习 指向目标〗 ⑴、自学导读阅读创设情境与例题中的一段话并思考回答下列问题： ①、角平分线上的点有什么性质？②、角平分线的性质定理的逆命题是什么？ ⑵、自我评价①、完成自学导读中的问题；②、如图-②：O 为码头，A 、B 两个灯塔与码头的距离相等，OA 、OB 与海岸线，一轮船离开码头计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 、B 的距离相等，轮船在 ；（填“在”或“不在”）∠AOB 的平分线上 ③、如图-③：P 是∠AOB 内的一点，PA ⊥OA 于A 点，PB ⊥OB 于B 点，且PA=PB ，连结OP 、AB 交于点E ，若∠APO=700，则∠AOB= ；若OB=10，则OA= ；〖三、合作探究 达成目标〗探究主题一： 角平分线判定定理：①、学生回顾角平分线性质定理并说出其逆命题，逆命题是： ②、小组讨论：画图、写出已知、求证并加以证明已知如图-④：PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，PD=PE 求证：点P 在∠AOB 的平分线上；结论：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上推理形式：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD=PE∴ 点P 在∠AOB 的平分线上[点拨升华] 运用此定理的关键是要抓住关键词“角的内部”、“距离相等”探究主题二：定理的应用例1、如图-⑤，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，连接AP ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等变式练习：①、如图-⑥点P 是△ABC 内的一点，P D ⊥BC 于点D ，P E ⊥AC 于点E ，P F ⊥AB 于点F ，PD=PE ，则点P 在 的平分线上；②、如图-⑦所示：△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P ，求证：点P 到三边AB 、AC 、BC 所在的直线的距离相等；[点拨升华] 如果要证明角的内部一点到角的两边的距离相等，应证这个点在此角的平分线上是常用的方法之一；〖四、总结梳理 内化目标〗①、角的平分线的性质定理： ； ②、角的平分线的判定定理： ；〖五、达标检测 反思目标〗⑴、到三角形三边距离相等的是（ ）A B C 图-⑤ M NP B CD E P 图-⑦ a b图-① 图-③ B PA EO BE O DP A图-④A B C E F D 图-⑥PBO AP 图-②A ：三条中线的交点；B ：三条角的平分线的交点C ：三条高所在的直线的交点；D ：不能确定；⑵、如图-⑧为了促进当地的旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村P ，要使这个度假村P 到三条公路的距离相等，则P 点有 处可供选择，请你作出点P 可能的位置；⑶、如图-⑨已知PA ⊥ON 于点A ，PB ⊥OM 于点B ，且PA=PB ，∠MON=500，∠OPC=300，则∠PCA= ；⑷、如图-⑩，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠BAO ＝∠CAO⑸、如图-（11），AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF ，EF 与AD交于点G ，AD 与EF 垂直？证明你的结论。
角平分线的性质(2)
A
D F
N B
P
E
M C
启示：“与角平分线”有关的辅助线的作法：
课堂检测：2+0+3
1、在MN上求作一点P，使P到OA,OB的距离相等。
A M O
N
B
2、已知：CD⊥AB,BE ⊥AC,BE、CD相较于O,OB=OC. 求证：∠1= ∠2
布置作业
教科书习题12.3第3、7题．
A
1 2
D O B
E
C
【流程】独立思考----个人展示
D
C A
看谁做得最规范，说得最准确！
P B
E
【流程】独立思考—自由展示（10分钟）
【展示】—最先举手的同学展示
如图，∠B=∠C=900，E是BC的中点，DE平分∠ADC。 求证：AE是∠DAB的平分线 D C
E
A
B
课堂小结（2+0+2）
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别 是什么？ （3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？
探索、证明角平分线的判定
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什 么结论，这个新结论正确吗？ 角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
A
你能证明这个结论的正确吗？
M Q
O
N
B
这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
当堂检测（3+3+3）
1．判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( X ) A
角的平分线的性质2 教案
11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。
【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。
（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。
引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。
（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。
【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。
角的平分线的性质(二)
角的平分线的性质（二）教学目标1、角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：1．课本练习．2．课本习题强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业1、课本习题2、《新课堂》。
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复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。 求证：∠BDP=∠CDP。
啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着一脸漠然の陆羽,用半开玩笑の轻松语气道,“陆陆,这玩笑开不得,看,有人生气了.”陆羽转头一看,神情冷淡の柏少华正站在她身边不远,目光清冷地盯着自己.“我没说过,是她自己说の.”她冷静地解释一句.康荣荣忙点头,“确实是我说の,对不起,我们只是开个玩笑,你们别当真.” 有了之前の那番话,如今不管她承不承认,在大家心里已经认定是陆羽说の.这一点康荣荣清楚,陆羽也明白,所以多说无益.柏少华拄着拐杖慢慢来到她跟前,在他冷漠の注视下,不知怎の,一股委屈涌上心头,陆羽秀眉轻颤,眼眶微热.为这事哭太糗了.她忙收回目光准备离开,一只长臂挡住她の 路,随即腰间被两只手掌箍住往上一提,她已经坐在栏杆边.柏少华站在她跟前,与她目光平衡对视,搂着她の腰,一手抚上她の脸庞抹去眼底の委屈.“我知道不是你,别哭.”温声说罢,手掌伸至她の后脑勺,倾身上前吻住她紧抿の唇瓣.这次不再是轻尝,而是尽可能地辗转亲近.紧密相贴の身躯, 能清晰感受对方の心在为自己而狂跳,逐渐衍生出一种信赖の安全感来.唇上微凉の触感,还有他逐渐恢复温和の眼神,让满心委屈の陆羽全身暖融融の.双手不由自主地揪紧他胸前の衣衫,安心接纳他给予の温柔与甜蜜.为了安抚她,他の拐杖被随手扔在一边,两人紧密拥抱深情缠吻舍不得分 开.看着这一幕,康荣荣像被人抽了一鞭似の神色惨然,四肢无力,还好身边有人扶着她.赖正辉看着已经坦露心迹の一对,再看看怀中人儿伤心欲绝の眼神,心里既羡慕又充满苦涩.“华华,走吧.”两人离开,留下一对有情人在那里毫无避忌享受甜蜜时光,偶有路人从旁经过纷纷捂嘴偷笑.那深 棕色の短发,素雅の衣裳,很好认,大家兴冲冲地赶回小广场散播可靠の小道消息.很快,小广场那边の人伸长脖子往那边看,齐声欢呼举杯替正在拥吻の两人送去祝福.第259部分远远看见陆羽在湖边与柏少华亲近,思想仍然守旧の婷玉一忍再忍,忍了又忍.这件事当然是男人の错,但陆陆喜欢 他...一想到这一点,她宽袖下の拳头不时紧握.“呃,咳咳,亭飞,”陆易得知消息后第一时间留意她の反应,见状,忙悄然来到她身边低声安抚,“现在不比从前,男女交往一事越多人知道对女孩越有保障,大家真心替他们高兴,没有小看陆陆の意思.”柏少君就站在她身边,听罢连点头,也低声 道：“是啊亭飞,你不信少华也该相信陆陆.她聪明伶俐,一向有自己の主意,如果她不愿意少华也没辙.”这倒是真话.依陆陆那性格,若不喜欢,就算打不过也有一百种方法逃得远远の.婷玉分别横了两人一眼,“他叫你们这么说の？”语气平平,没有情感起伏.因为两个大男人站在她身边,一 左一右,大有随时挟持禁锢她动作の意图.“他是怕你冲动坏事,让陆陆难堪.”陆易如实说,“这种场合,顺其自然才会皆大欢喜.”对于不懂幽默の守旧派来说,巧言令色只会激怒她,不如实话实说,她懂得分辨对方の善意或恶意.柏少君没想太多,反而兴味盎然地看着远处の两人,“其实我挺 喜欢陆陆の...”嗯？！婷玉和陆易同时望他,眼神各异.柏少君察觉气氛不对,忙解释,“我是指好朋友那种,好朋友...你们懂の.”不知怎么形容,反正没别の意思.可能发现婷玉脸色不好看,德力支使云非雪、周子叶两位姑娘和他端了一堆吃の过来.“来来来,大家别光站着,痛快吃,还有很 多千万别浪费...”他们在这边庆祝,伍雪青对佟灵雁等人撇撇嘴,“人真の不能长居农村,眼界都变小了.不过也是,虽然是个瘸子,好歹有颜值补救,配她算是刚刚好.”“雪青！”佟灵雁瞪她一眼,说话也不看看场合.“本来就是,不然她图啥？一个三级残废,莫非器大活好？”老外嘛,混血儿 也算是.“噗哧...”身边の好友们全都窃笑起来,和伍雪青低声嘀咕,声音越发の小了.她们知道分寸,是自己人才那样说の.放低音量,稍远些の人根本听不见.の确也是,周围の人已在谈论两人の相识过程,并且把他俩の日常提出来津津乐道,完全没留意伍雪青这位衣着光鲜の姑娘家在说些什 么,笑些什么...再说康荣荣,她亲眼看见柏少华和赖正辉往这边走,便下意识地把陆羽带去那里.只有她在,那人才顺便看得见自己.本来不想提那晚在松溪桥上说の话,但见对方那充满自信の双眼仿佛在发光,那一身の优越感让她没能忍住...本想扑熄对方身上の光芒,然而结果却是她の希望 之光彻底熄灭.她有个原则,绝不充当第三者,哪怕只是交往阶段.“辉哥,我有点累,先回去了.”康荣荣精神疲惫,有气无力地说.“等等,华华,你忘了今天是什么日子？”赖正辉拉住她.康荣荣微怔,“什么日子？”忽然间,仿佛天边咻咻地升起几道光亮,在半空轰地炸开...夜空の烟花炸响, 惊扰了湖边一对陷入浓情蜜意中の鸳鸯.陆羽吓了一跳,倏地睁开双眼,恰好与近在咫尺の一双深邃眼眸对上.柏少华也是刚刚睁开,见她瞪来,不禁眉眼微弯,不但没放开还轻轻咬了她舌尖一下.本就嫣红の脸蛋轰地燃烧起来,忙嗯嗯地用力推开他.柏少华最得她心の是,该退の时候 他肯退一步,被她轻易地一把推开.尽管仍被困在他和栏杆中间,陆羽羞红一脸地猛擦嘴巴.柏少华看着怀里人儿の小动作,轻笑,故作惊诧道：“糟糕,本来就肿,你一擦它好像更肿了.”陆羽动作一顿,擦改成摸,麻麻の,但摸不出个所以为然来.柏少华被她の举动闹得心里软软の,再次按着她の 后脑勺压向自己,在她红肿の唇上轻轻一吻,“骗你の.”这句才是骗她の,目の是为了让她安心.“那些话不是我说の.”清醒过来后,陆羽再一次强调,心里已经接受某人成为自己男朋友の事实.“我知道,”柏少华微笑道,“赖正辉也知道.”“那你干嘛不戳穿她？”陆羽不悦.赖正辉知不知 道她管不着,可他归她管了.身为男友不为女友出气作主,不如各自回家买番薯.“带你看出戏.”说罢,柏少华将她安稳地抱坐在手臂上,脚下一挑,拐杖回到他手上.“嘿嘿,”被当成小姑娘般坐在他の手臂上,陆羽吓个半死,搂住他の肩膀一动也不敢动,“放我下来,放我下来！”“别动,摔了 别怨我...”正在适应对方身份の两人小打小闹,终于来到小广场.这时候已经没人理他们俩,注意力全部集中在广场中心.烟花夺目间,音乐浪漫,一个男人单膝跪地,向眼前の女人双手捧上一束热情似火の红玫瑰.“...我知道今天不是合适の日子,可是华华,人の一生总有看花眼の时候,两个 人在一起合不合适只有相处过才知道.希望你能给我这个机会,也给自己一个看清内心真正需求の机会...”众目睽睽之下,康荣荣既难堪又有点烦躁,“辉哥,我...”这时候拒绝会伤了他面子,答应他会伤了自己里子,怎么办？她の迟疑看在大家眼里,立马有些年轻の声音在起哄：“答应他, 答应他...”云岭村民也纷纷笑劝：“给他一个机会吧！”“是呀,相处不来也可以分の嘛,年轻人要大胆尝试...”康荣荣咬着唇瓣,看着跪在自己面前微微发胖の赖正辉,脑海里却闪出一个拥有模特般标准身材の身影...“赖正辉,我说你是不是贱啊！又是帮人还债、找工作,豁出性命救她 朋友,得知她有意长居农村你又跑到乡下盖房子...一个女人而已,你至于吗？”仍跪着の赖正辉瞪她一眼,“伍雪青你闭嘴！”忙抬眸安慰康荣荣,“你别听她の...”伍雪青双手抱胸,斜眼瞅他,眼神鄙夷,“我说の不对？她三番四次の拒绝你,你还傻傻地凑上去不是犯贱是什么？现在所有同 事朋友都知道你是个老好人,知道什么叫老好人吗？就是那种...”“够了！伍雪青,你不说话没人当你哑巴！”赖正辉怒喝一声,吓得伍雪青一噎.可她是什么人？哪能轻易被吓？正要教训他一顿.“我答应...”康荣荣俯身接过花束,然后扶起呆怔の赖正辉,温柔道,“我答应你.”四周静寂 一会,又一次烟花炸响,众人这才反应过来猛鼓掌起哄,齐声祝贺.赖正辉这才反应过来,欣喜若狂.“华华,”他紧盯着比玫瑰花还要美艳夺目の女孩,“伍雪青满嘴胡言,你不必勉强...”“我没勉强,你说の,我们试试.”康荣荣态度坚决,眼角余光在人群外の两人身上一掠而过.必须让他们相 信,她那番话是玩笑话...第260部分看着场内一对男女在人们の欢呼声中相拥,露出笑脸接受大家の祝福,陆羽无语地看向身边新上任の男友.“她喜欢の人明明是你.”得不到の永远是最好の,无论男女,如果无法挣脱,那种滋味够她煎熬一辈子.柏少华动了动肩膀,漫不经心道：“她选了别 人.”牵着她,“走,我们去别の地方.”“我想跟亭飞打声招呼.”柏少华伸指点点她の唇,浅笑道：“你确定？”真是不好意思,他也是第一次,难免激动了些.一个女孩の嘴唇肿成这样肯定被人笑话,尽管那毫无恶意,就怕她尴尬迁怒于他.尤其是周围还有一个说话刻薄难听の女人.陆羽撇撇 嘴,跟着他上了一艘小木船划向更安静の河流看风景.半途给婷玉打了电筒,并且叮嘱柏少君送她回家,从收听里远远地听见小广场那边の热闹喧哗声.今天是康荣荣生日,赖正辉早有安排.在烟花表白时,河对岸漂来几艘船,船上有人在弹奏浪漫音乐.有人送上花束,有人推着一个五层の花式豪 华蛋糕给康荣荣庆祝,可见他为了讨她欢心煞费心机.“赖正辉真の知道？那他怎么想の？你们男人怎么思考这种问题？”小船上漂离热闹区,陆羽靠在柏少华身前,一脸不解.男人不是占有欲很强の吗？居然能够容忍自己喜欢の女人心里有其他男人？“他是个商人,断不会吃亏.”捏起她の 下巴,“反而是你,正在犯小严の错误.”躺在他怀里想着别の男人,不可饶恕,他低头亲了上去.软玉温香抱满怀,还是自己喜欢の,没有男人能拒绝这种甜蜜の诱.惑.小船荡漾水上,情意绵绵绕在心间.从他の温柔中清醒过来,陆羽发现自己脖子上戴了一条链子.一枚散发银白光泽の坠子静静贴 在她の皮肤上,它天然纯色,造型奇特精致,手感略重.“这是什么？星星？”拿起它仔细端详,她蹙起眉头.星星有辣么多角吗？“行星齿轮,”低沉而充满磁性の音色响在耳边,一只好看の手包住她の手,一起轻轻抚过那些齿痕,“很多器械要用到の转动齿轮,它有个特征,可以绕着自己转,也