第06课 多自由度系统的运动方程

0
k2 k1 k3
k3
0

k
3

k3
kij k ji
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K KT
柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 k ，
则1 k 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响
系数，用 表示。
写成矩阵形式

x1

x2
x3

11 21 31
12 22 32
13 m1

23

0
33 0
0 m2 0
0 0 m3

x1 x2 x3

位移方程
x Mx
象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系 统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻 尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。
多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一 般均是对称矩阵。
系统的动能、势能和能量耗散函数的表达式与系统质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵的关系为
T

1 2
m1
x12
Mx x 0
与作用力方程比较 Kx Mx K是非奇异的，即K 1的逆矩阵存在
x K 1 (Mx)
K 1
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。 如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。
以 m2 为研究对象，有
m2x1 k2 x1 x2 c2x1 x2 k3x2 c3x2 F2 (t)
将方程(1)、（2）整理可得
（1） （2）
m1x1 c1 c2 x1 c2x2 k1 k2 x1 k2x2 F1(t)
• 根据运动方程 n2 k / m
• 能量方法Umax=Tmax • 单位加速度法
初始条件下系统的运动方程
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征


1 2
xKx
D

1 2
c1x12

1 2
c2 x2

x1 2

1 2
c3 x23

1 2
x1,
x2 c1c2c2
c2 c2 c3

xx12


1 2
x Cx
利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素
mij

2T xix j
同理，令 x1 0，x2 1，x3 0
画出受力图，则有 k12 k2 ，k22 k2 k3，k32 k3 最后令 x1 x2 0，x3 1
画出受力图，有 k13 0，k23 k3，k33 k3
因此刚度矩阵为
k1 k2
K


k2
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法 • 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
影响系数法
一般情况下，n 个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具 有以下形式
m11x1 m12 x2 m1n xn k11x1 k12 x2 k1n xn 0 m21x1 m22 x2 m2n xn k21x1 k22 x2 k2n xn 0 mn1x1 mn2x2 mnn xn kn1x1 kn2 x2 knn xn 0
31
12 22 32

13 23 33



k1 1
k1 1
k1
1
k1 11 k1 k2 11 k1 k2
1
k1

1
1 k1
1
1 k2
1

k1 k2 k3
i j ji
柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
完整约束是指约束条件只和体系各质点的坐标及时间有关,约束 方程可写成
f (x1 , y1 , z1 , xn , yn , zn , t) 0
的形式.如果一个力学体系受到的约束都是完整的,那么这个体系称为 完整体系.
双单摆的约束条件为
x12 y12 l12
力，定义为刚度影响系数 kij ；在第 j 个质量坐标方 向上施加的力称刚度影响系数 k jj 。
由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩 阵，从而建立作用力方程，这种方法称为刚度影响系 数法；同理，还可以根据柔度影响系数建立位移方程。

k11
k12
k21 k22 K


k

1 2
m
2
x
2 2

1 2
x1
,
x 2
m01
0 m2
x1


x 2


1 2
x Mx
U

1 2
k1 x12

1 2
k2 x2

x1 2

1 2
k
3
x
3 2

1 2
x1
,
x
2
k1k
k
2
2
k2 k2 k3


x1 x2

x1 x源自文库2


k1 k2

k2
k2 k2 k3


x1 x2



F1 F2
(t) (t)
即
Mx Cx kx F(t)
Mx Cx kx F(t)
这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的 运动微分方程非常相似。
n
1
kn2

k1n

k2n


k
n
n

刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k21、k31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 k1 k2，k21 k2，k31 0
机械振动(Mechanical Vibration)
第七课 多自由度系统的运动方程
交通与车辆工程学院 刚宪约
2019年9月15日
单自由度系统回顾
单自由度系统运动方程的建模
• 牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理 • 能量方法d(U+T)=0 • 虚位移原理（虚功原理）
单自由度系统固有频率计算方法
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
约束、自由度与广义坐标
约束是对自由而言得,是一个纯运动学概念,他强调力学体系在运 动时必须满足某些规定的条件.约束条件必须通过约束方程的形式才 能确切的表示出来.
k1 k2 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有
12

1 k1
, 22

1 k1

1 k2
, 32

1 k1

1 k2
F3
再令 F1 F2 0, F3 1
可得到
13

1 k1
, 23

1 k1

1 k2
, 33

1 k1

1 k2

1 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
31
12 22 32

13 23 33



k1 1
k1 1
k1
1
k1 11 k1 k2 11 k1 k2
1
k1

1
1 k1
1
1 k2
1

k1 k2 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
T
对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。
应用叠加原理可得到 x1 (F1)11 (F2 )12 (F3 )13 x2 (F1) 21 (F2 ) 22 (F3 ) 23 x3 (F1) 31 (F2 ) 32 (F3 ) 33
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。若用矩阵表示， 则可写成
Mx Kx 0
x x1 x2 xn T，x x1 x2 xn T
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量。
影响系数法
刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度 系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需 的作用力。具体地说，如果使第 j 个质量沿其坐标方 向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力 而使它们保持不动，则沿第 i 个质量坐标方向施加的
n 自由度系统的柔度矩阵 Δ 为 n 阶方阵，其元素ij 称
为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。具体地说，仅 在第 j 个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第 i
个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为ij 。
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
FF1 1
首先施加单位力 F1 1，F2 F3 0
单自由度系统回顾
简谐强迫振动
• 简谐强迫振动的解，复指数法 • 频响函数与频响特性曲线 • 品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼 • 旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数 • 积极隔振与消极隔振原理 • 位移传感器与加速度传感器的频响特性
单自由度系统回顾
周期强迫振动与非周期强迫振动
（3）
m2x1 c2x1 c2 c3 x2 k2x1 k2 k3 x2 F2 (t) （4）
将方程(3)、(4)写成矩阵形式
m1

0
0 m2

xx12


c1 c2

c2
c2 c2 c3
这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1
当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 弹簧的变形为零。
k1
，第二和第三个
所以三物块的位移都是
11

1 k1
, 21

1 k1
, 31

1 k1
F2
令 F2 1，F1 F3 0 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 1 , 1
• 傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理 • 脉冲函数与脉冲响应 • 卷积积分 • 频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系
本章主要内容
3.1 多自由度系统的运动方程 3.2 频率方程、振型与正则坐标 3.3 多自由度系统的振动响应 3.4 多自由度系统的数值计算方法
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
牛顿第二定律建模
以 m1 为研究对象，有
m1x1 k1x1 k2x2 x1 c1x1 c2 x2 x1 F1(t)
cij

2D xix j
kij

2U xix j
根据上式得到列系统的运动微分方程的一种 简单的方法：
• 先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后 利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度 矩阵，最终求出系统的运动微分方程。
这样的优点是，由于系统的动能、势能和能 量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33