平面向量中的奔驰定理
平面向量奔驰定理的内容及推导
平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。
先来说说这个定理的内容吧。
简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。
哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。
那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。
就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。
推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。
其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。
它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图 1如图 1，已知 P 为ABC内一点，则PA S BPC PB S APC PC S APB0奔驰定理证明：若 PA'PB'PC'0 ，则 P为 A'B' C'重心，不妨设 xPA PA' , yPB PB ' , zPC PC 'x P A y P B z P 0C(1)1'|'|''SPBCxSPBC''SPBC| PB | | PC | sin BPC sin B PC''2 y z yz xyz2同理可得 S PAC yS' '，S PABzS'' PAC PA B xyz xyz''S 'S'又SPBC P A C P A Bx:y:z S SPAC:SP B CPBC:(1)式可化为 P A S B P C P B S APC P C S A P B0奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。
用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位向量的关系，将它们放入单位圆中。
图2如图 2，已知、、所对的角分别为，，则P为单位圆， A， B， C在圆上， AP BP CPAP sin BP sin CP sin0真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。
奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。
这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。
于是整个定理就得到了证明。
二、奔驰定理在向量中应用例 1 、若ABC 内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA4OB 5OC 0 ,则该ABC 的面积为。
答案：56答案解析：由奔驰定理得：设S O B C 3 x， S O A C 4 ，x S O A B5 x例 2 、【 2016 年清华领军】若O ABC S AOB :S BOC :S COA4:3: 2AOABAC，为内一点，满足，设则+ =答案：23例 3 、，且满足 |PB|=2 ，|PA|=2 ，APB5，且2 AP 3PB PC40，则P为 ABC内部一点6ABC 的面积为（）94C、16A、B、D、835答案：98三、奔驰定理推广推广 1 、如果 P 不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解21---平面向量“奔驰定理”
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第21讲平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一 平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0.例1 已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA →＋2OB →＋mOC →＝0，∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m . ∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47， 解得m ＝4.易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比． 跟踪演练1 设点O 在△ABC 内部，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S △OAB S △OBC＝________.解析 由AO →＝13AB →＋14AC →，得－12OA →＝4(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)， 整理得5OA →＋4OB →＋3OC →＝0， 所以S △OAB S △OBC ＝35.考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O 是△ABC 的重心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶1∶1 ⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)O 是△ABC 的内心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝a ∶b ∶c ⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. (3)O 是△ABC 的外心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0. (4)O 是△ABC 的垂心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝tan A ∶tan B ∶tan C ⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0. 考向1 “奔驰定理”与重心例2 已知在△ABC 中，G 是重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56aGA →＋40bGB →＋35cGC →＝0，则B ＝________.解析 依题意，可得56a ＝40b ＝35c ， 所以b ＝75a ，c ＝85a ，所以cos B ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫85a 2－⎝⎛⎭⎫75a 22a ×85a＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.考向2 “奔驰定理”与外心例3 已知点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，C ＝2π3，则λ＝________.答案 －1 解析 依题意得，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝1∶1∶λ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π(舍)， ∴A ＝B ，又C ＝2π3，∴A ＝B ＝π6，又sin 2B sin 2C ＝1λ， ∴λ＝sin 2Csin 2B ＝sin4π3sinπ3＝－1.考向3 “奔驰定理”与内心例4 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，O 为△ABC 的内心，若AO →＝λAB →＋μBC →，则3λ＋6μ的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 AO →＝λAB →＋μBC →可化为 OA →＋λOB →－λOA →＋μOC →－μOB →＝0， 整理得(1－λ)OA →＋(λ－μ)OB →＋μOC →＝0， 所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2， 解得λ＝59，μ＝29，所以3λ＋6μ＝3×59＋6×29＝3.考向4 “奔驰定理”与垂心例5 已知H 是△ABC 的垂心，若HA →＋2HB →＋3HC →＝0，则A ＝________. 答案π4解析 依题意，可得tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3， 代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， 可得6tan A ＝6tan 3A ， 因为tan A ≠0， 所以tan A ＝±1.又因为tan A <tan B <tan C ， 所以tan A ＝1，所以A ＝π4.规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件． 跟踪演练2 (1)设I 为△ABC 的内心，且2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，则角C ＝________. 答案π3解析 由2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ， 则cos C ＝4k 2＋9k 2－7k 22·2k ·3k ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.(2)设点P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC ＝π6，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是______．答案33解析 方法一据奔驰定理得， 12P A →＋xPB →＋yPC →＝0， 即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy |PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ， 又因为点P 是△ABC 的外心， 所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|， 且∠BPC ＝2∠BAC ＝π3，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号， 所以(x ＋y )max ＝33. 方法二 S △PBC ∶S △PCA ∶S △P AB ＝ sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝12∶x ∶y ，又∠BAC ＝π6，∴sin 2A ＝32， ∵x ＝33sin 2B ，y ＝33sin 2C ， ∴x ＋y ＝33(sin 2B ＋sin 2C ) ＝33⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π3－2B ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3. 又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6， ∴2B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，4π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3∈⎝⎛⎦⎤－32，1， ∴x ＋y ∈⎝⎛⎦⎤0，33， ∴(x ＋y )max ＝33. 专题强化练1．点P 在△ABC 内部，满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．3∶1D ．5∶3 答案 C解析 根据奔驰定理得， S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3. 所以S △ABC ∶S △APC ＝3∶1.2．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( ) A.29，49B.49，29 C.19，29D.29，19 答案 A解析 根据奔驰定理， 得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0， 整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故λ＝29，μ＝49.3．△ABC 的重心为G ，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝213，则△BGC 的面积为( ) A ．123B ．8 3 C ．43D ．4 答案 C解析 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝36＋64－522×6×8＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12×6×8×sin π3＝123，又G 为△ABC 的重心， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0，即S △AGB ∶S △AGC ∶S △BGC ＝1∶1∶1， ∴S △BGC ＝13S △ABC ＝4 3.4.如图所示，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC ＝60°，M 为△ABC 的外心，若AM →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ等于( )A.34B.53C.73D.83 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC ＝82＋62－2×8×6cos 60°＝213， 所以圆M 的半径R ＝2132sin 60°＝2393，所以S △AMB ＝12×8×⎝⎛⎭⎫23932－42＝833，S △BMC ＝12×213×⎝⎛⎭⎫23932－(13)2＝1333，S △CMA ＝12×6×⎝⎛⎭⎫23932－32＝5 3. 由AM →＝λAB →＋μAC →，可得MA →＋λMB →－λMA →＋μMC →－μMA →＝0， 整理得(1－λ－μ)MA →＋λMB →＋μMC →＝0， 所以S △AMB ∶S △BMC ∶S △CMA ＝μ∶(1－λ－μ)∶λ ＝8∶13∶15， 解得λ＝512，μ＝29，所以4λ＋3μ＝73.5.(多选)如图，设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则( )A.S △ABP S △ABC ＝15B.S △ABQ S △ABC ＝13 C.S △ABP S △ABQ ＝45D.S △ABP S △ABQ ＝34 答案 AC解析 由AP →＝25AB →＋15AC →，可得P A →＋25PB →－25P A →＋15PC →－15P A →＝0，整理得25P A →＋25PB →＋15PC →＝0，所以2P A →＋2PB →＋PC →＝0， S △ABP S △ABC ＝12＋2＋1＝15.由AQ →＝23AB →＋14AC →，可得QA →＋23QB →－23QA →＋14QC →－14QA →＝0，整理得QA →＋8QB →＋3QC →＝0， 所以S △ABQ S △ABC ＝31＋8＋3＝14，S △ABP S △ABQ ＝45.6．△ABC 的内切圆圆心为O ，半径为2，且S △ABC ＝14,2OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的外接圆面积为________． 答案64π7解析 ∵2OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 且O 为内心， ∴a ∶b ∶c ＝2∶2∶3， 令a ＝2k ， 则b ＝2k ，c ＝3k ，设△ABC 内切圆半径为r ，外接圆半径为R ， 又S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r⇒12×7k ×2＝14⇒k ＝2， ∴a ＝4，b ＝4，c ＝6， ∴cos C ＝－18，sin C ＝378，又2R ＝c sin C ＝6378⇒R ＝87＝877，∴外接圆面积S ＝πR 2＝64π7.7．若△ABC 内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.则△ABC 的面积为______．11 / 11 答案65解析 ∵3OA →＋4OB →＝－5OC →，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴9|OA →|2＋16|OB →|2＋24OA →·OB →＝25|OC →|2，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴S △AOB ＝12×1×1＝12， 由奔驰定理知，S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝3∶4∶5，∴S △AOB ＝53＋4＋5·S △ABC， ∴S △ABC ＝125S △AOB ＝65. 8.已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|＝________.答案130解析 根据奔驰定理得S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ， 又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ， ∴|PQ →||AB →|＝S △QBC －S △PBC S △ABC ＝15－16＝130.。
奔驰定理的简洁证明面积法
奔驰定理的简洁证明面积法奔驰定理，也被称为向量定理或行列式定理，是一种用于计算三角形的面积的方法。
其命名来源于该定理的发现者赫尔曼·莫尔赫吉（Hermann Minkowski）的朋友奔驰（Mercedes）。
奔驰定理的表述如下：给定平面上三个点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3)，以及其对应的向量OA, OB, OC，则三角形ABC的面积等于向量OA和向量OB的叉积的模的一半。
根据该定理的定义，我们可以利用向量的性质和行列式的性质来推导奔驰定理的简洁证明。
下面是一种常用的证明方法：证明思路如下：1. 假设向量OA和OB的坐标分别是(A, B)，则由向量的坐标表示可以得到向量OA的确定：OA = B - A = (x2 - x1, y2 - y1)同理，OB的坐标可以表示为OB = C - B = (x3 - x2, y3 - y2)2. 根据向量外积的定义，我们可以计算向量OA和OB的叉积的模：|OA x OB| = |(x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)|= |x2*y3 - x1*y3 - x3*y1 + x1*y2 + x3*y1 - x1*y2|= |x2*y3 - x1*y3 - x3*y1 + x3*y1 - x1*y2 + x1*y2|= |x2*y3 - x1*y2|3. 因此，三角形ABC的面积等于向量OA和向量OB的叉积的模的一半：S = 1/2 * |OA x OB|= 1/2 * |x2*y3 - x1*y2|至此，我们完成了对奔驰定理的简洁证明。
在使用奔驰定理进行面积计算时，我们只需要知道三个点的坐标即可，而不需要求出三角形的高或底边长。
这种方法简明高效，尤其适用于计算复杂三角形的面积。
需要注意的是，虽然奔驰定理的证明使用了向量的概念和行列式的性质，但并不要求阅读者提前了解这些概念。
奔驰定理的证明方法可以作为面积计算的一种简单而直观的工具来使用。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。
本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。
一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。
其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。
1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。
平移可以用平面向量来表示。
二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。
证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。
连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。
又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。
得证。
2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。
奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。
二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。
三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。
假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。
四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。
通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。
以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。
五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。
平面向量奔驰定理公式
平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。
设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。
- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。
- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。
1. 推论。
- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。
- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。
- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。
- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。
平面向量奔驰定理word可编辑版
平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理
秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图1如图1，已知P 为ABC 内一点，则PA S PB S PC S 0奔驰定理BPC APC APB证明：若' ' ' 0PA PB PC ，则' ' 'P为 A B C 重心，不妨设x PA PA yPB PB zPC PC', ','', ','x P A y P B z P C (1)' 'S xS1 1 | PB | | PC |' ' PBC PBC' ' ' ' S | PB | | PC | sin BPC sin B PCPBC2 2 y z yz xyz同理可得S PACySPAC''xyz，S PABzSPAB''xyz又S S SP B C P A C P A B' ' ' ' 'x : y : z S P B C : S P A C: S P B C(1)式可化为P A S B P C P B S A P C P C S A P B0 奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。
用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位1向量的关系，将它们放入单位圆中。
图 2如图2，已知P为单位圆，A，B，C在圆上，AP 、BP 、CP 所对的角分别为，，则AP sin BP sin CP sin 0 真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。
奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。
这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。
于是整个定理就得到了证明。
二、奔驰定理在向量中应用2例1、若ABC 内接于以O 为圆心，以1 为半径的圆，且3OA 4OB 5OC 0 ,则该ABC 的面积为。
第2讲 平面向量(解析版)
:
SB
:
SC
x
:
y
:
z
2.推导过程
证明方法一：如图延长 OA与 BC 边相交于点 D 则
BD
SABD
SBOD
S S ABD
BOD
SC
S S S S DC
ACD
COD
S ACD
COD
B
OD DC OB BD OC
BC
BC
SB SB SC
OB
SC SB SC
OC
OD SBOD SCOD SBOD SCOD S A
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SB SC
OD S A OA
SB SC
SA
SB SC
OA
SB SB SC
OB
SC SB SC
OC SA OA SB OB SC OC 0
x y z 推论 O 是 ABC 内的一点，且 OA OB OC 0 ，则 SBOC : SCOA : SAOB x : y : z
【答案】外心
【解析】由 OA OB OC 可得 O 点到三角形各顶点的距离相等，所以点 O 是三角形 ABC 的外心
故答案为外心.
4．设 O 是平面 ABC 内一定点， P 为平面 ABC 内一动点，若
PB PC OB OC PC PA OC OA PA PB OA OB 0 ，则 O 为 ΔABC 的
连结 PB1 、 PC1 、 B1C1 ，则 PA PB1 PC1 0 ．
P 是 AB1C1 的重心，设 SPB1C1 3S ，则 S APB1 S APC1 SPB1C1 S ，
SPBC
2 3
1 2
S
平面向量奔驰定理word
平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++∙∙∙OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OCOB OAOA BCDOA BCO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++∙∙∙OC OB OA c b a O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OC C OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广下面是奔驰定理的具体证明步骤：1.假设有一个六边形ABCDEF，内部有一点P。
我们需要证明向量AP、BP、CP、DP、EP、FP构成一个逆时针排列的向量。
2.首先，我们可以将向量AP表示为向量求和的形式：AP=AB+BP。
3.同样地，可以得到向量BP=BC+CP，CP=CD+DP，DP=DE+EP，EP=EF+FP，FP=FA+AP。
4.将以上的等式代入向量AP=AB+BP，得到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA+AP。
5.通过消去相同项，并利用向量求和的交换律，可以简化得到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA。
6.注意到右侧的向量和为零，即AB+BC+CD+DE+EF+FA=0。
7.将这个等式代回到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA中，可以得到AP=0。
8.由于向量AP=0，所以点P与六边形的其他顶点处于共线状态。
证明完毕。
奔驰定理的应用和推广主要体现在以下几个方面：1.距离问题：利用奔驰定理可以计算点到直线、点到线段的距离。
通过将向量连接到顶点得到相应向量，用向量的模长即可计算距离。
2.面积问题：奔驰定理可以用于求解平面图形的面积。
通过将奔驰定理中的六边形分割成三个小三角形，可以利用向量的叉乘求出三角形的面积，并将它们相加得到整个六边形的面积。
3.几何关系：利用奔驰定理可以推导和证明多边形之间的一些几何关系，如共线、共面等。
通过将点与多边形的顶点建立向量连接，再利用奔驰定理的结果，可以得到多边形之间的空间位置关系。
4.应用拓展：奔驰定理还可以应用于解决其他与平面向量相关的问题，如平面旋转、对称等。
通过建立适当的向量连接和运算，可以进一步推广奔驰定理的应用范围。
综上所述，奔驰定理是一个重要的向量定理，在解决与平面向量相关的问题时具有广泛的应用和推广价值。
通过熟练掌握奔驰定理的证明过程和相关的应用方法，可以更好地理解和运用平面向量的概念和性质，提高解决几何问题的能力。
向量中的奔驰定理及应用
向量中的奔驰定理及应用引言：在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
它在物理、几何和工程学中有着广泛的应用。
而奔驰定理是向量的一个重要定理，它描述了向量的加法和减法的运算规律。
本文将介绍奔驰定理的概念及其应用，并探讨如何利用奔驰定理解决实际问题。
一、奔驰定理的概念奔驰定理，又称平行四边形法则，是向量运算中的一个基本定理。
它表明，如果在平面上取两个向量a和b，那么以这两个向量为邻边所构成的平行四边形的对角线向量c，其大小等于两个向量的和。
奔驰定理可以用公式表示为：c = a + b其中，a、b和c分别表示向量a、b和c的大小和方向。
二、奔驰定理的应用奔驰定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是奔驰定理在实际问题中的几个应用示例。
1. 力的合成在物理学中，奔驰定理可以用于力的合成。
当一个物体受到两个力的作用时，可以利用奔驰定理求出合力的大小和方向。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，它们的大小和方向分别为F1和F2，那么合力F的大小和方向可以用奔驰定理表示为：F = F1 + F2。
2. 速度的合成在运动学中，奔驰定理可以用于速度的合成。
当一个物体在平面上同时具有水平和竖直方向上的速度时，可以利用奔驰定理求出合速度的大小和方向。
假设一个物体的水平速度为v1，竖直速度为v2，那么合速度v的大小和方向可以用奔驰定理表示为：v = v1 + v2。
3. 矢量的平行和垂直关系利用奔驰定理，我们可以判断两个向量之间的平行和垂直关系。
如果两个向量的和为零向量，即a + b = 0，那么这两个向量是平行的。
如果两个向量的点积为零，即a · b = 0，那么这两个向量是垂直的。
这些性质在几何学和物理学中具有重要的意义。
4. 位移的计算在力学中，奔驰定理可以用于位移的计算。
当一个物体在平面上同时受到水平方向和竖直方向的力作用时，可以利用奔驰定理求出物体的位移。
假设物体在水平方向上的位移为x1，竖直方向上的位移为x2，那么物体的总位移x可以用奔驰定理表示为：x = x1 + x2。
高中数学平面向量奔驰定理详解精讲
平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD+-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版
平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。
定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。
进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。
同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。
根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。
例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。
根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。
平面向量的奔驰定理(解析版)
专题九 平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0．证明：如图，延长AP 与BC 边相交于点则D ，BD DC ＝S △ABD S △ACD ＝S △BPD S △CPD ＝S △ABD －S △BPD S △ACD －S △CPD ＝S △PAB S △PAC， ∵PD →＝DC BC PB →＋BD BC PC →，∴PD →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →， ∵PD PA ＝S △BPD S △BPA ＝S △CPD S △CPA S △BPD ＋S △CPD S △BPA ＋S △CPA ＝S △PBC S △PAC ＋S △PAB ，∴PD →＝－S △PBC S △PAC ＋S △PABPA →， 即－S △PBC S △PAC ＋S △PAB PA →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →，∴S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0． AB CP由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推论：已知P 为△ABC 内一点，且xP A →＋yPB →＋zPC →＝0．(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)．则有(1)S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝|x |∶|y |∶|z |．(2)S △PBC S △ABC ＝|x x ＋y ＋z |，S △P AC S △ABC ＝|y x ＋y ＋z |，S △P AB S △ABC ＝|z x ＋y ＋z|． 【例题选讲】[例1](1)设点O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32答案 A 解析 分别取AC 、BC 的中点D 、 E ，∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，∴OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，即2OD →＝－4OE →，∴O 是DE 的一个三等分点，∴S △ABC S △AOC ＝3．秒杀 根据奔驰定理得，S △ABC ∶S △AOC ＝(1＋2＋3)∶2＝3．(2)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD等于( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 B 解析 如图，由点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13．秒杀 由AD →＝13AB →＋12AC →得，DA →＋2DB →＋3DC →＝0，根据奔驰定理得，S △BCD ∶S △ABD ＝1∶3． (3)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13P A →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6答案 B 解析 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29P A →，由RP →＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)，整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29P A →，整理得4P A →＋6PB →＋9PC →＝0，根据奔驰定理得，∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．(4)已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|等于( )A ．130B ．131C ．132D ．133答案 A 解析 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ，又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ，∴|PQ →||AB →|＝15－16＝130． (5)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A ．29，49B ．49，29C ．19，29D ．29，19答案 A 解析 秒杀 根据奔驰定理，得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0，整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故选A ． (6)设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC ＝30°，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是________．答案 33 解析 根据奔驰定理得，12P A →＋xPB →＋yPC →＝0，即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy | PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ，又因为点P 是△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，且∠BPC ＝2∠BAC＝60°，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号．所以(x ＋y )max ＝33． 【对点训练】1．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．1．答案 12解析 设D 为AC 的中点，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →．又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－ OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12．秒杀 由OA ＋OC ＝－2OB ，得OA ＋OC ＋2OB ＝0，根据奔驰定理得，△AOB 与△AOC 的面积之比为12． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．2．答案 4 解析 ∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点．又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABC S △AOC＝4．秒杀 因为OA →＋OB →＋2OC →＝0，根据奔驰定理得，S △ABC S △AOC＝4． 3．已知P ，Q 为△ABC 中不同的两点，且3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，则S △P AB ∶S △QAB 为_____．3．答案 1∶2 解析 因为3P A →＋2PB →＋PC →＝2(P A →＋PB →)＋P A →＋PC →＝0，所以P 在与BC 平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S △P AB ＝16S △ABC ，QA →＋QB →＋QC →＝0，可得Q 是△ABC 的重心，因此S △QAB ＝13S △ABC ，S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ． 秒杀 由3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，根据奔驰定理得，S △P AB ∶S △ABC ＝1∶6，S △QAB ∶S △ABC ＝1∶3＝2∶6，所以S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ．4．已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A ．15B ．25C ．35D ．454．答案 C 解析 因为D 是AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以2AM →－2AD →＝3AC →－3AM →，即2DM →＝3MC →，所以5DM →＝3DM →＋3MC →＝3DC →，所以DM →＝35DC →，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高，所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM →||DC →|＝35．秒杀 由5AM →＝AB →＋3AC →，得AM →＋BM →＋3CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ABC ＝35． 5．若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2 5．答案 A 解析 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12． 秒杀 由BA →＋BC →＝4BM →，得AM →＋2BM →＋CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ACM ＝12． 6．已知O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为__________．6．答案 1 解析 如图，设AC 中点为M ，BC 中点为N ．因为OA →＋OC →＋OB →＋OC →＝0，所以2OM →＋2ON →＝0，所以OM →＋ON →＝0，O 为中位线MN 的中点，所以S △AOC ＝12S △ANC ＝12×12S △ABC ＝14×4＝1．秒杀 根据奔驰定理得，S △OBC ∶S △OAC ∶S △OAB ＝1∶1∶2．因为S △ABC ＝4，所以S △AOC ＝1．7．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为 ________．7．答案 4 解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →．所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4．秒杀 由AD →＝15AB →－45CA →，得8AD →＋BD →＋4CD →＝0，根据奔驰定理得，S △ABD ∶S △ACD ＝4∶1，所以S △ABD ＝4．8．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( )A ．12B ．32C ．1D ．2 8．答案 D 解析 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1．因为P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，所以λ1＝12，所以λ2＋λ3＝12，所以λ2λ3≤⎝⎛⎭⎫λ2＋λ322＝116，当且仅当λ2＝λ3＝14时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P 为EF 的中点．延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，所以P A ＝PM ，所以P A →＝－PM→＝－12(PB →＋PC →)，又因为P A →＋xPB →＋yPC →＝0，所以x ＝y ＝12，所以3x ＋y ＝2．故选D ． 秒杀 根据奔驰定理得，。
平面向量奔驰定理证明
平面向量奔驰定理证明引言平面向量是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述平面上的运动、力以及几何图形等。
而奔驰定理是平面向量的一个重要性质，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
本文将对平面向量奔驰定理进行证明，并探讨其应用。
平面向量什么是平面向量？平面向量是指在平面上有确定的长度和方向的量，它可以用有序数对(a,b)表示。
其中a称为x轴分量，b称为y轴分量。
平面向量可以表示为向量运算的形式：A= a i + b j，其中i和j分别是x轴和y轴上的单位向量。
平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算，具体定义如下： - 加法：两个向量A和B的和，表示为A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，即分量分别相加。
- 数乘：一个向量A与一个实数k的数乘，表示为kA = (ka1, ka2)，即分量分别乘以k。
平面向量的性质平面向量有以下重要性质： 1. 两个向量相等，当且仅当它们的对应分量相等。
2. 两个向量的和与次序无关，即A + B = B + A。
3. 数乘满足结合律和分配律。
奔驰定理奔驰定理的表述奔驰定理又称平面向量的三角形定理，它的表述如下：如果向量【图片】共线，那么存在实数k1、k2和k3，使得【图片】。
其中k1、k2和k3可以为任意实数。
奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们需要利用平面向量的运算性质和一些基本几何知识。
步骤一：引入中点向量设【图片】，则【图片】为【图片】和【图片】的中点，即【图片】。
步骤二：利用中点向量的性质根据中点向量的性质，可以得到以下等式：【图片】。
步骤三：利用平行四边形法则根据平行四边形法则，可以得到以下等式：【图片】。
步骤四：整理等式将步骤二和步骤三得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤五：化简等式根据等式【图片】，可以得到以下等式：【图片】。
步骤六：整理等式将步骤五得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤七：证明奔驰定理根据步骤一至步骤六得出的等式，可以得到【图片】。
平面向量奔驰定理
S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
一．知识梳理：
4.2 三角形“四心”的相关向量问题
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成
2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心） ，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
2
2
2
证明 : HA HB CA BC
A
(HA HB) BA (CA CB) BA
得 (HA HB CA CB) BA 0
H
即 (HC HC ) BA 0 AB HC
B
C
图6
同理 AC HB, BC HA ，
故 H 是△ ABC的垂心
与“内心”有关的向量问题
6 已 知 I 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 AB c ， AC b ， BC a ． 若
SA OA SB OB SC OC 0
x 推论 O 是 ABC 内的一点，且
OA
y OB
z OC
0 ，则
S BOC : S COA : S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
O 是 ABC 的重心
S BOC : S COA : S AOB 1:1:1
OA OB OC 0
O 是 ABC 的内心
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心） ，外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题
1 已知 G 是 △ ABC 所在平面上的一点， 若 GA GB GC 0 ，则 G 是 △ ABC 的 ( ) ． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
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平面向量中的奔驰定理
在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即
因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。
【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，
则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2
AOB
POB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。
【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅
=
【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322
111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC
∆∆∆⋅++⋅ ()()()2
21111112233333322
111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++=
= 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.
【证法三】()
BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯
()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=
同理()
0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=
所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．
【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOC
AOC
OC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD
=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即
tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=-
-， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．
评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，
则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．
B。