专题1.导数的概念及其运算

导数的概念及其运算

考纲导视

（一）考纲要求：

1．了解导数概念的实际背景．

2．理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1的导数．

4．能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数]的导数.

（二）考纲研读：

1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数记为f ′(x 0)，它表示y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处切线的斜率，即k ＝ f ′(x 0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义．

2．对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导.

基础过关

（一）要点梳理：

1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率：

函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为fx 2－fx 1x 2－x 1

，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx

. 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数:

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0

fx 0＋Δx －fx 0Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(3)物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝s (t )，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度 v ＝s ′(t 0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝v (t )，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝v ′(t 0)。

3．函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )＝lim Δx →0

fx ＋Δx －fx Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)⎣⎡⎦⎤fx gx ′＝f xgx －fxg x g 2x

(g (x )≠0)．

6．复合函数的导数：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

7．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系：

(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

（二）基础自测：

1．已知函数 f (x )＝4π2x 2，则 f ′(x )＝

答案：8π2x

2．已知曲线y ＝4

2

x 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 答案：1

3．一个物体的运动方程为 s ＝1－t ＋t 2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 米/秒

答案：5

考点突破

考点一．导数的概念：

【例1】设f (x )在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ）

（1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim 000； （2）x

x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000； （3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim 000

（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。 A ．（1）（3） B ．（1）（2） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4）

答案：A

【互动探究1】()()()等于则可导在设x

x x f x x f x x f x 3lim ,0000--+→（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

答案：D

考点二．导数的运算：

【例2】求下列函数的导数：

(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)． 思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．

解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (ln x ＋1x

)． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3

，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5

.