§2格林公式及其应用
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格林公式及其应用
思考：如果L 取负向呢?
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
3.2格林公式及其应用
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS . x y z
*格林第一公式
1 2 u u ( x , y , z ), v v ( x , y , z ) C ( ) C (), 设 ， v v v 记 P u , Q u , R u , 由高斯公式，可得 x y z
于是
1 u(M 0 ) 2 4 a
a
udS .
注 如果 u C() ，则定理可包含与边界相切的球面。
3.极值原理
*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在 内部不可能有最高点或最低点。
*数学角度证明 定理2.3（极值原理） 对不恒等于常数的调和函数 u ( x, y, z ) ，其在区域 的任何内点上的值不可能达到 它在 上的上界或下界。 证 用反证法证明。设调和函数 u ( x, y, z ) 不恒等于 常数，且在区域 上的上界为m （注：只需证明有上界 情况即可，相反情况，定理自然成立），而 u ( x, y, z ) 在 内某点 M 0 取值 m ，我们来引出矛盾。
y
x
其中 K 表示 中以 M 0 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。
1 1 u F )dS dV . 令u F , 则 (u n r r n r \ K
1 1 1 1 1 2 2, 在球面 上，由于 n n r r r r r
4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
u 0, 定理2.4 狄利克雷内问题 的解如果存在， u f
必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 f 。 证 假设有两个调和函数 u1 ( x, y, z) 和 u2 ( x, y, z)，它们
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
第三节_格林公式及其应用
第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。
它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。
此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。
格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。
因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。
其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。
这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。
应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。
拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。
可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。
2、求解伯努利方程。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
第二讲格林公式
y x
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❖全微分方程
若方程Pdx Qdy 0的左端是某个函数u(x, y)的 全微分，即
du Pdx Qdy 则称该方程为全微分方程。
u(x, y) C为该方程的通解。
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例 求全微分方程(x2 y2 )dy 2x( y 2x)dx 0。
解 令P(x, y) 2x( y 2x) Q( x, y) ( x2 y 2 )
4) 在 D内，Pdx Qdy 是某个函数u(x, y)的全微分，
即：du Pdx Qdy,(x, y) D
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例 计算 2xydx x2dy,其中L为抛物线 y x2从O(0,0)到 L B(1,1)的一段弧。
解 这里P2xy Qx2
因为
P y
Q x
2x
所以积分
2xydx x2dy 与路径无关
P 2x Q
y
x
可知该方程为全微分方程。 取(x0, y0 ) (0,0)
u(x, y)
x
y
P(x,0)dx Q(x, y)dy
x 4x2dx y (x 2 y2 )dy
0
0
0
0
x 4x2dx
y
(x2
y2 )dy
x2 y 4x3 y3
0
0
3
故方程的通解为
4x3 y3
2u Q . yx x
证毕。
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用格林公式导出的四个等价结论
设 D 为单连通开区域，P(x, y)、Q(x, y) C1(D)， 那么，下面四条等价：
1) 在 D内，Q P ； x y
2) 对闭路L D，有 L Pdx Qdy 0；
§2 格林公式及其应用
1 =0，从而 因为 是 基 本 解 ， 所 以 ∆ M0 r rM 0 M M0M 由叠加原理， （见引 ∆R( M 0 ) = 0 。由叠加原理， ∆V ( M 0 ) = F ( M 0 ) 。 见引 （
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
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1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
格林公式及其应用
P dxdy
b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1( x) y
y
b
a{P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
L2 : y 2( x)
D
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
L1 : y 1( x)
Oa
bx
b
a
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2( x)]dx
L l
xdy ydx 4x2 y2
0,
于是I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1 a2
xdy ydx
l
2 a2
(l所围的椭圆区域的面积)
2 a2
a2π 2
π.
感谢下 载
I1 I2
由格林公式
I1
D
Q x
P y
dxdy
D
(b
a)dxdy
(b
a)
πa 2 2
由于OA在x轴上, y 0, dy 0,
故I2
2a
(bx)dx
2a 2b,
0
于是
I
I1
I2
π 2
2 a 2b
πa3. 2
(2)简化二重积分
例4 计算 e y2dxdy, D :以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
线y 2ax x2到点O(0,0)的有向弧段.
解 Q e x cos y a, x P ex cos y b, y
y
D
O
Ax
Q x
P y
b
a,
添加辅助线OA,
格林公式及其应用(课堂PPT)
式得：
xdy
x2
ydx
y2
0
10
当 (0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2 y2 r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
11
L
xdy
x2
ydx
y2
l
xdy
x2
ydx
y2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y asin,0 2 ,
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
[a(1 cos )a cos a sin (a sin )]d
20
2
a
2
(1 cos )d
2
a 2 0
3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值：
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
18
t
1
1
t
0 0dx 0 Q(t, y)dy 0 0dx 0 Q(1, y)dy.
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
格林公式及其应用
d d c
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y c
CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解： 添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
(2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2
D1
L
Dn
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
(1)
其中L取正向．
公式(1)称为格林公式．(Green formula)
证明: (1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y c
CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解： 添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
(2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2
D1
L
Dn
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
(1)
其中L取正向．
公式(1)称为格林公式．(Green formula)
证明: (1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
第三节_格林公式及其应用
P y
Q x
,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
x a
2 2
其中L是沿椭圆
y b
2 2
1
的上半周由点 A(a,0) 到 B(-a,0) 的弧段.积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
在D 内
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 . L
Q P x y d xd y D Pd x Qd y ( 格林公式 )
L
格林公式
Q P x y d xd y D
P dx Qd y
L
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A 1
( x, y )
数 , 并求出它.
arctan
( x 0)
o
(1,0)
( x,0 )
x
例7. 设质点在力场 由 A( 0,
2 ) 移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
y
A L
2
k
o
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注: 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
格林公式及其应用
第二节 格林公式及其应用
一、格林公式
第八章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
（一）、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D
D
单连通区域
复连通区域
（二）、格林公式
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
0 e sin xdx
ex (sin x cos x ) |0 2 1 1 e . 2 2
x
xdy ydx 例 4 计算 ,其中 L为一条无重点, 2 2 L x y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
向为逆时针方向.
解
记 L所围成的闭区域为 D ,
3 3
D
L
1
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D D
1 2 3
Q P Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D D
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
d ( y ) Q Q x dxdy c dy ( y ) x dx D
,C : x 2 y 2 1, 逆时针 例 5 计算 I C 4 x2 y2 方向。 y x ,Q 2 , 解： P 2 4 x y2 4 x y2
Q ( 4 x 2 y 2 ) x 8 x 4 x 2 y 2 , 2 2 2 2 2 2 x ( 4x y ) ( 4x y )
一、格林公式
第八章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
（一）、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D
D
单连通区域
复连通区域
（二）、格林公式
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
0 e sin xdx
ex (sin x cos x ) |0 2 1 1 e . 2 2
x
xdy ydx 例 4 计算 ,其中 L为一条无重点, 2 2 L x y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
向为逆时针方向.
解
记 L所围成的闭区域为 D ,
3 3
D
L
1
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D D
1 2 3
Q P Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D D
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
d ( y ) Q Q x dxdy c dy ( y ) x dx D
,C : x 2 y 2 1, 逆时针 例 5 计算 I C 4 x2 y2 方向。 y x ,Q 2 , 解： P 2 4 x y2 4 x y2
Q ( 4 x 2 y 2 ) x 8 x 4 x 2 y 2 , 2 2 2 2 2 2 x ( 4x y ) ( 4x y )
格林公式
【例 6】 计算抛物线( x + y )2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积.
【解】 ONA 为直线 y = 0 .
M
A(a ,0)
N
曲线 AMO 由函数 y = ax − x , x ∈ [0, a ]表示,
1 ∴ A = ∫ xdy − ydx 2 L 1 1 = ∫ONA xdy − ydx + ∫AMO xdy − ydx 2 2 1 a 1 0 = ∫AMO xdy − ydx = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax 2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 2 2 = ∂x ( x + y ) ∂y
当(0,0) ∉ D时,
设L所围区域为D,
由格林公式知
xd y − yd x ∫L x2 + y2 = 0
y o
L x
机动
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结束
当(0,0) ∈ D 时,由于P,Q在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条件
L
［证毕］
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【应用格林公式时应注意】
1.积分曲线L必须是封闭曲线，取D的正向边界. 2. P , Q 在区域 D及其边界上具有一阶连 续偏导数 . 3.D可为单连通域，也可为复连通域； 当D为复连通域时，L包括D的所有正向边界. （三条缺一不可）
机动
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【证明】 (1) 线, 则
(2)
设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
∫L
=∫
1
高数格林公式及其应用
P201
解
y
dx 0 dy 0 O
L1••
(1,2) (1,1)
L2
• (4,2)
x
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界 设D为一平面区域,如果D内任意一条闭曲线 所围的有界区域都属于D,则称D是平面单连通区 域,不是单连通的平面区域称为复连通区域.
D
(
Q x
P )d
y
L P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy.
令P y, Q x, 则 Q 1, P 1 x y
(y)dx xdy L
2dxdy 2SD的面积.Dຫໍສະໝຸດ S D的面积1 2
xdy ydx.
L
S D的面积
1 2
xdy ydx.
L
例3求椭圆x a cos , y bsin所围成图形的面 积A.
D
(
Q x
p y
)dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
补例 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
Q
D
(
x
p y
)dxdy
L
P( x,
1O 1 2 y
{( x, y) x2 y2 1}共同组成. x 2 D3 : {(x, y)1 x2 y2 4}
微积分学基本公式
ab
f
( x)dx
解
y
dx 0 dy 0 O
L1••
(1,2) (1,1)
L2
• (4,2)
x
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界 设D为一平面区域,如果D内任意一条闭曲线 所围的有界区域都属于D,则称D是平面单连通区 域,不是单连通的平面区域称为复连通区域.
D
(
Q x
P )d
y
L P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy.
令P y, Q x, 则 Q 1, P 1 x y
(y)dx xdy L
2dxdy 2SD的面积.Dຫໍສະໝຸດ S D的面积1 2
xdy ydx.
L
S D的面积
1 2
xdy ydx.
L
例3求椭圆x a cos , y bsin所围成图形的面 积A.
D
(
Q x
p y
)dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
补例 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
Q
D
(
x
p y
)dxdy
L
P( x,
1O 1 2 y
{( x, y) x2 y2 1}共同组成. x 2 D3 : {(x, y)1 x2 y2 4}
微积分学基本公式
ab
f
( x)dx
格林公式及其应用
a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
格林(Green)公式及其应用
格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
1003格林公式及其应用2
x
练习 判定 ( x y)dx ( x y)dy 在整个xoy面内是否是
某一函数u( x, y)的全微分,若是,求出一个这样的函数.
解 记P x y, Q x y,
Q 1 P 在xoy面内恒成立,
x
y
在xoy面内原式是某一函数u( x, y)的全微分;
Q P 在G内恒成立. x y
定理3 设G是一个单连通区域, 函数P( x, y),Q( x, y)在G内
具有一阶连续偏导数, 则P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内是某 二元函数u( x, y)的全微分的充要条件是:
Q P 在G内恒成立. x y
证明 (必要性). 设du P( x, y)dx Q( x, y)dy, 则
令 u( x, y) ( x, y)( x y3 )dx 3xy2dy (0,0)
y
( x,0)( x y3 )dx ( x, y) 3xy2dy
(0,0)
( x,0)
(x, y)
x
0
xdx
y
0
3
xy2dy
1 2
x2
xy 3 .
o
( x,0)
P y
在左半平面内恒成立,
o
x
在左半平面内原式是某函数u( x, y)的全微分;
令
u( x,
y)
( x, y)
(?1,0)
y x2 y2dx
x2
x
y2
dy
令 u( x,
y)
( x, y)
(1,0)
格林公式
四、证明曲线积分 (3,4) (6xy2 y 3 )dx (6x 2 y 3xy2 )dy (1,2)
在整个 xoy 面 内与路径无关,并计算积分值 . 五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中 L是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
圈时,2n.
八、u( x, y) x3 y 4x2 y2 12( ye y e y ).
九、 1, u( x, y) r .
y
lL
o
x
D1
xd y ydx
xd y ydx
l x2 y2 Ll x2 y2 D1 0d xd y 0
2
0
r
2
cos2
r
r2
2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2
02
(abcos2
absin2
)d
ab
2、简化曲线积分
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得 L2x ydx x2 d y 0dx d y 0 D
A
L1
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
证明 (2)
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若u F (M )，则当M0 时：
(2.7)
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
1
4
F rM (M 0M)dM
(2.8)
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补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的 基本积分公式
设是 R2中的有界开集， ，u C 2 () C1()，
M
0
)
，lim 0
( 4
)
2
1 ，上式两边令 2
0，
得
u n 1 r 1 r n u d S 2 u (M 0)
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综上所述，设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界 区域，u u( x, y, z) C 2 () C1()，若u 0，则：
u n rM 1 0M rM 1 0M n u dM S 4 0 2 u u ((M M 0 0) )( ((M M M 0 0 0 )))
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从而有：
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(nM )dS
11
ud
4 rM0M
基本积分公式
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
u (M 0) 4 1 u (M ) n rM 1 0 M rM 1 0 M u (n M ) dS
上界，即M0
,
s.t .
u( M 0
)
m
max u( M
M
)，下面
将证明，u在内恒为m 从而引出矛盾。
以M0为球心，任意R为半径作球K ，使 得K 。记K SR。
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若SR上有函数值小于m 的点，则在此点的某领域内函 数值均小于m ，由平均值定理，
1
mu(M 0)4a2SRudS m
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记u
1 ()
udS ，
u n
1
()
nudS ，其中
()表
示
的面积，即
u和
u n
分别为
u和
nu在
上的
平均值，则
u n 1 r 1 r n u d S (2 )u ( ) n u
因为lim u 0
u(
1
4
F rM (M 0M)dM
作为 M 0的函数，记
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R (M 0 ) 4 1 u (M ) n r M 1 0 M r M 1 0 M u (n M ) dM S
V(M 0)41F rM (M 0M)dM
因为 1 rM 0 M
是
基
本
解
，
通区域
\
K 中，v
r
1
M0M
0。
K
在复连通区域 \ K中对上述函数u和
v 应用 Green 第二公式，得
\K u 1 r 1 r u d u n 1 r 1 r n u dS(2.5)
其中 1 1 。 r rM0M
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(2 .5 )式 左 u 边 1 1 u d 1 u d
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定理 2.5 调和方程狄利克雷外问题 u 0 (out of ) u f (on )
的解如果存在，必是唯一的。
（2）
证明：
设 u1 ,
u2
都是
(2) 的解，且
lim
r
ui
(
x,
y,
z)
0
，
(i
1,
2)。令v
u1
u2 ，则v
0，v
0 ，lim v r
0。
设 M 0是外的任一点， 以M 0为心，作半径为 R 的球
这显然不可能。所以u在SR上恒为m 。 同理，u在以M 0为球心，任意r,(r R)为半径的球面Sr 上恒为m ，从而在整个K 上恒等于常数m 。 对M1 ，如图作折线与球面，可得 u(M1 ) m 。所以u(M ) m ,(M )。
□
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推论 1 在有界区域 内调和，且在 上为 连续的函数必在边界 上取到其最大值和最小值。
§2 格林公式及其应用
1. 格林(Green)公式 2. 平均值定理 3. 极值原理 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
1.格林公式
1) 格林公式的推导
高斯公式： A d A d S (A n )dS
由于 uv uv u v，则由高斯公式可得
格林第一公式： u ( v)d u n v d S u v d
定理 2.1 设u C 2 () C1()，u 0 (in )，则
nudS
0。
证明 格林第二公式中取u为所给调和函数，v 1，
则得
u ndS
0。
□
由此定理可知，诺伊曼内问题
u
u n
0 g
(in ) 有解
(on )
的必要条件为 gdS 0。
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2.平均值定理
定理 2.2（平均值公式） 设 u(M )在某区域 内
推论 2 设u及v 都是内的调和函数，且在 上连续。如果在 的边界 上成立着不等式 u v ， 那么在内上述不等式也成立；并且只有在 u v 时， 在 内才会有等号成立的问题。
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4.第一边值问题解的唯一性和稳定性
定理 2.4 调和方程狄利克雷问题
u 0 (in ) u f (on )
\K r r
r \K
(2.5)式右 边 un 1 r1 r n u dS
K
un 1 r1 r n u dSun 1 r1 r n u dS
注意到在
上，
1 r
1
，n
1 r
r
1 r
1 r2
1 2
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d 1 S n u dS
v 0。（见P73 习题 1）称 v 1 为三维拉普拉斯 rM 0 M
方程的基本解。
设 u u( x, y, z) C 2 () C1() ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 内一定点。
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为利用
Green
第二公式，取
充分小，使得以
M
为球心，
0
半径为的球 K 的球面与的边界不相交，则在复连
调和，M0是 中任一点，则对以 M0为中心、a 为半径 完全落在区域 的内部的球面 a ，成立
1
u(M0 ) 4a 2 a udS
(2.11)
证明： 将调和函数基本积分公式应用到a 上有：
u(M0 )
1 4
a
u n
1 r
1 r
nudS
0
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在
a
上
1 r
1 a
，n
1 r
1 a2
格林第二公式：u ( v) v( u )d u n v v n u dS
其中n是 的单位外法向量。
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2)调和函数的积分表达式
考察函数
1
1
v(x, y,z)
rM 0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
容易验证，当 M ( x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) 时，
（1）
的解如果存在，必是唯一的，并且连续依赖于所给的
边界条件 f。 证明： 设u1，u2都是(1)的解，则v u1 u2满足
v 0,v 0，由定理 2.3，v 0。 若 u1 ， u2 分别是问题 (1)当 f f1 和 f f2 的解，且 f1 f2 ，满足由定理 2.3， u1 u2 。 □
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记u
1 42
udS
，
nu
1 42
nudS
，即 u 和
nu
分别为u
和
nu在
上的平均值，则
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d 4 S u 4 n u
令 0，则
1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 4 u (M 0 )
所
以
M0
1 rM 0 M
0
，
从
而
R(M0 ) 0。由叠加原理，V (M0 ) F (M0 )。（见引
力场势函数）。
V
(
M
0
)称为体位势：
1 4
F
(
M
)可理解为电荷体密度或质量密度。
利用体位势，可将泊松方程的求解问题通过叠加原理化为调和方
程的求解问题。
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4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件
则对M 0 ，有
u(M0)21u(M)n lnrM 10MlnrM 10Mu(n M )dM s
1
1
2lnrM0Mu dM
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
有 u (M 0 ) 2 1 u (M ) n lr n M 1 0 M lr n M 1 0 M u (n M ) d M s
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3) 泊松方程
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个
特解表达式。
事 实 上 ， 设 有 函 数 u(M ) C 2 () C1() ， 满 足
u F ，其中F C 0 ()，由(2.8)，对M0
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
，所以
1 u 1 u
a
r
n dS
a
a
ndS
0
u(M0 )
1 4
a
u
n
1 r
dS
1 4a 2
a
udS
从而(2.11)成立。 □