计量经济学第五章异方差
《计量经济学》第五章精选题及答案
第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。
2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？ 3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。
4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。
三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+= e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。
研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。
（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。
《计量经济学》第五章 异方差性
25
（一）残差图形分析
设一元线性回归模型为： Yi β1 β2 X i ui
运用OLS法估计,得样本回归模型为： ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X i
由上两式得残差：
ˆ ei Yi - Yi
绘制出 ei2 对 X i的散点图 ◆如果 ei 2 不随 X i 而变化，则表明不存在异方差； ◆如果 ei 2 随 X i 而变化，则表明存在异方差。
●图示检验法 ● 帕克检验 ● 格莱泽检验 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● White检验
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在经济研究中，对应于一个具体的 X 值， 多数情况都只有一个样本 值。所以 Y 没有任何办法能从仅仅一个 Y 观测值去获 得 i 2 。因此在大多数的计量经济调查研 究中，异方差不过是一种直觉，深思熟虑 的猜测，先前经验或纯粹猜想。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）检验的特点
不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异
方差随某个解释变量变化的函数形式
该检验要求变量的观测值为大样本。
进行诊断。
28
（三）检验的步骤
1.建立模型并求 ei 根据样本数据建立回归模型，并求残差序列
ˆ ei = Yi - Yi
2.寻找 ei 与 X 的最佳函数形式
用残差绝对值 ei 对 X i 进行回归，用各种函数
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一、对参数估计统计特性的影响
（一）参数估计的无偏性仍然成立 参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对无偏性 的成立没有影响。 （二）参数估计的方差不再是最小的 同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所 以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二 乘估计的方差最小。
《异方差的概念》PPT课件
主要包括：
（1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）；
在进行计量经济学模型的回归分析时，必须对模型是否 满足基本假定进行检验，这种检验称为计量经济学检验。
第一节 异方差的概念
一、异方差的概念
对于模型
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
如果出现
Var
(ui
)
2 i
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为模型出现了异方 差性(Heteroskedasticity)。
概
率
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大； (2)单调递减型： i2随X的增大而减小； (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
图5.1 异方差的类型
三、实际经济问题中的异方差性
例5.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; Xi : 第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 高收入家庭随机误差项的方差明显大于低收入家 庭。
例5.2：截面资料下研究企业的成本函数
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个企业的生产成本; Xi : 第i个企业的总产值
密
Y
度
X1
X2
X3
X
异方差性干扰
存在异方差时U的方差 协方差矩阵为：
计量经济学第五章
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入删除变量名--OK • 对比删除前后的AIC与SC信息值,信息
值小的结论是应采纳的。
9
用Eviews的误设定检验3
• 第一,估计出简单(单纯)方程 • 第二,在命令窗口上写入genr v_hat=resid 或者 Procs/Generate Series中 v_hat=resid 发现 v_hat • 第三,估计出新的回归方程
无约束模型(U)
有约束模型(K) (general to simple)
计算统计量F
F=(RSSK-RSSu)/J RSSu/(n-k-1)
~F(J, n-k)
J 为表示约束条件数, K 为表示自变量数 或者 应估计的参数数, n 为表示样本数(obs)
4
2. LM检验(Lagrange Multiplier
多重共线性多出现在横截面资料上。
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三、异方差性的检验及对策
Var(ℇi)≠Var(ℇj) (i≠j)时, ℇi中存在异方差性(Herteroskedasticity)。 即随机项中包含着对因变量的影响因素。 异方差性多发生在横截面资料上。
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异方差性的检验
1.图示检验法 如模型为Yi=0+1X1i+2X2i+…+ℇi 时,
7
用Eviews的误设定检验1
• 首先估计出简单(单纯)方程 • View/Coefficient Tests/Omitted
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入新变量名 OK • 检验结果出现在上端,如果P值很小时, 拒
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
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二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
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第二节 异方差性的后果
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
计量经济学第五章异方差讲解
计量经济学-第五章-异方差讲 解
第5章 异方差
异方差概念
异方差来源与后果
异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验）
异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵，且 主对角线上的元素都是常数且相等。
若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（第2版教材第115页） （第3版教材第94页）
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
（课本第125页） Goldfeld-Quandt 检验
去掉中间9个观测值。
用第1个子样本回归：
，SSE1=150867.9
用第2个子样本回归：
，SSE2=958109.4
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
③ 构造F统计量。
因为F =6.35 > F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。
2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具 体步骤如下。
yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 ②做如下辅助回归式，
= 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进 行③OWLhSi回te检归验。的注零意假，设和上备式择中假要设保是留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。
计量经济学 第五章习题答案
第五章异方差性5.2答案：（1）EVIEWS估计的结果为：Yˆi= 9.3475+0.6371X iT=(2.5691) (32.0088)R2 =0.9464 F=1024.564（2）首先，用Goldfeld-Quandt法进行检验。
将样本X按递减顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即N1=N2=22。
分别对两个部分样本求最小二乘估计，在样本区为1—22的Eviews估计如下：样本区39—60的Eviews估计如下：得到两个部分各自的残差平方和，即∑e 12 =2495.840∑e 22 =603.0148求F 统计量为： F=∑∑e e 2221=2495.840/603.0148=4.1390给定α=0.05，查F 分布表，得临界值为F 0.05=(20,20)=2.12.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>F 0.05=(20,20)=2.12，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验结果如下：给定α=0.05，在自由度为2下查卡方分布表，得χ2=5.9915。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=10.8640>χ2=5.9915，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数W1=1/X，作加权最小二乘估计，得如下结果用White法进行检验得如下结果：F-statistic 3.138491 Probability 0.050925Obs*R-squared 5.951910 Probability 0.050999。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=5.9519<χ2=5.9915，说明加权后的模型中的随机误差项不存在异方差。
其估计的结果为：Yˆi= 10.3705+0.6309X iT=(3.9436) (34.0467)R2 =0.21144 F=1159.176 DW=0.95855.3答案：（1）EVIEWS估计结果：Yˆi= 179.1916+0.7195X iT=(0.808709) (15.74411)R2 =0.895260 F=247.8769 DW=1.461684 （2）利用White方法检验异方差，则White检验结果见下表：由上述结果可知，该模型存在异方差。
计量经济学第五章 异方差
X 20000
5.3异方差的侦查
利用残差图——绘制残差平方与X散点图
（一般把异方差看成是由于解释变量的变化而引起的）
5.1异方差的概念
三、异方差产生的原因 模型设定误差：省略了重要的解释变量
例：真实模型 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i i 采用模型 Yi 1 2 X 2i i
如果X3随着X2的不同而对Y产生不同的影响，则 该影响体现在扰动项中。
测量误差： 一方面，测量误差常常在一定时间内逐渐增加，如X 越大，测量误差就会趋于增大 另一方面，测量误差随时间变化趋于减少，如抽样技 术的改进使得测量误差减少。
)
2 i
5.1异方差的概念
6 Y
4
300 Y
200
2
100
0 0
X
0
X
10
20
30
0
5000
10000
15000
20000
250
Y
二、常见的异方差类型： 200
递增型异方差：
150
100
递减型异方差：
50
条件异方差（略）：
0 0
X
10
20
30
时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
ˆ 2 ei2 (Yi ˆX i )2 (( ˆ) X i i )2
n 1
n 1
n 1
5.2异方差的后果
E (vaˆr(ˆ ))
E(
ˆ 2
X
2 i
)
E(
(( ˆ)X
(n 1)
计量经济学知识点整理：异方差
(2)X-~e i2的散点图进行判断异方差性1、定义：如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
同方差性：σi2 = 常数 ≠ f(Xi)异方差时：σi2 = f(Xi) 2、后果：参数估计量非有效OLS 估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(μμ’)=σ2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t 统计量如果出现了异方差性，估计的S 出现偏误则t 检验失去意义。
其他检验也是如此。
模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面在预测的置信区间中，同样包含参数方差的估计量。
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y 的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
3、检验：检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
图示法（1）用X-Y 的散点图进行判断，看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）看是否形成一斜率为零的直线 帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验偿试建立方程：i ji i X f e ε+=)(~2Var i i ()μσ=2i ji i X e εασ++=ln ln )~ln(22i e X X f jiji εασ2)(=)12,12(~)12(~)12(~2122------------=∑∑k c n k c n F k c n e k c n e F i i 选择关于变量X 的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
如： 帕克检验常用的函数形式：若α在统计上是显著的，表明存在异方差性。
戈德菲尔德-奎恩特(Goldfeld-Quandt)检验①将n 对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi 的大小排队②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2,即3n/8③对每个子样分别进行OLS 回归，并计算各自的残差平方和④在同方差性假定下，构造如下满足F 分布的统计量⑤给定显著性水平α，确定临界值F α(v1,v2)，若F> F α(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。
计量经济学第五章 异方差性
●异方差性的概念 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
1
第一节 异方差性的概念
一、异方差性的实质 二、异方差产生的原因
2
一、异方差性的实质
设模型为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ui
如果对于模型中随机误差项,有：
8
第二节 异方差性的后果
一、对参数估计统计特性的影响 二、对参数显著性检验的影响 三、对预测的影响
9
一、对参数估计式统计特性的影响
1、仍然具有线性性 2、仍然具有无偏性
参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零 均值 假定（即 E(ui ) 0 ）。所以异方差的存在对 无偏性的成立没有影响。
3、仍然具有一致性 4、不再具有最小方差性
24
4、检验的特点
（1）适用于大样本； （2）检验递增型或递减型异方差； （3）只能判断异方差是否存在，在多个解释变 量的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局 限； （4）该检验的功效取决于C，C值越大，检验功 效越好； Continued
25
Continued （5）两个子样回归所用的观测值个数如果不 相等时，也可以用该检验，需要通过改变自由度 和统计量的计算公式来调整； （6）当模型中包含多个解释变量时，应对每 个可能引起异方差的解释变量都进行检验。
26
三、White检验
1、基本思想：
构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函 数，通过判断辅助函数的显著性来判断原方程是 否存在异方差。 一般而言，辅助回归的解释变量包括常数项、 原模型中的解释变量、解释变量平方、其交叉乘 积。
27
2、检验的基本步骤：
原模型为
计量经济学-第五章-异方差
t2 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
权项 1 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
Xt
通常取权重为 t 1 。
第五节 案例分析
例 5.1 已知某地区的个人储蓄 Y ，可支配收入 X 的
——加权最小二乘法
第五节：案例分析
第一节 异方差的概念
1. 什么是异方差？
12 2 0 0 2 0 0 Var (u ) 0 Var (u ) 2 0 0 0 0
2 2
天津商业大学经济学院
计量经济学
授课人：田立法 教材：张晓峒《计量经济学基础（第3版）》 授课班级：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：sd_jiliang_2011@ tianlifa
2011年10月
第五章 异方差
第一节：异方差的概念 第二节：异方差的来源与后果 第三节：异方差检验 第四节：异方差的修正方法
1.2E+11 RESID 8.0E+10
4.0E+10
6.0E+11
0.0E+00
4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4.0E+10
-8.0E+10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
第二节 异方差的来源与后果
X 1* ' 11 0 0 X 1 ' X 1 ' / 1 * X 2 ' 0 21 0 X 2 ' X 2 ' / 2 X* * X T ' 0 0 T1 X T ' X T ' / T
计量经济学课后思考题答案
计量经济学课后思考题答案第五章异⽅差性思考题5.1 简述什么是异⽅差？为什么异⽅差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？答：设模型为，如果其他假定均不变，但模),....,,(....n 21i X X Y i i 33i 221i =µ+β++β+β=型中随机误差项的⽅差为，则称具有异⽅差性。
由于异⽅差性),...,,()(n 21i Var 2i i =σ=µi µ指的是被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化⽽变化的，所以异⽅差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关。
5.2 试归纳检验异⽅差⽅法的基本思想，并指出这些⽅法的异同。
答：各种异⽅差检验的共同思想是，基于不同的假定，分析随机误差项的⽅差与解释变量之间的相关性，以判断随机误差项的⽅差是否随解释变量变化⽽变化。
其中，⼽德菲尔德-跨特检验、怀特检验、ARCH 检验和Glejser 检验都要求⼤样本，其中⼽德菲尔德-跨特检验、怀特检验和Glejser 检验对时间序列和截⾯数据模型都可以检验，ARCH 检验只适⽤于时间序列数据模型中。
⼽德菲尔德-跨特检验和ARCH 检验只能判断是否存在异⽅差，怀特检验在判断基础上还可以判断出是哪⼀个变量引起的异⽅差。
Glejser 检验不仅能对异⽅差的存在进⾏判断，⽽且还能对异⽅差随某个解释变量变化的函数形式进⾏诊断。
5.3 什么是加权最⼩⼆乘法？它的基本思想是什么？答：以⼀元线性回归模型为例：12i i i Y X u ββ=++经检验存在异⽅差，公式可以表i µ⽰为22var()()i i i u f X σσ==。
选取权数，当越⼩时，权数越⼤。
当 i w 2i σi w 越⼤时，权数越⼩。
将权数与残差平⽅相乘以后再求和，得到加权的残差平⽅和：2i σi w ，求使加权残差平⽅和最⼩的参数估计值。
这种2i 21i 2i i X Y w e w )(**β-β-=∑∑**??21ββ和求解参数估计式的⽅法为加权最⼩⼆乘法。
计量经济学 第五章 异方差 ppt课件
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
10
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
TR 2 2(5)
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。 自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数 项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-3 0
T
50
100
150
200
散点图
残差图
7
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）
主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
Байду номын сангаас
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8
计量经济学第五章-异方差
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5
一、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不 是最小方差的估计量
1、线性性
bˆ1
= xi yi xi 2
= b1
+ xi ui xi 2
一元线性回归模型为例
2、无偏性
E( bˆ1 )=E(
b1
+
xi ui xi 2
在同方差的假定下才被证明是服从 t 分布的。 分母变大，t 值变小，t 检验也就失去意义。
三、降低预测精度
由于存在异方差，参数的OLS估计的方差增大，参数 估计值的变异程度增大，从而造成对 Y 的预测误差变大， 降低预测的精度。
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7
第二节 异方差的检验
• 1、图解法 • 2、戈德菲尔德—匡特法（双变量模型） • 3、怀特检验（White） • 4、戈里瑟(Glejser)检验 • 5、帕克(Park)检验
• 二、随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配 他们的收入有更大的选择范围。因此，在做储蓄对收入的回归 时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，与收 入俱增。
• 三、个体户收入随时间变化。
• 四、异方差还会因为异常值的出现而产生。一个超越正常值范 围的观测值或称异常值是指和其它观测值相比相差很多（非常 小或非常大）的观测值。
)= b1+
xi E(ui xi 2
)
=
b1
3、方差
该形式不具有最小方差
Var( bˆ1 ) =
i 2
xi 2
在同方差时，
xi2 Xi2 xi 2
该形式具有最小方差
Var(
计量经济学-5异方差
计量经济学 第三节 异方差模型的处理
思想：变异方差为同方差，或尽量减少方差变异的程度。 一、模型变换法（适用于异方差已知的情况）
如果随机项的方差 i2已知, 则：
设原模型为：Yi 0 1 X i1
p X ip ui，
2 2 f ( X i1, X i 2 ,
X ip
ui f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im )
0 X i1 1 f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im )
计量经济学
四、帕克（Pack）检验(只能检验有异方差)
假定 i2与某一解释变量X k 有关 :
i2 2 X ev , 或 ln( i2 ) ln( 2 ) ln( X k ) vi
i k
由于 i2未知，以同方差假定下OLS 估计得到的ei2 代替： ln(ei2 ) ln( X k ) vi 进行回归，对 作显著性检验。
et2 0 1et2-1 2et2-2 pet2-k
ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982） 针对ARCH过程提出LM检验法。辅助回归式定义为 LM统计量定义为： ARCH = nR2 ~ 2 (k ) 若 若
2 nR2 (k )(or p ) ，接受H0 （ut 具有同方差） 2 nR2≥ (k )(or p≤ ) ，拒绝H0 （ut 具有异方差）
ˆ Xi X等级 Y i 5.1 9 0.4994 3.4 7 1.8534 3.6 8 1.6941 3.1 6 2.0924 2.7 4 2.4110 2.8 5 2.3313 2.6 3 2.4906 2.4 2 2.6499 2.1 1 2.8889 2.1 1 2.8889
异方差
第一节 异方差的概念
例：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模 型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同 ，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观 测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
第三节 异方差性的检验
三、戈里瑟(Gleiser)检验 1969年戈里瑟提出的，它不但可以检验异方差是 否存在，而且可以近似探测随机误差项的方差是 怎样随解释变量的变化而变化的。 基本思想：由OLS法得到残差 e i ,取 e i 的绝对 值 ，然后将 对某个 X i回归，根据回归模 ei ei 型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。
二、异方差性的后果
ˆ
2
e
2 i
n2
ˆ s(1 )
ˆ ki
2
2
ˆ2
(Xi X )
2
但是，在异方差的情况下
ˆ* s( i ) ˆ ki i
2 2
ˆ i ki
2 2
ˆ ki
2
2
i ki ki
2
2
＝
ˆ s(i )
i Байду номын сангаасi
第三节 异方差性的检验
计量经济学第5章 异方差
10
~2 e i
~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
11
• （二）戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt) 检验
• 此检验方法以F检验为基础，适合于样本容量较大， 异方差为单调递增或单调递减的情况。 • 原假设为：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2 • 备择假设为： H1:ui是递增（或递减）异方差， 即σi2随X递增（或递减）(i=1,2,…,n) • 检验过程如下： • 1、将解释变量观测值Xi按大小的顺序排列，被解 释变量观测值Yi保持原来与解释变量的对应关系。
14
• 4、选择统计量 • 若是检验递增方差，
nc ESS2 /( k 1) ESS2 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS1 /( k 1) ESS1 2
• 若是检验递减方差，
nc ESS1 /( k 1) ESS1 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS2 /( k 1) ESS2 2
12
• 2、按照上述顺序排列的观测值，把位于中间的c 个删去，删去的数目c是Goldfeld-Quandt通过试 验的方法确定的。对于n≥30时，删去的中心观测 数目为整个样本数目的四分之一最合适（比如 n=30,c=8;n=60,c=16）,将剩下的(n-c)个观测值 划分为大小相等的两个子样本，每个子样本的容 量均为(n-c)/2，其中一个子样本是相应的观测值 Xi较大的部分，另一个子样本是相应的观测值Xi 较小的部分。
18
• （四）帕克（Park）检验与戈里瑟(Gleiser)检验 • 帕克检验与戈里瑟检验的基本思想是：以ei2或|ei| 为被解释变量，以原模型的某一解释变量Xj为解释 变量,建立如下方程： 2 • ei f ( X ji ) i 或 | ei | f ( X ji ) i • 选择关于变量Xj的不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验。如果存在某一种函数形式， 使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
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异方差较之 同方差更为
常见
5
横截面数据:对一个或多个变量在同一时点上收集 的数据.
比如我们在研究居民储蓄问题时: 对于低收入家庭，他们满足基本消费以后，所剩无几， 因此各个家庭之间的储蓄不会有很大差异；
而对于高收入家庭，他们满足基本消费后，收入剩余较多， 由于各个家庭在消费习惯、消费心理、家庭成员构成不同， 有的家庭可能储蓄较多，有的家庭可能储蓄少，各个家庭之 间的储蓄就会出现较大差异。此时用线性模型来居民储蓄问 题时就有可能会出现异方差问题
2
5.1 异方差问题及其产生原因
对于前面研究的一般线性回归模型
Yi b0 b1Xi b2 X2 bk Xk i
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
3
5.1 异方差问题及其产生原因
对于我们所研究的一般线性回归模型：
Yi b0 b1X1i b2 X 2i bk X ki i
f ( Xi )
此时如果仍采用 var(bˆ1)
2
xi2
计算斜率参数的方差，将
会产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过低估计参数的方差
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过高估计参数的方差
19
从Y-X散点图可以看出，随着自变量的增加，因变量 随着增加，但是其分散程度也逐渐增大；同样，从残差 分布图中也可以发现残差的分散程度也随着自变量的增 加而加大。
★需要指出的是，图示检验法是判断异方差是否存 在比较粗略的一种方法，要精确地检验模型中是否存 在异方差，还要采用其他一些方法。★
20
• 2.戈德菲尔德－匡特检验法
第五章 异方差
1
图1：我国税收和GDP(p24页) 图2：1998年我国制造工业和利润(p71页)
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量
也增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，
随着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布
却没有出现这一特征。
13
2.普通最小二乘估计量不再是有效的
前面推导斜率参数的方差时，我们得到下面的公式 var(bˆ1) ki2 2
当模型满足同方差假定时 var(i ) 2 常数
var( bˆ1) 2
ki2
2
xi2
(最小方差)
但当模型中出现异方差时
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
设
2 i
2
f
(Xi)
var(bˆ1)
ki2
2 i
ki2 2 f ( X i ) 2
ki2 f ( X i ) 2
(
xi2 xi2 )2
f ( Xi )
2
xi2
•
xi2 xi2
f ( Xi )
14
由此可见模型中出现异方差时，斜率系数方差公式中多出 了一个因子
xi2 xi2
简而言之： 此时采用普通最小二乘法 估计模型所得到的结果， 其准确性难以保证！！
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估计模型的数学方法
估计模型的数学方法估计模型的数学方法估计模型的…数学…方法
加权最小二乘法普通最小二GL乘S法法 广义最小二乘法
（WLS法） （OLS法） WLS法
（GLS法）
OLS法
18
5.3 异方差的检验
1.图示法 (1)绘制Y-X散点图
我们假设对于不同的样本点，随机误差项的分散程度是相同 的；但是如果随机误差项随着自变量的变化而变化，分散程 度不同时，我们说模型中出现了异方差问题。
var( i
)
2 i
常数, (i
1,2,
n)
Var(Yi ) Var(i )
4
异方差产生的主要原因
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
基本原理：这种方法又称G-Q检验法，它首先将样本按照
升序排列，然后将样本分成两个部分，再对这两个子样本 分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1和 RSS2。如果这两个部分随机误差项的分散程度相同，那 么RSS1和RSS2应该相差不大；如果RSS1和RSS2相差 较大，在表明两个部分随机误差项的分散程度存在较大差 异，模型中存在异方差。
Байду номын сангаас15
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标志 误差，因此也影响到t检验的效果
t(bˆi )
bˆi se(bˆi )
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联系， 随着随机误差项方差的增大，模型的预测区间也随之增 大，模型的预测误差也会相应增加。
16
11
5.2异方差对OLS估计量的主要影响
满足同方差假定 线性性 无偏性 最具有效性
存在异方差
OLS 估计量
线性性 无偏性 最具有效性
12
1.最小二乘估计量仍旧是线性无偏的
因为此时随机误差项仍旧满足零均值假定
可以证明线性：
bˆ1 b1 kii
E(i ) 0
无偏性
E(bˆ1) E(b1 kii ) E(b1) E( kii ) b1
8
9
年收益额 同年人均可支配收入
时间 年利率 每万元年收益 比重
1993.7 10.98% 1098元 42.6%
2002.2 1.98% 198元
2.57%
2007.12 4.14% 414元 3.00%
2008.12 2.25% 225元 1.43%
储蓄热情极高
储蓄热情极低 寻求其他投资
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由于因变量和随机误差项的方差相同，因此通过观察 因变量和自变量的散点图，可以分析因变量的分散程度 与自变量之间是否存在关系，如果因变量的分散程度随 着自变量的增加呈现增大(减小)的趋势，那么就说明模 型中出现了递增(递减)型的异方差现象。
(2)绘制残差分布图e-x 建立线性回归模型后，以残差平方作为纵坐标，自变量 X作为横坐标，绘制残差分布图，如果残差平方随着自变 量的变化而出现系统变化趋势，也可以判断模型中存在 异方差问题。
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研究居民家庭储蓄行为 如政策的变动，自然灾害的发生、 金融危机的爆发等。 这些偶然因素本身均会造成随机误 差项的异方差性。
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研究居民家庭储蓄行为
Yi : 第i个家庭的储蓄额 X i : 第i个家庭的可支配收入
Yi b0 b1X i i × ln(Yi ) b0 b1 ln( X i ) i