2013 暑期数学集训课程代数导学第三部分不等式

证明：由题设和排序不等式， ，
a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ≥ a1b2 + a 2 b3 + " + a n b1 ，
……
a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ≥ a1bn + a 2 b1 + " + a n bn −1 .
例 1：设 a, b, c∈R+，试证：对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2
≥2
⎛ a+b abc b+c c+a ⎞ ⎜ xy + yz + xz ⎟ ⎟. a b c (a + b)(b + c)(c + a ) ⎜ ⎝ ⎠
证明：左边‐右边= x2+y2+z2
事实上，左－右= ( a n − a k )(bn − b jn ) ≥ 0, 由此可知，当 j n ≠ n 时，调换 S = a1b j1 + " + a k b jk + " + a n b jn （ j n ≠ n ）
，所得新和 S1 ≥ S . 调整好 a n 及 bn 后，接着再仿照上面 中 bn 与 b jn 位置（其余不动） 调整 a n −1 与 bn −1 ，又得 S 2 ≥ S1 . 如此至多经 n − 1 次调整得顺序和
∑ a )(∑ a
2 i =1 i i =1
n
n
1
2 i
) ≥ n 2 ，等号成立时当且仅当
a1 = a2 = ... = an
3. 排序不等式 设 有 两 个 有 序 数 组
a1 ≤ a 2 ≤ " ≤ a n 及 b1 ≤ b2 ≤ " ≤ bn . 则
a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn （同序和） ≥ a1b j1 + a 2 b j 2 + " + a n b jn （乱序和）
aA + bB + cC π < . 3 a+b+c 2 证明：不妨设 a ≤ b ≤ c ，于是 A ≤ B ≤ C. 由排序不等式，得
例 5. 在△ABC 中，试证：
π
≤
aA + bB + cC ≥ aA + bB + cC ,
aA + bB + cC ≥ bA + cB + aC , aA + bB + cC ≥ cA + aB + bC.
+ " + xn ⋅
x n −1 xn
+ x1 ⋅
xn x1
)2
Leabharlann Baidu
= ( x1 + x 2 + " + x n −1 + x n ) 2 ，
2 2 2 xn xn x12 x 2 −1 ∴ + +"+ + ≥ x1 + x 2 + " + x n . x 2 x3 xn x1
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+
a 2 ca c 2 z −2 xz + x a+b (a + b)(b + c) b+c
2 2 2
⎛ b a ⎞ ⎛ c b ⎞ ⎛ a c ⎞ =⎜ ⎜ b+cx+ c +a y⎟ ⎟ +⎜ ⎜ c+ a y − a+bz⎟ ⎟ +⎜ ⎜ a +b z − b + c x⎟ ⎟ ≥ 0. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
同理
所以
（4）运用不等式定理
例 4：设 x1 , x 2 , " , x n ∈ R + ，求证：
2 2 2 xn xn x12 x 2 −1 + +"+ + ≥ x1 + x 2 + " + x n . x 2 x3 xn x1
证明：∵ x1 , x 2 , " , x n > 0 ，故由柯西不等式，得
a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ≥ a1b j1 + a 2 b j 2 + " + a n b jn ②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当 a1 = a 2 = " = a n 或 b1 = b2 = " = bn 使 bn > b jn , a n > a k . 这 时②中等号成立.反之， 若它们不全相等， 则必存在 j n 及 k，
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代数----不等式导学
一、 基本知识点 1. 均值不等式
任取 a1 , a2 ,..., an ∈ R ，必定满足以下不等式
+
n 1 1 +" + a1 an
≤ n a1 " a n ≤
a1 + " + a n ≤ n
2 + an a12 + " n
其中等号成立的充要条件是 xi = y i (i = 1,2, " , n). 从而原不等式成立， 且等号成立
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的充要条件是 bi = kai ( k =
A ). B
变式： ai ∈ R, i = 1, 2,..., n ， (
将上述 n 个不等式叠加后，两边同除以 n2，即得欲证的不等式.
6. 绝对值不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | ；
| a1 + a2 + ... + an |≤| a1 | + | a2 | +...+ | an | ； 二、 不等式的证明方法 （1）差值比较法
−2 =
ab bc ca xy − 2 yz − 2 xz (b + c)(c + a ) ( a + b)(c + a ) ( a + b)(b + c)
b 2 ab a c bc b 2 x −2 xy + y2 + y2 − 2 yz + z b+c (b + c)(c + a ) c+a c+a ( a + b)(c + a ) a+b
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f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) x + x + ... + xn ≤ f( 1 2 ) 。 n n
如果在定义域 [a, b] 上函数 y = f ( x) 为下凸函数，则 ∀x1 , x2 ,..., xn ∈ [a, b] ，
2 x2 x2 x12 x 2 + + " + n −1 + n ) x 2 x3 xn x1
( x 2 + x3 + " + x n + x1 )(
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≥ ( x2 ⋅
x1 x2
+ x3 ⋅
x2 x3
等号成立当且仅当 a 1 = a 2 = ... = a n ；
n 1 1 1 + + ... + a1 a2 an
算术平均， 称为调和平均， n a1a2 ...an 称为几何平均，
a1 + a2 + ... + an 称为 n
a12 + a2 2 + ... + an 2 称为平方平均 n
相 加 ， 得 3( aA + bB + cC ) ≥ ( a + b + c )( A + B + C ) = π ( a + b + c ) ， 得
证明：不妨设在乱序和 S 中 j n ≠ n 时（若 j n = n ，则考虑 j n −1 ） ，且在和 S 中 含有项
a k bn (k ≠ n), 则 a k bn + a n b jn ≤ a k b jn + a n bn . ①
3 3 x y z ≥ . + + 2 2 2 2 1− x 1− y 1− z
证明：先证
2
x 3 3 2 x . ≥ 2 2 1− x
1 因为 x(1‐x )= ⋅ 2 x 2 (1 − x 2 ) 2 ≤ 2
所以
1 ⎛2⎞ 2 , ⋅⎜ ⎟ = 2 ⎝3⎠ 3 3
3
x x2 x2 3 3 2 = ≥ = x . 2 2 2 2 1− x x(1 − x ) 3 3 z 3 3 2 y 3 3 2 ≥ z ， y ， ≥ 2 2 2 2 1− z 1− y x y z 3 3 2 3 3 + + ≥ (x + y 2 + z 2 ) = . 2 2 2 2 2 1− x 1− y 1− z
所以左边≥右边，不等式成立。 （2）反证法 例 2：设实数 a0, a1,…,an 满足 a0=an=0，且 a0‐2a1+a2≥0, a1‐2a2+a3≥0,…, an‐2‐2an‐1+an≥0，求证 ak≤0(k=1, 2,…, n‐1). 证明：假设 ak(k=1, 2,…,n‐1) 中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1, a2,…, an‐1 中 第 一 个 出 现 的 正 数 ， 则 a1≤0, a2≤0, … , ar‐1≤0, ar>0. 于 是 ar‐ar‐1>0 ， 依 题 设 ak+1‐ak≥ak‐ak‐1(k=1, 2, …, n‐1)。所以从 k=r 起有 an‐ak‐1≥an‐1‐an‐2 ≥…≥ar‐ar‐1>0. 因为 an≥ak‐1≥…≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 （3）局部不等式法 例 3：已知 x, y, z∈R+，且 x2+y2+z2=1，求证：
2 2 2 2 2 2
时，不等式显然成立）. 记 A= a1 + a2 + " + an ，B= b1 + b2 + " + bn . 且令 xi =
ai b , y i = i (i = 1,2, ", n), A B
2 2 2 2 则 x12 + x 2 + " + xn = 1, y12 + y 2 + " + yn = 1. 于是原不等式成为
时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和” 。
4. 琴生不等式 如果在定义域 [a, b] 上函数 y = f ( x) 为上凸函数，则 ∀x1 , x2 ,..., xn ∈ [a, b] ，
必满足琴生不等式：
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2. 柯西不等式 若 ai , bi ∈ R, i = 1, 2,..., n ，则 (∑ ai 2 )(∑ bi 2 ) ≥ (∑ ai bi ) 2 ，等号成立时当且仅
i =1 i =1 i =1 n n n
当
a a1 a2 = = ... = n 。 b1 b2 bn
证明：不妨设 ai (i = 1,2, " , n) 不全为 0， bi 也不全为 0（因为 ai 或 bi 全为 0
定义域上的上凸函数；反之，如果 f ( x) ≥ 0 ，那么我们称 f ( x ) 为定义域上的下
"
凸函数。 5. 车比雪夫不等式 切比雪夫不等式：若 则
a1 ≤ a 2 ≤ " ≤ a n ， b1 ≤ b2 ≤ " ≤ bn ，
a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn a1 + a 2 + " + a n b1 + b2 + " + bn ≥ ⋅ . n n n
x1 y1 + x 2 y 2 + " + x n y n ≤ 1.
2 2 2 2 即 2( x1 y1 + x 2 y 2 + " + x n y n ) ≤ x12 + x 2 .它等价于 + " + xn + y12 + y 2 + " + yn
( x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + " + ( x n − y n ) 2 ≥ 0.
≥ a1bn + a 2 bn −1 + " + a n b1 （逆序和）
其中 j1 , j 2 , " , j n 是 1，2，…，n 的任一排列.当且仅当 a1 = a 2 = " = a n 或
b1 = b2 = " = bn 时等号（对任一排列 j1 , j 2 , " , j n ）成立.
必满足琴生不等式：
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) x + x + ... + xn ≥ f( 1 2 ) 。 n n 评注：对于实数集上的上凸（下凸）函数，一般的判别方法是求这个函
数的二阶导数。如果在定义域中函数满足 f " ( x) ≤ 0 ，那么我们称 f ( x ) 为