9-结构可靠度分析与计算

β 值可按式(9-5)计算，得：
β= μ − μS μZ = R 2 2 σZ +σS σR
(9-5)
β 与 Pf 在数值上的对应关系见表 9-1。 从表中可以看出，β 值相差 0.5， 失效概率 Pf 大
致差一个数量级。
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第9章
结构可靠度分析与计算
β 与 Pf 的对应关系 β
3.2 3.5 3.7 4.0 4.2 Pf
图 9.2 功能函数 Z 的分布曲线
Z = R − S < 0 的事件出现的概率就是失效概率 Pf ：
Pf = P ( Z = R − S < 0) = ∫
0 −∞
f ( Z )dZ
(9-2)
式中， f ( Z ) ——结构功能函数 Z 的概率密度分布函数。 失效概率 Pf 就可以用图 9.2 中的阴影面积表示。如结构抗力 R 的平均值为 μ R ，标准差 为 σ R ；荷载效应的平均值为 μ S ，标准差为 σ S ，则功能函数 Z 的平均值及标准差为：
(Xi − μX )
i
(9-7)
μ
Z μ 的平均值：
μ Z = E ( Z μ ) = g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
μ
1 2 n
(9-8)
Z μ 的方差：
2 = E[ Z μ − E ( Z μ )]2 = ∑ ( ∂ σZ
μ
n
i =1
g 2 2 ) σX ∂X i μ
i
(9-9)
结构可靠指标表示为：
构件抗力 R 的统计参数：
μR=μRc+μRs=3720+746.3=4466.3kN 2 2 σR = σ Rc + σ Rs = 744.02 + 44.82 = 745.3kN
(3) 可靠指标β 的计算。 μ − μS 4466.3 − 1800.0 = = 3.48 β= R 2 2 σR +σS Biblioteka Baidu45.32 + 180.02
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结构可靠度分析与计算
教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。并在此基础上，简述 了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。 教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。
9.1
结构可靠度的基本概念
9.1.1 结构的功能要求和极限状态 工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足 设计所预期的各项功能。 《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068—2001)规定，结构在 规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。 (1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。 (2) 在正常使用时具有良好的工作性能。 (3) 在正常维护下具有足够的耐久性能。 (4) 在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。 上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的 耐久性要求。 这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为 50 年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用 性和耐久性)的能力。 显然， 增大结构设计的余量， 如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量， 或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但 这将使结构造价提高，不符合经济的要求。因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构 可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做 到经济合理。 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此 特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。极限 状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。 (1) 承载力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适 于继续承载的变形。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、过大的滑移等)。 ② 结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过度变形而不适于继 续承载(如受弯构件中的少筋梁)。 ③ 结构转变为机动体系 (如超静定结构由于某些截面的屈服，使结构成为几何可变 体系)。
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④ 结构或结构构件丧失稳定(如细长柱达到临界荷载发生压屈等)。 ⑤ 地基丧失承载力而破坏(如失稳等)。 (2) 正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的 某项规定限值。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。 ① 影响正常使用或外观的变形(如过大的挠度)。 ② 影响正常使用或耐久性能的局部损失(如不允许出现裂缝结构的开裂；对允许出现 裂缝的构件，其裂缝宽度超过了允许限值)。 ③ 影响正常使用的振动。 ④ 影响正常使用的其他特定状态。 9.1.2 结构抗力 结构抗力 R 是指结构或构件承受作用效应的能力，如构件的承载力、刚度、抗裂度等。 影响结构抗力的主要因素是材料性能(承载力、变形模量等物理力学性能)、几何参数以及 计算模式的精确性等。考虑到材料性能的变异性、几何参数及计算模式精确性的不确定性， 所以由这些因素综合而成的结构抗力也是随机变量。 9.1.3 结构功能函数 结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应 S 和结构抗力 R 的关系来描述，这 种表达式称为结构功能函数，用 Z 来表示： Z = R − S = g ( R，S ) (9-1) 它可以用来表示结构的 3 种工作状态(图 9.1)。 当 Z > 0 时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态。 当 Z < 0 时，结构不能完成预定的功能，处于失效状态。 当 Z = 0 时，即 R = S 结构处于临界的极限状态， Z = g ( R，S ) = R − S = 0 ，称为极限状 态方程。 结构功能函数的一般表达式 Z = g ( X 1，X 2， ，Xn) = 0 ，其中 Xi (i = 1，2， ，n) 为影响 作用效应 S 和结构抗力 R 的基本变量，如荷载、材料性能、几何参数等。由于 R 和 S 都是 非确定性的随机变量，故 Z 也是随机变量。
i
σ X (i=1，2，…，n)，由这些随机变量所表示的结构功能函数为
i
Z=g(X1，X2，…，Xn) 将功能函数 Z 在随机变量的平均值处展开为 Taylor 级数并保留至一次，即：
n g Z μ = g ( μ X ，μ X ，…，μ X ) + ∑ ∂ i =1 ∂ X i
1 2 n
(9-6)
图 9.1 结构所处的状态 ·155·
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荷载与结构设计方法
9.1.4 结构可靠度和可靠指标 结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的可靠度。可 见，可靠度是对结构可靠性的一种定量描述，亦即概率度量。 结构能够完成预定功能的概率称为可靠概率 Ps；结构不能完成预定功能的概率称为失 效概率 Pf 。显然，二者是互补的，即 Ps+Pf =1.0。因此，结构可靠性也可用结构的失效概 率来度量，失效概率愈小，结构可靠度愈大。 基本的结构可靠度问题只考虑由一个抗力 R 和一个荷载效应 S 的情况，现以此来说明 失效概率的计算方法。设结构抗力 R 和荷载效应 S 都服从正态分布的随机变量，R 和 S 是 互相独立的。由概率论知，结构功能函数 Z = R − S 也是正态分布的随机变量。Z 的概率分 布曲线图如图 9.2 所示。
查表 9-1 可得，相应的失效概率 Pf 为 2.06×10-4。
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荷载与结构设计方法
9.2
9.2.1 均值一次二阶矩法
结构可靠度计算
均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路 为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，分析结构的可 靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作 Taylor 级数展开，使之线性化，然 后求解可靠指标。 设 X1，X2， …，Xn 是结构中 n 个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为 μ X 和
μ z = μR − μs
2 2 σz = σR +σS
Z
(9-3) (9-4)
结构失效概率 Pf 与功能函数平均值 μ 到坐标原点的距离有关，取 μ z = βσ z 。由图 9.2 可见，β 与 Pf 之间存在着对应关系。β 值越大， 失效概率 Pf 就小；β 值越小， 失效概率 Pf 就大。 因此，β 与 Pf 一样， 可作为度量结构可靠度的一个指标， 故称 β 为结构的可靠指标。
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第9章
结构可靠度分析与计算
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解：(1) 取用抗力作为功能函数。 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 极限状态方程为 Z = fW − M = fW − 130.0 × 106 = 0 由式(9-9)得： μ Z = μ f μW − M = 234 × 9.0 × 105 − 130.0 × 106 = 8.06 × 107 N ⋅ m 由式(9-9)得：
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表 9-1
β
1.0 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0
Pf 1.59×10-1 6.68×10-2 2.28×10-2 6.21×10-3 3.50×10-3 1.35×10-3
6.40×10-4 2.33×10-4 1.10×10-4 3.17×10-5 1.30×10-5
由图 9.2 可知，失效概率 Pf 尽管很小，但总是存在的。因此，要使结构设计做到绝对 的可靠( R > S ) 是不可能的，合理的解答应该是把所设计的结构失效概率降低到人们可以接 受的程度。 【例 9.1】 某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为 Ac=b×h=(300×500)mm2，配有 4 根直 径为 25 的 HRB335 钢筋， Αs=1964mm2。 设荷载服从正态分布， 轴力 N 的平均值μN=1800kN， 变异系数 δN=0.10 。钢筋屈服强度 φy 服从正态分布，其平均值 μfy=380N/mm2 ，变异系数 δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度 φc 也服从正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2 ，变异系数 δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。 解：(1) 荷载效应 S 的统计参数。 μS=μN=1800kN，σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN (2) 构件抗力 R 的统计参数。 短 柱 的 抗 力 由 混 凝 土 抗 力 Rc= fcAc 和 钢 筋 的 抗 力 Rs=fyAs 两 部 分 组 成 ， 即 ：
β=
μZ σZ
μ
=
g ( μ X ，μ X ，…，μ X )
1 2 n
(9-10)
μ
g 2 2 (∂ ) σX ∑ i =1 ∂ X i μ
n
i
由上述可以看出，均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式， 直接给出可靠指标β与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它也存在着 以下缺点。 (1) 不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分布或非对数正 态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能采用。 (2) 将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不 在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲 面。可靠指标β依赖于展开点的选择。 (3) 对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一次二阶矩法不 能求得相同的可靠指标值。见例 9.2 的分析。 【例 9.2】 已知某钢梁截面的塑性抵抗矩 W 服从正态分布，μW = 9.0 × 105 mm3 ，δ W = 0.04 ； 钢梁材料的屈服强度 f 服从对数正态分布， μ f = 234N/mm3 ， δ f = 0.12。钢梁承受确定性 弯矩 M = 130.0kN ⋅ m。试用均值一次二阶矩法计算该梁的可靠指标β。
R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力 Rc 的统计参数为：
μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN
钢筋抗力 Rs 的统计参数：
μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN