巧解：2018全国I卷理科数学最后一道选择题(第12题)答案

巧解2018全国I卷理科数学最后一道选择题（第12题）

作者: 李泽粤 2018-6-30

理科数学

【题目】

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A

B

C

D

【巧解方法一】

思路：借助两个定理，将求截面的最大面积转化为：求截面在正方体底面的投影面积的最大值S，再用S除以平面α与正方体底面的夹角正弦值得到截面的最大面积。

[定理一] 易证，如下图1，平面α上的任一闭合图形的面积S1与平面α在底面XOY的投影面积S2的比值为定值，且S2与S1的比值等于平面α与底面XOY夹角的余弦值。

图1

[定理二]易证，如下图2，如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么，它们的交线平行（直线HF//直线IJ），且其中一条交线在另一个平行面中的投影直线与另一条交线也平行（直线DB//直线IJ），直线DB与直线IJ的距离为定值。

图2

解法：由定理一得，当平面α与正方体的截面面积最大时，也就是截面在正方体底面投影的面积也是最大值。

1）由题设：每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，可知平面α截正方体的方向如图3.

图3 图4 图5

接着平面α可以继续向AC方向移动，截线段AD于I，截线段AB于J，截线段BC于K，截线段CD于L。继续向AC方向移动，出现图5。对应的，平面α截正方体的截面在底面ABCD的投影如下：

图6 图7 图8

由定理二得，直线IJ与直线LK的距离为定值。用代数易证得，当IJ=LK，I为AD中点，

K为BC中点时，投影面积最大。（另外，也可以这么理解：在平面α由如图3位置移动到如图5位置过程中，梯形IJBD的面积减少率（即面积值的导数），为线段IJ的长度。梯形DBKL的面积减少率（即面积值的导数），为线段KL的长度。显然由图3到图4过程中，梯形DBKL的面积增加值大过于梯形IJBD的减少值。由图4到图5则相反。也就是说线段IJ=KL时，投影面积IJBKLD最大。）投影面积IJBKLD=S ABCD－S AJI－S CLK =

S ABCD－（S AJI + S CLK）=1×1－（1/2 ×1/2 ）=3/4。

2）易求得平面α与正方体底面ABCD的夹角β的余弦值，cosβ=1/.

3) 由定理一，得平面α截正方体的截面面积S=投影面积IJBKLD÷平面α与正方体底面ABCD的夹角余弦值=S IJBKLD÷cosβ=3/4÷1/=/4。所以选择A。

【巧解方法二】

思路：最值都是出现在临界状态，也就是说截面最大面积要么是出现在图3（或图5），要么出现在图4。

计算得到S AFH =/2. 图4时，截面面积S=/4. 因为/4＞/2，所以选择A。