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完全平方数

一、求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。

(包括1和1400本身)2、求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=二、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-例题精讲知识点拨例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?百炼成钢1、1、126共有几个约数？全部约数和是多少？2、240共有几个约数？全部约数和是多少？3、324共有几个约数？全部约数和是多少？例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．百炼成钢2、1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。

百炼成钢3：1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？2、有12个不同约数的最小自然数是多少？3、有10个不同约数的最小自然数是多少？例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？百炼成钢4：1、某自然数是9和2的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少2、某自然数是9和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。

求一个自然数的约数的个数和所有约数的和

求一个自然数的约数的个数和所有约数的和集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，也可如此算:（1+1)(1+1)=4所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12所有约数的和:（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20所有约数的和:（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5) =744【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。

计算约数个数的方法

计算约数个数的方法
以下是 6 条关于计算约数个数的方法：
1. 分解质因数呀！就像拆解一个大玩具一样，把数字拆成它的质因数。

你看 12，拆成 2、2、3，然后根据质因数的指数加一相乘，这不就能算出
约数个数啦！就像你有好多不同的积木，可以搭出好多不同的造型一样。

2. 直接列举法也不错呀！一个一个去数这个数字的约数。

比如15，1、
3、5、15 不就是它的约数嘛，虽然麻烦点，但是很直观呀，就像你慢慢数
自己的宝贝一样，仔细又认真呢！
3. 还有倍数法呢！那可真是个巧妙的办法。

比如 6 的约数，那 12、18 这些 6 的倍数里不也包含了 6 的约数嘛，这就像是顺藤摸瓜一样，一找一
个准呀！
4. 利用公因数来算也挺有趣呀！两个数的公因数不也是它们各自的约数嘛。

就好像两个好朋友，能一起玩的游戏不也是他们各自喜欢玩的嘛，这不是很容易理解吗？
5. 试试表格法呀！把数字和它的约数列成一个表格，清晰又明了。

这就好比把你的东西整齐地摆放在抽屉里，想找的时候一下子就找到了，多方便呀！
6. 公式法可是很厉害的哦！记住那个公式，一下子就能算出约数个数。

这就好像你有了一把万能钥匙，什么门都能轻松打开，神奇吧！
我觉得这些方法都各有奇妙之处，大家可以根据具体情况选择适合自己的方法来计算约数个数呀！。

约数个数计算公式(二)

约数个数计算公式(二)约数个数计算公式简介在数论中，约数是指一个整数能被另一个整数整除的数。

求一个数的约数个数是数论中常见的问题之一。

本文将介绍几种常见的约数个数计算公式，并给出相应的例子进行说明。

计算公式1：穷举法穷举法是最简单直观的一种计算约数个数的方法。

它通过遍历所有小于等于给定数的正整数，判断是否能整除给定数，从而计算出约数的个数。

公式约数个数 = 约数1 + 约数2 + … + 约数n其中，约数i是小于等于给定数的正整数，且能整除给定数。

示例以整数12为例，穷举法计算其约数个数的步骤如下：1. 1 可整除 12，约数个数加1。

2. 2 可整除 12，约数个数加1。

3. 3 不可整除 12，跳过。

4. 4 可整除 12，约数个数加1。

5. 5 不可整除 12，跳过。

6. 6 可整除 12，约数个数加1。

7.7 不可整除 12，跳过。

8.8 不可整除 12，跳过。

9.9 不可整除 12，跳过。

10.10 不可整除 12，跳过。

11.11 不可整除 12，跳过。

12.12 可整除 12，约数个数加1。

最终，约数个数为6。

计算公式2：因数分解法因数分解法是另一种常用的计算约数个数的方法。

它通过将给定数分解为质因数的乘积，再利用质因数的指数求约数个数。

公式设给定数n的质因数分解为：n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak其中，p1, p2, …, pk为质因数，a1, a2, …, ak为对应的指数。

约数个数= (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1)以整数24为例，因数分解法计算其约数个数的步骤如下：1.将24分解为质因数的乘积：24 = 2^3 * 3^12.根据公式，约数个数 = (3 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 = 8最终，约数个数为8。

计算公式3：欧拉函数法欧拉函数是数论中的一个重要函数，表示小于等于给定数且与给定数互质的数的个数。

约数的个数及合的经典计算技巧

① 45 ② 120 ③ 360 ④ 520
将此数分解质因数，如20=2*2*5就是分解成2、5两个质数的乘积
20的约数就有1、2、2*2=4、2*5=10、5、20
约数和=（1+2+2*2）*（1+5）=42
21的约数和=（1+3）*（1*7）=28
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
大家都知道，一个自然数（0除外）的约数的个数是有限的，1的约数只有1个，就是1；一个质数的约数只有两个，就是1和它本身；任何一个合数的约数至少有3个，那么，一个合数的约数的个数到底有多少个呢？
象小一点的合数，如12的约数，我们可以用配对列举的办法迅速写出它的约数有1，12，2，6，3，4，一共有6个。如果是大一些的数，列举就相当麻烦了。有没有巧妙一些的方法呢？回答是肯定的。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

1.7正整数的正约数个数与总和

§1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限. 为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.同理由144=4322⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…mmp α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d .解: 因为5530000025 =⨯3⨯,所以(300000)(51)(11)(51)72d =+++=.例2 若n p q αβ=,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求7()d n .解: 由222n p q αβ5=,得2()(2)(21)1535d n =α+1β+==⨯. 不失一般性.设β≥α,则2α+1=3, 2β+1=5, 解得α=1, β=2,故2n pq =,则7714n p q =,所以 7()(71)(141)815120d n =++=⨯=.例3 有一个小于2000 的四位数,它恰有14个正约数,其中有一个制约数的末尾数字是1,求这个四位数. （1984年上海初中赛题）解: 设n 为所求,则()14172d n =⨯=⨯.若()141d n =⨯,则13n p =,而13112000> ,故此时无解.若()72d n =⨯,则6n p q =,其中p , q 为不同质数.为质数p , q 选取适当的值,使其满足p , q 之一的末位数是1,且0002000n 1 << .易知只有当2p =,31q =时, 62311984n =⨯=符合题意.定理2 正整数n 为完全平方数的充要条件是()d n 为奇数. 证明: 必要性设1212(n p p αα= (2))m mp α (其中1212p p αα…m m p α的标准分解式),则1212n p p αα=…mmp α,故12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+. 因为12α+1,221α+,21m α+均为奇数,所以12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+.为奇数. 充分性设1212n p p αα=…mmp α为n 的标准分解式,则12()()(1)d n =α+1α+…(1)m α+.因为()d n 为奇数,所以1α+1,21α+,… ,1m α+均为奇数,从而1α,2α,…,m α均为偶数.设11α=2β,22α=2β,…,m m α=2β,则 1212n p p 2α2α=…1212(m m p p p 2αββ=…2)m m p β,所以n 为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理2可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第21,22,23,… ,210号的灯亮着.当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4 求证:正整数n证明: 设n 的所有正约数为1n ,2n ,…,()d n n .因为k n n |,所以存在k m ,使(1,2,k n m k ==…())d n ,,从而k m n |,即k m 是n 的正约数，所以k m 是1n ,2n ,… ,()d n n 之一(1())k d n ≤≤.故1m ,2m ,…,()d n m 是1n ,2n ,…,()d n n 重新排序的一个结果,所以12n n …()12d n n m m =…()12d n n nm n n =…()d n n n =()12()...d n d n n n n n ,则12(n n (2)()())d n d n n n=,所以12n n…()d n n =即正整数n由例4自然联想,正整数n 的所有正约数之和等于多少呢? 二、正整数n 的所有正约数之和正整数n 的所有正约数之和记作()S n ,下面我们按n 含有的质约数的个数来讨论.1.当n 只含一个质约数时例如,9的正约数有1,3,23,其和为3231(9)13331S -=++=-;32的正约数有23451,2,2,2,2,2,其和为6234521(32)12222221S -=+++++=-,一般地,若mn p =,则2()1S n p p =+++ (11)1m mp p p +-+=-.2.当n 含有两个质约数时例如, 327223=⨯,其正约数排列如下:1 2 22 323 3⨯2 23⨯2 33⨯223 23⨯2 223⨯2 233⨯2则2323222223(72)(12222322333232)S =+++)+(3+3⨯+⨯+3⨯)+(+⨯2+⨯+⨯ 232(1222)(133)=+++++4321312131--=⨯--. 一般地,若mkn p q =（,p q 是互异质数, ,m k 为正整数）,则1()(1S n p =++…1)(1m p q +++…)k q +111111m k p q p q ++--=⨯--. 由上述过程不难猜想:若1212n p p αα=…mmp α(12,,p p …,m p 是互异质数,12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α. ①下面试证这个结论.从①式中每个括号任取一项相乘,积必形如 1212p p ββ…mmp β(其中0,1,2,k k k ≤β≤α=…,m ),这样的积共有多少个呢?在第k 个括号内任取一项,有1k α+种取法,故在m 个括号内各任取一项,共有12(α+1)(α+1)…1)()m d n (α+=种取法,即有()d n 个这样的积.由§1.4中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是n 的一个正约数,且n 的任一正约数必是这样的积中的一个,故所有这样的积作成的和就是n 的所有正约数之和()S n ,即11(1p ++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)()m m p S n +α=这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理. 定理3 设正整数1212n p p αα=…mmp α,(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α121112121111p p p p α+α+--=⨯⨯-- (111)m m m p p α+-⨯-. 例5 求()360S n =.解: 因为32360235=⨯⨯,所以432213151(360)1170213151S ---=⨯⨯= ---. 例6 求形如23k m的正整数,且使其所有正约数之和为403. 解: 由题意可得112131(23)140313312131k m k mS ++--=⨯=⨯=⨯--, 故可得下面四个方程组11211,2131403;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 1121403,21311;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩112113,213131;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 112131,213113.31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩上述四种情况只有最后一组有正整数解4,2.k m =⎧⎨=⎩故只有4223144⨯=的所有正约数之和为403.例7 求1998 的所有正约数的倒数之和. 解: 因为319982337=⨯⨯ ,所以(1998)(11)(31)(11)16d =+++= ,23(1998)(12)(1333)(137)4560S =+++++= .设1998 的16个正约数分别为12,,x x …,16x 可按乘积等于1998 分为8组,不妨设123456789101112131415161998x x x x x x x x x x x x x x x x ======== ,则1211x x ++ (16)1x + 12341111()()x x x x =++++ (1516)11()x x ++ 34121234x x x x x x x x ++=++ (15161516)x x x x ++ 1216 (4560760)199********x x x +++===. 如果()2S n n =,则称n 为完全数,如6,28,496,8128,... 截止1996年11月，共发现了34个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个数为一对亲和数,如1184 与1210 ,220与284,….对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译[美]阿尔伯特••H •贝勒著《数论妙趣》.例8 能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数p 分解质因数为1212aap p ⨯⨯…na np ⨯,则它的约数个数为12(1)(1)a a ++…(1)n a +.因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为312235aaa⨯⨯⨯…, 则它的约数的个数为123(1)(1)(1)a a a +++…,因为3530=2⨯⨯,所以123()(30)(1)(1)(1)35d p d a a a ==+++=2⨯⨯,所以p 没有除3,52,之外的质因数，所以1231,1,1a a a +++只能是3,52,或者2,5,3或3,5,2或3,2,5或5,2,3或5,3,2,共6个.例9 证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明: 设正整数约数中末尾为3有m 个, 7的有n 个. 设其为12,,x x …,m x ,12,,y y …,n y (从小到大排列)当0,0m n ==显然正确.1n =时, 1是n 的正约数,2n >时, 1231,y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯互不相同，共n 个. 0m =,同理可证.,m n ≥1时， 123y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯共n 1-个. 12,x x ⨯…1,m x x ⨯共1m -.11y x ⨯末尾为1,又有1为n 的正约数,至少1111m n m n -+-++=+个. 综上,得证.例10求出最小的正整数n ,使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数.例11（1）所有的正约数的和等于15的最小自然数是多少？8 （2）所有正约数的积等于64的最小自然数是多少？8（3）有没有这样的自然数,其所有正的真约数之积等于它本身？21 例12只有13个正约数的最小正整数是？解：()13(121)d n ==+n 最小取2，所以 1224096=.例13用()d n 表示正整数n 的正约数的个数,证明:存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.证明: 可知当n 为质数时()2d n =则当1n +的约数个数为3时 ()(1)16d n d n +++=是3的倍数又可知当n 为质数, 1n +的约数为3有无数组所以存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.例14在30~300的所有正整数中，有几个数恰有三个正约数？解: 三个正约数就是：1,x ,其本身,且本身/ x x =, 推得这个数等于2x , x 是个质数.2255= 2366= 217289= 218324=可知, x 是在6到17间的质数：7、11、13、17。

1到n中所有整数的约数个数和数论

1到n中所有整数的约数个数和数论
数论中关于整数的约数个数的问题是一个经典的数论问题，也与著名的数论函数σ(n)（约数函数）相关。

σ(n)表示n的所有正约数之和，包括1和n本身。

首先，我们知道一个数n的约数是成对出现的，例如对于数m，如果它是n的约数，那么n/m也是n的约数。

但是当m等于n/m时，即m的平方等于n，那么m就是n的唯一的约数（平方数的约数个数为奇数个）。

因此，我们可以得出结论：当n不是完全平方数时，它的约数个数是偶数；当n是完全平方数时，它的约数个数是奇数。

现在，我们来具体分析一下1到n中所有整数的约数个数的和。

我们可以利用上面的结论，对1到n中每个数的约数个数进行分类讨论。

1. 对于非完全平方数m，它的约数个数是偶数，设为2k，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，因此1到n中所有非完全平方数的约数个数和为2 * (1 + 2 + ... + k) = k * (k + 1)。

2. 对于完全平方数m，它的约数个数是奇数，设为2k + 1，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，另外还有一个m的平方根没有配对，因此1到n中所有完全平方数的约数个数和为(k * (k + 1)) + m = k * (k + 1) + m。

通过以上分析，我们可以得出结论：1到n中所有整数的约数个数和为k * (k + 1) + m，其中k为非完全平方数的个数，m为完全平方数的个数。

因此，我们可以通过统计1到n中完全平方数的个数和非完全平方数的个数，然后套入上述公式，就可以计算出1到n中所有整数的约数个数的和。

(49)约数个数与约数和

五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和《奥赛天天练》第三十七讲《约数个数与约数和》，学习利用合数的质因数分解式求一个较大自然数所有约数的个数及所有约数和的方法。

计算公式：求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：N﹦P1 a1·P2a2·P3a3……PKakN的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）；N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋PK＋PK2＋…＋PKak）。

例如：72﹦23×32先找出23的所有（3＋1﹦）4个约数：1、2、22、23；再找出32的所有（2＋1﹦）3个约数：1、3、32。

用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）﹦]12个约数：1、3、32、2×1、2×3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。

约数和为：（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）﹦195约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。

小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。

《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习1【题目】：求500的约数的个数。

【解析】：分解质因数：500﹦22×53根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：（2＋1）×（3＋1）﹦12（个）。

ACM知识：求一个数有多少约数及所有约数之和、分解质因数

今天做题遇见，于是就搜了一下，于是就有了这篇文章。

（其实我不知道原理....Orz）我觉得分解质因数的最优算法应该不是我这篇文章中的这个.....谁有好的算法可以给我说一下，谢谢。

1.有多少个约数：先分解质因数因数的次数分别是4,2,1所以约数的个数为(4+1)*(2+1)*(1+1)=5*3*2=30个eg：先分解质因数720=2^4*3^2*5因数的次数分别是4,2,1所以约数的个数为(4+1)*(2+1)*(1+1)=5*3*2=30个2.所有约数之和：2004的约数之和为:1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 ,2004 = 4704如何求一个数所有约数之和呢?首先,应用算术基本定理,化简为素数方幂的乘积。

X = a1^k1 * a2^k2........an^knX的所有素数之和可用公式(1+a1 + a1^2...a1^k1) * (1+a2 + a2^2...a2^k2) * .....(1+an + an^2...an^kn)表示如:2004 = 2^2 * 3 *167２００４所有因子之和为(1 + 2 + 2^2) * (1 + 3) * ( 1 + 167) = 4704;程序实现的时候，可利用等比数列快速求1 + a1 + a1^2 + .....a1^n; 3.分解质因数我用的算法是这个：程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。

(2)如果n <> k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,重复执行第一步。

(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

2.程序源代码：/* zheng int is divided yinshu*/#include "stdio.h "#include "conio.h "main(){int n,i;printf( "\nplease input a number:\n ");scanf( "%d ",&n);printf( "%d= ",n);for(i=2;i <=n;i++)while(n!=i){if(n%i==0){printf( "%d* ",i);n=n/i;}elsebreak;}printf( "%d ",n);//注意这个n才是最后一个质因数。

初中数学《约数和倍数(二)》讲义及练习

约数个数定理与约数和定理1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。

(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。

难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

约数个数问题【例 1】数160的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【解析】对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以160为例，我们有5116025=⨯.要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数，从而约数的因数的2的次数可以为0，1,2,3,4,5；而5的次数也只可能是0或1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况1：不包含5的约数：1,2,22,32,42,52,情况2：包含5的约数:15⨯，25⨯，225⨯，325⨯，425⨯，525⨯.从而我们可以任意地从中选若干个2，5的次数，即：(15+)⨯(11+)12=.(个)所以它的约数的和：(2345122222+++++)⨯(15+)至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如2和80是160的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的约数的个数，可以求出它们的积.知识点拨第五讲约数与倍数（二）例题精讲对本题而言，我们有(1;160)，(2;80)，(4;40)，(5;32)，(8;20)，(10;16)共6对.从而它们的积为6160.【例 2】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数.【解析】逆用约数个数定理：101100191=⨯=+⨯+()()或10251141=⨯=+⨯+()()，所以自然数N 只有两种分解可能，一种是4N p =一种是1412N p p =⨯,但第一种情况100以内这样的数不存在，第二种情况只有2p 等于2的可能，所以432N =⨯或452N =⨯因此满足条件的自然数只有48和80.【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【解析】6只能表示为(51+)或(11+)(21+)，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种种种所以符合条件的自然数一共有1842116++++=种．【例 3】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。

1.7正整数地正约数个数与总和

§1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限.为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.同理由144=4322⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…mmp α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d .解: 因为5530000025 =⨯3⨯,所以(300000)(51)(11)(51)72d =+++=.例2 若n p q αβ=,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求7()d n .解: 由222n p q αβ5=,得2()(2)(21)1535d n =α+1β+==⨯. 不失一般性.设β≥α,则2α+1=3, 2β+1=5,解得α=1, β=2,故2n pq =,则7714n p q =,所以7()(71)(141)815120d n =++=⨯=.例3 有一个小于2000 的四位数,它恰有14个正约数,其中有一个制约数的末尾数字是1,求这个四位数. （1984年上海初中赛题）解: 设n 为所求,则()14172d n =⨯=⨯.若()141d n =⨯,则13n p =,而13112000> ,故此时无解.若()72d n =⨯,则6n p q =,其中p , q 为不同质数.为质数p , q 选取适当的值,使其满足p , q 之一的末位数是1,且0002000n 1 << .易知只有当2p =,31q =时, 62311984n =⨯=符合题意.定理2 正整数n 为完全平方数的充要条件是()d n 为奇数. 证明: 必要性设1212(n p p αα= (2))m mp α (其中1212p p αα…m m p α的标准分解式),则1212n p p αα=…mmp α,故12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+. 因为12α+1,221α+,21m α+均为奇数,所以12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+.为奇数. 充分性设1212n p p αα=…mmp α为n 的标准分解式,则12()()(1)d n =α+1α+…(1)m α+.因为()d n 为奇数,所以1α+1,21α+,… ,1m α+均为奇数,从而1α,2α,…,m α均为偶数.设11α=2β,22α=2β,…,m m α=2β,则 1212n p p 2α2α=…1212(m m p p p 2αββ=…2)m m p β,所以n 为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理2可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第21,22,23,… ,210号的灯亮着.当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4 求证:正整数n证明: 设n 的所有正约数为1n ,2n ,…,()d n n .因为k n n |,所以存在k m ,使(1,2,k n m k ==…())d n ,,从而k m n |,即k m 是n 的正约数，所以k m 是1n ,2n ,… ,()d n n 之一(1())k d n ≤≤.故1m ,2m ,…,()d n m 是1n ,2n ,…,()d n n 重新排序的一个结果,所以12n n …()12d n n m m =…()12d n n n m n n =…()d n n n =()12()...d n d n n n n n ,则12(n n (2)()())d n d n n n=,所以12n n…()d n n =即正整数n由例4自然联想,正整数n 的所有正约数之和等于多少呢? 二、正整数n 的所有正约数之和正整数n 的所有正约数之和记作()S n ,下面我们按n 含有的质约数的个数来讨论.1.当n 只含一个质约数时例如,9的正约数有1,3,23,其和为3231(9)13331S -=++=-;32的正约数有23451,2,2,2,2,2,其和为6234521(32)12222221S -=+++++=-,一般地,若mn p =,则2()1S n p p =+++ (11)1m mp p p +-+=-.2.当n 含有两个质约数时例如, 327223=⨯,其正约数排列如下:1 2 22 323 3⨯2 23⨯2 33⨯223 23⨯2 223⨯2 233⨯2则2323222223(72)(12222322333232)S =+++)+(3+3⨯+⨯+3⨯)+(+⨯2+⨯+⨯ 232(1222)(133)=+++++4321312131--=⨯--. 一般地,若mkn p q =（,p q 是互异质数, ,m k 为正整数）,则1()(1S n p =++…1)(1m p q +++…)k q +111111m k p q p q ++--=⨯--. 由上述过程不难猜想:若1212n p p αα=…mmp α(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α. ①下面试证这个结论.从①式中每个括号任取一项相乘,积必形如 1212p p ββ…mmp β(其中0,1,2,k k k ≤β≤α=…,m ),这样的积共有多少个呢?在第k 个括号内任取一项,有1k α+种取法,故在m 个括号内各任取一项,共有12(α+1)(α+1)…1)()m d n (α+=种取法,即有()d n 个这样的积.由§1.4中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是n 的一个正约数,且n 的任一正约数必是这样的积中的一个,故所有这样的积作成的和就是n 的所有正约数之和()S n ,即11(1p ++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)()m m p S n +α=这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理. 定理3 设正整数1212n p p αα=…mmp α,(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α121112121111p p p p α+α+--=⨯⨯-- (111)m m m p p α+-⨯-. 例5 求()360S n =.解: 因为32360235=⨯⨯,所以432213151(360)1170213151S ---=⨯⨯= ---. 例6 求形如23k m的正整数,且使其所有正约数之和为403. 解: 由题意可得112131(23)140313312131k m k mS ++--=⨯=⨯=⨯--, 故可得下面四个方程组11211,2131403;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 1121403,21311;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩112113,213131;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 112131,213113.31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩上述四种情况只有最后一组有正整数解4,2.k m =⎧⎨=⎩故只有4223144⨯=的所有正约数之和为403.例7 求1998 的所有正约数的倒数之和. 解: 因为319982337=⨯⨯ ,所以(1998)(11)(31)(11)16d =+++= ,23(1998)(12)(1333)(137)4560S =+++++= .设1998 的16个正约数分别为12,,x x …,16x 可按乘积等于1998 分为8组,不妨设123456789101112131415161998x x x x x x x x x x x x x x x x ======== ,则1211x x ++ (16)1x + 12341111()()x x x x =++++ (1516)11()x x ++ 34121234x x x x x x x x ++=++ (15161516)x x x x ++ 1216 (4560760)199********x x x +++===. 如果()2S n n =,则称n 为完全数,如6,28,496,8128,... 截止1996年11月，共发现了34个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个数为一对亲和数,如1184 与1210 ,220与284,….对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译[美]阿尔伯特••H •贝勒著《数论妙趣》.例8 能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数p 分解质因数为1212aap p ⨯⨯…na np ⨯,则它的约数个数为12(1)(1)a a ++…(1)n a +.因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为312235aaa⨯⨯⨯…, 则它的约数的个数为123(1)(1)(1)a a a +++…,因为3530=2⨯⨯,所以123()(30)(1)(1)(1)35d p d a a a ==+++=2⨯⨯,所以p 没有除3,52,之外的质因数，所以1231,1,1a a a +++只能是3,52,或者2,5,3或3,5,2或3,2,5或5,2,3或5,3,2,共6个.例9 证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明: 设正整数约数中末尾为3有m 个, 7的有n 个. 设其为12,,x x …,m x ,12,,y y …,n y (从小到大排列)当0,0m n ==显然正确.1n =时, 1是n 的正约数,2n >时, 1231,y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯互不相同，共n 个. 0m =,同理可证.,m n ≥1时， 123y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯共n 1-个. 12,x x ⨯…1,m x x ⨯共1m -.11y x ⨯末尾为1,又有1为n 的正约数,至少1111m n m n -+-++=+个. 综上,得证.例10求出最小的正整数n ,使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数.例11（1）所有的正约数的和等于15的最小自然数是多少？8 （2）所有正约数的积等于64的最小自然数是多少？8（3）有没有这样的自然数,其所有正的真约数之积等于它本身？21 例12只有13个正约数的最小正整数是？解：()13(121)d n ==+ n 最小取2，所以 1224096=. 例13用()d n 表示正整数n 的正约数的个数,证明:存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.证明: 可知当n 为质数时()2d n =则当1n +的约数个数为3时 ()(1)16d n d n +++=是3的倍数又可知当n 为质数, 1n +的约数为3有无数组所以存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.例14在30~300的所有正整数中，有几个数恰有三个正约数？解: 三个正约数就是：1,x ,其本身,且本身/ x x =, 推得这个数等于2x , x 是个质数.2255= 2366= 217289= 218324=可知, x 是在6到17间的质数：7、11、13、17。

求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和

求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，也可如此算:（1+1)(1+1)=4所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12所有约数的和:（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20所有约数的和:（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5)=744【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。

数字的约数个数

数字的约数个数约数是指能够整除给定数字的数，而数字的约数个数就是能够整除该数字的数的个数。

在数学中，计算数字的约数个数有一定的方法和规律。

本文将探讨数字的约数个数以及计算方法。

一、数字的约数个数的意义和定义在数学中，数字的约数个数是指能够整除该数字的正整数的个数。

例如，数字12的约数有1、2、3、4、6和12，因此约数个数为6。

对于任意给定的正整数n，如果其约数个数为k，则可以表示为n=∏p_i^(a_i)，其中p_i为质数，a_i为正整数。

二、计算数字的约数个数的方法计算数字的约数个数可以采用分解质因数的方法。

首先，将给定的数字进行质因数分解，然后利用质因数的指数+1的乘积即可得到约数个数。

例如，对于数字12，首先进行质因数分解得到12=2^2 × 3^1。

然后计算约数个数：(2+1) × (1+1) = 6，即数字12的约数个数为6。

三、数字的约数个数的性质和规律1. 如果一个数字能被整除的最小质数是p，且其幂次为a，则该数字的约数个数为(a+1)。

2. 如果一个数字能被整除的最小质数是p，且其幂次为a，另一个最小质数是q，且其幂次为b，则该数字的约数个数为(a+1) × (b+1)。

根据以上规律，我们可以推断出以下结论：- 如果一个数字是质数，那么它的约数个数为2，因为质数只能被1和本身整除。

- 如果一个数字是两个不同质数的幂的乘积，那么它的约数个数为3或4。

- 如果一个数字是三个不同质数的幂的乘积，那么它的约数个数为4、6或8。

四、应用示例1. 计算数字24的约数个数：24=2^3 × 3^1，根据规律计算约数个数：(3+1) × (1+1) = 8，即数字24的约数个数为8。

2. 计算数字30的约数个数：30=2^1 × 3^1 × 5^1，根据规律计算约数个数：(1+1) × (1+1) × (1+1) = 8，即数字30的约数个数为8。

五年级数学奥赛题二 (6)

数学约数与公约数的求解

数学约数与公约数的求解在数学中，约数和公约数是常常会遇到的概念。

它们在数论和代数中都有着重要的应用。

在本文中，我将详细介绍约数和公约数的概念以及如何求解它们。

一、约数的求解方法约数，顾名思义即能整除给定数的数字。

例如，数值10的约数有1、2、5和10。

求解一个数的约数有多种方法，下面是两种常见的方法：1. 试除法试除法是最直观也是最常用的方法。

它通过从1到给定数的范围内，依次尝试是否能整除给定数，从而得到所有的约数。

下面是一个具体的例子，以求解数值10的约数为例：- 首先，我们从1开始，尝试是否能整除10。

1不能整除10，所以不是10的约数。

- 接着，我们尝试是否能整除10的下一个数2。

2可以整除10，所以2是10的约数。

- 然后，我们继续尝试是否能整除10的下一个数3。

3不能整除10，所以不是10的约数。

- 最后，我们尝试是否能整除10的下一个数4。

4不能整除10，所以不是10的约数。

通过这种方法，我们可以得到10的所有约数为1、2、5和10。

2. 质因数分解法质因数分解法是另一种常用的求解约数的方法。

它通过将待求解的数字进行质因数分解，然后根据分解结果得到约数。

下面是一个具体的例子，以求解数值24的约数为例：- 首先，我们将24进行质因数分解，得到24 = 2^3 * 3。

- 根据质因数分解的结果，我们可以得到24的约数为1、2、3、4、6、8、12和24。

通过这种方法，我们可以得到24的所有约数。

二、公约数的求解方法公约数，顾名思义即能同时整除两个或多个数的数字。

例如，数值12和18的公约数有1、2、3和6。

求解两个或多个数的公约数有多种方法，下面是两种常见的方法：1. 公因数法公因数法是最直观也是最常用的方法。

它通过找出两个或多个数的所有约数，然后找出它们的公共部分，从而得到所有的公约数。

下面是一个具体的例子，以求解数值12和18的公约数为例：- 首先，我们找出12和18的所有约数。

12的约数有1、2、3、4、6和12，18的约数有1、2、3、6、9和18。

约数和公式

约数和公式约数和公式是数学中的重要概念，用来描述一个数能够被整除的其他数，以及计算这些数的和或积的数学式。

约数和公式在数论、代数和计算机科学等领域中都有重要的应用，是解决许多问题的基础。

首先，我们来介绍一下约数的概念。

一个数m除以另一个数n能够整除，即m能被n整除，我们就说n是m的约数，而m是n的倍数。

例如，12除以3能够整除，所以3是12的约数，而12是3的倍数。

一个数的所有约数包括1和它本身，这两个数称为该数的“平凡约数”。

对于给定的一个数，我们如何找到它的所有约数呢？一种简单的办法是从1开始逐个试除，如果能整除就说明找到了一个约数。

但这种方法效率低下，特别是对于较大的数。

幸运的是，我们可以利用数学中的一些性质和定理来快速找到约数。

约数的一个重要性质是，如果一个数n可以分解为两个数a和b的乘积（即n=a*b），那么a和b都是n的约数。

这意味着，要找到n的所有约数，只需要找到它的一个因子，然后求得另一个因子即可。

例如，如果我们要找到12的所有约数，首先可以找到它的一个因子3，然后求得另一个因子为12/3=4，即12的所有约数为1、2、3、4、6和12。

有一类特殊的数，它只有两个约数，即1和它本身，这样的数称为“质数”。

质数是约数理论中的基础，有着重要的地位。

为了判断一个数是否为质数，我们可以使用“除数试除法”，即从2开始逐个试除到该数的平方根。

如果不能被任何数整除，那么它就是质数。

我们可以通过这种方法找到很多小的质数，但对于较大的质数，就需要使用更加复杂的算法。

约数的公式是描述约数和其性质的数学式。

其中，约数和可以通过公式Σd表示，其中d表示数n的每一个约数。

例如，对于数12，它的约数和可以表示为12=1+2+3+4+6+12=28。

我们可以使用公式来计算给定数的约数和，从而简化求解的过程。

约数和的公式在数学中有着广泛的应用。

例如，它可以用于解决数论中的一些问题，如寻找满足某些条件的数的个数，计算两个数的最大公约数等。

求约数个数约数和

Байду номын сангаас
2.一个数所有约数之和等于:先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂,再把每个相应质因数幂的和相乘.若一个数分解为(a^m)*(b^n),则这个数所有约数的和为:(a^0+a^1+a^2+a^3+…+a^m)(b^0+b^1+b^2+b^3+…+b^n).例如:(1)12=2^2*3,则12所有约数的和为：(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)=7*4=28;(2)60=2^2*3*5=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=7*4*6=168.
需要先把一个数分解"质因数",然后再算约数的个数和所有约数之和.
1.约数的个数等于:所有质因数的指数加上1后的乘积;若一个数分解质因数后为(a^m)*(b^n),其中a,b均为质因数;m,n均为相应质因数的指数.则约数个数为(m+1)(n+1).例如: (1)12=2^2*3,质因数有2和3,其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)*(1+1)=6(个);(2)60=2^2*3*5,质因数2,3,5的指数分别为2,1,1,那么60的约数有(2+1)*(1+1)*(1+1)=12(个).

【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明

【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明据说这俩是⼩学奥数内容？完了我菜成⼀团没上过⼩学
本⽂只研究正整数A的约数个数和约数和。

⾸先对A分解质因数
A=
n
∏
i p a i i (p i是质数)
约数个数定理先看结论
num=
n
∑
i(a i+1)
考虑对于A的任意⼀个约数a，都显然存在唯⼀的数列a′使
a=
n
∏
i p a′i i (0≤a′i≤a i)
由唯⼀分解定理得，每⼀个符合条件的数列a′都对应A的⼀个约数，反之亦然。

由乘法原理得共有(a1+1)∗(a2+1)...∗(a n+1)种数列a′，得证。

约数和定理
同样先看结论：
sum=
n
∏
i=1
a i ∑
j=0p j i
⾸先考虑n=1的情况，即A=p a (p是质数)，显然约数和是∑a i=0p i
当n>1，如果已知了x=A/p a n n的约数和sum′，如何求A的约数和sum呢？
显然，给每个x的约数x′均乘上每⼀个p i n (0≤i≤a n)，就构成了A的约数集合。

那么就得到
sum=∑x′∗
a n ∑i=0p i n
由乘法分配律得到
sum=sum′∗
a n ∑i=0p i n
⼜由当n=1时sum=∑a i=0p i递推得到最终的结论。

() Processing math: 100%
Processing math: 100%。

约数之和公式

约数之和公式
约数之和公式，是一种用来计算一个数的所有约数之和的公式。

假设这个数为n，那么它的约数之和可以表示为：
σ(n) = (p1^0 + p1^1 + ... + p1^a1) × (p2^0 + p2^1 + ... + p2^a2) × ... × (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ak)
其中，p1, p2, ..., pk 是 n 的所有质因数，a1, a2, ..., ak 是它们的指数。

这个公式可以用来快速计算一个数的约数之和，比如说：
- 对于 n=6，它的所有约数为 1, 2, 3, 6，因此它的约数之和为 1+2+3+6=12。

- 对于 n=24，它的所有约数为 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24，因此它的约数之和为 1+2+3+4+6+8+12+24=60。

这个公式的时间复杂度为 O(根号n)，因为在分解质因数时需要对 n 进行一次完整的质因数分解，而最坏情况下 n 的最大质因子不会超过根号n。

因此，这个公式比较适合用来计算小于一定范围内所有数的约数之和，比如说小于 10^6 的所有数的约数之和。

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一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点? 【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==. 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×6,其中a 、b 为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为0) 由A 有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x )×(3+y)=12，所以21,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩04x y =⎧⎨=⎩或.对应A 为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以2mn=⎧⎨=⎩.对应B为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………② 联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k 为非零整数．对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a +2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3× 7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a ×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a ×(a+1)，(a +1)×(a+2)]=(a +1)× [a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a ⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a ×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a a a a a a a a ⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数. 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a ++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7.当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150a b =⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c ﹤b,满足,即225150105a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c 是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a ，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。