中考数学几何模型9：隐圆模型

中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛拨开云雾开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆 备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点 （1）求CM 最小值与最大值 （2）求线段AB 扫过的面积 （3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．A'N MABCD变式练习>>>1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．ABCEFP例题2. 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l变式练习>>>2．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．Q ABCDEFP例题3. 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．HGABCDEF变式练习>>>3．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．APB C例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．B变式练习>>>4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．GFEDCBA例题5. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．EFCBAP变式练习>>>5．在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________．例题6. 如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，∠DCE 为Rt∠，∠CED ＝90°，∠DCE ＝30°，若OE ＝，则正方形的面积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2变式练习>>>6．如图， BE ，CF 为△ABC 的高，且交于点H ，连接AH 并延长交于BC 于点D ，求证：AD ⊥BC.DHEFABC例题7. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AC 为对角线，过点D 作DF ∠AB ，垂足为E ，交CB 延长线于点F ，若AC ＝CF ，∠CAD ＝∠CFD ，DF ﹣AD ＝2，AB ＝6，则ED 的长为 ．变式练习>>>7．（1）如图1，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，过点E 作DE 的垂线交∠ABC 的外角平分线于点F ，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若FC ＝6，则BE 的长为 ．图1 图2例题8. 在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．变式练习>>>8．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．CB A P达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =10，AC =8．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．B2. 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3，5，求三角形OBE 的面积．3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABCDE FP4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．F EDCBA5. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =3，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．ABCP6. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE ∠AD 于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是_________．7. 在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为∠O 直径，作AD 交∠O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为_________．8. 如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为_________．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H 是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是_________．10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把∠BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛拨开云雾开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点 （1）求CM 最小值与最大值 （2）求线段AB 扫过的面积 （3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM 1最小，CM 3最大②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________．A'N MA BCD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M．A'N MA BCDDCBA MN A'H A'N MA BCD变式练习>>>1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．ABCEFP【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．答案为1.2.ABCEFP例题2. 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．答案为4.ll变式练习>>>2．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．Q ABC DEFP答案为8.【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．D'PFE D CBAQ例题3. 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．HGAB CDEF【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．答案1αααHGABCDE F变式练习>>>3．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．PABC答案为4【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ，∴∠P AB +∠PBA =90°，∴∠APB =90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．例题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．B【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，22AE AM EM=-==．BB变式练习>>>4．如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．GF EDCB A【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点． ∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．答AB CDEF G例题5. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．E FCBA P【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．60°E FCBAP120°EFCBAP120°MOPAB CFE120°变式练习>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下4ABC 60°答案为：8343BC ＜≤条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值为833，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．O 120°60°C BAABC 60°120°O O 120°CBAO 120°CBA例题6. 如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，∠DCE 为Rt∠，∠CED ＝90°，∠DCE ＝30°，若OE ＝，则正方形的面积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：如图，过点O 作OM ∠CE 于M ，作ON ∠DE 交ED 的延长线于N ，∠∠CED ＝90°，∠四边形OMEN 是矩形， ∠∠MON ＝90°，∠∠COM +∠DOM ＝∠DON +∠DOM ， ∠∠COM ＝∠DON ， ∠四边形ABCD 是正方形， ∠OC ＝OD ，在∠COM 和∠DON 中，∠∠COM ∠∠DON （AAS ）， ∠OM ＝ON ，∠四边形OMEN 是正方形， 设正方形ABCD 的边长为2a ， ∠∠DCE ＝30°，∠CED ＝90° ∠DE ＝a ，CE ＝a ， 亦可按隐圆模型解答设DN ＝x ，x +DE ＝CE ﹣x ，解得：x ＝， ∠NE ＝x +a ＝，∠OE ＝NE ， ∠＝•， ∠a ＝1， ∠S 正方形ABCD ＝4 故选：B ．变式练习>>>6．如图， BE ，CF 为△ABC 的高，且交于点H ，连接AH 并延长交于BC 于点D ，求证：AD ⊥BC.DHEFABC例题7. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF∠AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED 的长为．【解答】解：∠∠CAD＝∠CFD，∠点A，F，C，D四点共圆，∠∠F AD+∠DCF＝180°，∠F AC＝∠FDC，∠∠DCF＝90°，∠∠F AD＝90°，∠AC＝FC，∠∠F AC＝∠AFC，∠DF∠AB，∠∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，∠∠ABF＝∠CDF，∠∠AFB＝∠ABF，∠AF＝AB＝6，∠DF﹣AD＝2，∠DF＝AD+2，∠DF2＝AF2+AD2，∠（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∠DF＝10，∠∠F AD＝90°，AE∠DF，∠∠ADE∠∠DAF，∠＝，∠DE＝＝＝，故答案为：．变式练习>>>7．（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC ＝6，则BE的长为3．图1 图2证明：（1）如图，连接DB、DF.∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四点共圆．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．（2）解：作∠ADF的外接圆∠O，连接EF、EC，过点E分别作EM∠CD于M，EN∠BC于N（如图）∠∠ADF＝90°，∠AF为∠O直径，∠BD为正方形ABCD对角线，∠∠EDF＝∠EAF＝45°，∠点E在∠O上，∠∠AEF＝90°，∠∠AEF为等腰直角三角形，∠AE＝EF，在∠ABE与∠CBE中，∠∠ABE∠∠CBE（SAS），∠AE＝CE，∠CE＝EF，∠EM∠CF，CF＝6，∠CM＝CF＝3，∠EN∠BC，∠NCM＝90°，∠四边形CMEN是矩形，∠EN＝CM＝3，∠∠EBN＝45°，∠BE＝EN＝3，故答案为：3．例题8. 在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．[解析]如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；①当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1＝BP 1﹣BE ＝BD ﹣BE ＝﹣2；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1＝BC +BE ＝2+5＝7．变式练习>>>8．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．A PCBA PHB'PA BC【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，PB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．答案为4324.达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =10，AC =8．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．B答案为：4【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．B2. 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3，5，求三角形OBE 的面积．3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABCDE FP 答案为：2132【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．O ADE4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．F EDC BA【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E 点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案为3BBB5. 如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．ABCP答案为36. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE ∠AD 于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是﹣2≤BE ＜3 ．【解答】解：如图，由题意知，∠AEC ＝90°， ∠E 在以AC 为直径的∠M 的上（不含点C 、可含点N ），∠BE 最短时，即为连接BM 与∠M 的交点（图中点E ′点），∠AB ＝5，AC ＝4， ∠BC ＝3，CM ＝2， 则BM ＝＝＝，∠BE 长度的最小值BE ′＝BM ﹣ME ′＝﹣2， BE 最长时，即E 与C 重合，∠BC ＝3，且点E 与点C 不重合， ∠BE ＜3， 综上，﹣2≤BE ＜3， 故答案为：﹣2≤BE ＜3．7. 在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为∠O 直径，作AD 交∠O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为 8 ．【解答】解：解：如图，连接CE ，∠∠CED＝∠CEA＝90°，∠点E在以AC为直径的∠Q上，∠AC＝10，∠QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∠BC＝12，∠QB＝＝13，∠BE＝QB﹣QE＝8，∠BE的最小值为8，故答案为8．8. 如图，在等腰Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∠∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∠AB＝AC＝4，∠AD为直径，∠∠AED＝90°，∠∠AEB＝90°，∠点E在以AB为直径的∠O上，∠∠O的半径为2，∠当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt∠AOC中，∠OA＝2，AC＝4，∠OC＝＝2，∠CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图，连接EO、PO、OC．∠四边形ABCD是矩形，∠∠B＝∠OAP＝90°，在Rt∠OBC中，BC＝8，OB＝2，∠OC＝＝2，在Rt∠AOP中，OA＝2，P A＝4，∠OP＝＝2，∠OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∠PE的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把∠BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．【解答】解：∠四边形ABCD是矩形，∠CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∠AB＝3，AE＝2，∠点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∠S四边形AGCD＝S∠ACD+S∠ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∠要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∠点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∠EG∠AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH∠AC，在Rt∠ABC中，sin∠BAC＝，在Rt∠AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∠EH＝AE＝，∠h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∠S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．故答案为：．。