《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
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二、考核说明
木课程的考核实行形成 性考核和终结性考核的形式。 形成性考核占总成绩的20%,
以课程作业的形式进行（共三 次，由屮央电人统一布置）； 终结性考核即期末考试，占总 成绩的80%。总成绩为100分,60分及格。
期末考试实行全国统一 闭卷考核，试卷满分为100。 由中央电大统一命题,统一评 分标准，统-考试时间（考试 时间为120分钟）。
3.谓词公式的等价和蕴涵
4.前束范式
本章重点内容：谓词与量
词、公式与解释、前束范式 ［复习要求］
(「P如镂解関和)屋词、个体词、 -个岳爲送处的瞬；理解也 冰丿M侏強險鈿词就;
G = (-PA-QA-R)7 \
G =-1(-iG)= -1((-iPa—\Q /\'H
=(P V 2 V /?) A(P V<7^单命题；了解命题符号
1、试题类型
试题类型冇填空题（分 数约占20%）.单项选择题（分 数约占14%）、计算题（分数 约占50%）和证明题（分数约 占16%）O
填空题和单项选择题主 耍涉及基本概念、基本理论， 重要性质和结论.公式及其简 单计算。计算题主要考核学生 的基本运算技能，耍求书写计 算、推论过程或理由。证明题 主要考查应用概念、性质、定 理及主要结论进行逻辑推理 的能力，要求写出推理过程。
/=1
4、半序关系及半序集中 特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与 半序集概念的关键是哈斯图。 哈斯图画法掌握了，对于确定 任一子集的最大（小）元，极 人（小）元也就容易了。这里
要注意,最大（小）元与极大
（小）元只能在子集内确定， 而上界与下界町在子集z外 的全集中确定，最小上界为所 有上界中最小者,最小上界再 小也不小于子集小的任一元 素，可以与某一元素相等，最 大下界也同样。
5、理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜•界、 最小上界、最人下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
（3）若BqA,且B={2,3,4,5},求B的最大 元,最小元,极大元,极小元, 最小上界和最人下界。
解（1）R的关系矩阵为
<1
0
0
1
0
0
0
0
0]
0
Mr =
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
<0
0
1
1
R的关系图略
（2）因为R是H反的，
反
/合取范式法）
5、公式的蕴涵与逻辑结果 结词、公式与解释、析取范式 与合取范式.公式恒真性的判 定、形式演绎 ［复习要求］
方法2：推导法
(2)求主合取范式方法1:利用上面的真值表((PaQ)v―R)—>P为0的有两行，它们对应的极大项分别为
PvQvR, P\z「Qv R
(「Q\ vR
=((: A(Y
P)
0
1
0
1
1
1
1
1
P137,1。
SvP, Q)
VP
(4)
能将一阶逻辑公式表达 式屮的量词消除，写成与Z等 价的公式，然后将解释I中的 数值代入公式,求出真值。
G =《P八Q卜的主析取范式与主合取范式。 解(1)求主析取范式， 方法1:利用冀值表求解
因此，
((PAg)v-
方法厶利用已求出的主析取 范式求主合収范式
己用去6个极小项，尚有2个极小项，即
-iP A—\QA -J?
-nF A 2 A i/?于是
1、谓词、量词、个体词、个
自由
2.谓词公式与解释，谓词公 式的类型(恒真、恒假、可满 足)
v(Pa2a/?)v(Pa2a「斥)v(彳补心用/弓A-yQ如-^ ［严I卜一个解释：= (^PaQa /?)v(^P a-1住艸陶v(Pa^2a7?)v(PaQ紅碎3
(x/\ ( 5 )QtR„ f(3
VV A0A -10根据⑶，
( 6 )
0
0
0
0
1
1
0
0
I
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
/R
V(P A Q A7?)
{ Pt (QtR),-
G=((p AQ)Rv「R)tP =副:W) V -J?)
=((「P v^e)A/?)vP = (^PAR^QA/?)v^P
=((「PaR)a(「Q ve))v((^2a^)a(2PvM) Sv^a^v^a^v-./?)):则D3)p =(iP A 2 AA-，2 A R)则@，也快(R)\/(iPa
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
K公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一•是 真值表法，对于任给一个公 式,主要列出该公式的真值 表，观察真值表的最后一列是 否全为1（或全为0）,就可 以判定该公式是否恒真（或恒 假），若不全为0,则为可满 足的。二是推导法，即利用基 木等价式推导出结果为1，或 者利用恒真（恒假）判定定理: 公式G是恒真的（恒假的）当 且仅当等价于它的介取范式
3201
110 1求3xVy(P(x)A Q(F(x), y))的真值。
解
第四章谓词逻辑
［复习知识点］
例2试将一阶逻辑公式化成 前束范式。
解
第五章图论
［复习知识点］
1、图.完全图.子图、母图、 支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，迪 克斯特拉算法（Dijkstra）
4>树.支撑树.二叉树
（Au~ B）c（~注J8）P59,1,
2；P64,3；P74〜75,
2,4, 6, 7；P81,5,
7：
=（（An〜A曲鑑咖血c肛（~ 3c B）） =（①遊:縱璇憾"）=（An圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、关系图表 示。
2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、等价关系、半序 关系的基础。对丁•四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点：一是不破坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性， 但是不具有自反性。另一点是 介绍-•种判定传递性的“跟踪 法”， 即 若
Байду номын сангаас(真值表法)
证法二:
仲僉R^-lQ )v(琲-iR)v-iP'((PvQ)f\(P—R)rQ)a(—iQ(y-R))v—i
1
>vQv-,P)XXPv^Rv-1gR—Pl ) vR人(-iQ\z-ik\z-iP )) J
)G法。
PAQG*V-G-rP
=(P
章重点习题］
P120,1, 2：P125〜126,
4、理解树、二叉树与支掠树 的冇关概念；掌握二叉树的三 种遍历方法，用Kruskal算法 求权图屮般小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概 念。
［本章重点习题I
P221,2；P225,1；P231,
2, 3；P239,5；P242, L 2o
［疑难解析］
1•本章的概念较多，学习 时需要认真比较各概念的含 义，如：图.子图.有向图. 权图；树、支撑树、二叉树、 有向树；路、简单路、回路等,
3、前束范式
在充分理解拿握前束范 式概念的基础上，利用改名规 则.基本等价式与蕴涵式(一 阶逻辑中)，将给肚公式中量 词提到默Z前称为首标。
规则P
(7)
规则Q,根据(5),
( 8 )
规则D,根据(2),
(6)
S->R
(7)
I j F(3)P(2)P(3)
Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)
Q(33)
另外，由已经得到的主 析取(合取)范式，根据G v= 1,「(「G)= G原理，参阅《离散数学学习指 导书》P71例15,可以求得主 合取(析取)范式。
3.形式演绎法
学握形式演绎进行逻辑 推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三 个规则:规则P、规则Q和规 则D,需要进行一定的练习。 ［例题分析］ 例1求
这里要求的析取范式中 所含有的每个短语不是极小 项，一定耍与求主析取范式和 区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范 式、合収范式、主析取范式和 主合取范式。关键有两点：一 是准确理解学握定义；另-•是
巧妙使用基本等价式中的分 配律、同一律和互补律,结果 的前-•步适当使用等邪律，使 相同的短语(或子句)只保留 一个。
1、理解命题的概念；了解命 题联结词的概念；理解用联结 词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念； 掌握求给定公式真值表的方 法，用基本等价式化简H他公 式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的 概念；理解极大（小）项的概 念和主析取（合取）范式的概 念；掌握用基本等价式或真值 表将公式化为主析取（合取） 范式的方法。
5、权图屮的最小树，克鲁斯 卡尔算法（Kruskal）
6、有向图.有向树
木章重点内容：权图的最 短路、二义树的遍历、权图中 的最优支撑树
［复习耍求］
1、理解图的冇关概念：图、 完全图.子图.母图.支撑子 图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联 矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，学 握用Dijkstra算法求权图中最 短路的方法。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
T是 系、空关系、全关系、恒等关
P（A）-p （B）={{3},{1,3}, {2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。
2、学握求复合关系与逆关系 的方法。
3.理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性）•掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。
4、掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的方法。
3;
隹解析］
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引
J总义，概念的含义及在谓 田.・诃胡量词作用下变量的自由
内此(、(=^nv^Rv^PvR性、约束炸与戍名规则。、
G=(-1Pa-i<2 a7?)v(-1PaQa=R)v(pa-12 a -i/?)v(Pa-iQ办岡肚偽陈Qa「R)故G为恒虫公式。
例3利用形式演绎法证明
5、映射的概念与映射种 类的判定
映射的种类主耍指单 射、满射、双射与非单非满射。 判定的方法除定义外，对借助 于关系图.而实数集的子集上 的映射也可以利用直角坐标 系农示进行，尤其是对各种初 等函数。
［例题分析］
例1设 集 合A={a,b,c,d},判定下列 关系，哪些是自反的，对称的， 反对称的和传递的：
化。
2、理解公式与解释的概念；
］限个体域下消去公衆公式在给定解释下 真值的方法；了解谓词公式的 类型。
3、理解川解释的方法证明等 价式和蕴涵式。
4、学握求公式前束范式的方
2试证明公式百陽丹左
G=((p T Q)人(Q T/?))T (g就崗 为恒真公式。
证法一：见〈离散数学学习
指导书〉卩6()例6(4)的解答。
& ={（d,Q）,（b,d）}R2=R,=仏c）,（b,d）}解:均不是自反的;&是对称 的；R15R2,R3,R4，R5是反对称 的；R| ,R2,Rs,R4R5是传递 的。
例2设 集 合A={1,2,3,4,5},A上的二元关系R为
（1）写出R的关系矩阵,画 出R的关系图;
（2）证明R是A上的半序 关系，画出其哈斯图;
4、掌握利用真值表、等值演 算法和主析取/合取范式的唯 一性判別公式类型和公式等 价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果 的概念，学握基木蕴涵式。
6、学握形式演绎的证明方法。 ［本章重点习题］
P93,1；P98,2, 3；
P104,2, 3：P107,1,
3；P112,5；P115,1, 2, 3。
［疑难解析］
木课程的考核实行形成 性考核和终结性考核的形式。 形成性考核占总成绩的20%,
以课程作业的形式进行（共三 次，由屮央电人统一布置）； 终结性考核即期末考试，占总 成绩的80%。总成绩为100分,60分及格。
期末考试实行全国统一 闭卷考核，试卷满分为100。 由中央电大统一命题,统一评 分标准，统-考试时间（考试 时间为120分钟）。
3.谓词公式的等价和蕴涵
4.前束范式
本章重点内容：谓词与量
词、公式与解释、前束范式 ［复习要求］
(「P如镂解関和)屋词、个体词、 -个岳爲送处的瞬；理解也 冰丿M侏強險鈿词就;
G = (-PA-QA-R)7 \
G =-1(-iG)= -1((-iPa—\Q /\'H
=(P V 2 V /?) A(P V<7^单命题；了解命题符号
1、试题类型
试题类型冇填空题（分 数约占20%）.单项选择题（分 数约占14%）、计算题（分数 约占50%）和证明题（分数约 占16%）O
填空题和单项选择题主 耍涉及基本概念、基本理论， 重要性质和结论.公式及其简 单计算。计算题主要考核学生 的基本运算技能，耍求书写计 算、推论过程或理由。证明题 主要考查应用概念、性质、定 理及主要结论进行逻辑推理 的能力，要求写出推理过程。
/=1
4、半序关系及半序集中 特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与 半序集概念的关键是哈斯图。 哈斯图画法掌握了，对于确定 任一子集的最大（小）元，极 人（小）元也就容易了。这里
要注意,最大（小）元与极大
（小）元只能在子集内确定， 而上界与下界町在子集z外 的全集中确定，最小上界为所 有上界中最小者,最小上界再 小也不小于子集小的任一元 素，可以与某一元素相等，最 大下界也同样。
5、理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜•界、 最小上界、最人下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
（3）若BqA,且B={2,3,4,5},求B的最大 元,最小元,极大元,极小元, 最小上界和最人下界。
解（1）R的关系矩阵为
<1
0
0
1
0
0
0
0
0]
0
Mr =
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
<0
0
1
1
R的关系图略
（2）因为R是H反的，
反
/合取范式法）
5、公式的蕴涵与逻辑结果 结词、公式与解释、析取范式 与合取范式.公式恒真性的判 定、形式演绎 ［复习要求］
方法2：推导法
(2)求主合取范式方法1:利用上面的真值表((PaQ)v―R)—>P为0的有两行，它们对应的极大项分别为
PvQvR, P\z「Qv R
(「Q\ vR
=((: A(Y
P)
0
1
0
1
1
1
1
1
P137,1。
SvP, Q)
VP
(4)
能将一阶逻辑公式表达 式屮的量词消除，写成与Z等 价的公式，然后将解释I中的 数值代入公式,求出真值。
G =《P八Q卜的主析取范式与主合取范式。 解(1)求主析取范式， 方法1:利用冀值表求解
因此，
((PAg)v-
方法厶利用已求出的主析取 范式求主合収范式
己用去6个极小项，尚有2个极小项，即
-iP A—\QA -J?
-nF A 2 A i/?于是
1、谓词、量词、个体词、个
自由
2.谓词公式与解释，谓词公 式的类型(恒真、恒假、可满 足)
v(Pa2a/?)v(Pa2a「斥)v(彳补心用/弓A-yQ如-^ ［严I卜一个解释：= (^PaQa /?)v(^P a-1住艸陶v(Pa^2a7?)v(PaQ紅碎3
(x/\ ( 5 )QtR„ f(3
VV A0A -10根据⑶，
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{ Pt (QtR),-
G=((p AQ)Rv「R)tP =副:W) V -J?)
=((「P v^e)A/?)vP = (^PAR^QA/?)v^P
=((「PaR)a(「Q ve))v((^2a^)a(2PvM) Sv^a^v^a^v-./?)):则D3)p =(iP A 2 AA-，2 A R)则@，也快(R)\/(iPa
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
K公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一•是 真值表法，对于任给一个公 式,主要列出该公式的真值 表，观察真值表的最后一列是 否全为1（或全为0）,就可 以判定该公式是否恒真（或恒 假），若不全为0,则为可满 足的。二是推导法，即利用基 木等价式推导出结果为1，或 者利用恒真（恒假）判定定理: 公式G是恒真的（恒假的）当 且仅当等价于它的介取范式
3201
110 1求3xVy(P(x)A Q(F(x), y))的真值。
解
第四章谓词逻辑
［复习知识点］
例2试将一阶逻辑公式化成 前束范式。
解
第五章图论
［复习知识点］
1、图.完全图.子图、母图、 支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，迪 克斯特拉算法（Dijkstra）
4>树.支撑树.二叉树
（Au~ B）c（~注J8）P59,1,
2；P64,3；P74〜75,
2,4, 6, 7；P81,5,
7：
=（（An〜A曲鑑咖血c肛（~ 3c B）） =（①遊:縱璇憾"）=（An圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、关系图表 示。
2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、等价关系、半序 关系的基础。对丁•四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点：一是不破坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性， 但是不具有自反性。另一点是 介绍-•种判定传递性的“跟踪 法”， 即 若
Байду номын сангаас(真值表法)
证法二:
仲僉R^-lQ )v(琲-iR)v-iP'((PvQ)f\(P—R)rQ)a(—iQ(y-R))v—i
1
>vQv-,P)XXPv^Rv-1gR—Pl ) vR人(-iQ\z-ik\z-iP )) J
)G法。
PAQG*V-G-rP
=(P
章重点习题］
P120,1, 2：P125〜126,
4、理解树、二叉树与支掠树 的冇关概念；掌握二叉树的三 种遍历方法，用Kruskal算法 求权图屮般小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概 念。
［本章重点习题I
P221,2；P225,1；P231,
2, 3；P239,5；P242, L 2o
［疑难解析］
1•本章的概念较多，学习 时需要认真比较各概念的含 义，如：图.子图.有向图. 权图；树、支撑树、二叉树、 有向树；路、简单路、回路等,
3、前束范式
在充分理解拿握前束范 式概念的基础上，利用改名规 则.基本等价式与蕴涵式(一 阶逻辑中)，将给肚公式中量 词提到默Z前称为首标。
规则P
(7)
规则Q,根据(5),
( 8 )
规则D,根据(2),
(6)
S->R
(7)
I j F(3)P(2)P(3)
Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)
Q(33)
另外，由已经得到的主 析取(合取)范式，根据G v= 1,「(「G)= G原理，参阅《离散数学学习指 导书》P71例15,可以求得主 合取(析取)范式。
3.形式演绎法
学握形式演绎进行逻辑 推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三 个规则:规则P、规则Q和规 则D,需要进行一定的练习。 ［例题分析］ 例1求
这里要求的析取范式中 所含有的每个短语不是极小 项，一定耍与求主析取范式和 区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范 式、合収范式、主析取范式和 主合取范式。关键有两点：一 是准确理解学握定义；另-•是
巧妙使用基本等价式中的分 配律、同一律和互补律,结果 的前-•步适当使用等邪律，使 相同的短语(或子句)只保留 一个。
1、理解命题的概念；了解命 题联结词的概念；理解用联结 词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念； 掌握求给定公式真值表的方 法，用基本等价式化简H他公 式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的 概念；理解极大（小）项的概 念和主析取（合取）范式的概 念；掌握用基本等价式或真值 表将公式化为主析取（合取） 范式的方法。
5、权图屮的最小树，克鲁斯 卡尔算法（Kruskal）
6、有向图.有向树
木章重点内容：权图的最 短路、二义树的遍历、权图中 的最优支撑树
［复习耍求］
1、理解图的冇关概念：图、 完全图.子图.母图.支撑子 图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联 矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，学 握用Dijkstra算法求权图中最 短路的方法。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
T是 系、空关系、全关系、恒等关
P（A）-p （B）={{3},{1,3}, {2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。
2、学握求复合关系与逆关系 的方法。
3.理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性）•掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。
4、掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的方法。
3;
隹解析］
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引
J总义，概念的含义及在谓 田.・诃胡量词作用下变量的自由
内此(、(=^nv^Rv^PvR性、约束炸与戍名规则。、
G=(-1Pa-i<2 a7?)v(-1PaQa=R)v(pa-12 a -i/?)v(Pa-iQ办岡肚偽陈Qa「R)故G为恒虫公式。
例3利用形式演绎法证明
5、映射的概念与映射种 类的判定
映射的种类主耍指单 射、满射、双射与非单非满射。 判定的方法除定义外，对借助 于关系图.而实数集的子集上 的映射也可以利用直角坐标 系农示进行，尤其是对各种初 等函数。
［例题分析］
例1设 集 合A={a,b,c,d},判定下列 关系，哪些是自反的，对称的， 反对称的和传递的：
化。
2、理解公式与解释的概念；
］限个体域下消去公衆公式在给定解释下 真值的方法；了解谓词公式的 类型。
3、理解川解释的方法证明等 价式和蕴涵式。
4、学握求公式前束范式的方
2试证明公式百陽丹左
G=((p T Q)人(Q T/?))T (g就崗 为恒真公式。
证法一：见〈离散数学学习
指导书〉卩6()例6(4)的解答。
& ={（d,Q）,（b,d）}R2=R,=仏c）,（b,d）}解:均不是自反的;&是对称 的；R15R2,R3,R4，R5是反对称 的；R| ,R2,Rs,R4R5是传递 的。
例2设 集 合A={1,2,3,4,5},A上的二元关系R为
（1）写出R的关系矩阵,画 出R的关系图;
（2）证明R是A上的半序 关系，画出其哈斯图;
4、掌握利用真值表、等值演 算法和主析取/合取范式的唯 一性判別公式类型和公式等 价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果 的概念，学握基木蕴涵式。
6、学握形式演绎的证明方法。 ［本章重点习题］
P93,1；P98,2, 3；
P104,2, 3：P107,1,
3；P112,5；P115,1, 2, 3。
［疑难解析］