微分算子法中D的运算

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微分算子法例题

微分算子法例题
微分算子法是微积分中的一种常用方法，用于求解微分方程和函数的导数。

以下是一个微分算子法的例题：
例题：使用微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0。

解答：
首先，我们定义微分算子 D 为导数运算，即 D(y) = y'，D^2(y) = y''。

将微分方程 y'' - y = 0 重写为 D^2(y) - y = 0。

现在我们假设 y 的形式为 y = e^(rx)，其中 r 是待定系数。

对 y 进行两次导数得到：
D^2(y) = D^2(e^(rx)) = r^2e^(rx)。

将 D^2(y) 和 y 代入初始微分方程，得到：
r^2e^(rx) - e^(rx) = 0。

将 e^(rx) 提取出来，得到：
e^(rx) * (r^2 - 1) = 0。

根据零乘法则，得到两个解：
e^(rx) = 0 或者 r^2 - 1 = 0。

可以发现，e^(rx) = 0 没有实数解，所以我们只关注第二个解：
r^2 - 1 = 0。

解这个二次方程，得到两个解：
r = 1 或者 r = -1。

根据假设的 y 的形式，我们可以得到两个特解：
y1 = e^x，y2 = e^(-x)。

由于微分方程是线性的，所以通解可以通过特解的线性组合得到：
y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，
其中 C1 和 C2 是任意常数。

这就是微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0 的过程和结果。

微积分 d

微积分 d微积分，是数学中的一个分支，主要研究连续变化的数量的一些基本概念、性质和方法。

微积分的核心内容是导数和积分，也就是微分和积分学。

微积分的详细内容包括极限、函数、导数、微分、积分、微分方程等，其中微积分中的d是微分符号，下面我们详细介绍一下微积分中的d。

一、微积分中的d微积分中的d是微分的符号，表示一个极小的量或者微小的变化量。

在微积分中，d通常代表着微小的变化，它可以用来表示变量的微小增量或微小减量。

同时，d也可以代表微分算子，它表示对一个函数进行微分的运算符号。

因此，微积分中的d具有十分重要的意义。

二、微积分中的极限微积分中的极限是微积分学的重要基础，它是微积分的最基本概念。

极限的概念是描述函数在某一点附近的行为。

它可以用于求导、积分、级数等问题。

极限的定义是对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，使得对于任意在（a-δ，a+δ）中的x，都有|f(x)-L|<ε，那么就称函数f(x)的极限为L，记为limx->af(x)=L。

三、微积分中的导数导数是微积分中的重要内容，它表示函数在某一点上的斜率或者变化率。

导数的数学定义是f'(x)=limx->0(f(x+Δx)-f(x))/Δx，它表示函数在x点的切线斜率。

导数的应用非常广泛，比如求最大值、最小值、极值、拐点等问题。

四、微积分中的微分微分是导数的逆运算，它是微积分中的重要内容。

微分的定义是：对于函数y=f(x)，如果一个函数f(x)在x0有导数，那么在x0处的微分dy=f'(x0)dx，其中dx表示自变量x的微小变化量，dy表示因变量y的微小变化量。

微分的应用包括牛顿法、形态分析等等。

五、微积分中的积分积分是微积分中的另一重要内容，它表示曲线下面的面积或者是求函数的反函数。

积分的定义是：如果函数f(x)在[a，b]上连续，则[a，b]上的积分可以表示为∫abf(x)dx，它表示曲线y=f(x)在x轴下方的曲边梯形的面积。

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。

例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。

这里我们以（1）式为准。

用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。

微分算子法多项式除法

微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。

它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。

具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。

例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。

2. 将除式Q(D)的次数提取出来。

将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。

3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。

根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。

4. 求解线性组合中的常数。

将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。

利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。

5. 得到多项式除法的结果。

将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。

需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。

在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。

算子法解微分方程

常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。

1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。

设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。

（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。

这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。

给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。

不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。

“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。

微分算子法求微分方程的特解2022

二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。

具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。

作用于微分形式的复合算子T。D。G的高阶可积性

第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性赵鹏飞,㊀毕淑娟,㊀刘振杰(哈尔滨学院信息工程学院,哈尔滨150080)摘㊀要:利用微分形式的Poincaré-Sobolev 不等式证明了当1<p <n 时复合算子T D G 的高阶L P 可积性,然后进一步讨论了p ȡn 的情形,获得了复合算子的高阶范数估计,并利用该结果对L p 可积微分形式证明了局部加权范数不等式成立㊂关键词:复合算子;高阶可积性;微分形式DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.018中图分类号:O175.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0144-05Higher Integrability of the Composite Operator T D Gfor Differential FormsZHAO Pengfei,㊀BI Shujuan,㊀LIU Zhenjie(School of Information Engineering,Harbin University,Harbin 150080,China)Abstract :We firstly prove the higher integrability of the composite operator T D G by using Poincaré-Sobolev inequalities when 1<p <n .Then further consider the case of p ȡn and obtain the higher order norm estimation of composite operators,by which theweighted norm inequality for L p integrable differential forms is proved.Keywords :the composite operator;higher integrability;differential forms㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2021-11-08基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:毕淑娟(1970 ),女,博士,副教授;刘振杰(1969 ),男,博士,副教授.通信作者:赵鹏飞(1981 ),男,硕士,E-mail:pengfeizhao81@.0㊀引㊀言近年来,随着对微分形式算子理论研究的展开,算子的有界性及其高阶可积性对研究拟正则映射和微分形式A -调和方程理论有十分重要的意义[1-8]㊂2009年,Ding 等[9-10]首先对同伦算子与投影算子的复合算子的奇异积分问题进行了研究㊂之后,Bi 等[11-13]对同伦算子及其复合算子的强(p ,q )型不等式进行了研究,证明了算子在加权L p 空间的有界性㊂近几年,Y.Xing [14]㊁H.Gao [6-7,15]㊁Y.Lu [16-17]和Y.Tong [18]等对算子的高阶可积性以及拟线性椭圆方程解的全局可积性进行了研究,取得了一系列丰富的成果㊂本文的主要目的是研究同伦算子T ㊁Dirac 算子D 和Green 算子G 的复合算子T D G 的高阶可积性,并进一步得到当p ȡn 时,复合算子的高阶L p 范数估计㊂为了方便,首先介绍一些符号和术语㊂设E ⊂ℝn 为一有界域,|E |为E 的Lebesgue 测度,n ȡ2㊂Λl (ℝn )表示定义在ℝn 上的l -形式全体所构成的空间㊂D ᶄ(E ,Λl )表示定义在E 上的所有可微l -形式所构成的空间㊂L p loc (E ,Λl)表示定义在E 上的系数局部可积的l -形式全体所构成的空间㊂1㊀预备知识Hodge 星算子定义为∗u =ð1ɤi 1< <i k ɤn(-1)σu i 1, ,i k (x )dx j 1Λ Λdx j n -k其中j 1< <j n -k ,(i 1, ,i k ,j 1, ,j n -k )为(1, ,n )的全排列,σ为全排列的逆序数㊂利用外微分算子d 和Hodge 星算子可以定义Hodge 上微分算子d ∗=(-1)nl +1∗d ∗,Dirac 算子定义为D =d +d ∗㊂同伦算子T 为T.Iwaniec 和A.Lutoborski 在证明Poincaré引理过程中引入的一个重要算子㊂对每个y ɪE ,首先定义一个线性算子k y :C ɕ(E ,Λl)ңC ɕ(E ,Λl -1)为(k y u )(x ;ξ1, ,ξl -1)=ʏ10tl -1u (tx +y -ty ;x -y ,ξ1, ,ξl -1)d t定义1㊀同伦算子T :C ɕ(E ,Λl )ңC ɕ(E ,Λl -1)定义为Tu =ʏEφ(y )k yu d y其中φɪC ɕ0(E )且满足ʏEφ(y )d y =1㊂然后T.Iwaniec 等研究了同伦算子的L p理论,将同伦算子的定义拓展到T:L 1loc(E ,Λl)ңL 1loc(E ,Λl -1),并证明了对所有的u ɪΩq ,p (E ,Λl ),有如下分解u =dTu +Tdu(1)其中Ωq ,p (E ,Λl -1)表示满足u ɪL p(E ,Λl -1)且du ɪL p(E ,Λl)的全体(l -1)-形式所构成的集合㊂对于算子T 有如下估计式Tω s ,B ɤC diam(B ) ω s ,B (2)成立,其中B 为ℝn 中的球,1<p <n ㊂关于同伦算子的更多性质可参看文[1],[19]㊂令u ɪD ᶄ(E ,Λl ),l -形式u E ɪD ᶄ(E ,Λl )定义为u E =|E |-1ʏEu (y )d y ,l =0dTu ,l =1,2, ,n{定义2[2]㊀Green 算子G 定义为G :C ɕ(E ,Λl )ңΗʅɘC ɕ(E ,Λl )其中Gu 是ΗʅɘC ɕ(E ,Λl )中满足Poisson 方程ΔGu =u -H (u )的唯一解㊂如果w (x )>0a.e.且在ℝn 上局部可积,则称w (x )为权函数㊂L p (E ,Λl ,w )表示加权的L p 空间,其范数定义为 u p ,E ,w =(ʏE|u |pw (x )d x )1/p㊂1972年,B.Muckenhoupt [20]在研究极大算子的性质时给出了A r 权的概念㊂定义3㊀如果定义在E ⊂ℝn 上的权函数w (x )满足sup B ⊂E 1|B |ʏBw d x ()1|B |ʏB1w()1r -1d x()r -1<ɕ则称w (x )在E 上满足A r (E )条件㊂下面的Poincaré-Sobolev 不等式出现在文[1]中㊂引理1㊀若u ɪD ᶄ(B ,Λl ),du ɪL p (B ,Λl +1),l =0,1, ,n ,则u -u B ɪL npn -p (B ,Λl )且有不等式(ʏB|u -u B |np n -pd x )n -p npɤC p (n )(ʏB|du |pd x )1p其中B 为有界凸区域中的任意球体㊂引理2[2]㊀设u 为定义在E 上的光滑的微分形式,1<s <ɕ,则存在一个与u 无关而与s 有关的正常数C (s ),使得不等式dd ∗Gu s ,B + d ∗dGu s ,B + dGu s ,B + d ∗Gu s ,B + Gu s ,B ɤC (s ) u s ,B对所有满足B ⊂E 的球都成立㊂设φ(x )为定义在[0,ɕ)上的严格增凸函数,φ(0)=0,u 为定义在有界域E ⊂ℝn 上满足对任意λ>0及μ({x ɪE :|u -u E |>0})>0都有φ(λ|u |+|u E |)ɪL 1(E ,μ)的微分形式,其中,μ为由d μ=w (x )d x 定义的Radon 测度,w (x )为权函数㊂可以证明对任意的a >0,ʏEφ12|u -u E|()d μɤC 1ʏEφ(a |u |)d μɤC 2ʏEφ(2a |u -u E|)d μ(3)其中C 1,C 2为正常数㊂2㊀定理证明定理1㊀设u ɪL p loc (E ,Λl)为定义在E 上的光滑微分形式,1<p <n ,D 为Dirac 算子,G 为Green 算子,T 为同伦算子,0<s <np (n -p )-1,则存在与u 无关,与n ,s ,p 有关的常数C 使得TDGu s ,B ɤC u p ,σB其中:B ⊂σB ⊂E ,σ为某个大于1的常数㊂541第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性证明:这里将分成两步来完成证明㊂1)如果|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0则由引理1和引理2,有TDGu-(TDGu)B np n-p,BɤC p(n) dTDGu p,BɤC p(n) DGu-TdDGu p,BɤC p(n)( DGu p,B+ TdDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C dDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C u p,B)ɤC u p,B在式(3)中取φ(t)=t np n-p,则有(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p npɤC(ʏB|TDGu-(TDGu)B|np n-p d x)n-p np由L p空间的单调性,若0<s<np(n-p)-1,则(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p np 于是有(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏσB|u|p d x)1p㊂2)假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|=0则TDGu=(TDGu)B㊀在B上几乎处处成立,因此TDGu为闭形式,进而TDGu为A-调和方程的解㊂于是由式(2)和引理2,有TDGu p,σBɤC diam(B) DGu p,σBɤC|B|1n u p,σB又由Hölder不等式有TDGu s,BɤC|B|1s-1p TDGu p,σB故TDGu s,BɤC|B|1n+1s-1p u p,σB于是定理得证㊂定理2　设uɪL p loc(E,Λl)是定义在E上的一个光滑微分形式,pȡn,T是同伦算子,D是Dirac算子,G是Green算子㊂则对于任意的实数s>1,有TDGuɪL s loc(E,Λl),进而存在一个与u无关的常数C使得,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B其中B⊂E为E中的任意球㊂证明:首先当1<sɤp时,由引理2和式(3),有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B显然成立㊂接下来证明当s>p时,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,σB成立㊂假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0令m=sp-1,记q=mnp/(n+mp)㊂因为n-p ɤ0,所以q-p=[p(m(n-p)-n)](n+mp)-1<0即q<p,而1<q=mnp/(n+mp)<n㊂于是由引理1㊁引理2和L p空间的单调性,有(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC2(ʏB|dTDGu|q d x)1q=C2(ʏB|DGu-T(d(DGu)|q d x)1qɤC3(ʏB|DGu|q d x)1q+C4(ʏB|T(d(DGu)|q d x)1qɤC5(ʏB|u|q d x)1q+C6(ʏB|u|q d x)1qɤC7|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p(4)因为|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0,所以若在式(3)中取φ(t)=t nq(n-q),则对任意的微分形式ω,可得(ʏB|ω|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC8(ʏB|ω-ωB|nq(n-q)d x)(n-q)nq(5)在式(5)中用TDGu代替ω,有(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq n-q d x)n-q nq(6)因为nq/(n-q)=mp=s,再一次利用L p空间的单调性,式(6)和式(4),有(ʏB|TDGu|s d x)1s=(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC10|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p=641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C10|B|1s+1n-1p(ʏB|u|p d x)1p因此有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B于是定理得证㊂需要指出的是,以往得到的关于同伦算子和Green算子的高阶可积性结论均仅对A-调和方程的解成立,而定理1和定理2的结果表明对于满足一定条件的指数s,p,对任意在E上局部L s可积的微分l-形式,复合算子的高阶可积性仍然成立㊂3㊀应㊀用近年来,关于算子在加权微分形式L p空间有界性问题的研究已取得一些成果,但由于在证明过程中需要用到弱逆Hölder不等式,因此关于加权不等式的结论仅对A-调和方程的解成立㊂而由定理2,则可得到对任意L p可积的微分形式均成立的加权结果㊂引理3㊀如果w(x)ɪA r(E),则存在与w无关的常数γ>1和C>0,使得w γ,BɤC|B|(1-γ)γ w 1,B(7)对所有球B⊂E都成立㊂定理3㊀设E为有界凸区域,n<p<ɕ,T为同伦算子,D为Dirac算子,G为Green算子,如果权函数w(x)满足A r(E)条件,其中1<r<p/n,则对任意uɪL p(E,Λl),存在与u无关的常数C使得 TDGu p,B,wɤC u p,B,w对所有的球B⊂E都成立㊂证明:由于w(x)满足A r(E)条件,由引理3,存在常数γ>1和正数C1使得对所有的球B⊂E有 w γ,BɤC1|B|(1-γ)γ w 1,B取t=γp/(γ-1),则由Hölder不等式有 TDGu p,B,wɤ(ʏB|TDGu|t d x)1t(ʏB wγd x)1γp= TDGu t,B w 1pγ,B(8)这样,将式(7)代入式(8)中,有TDGu p,B,wɤC2|B|(1-γ)γp TDGu t,B w 1p1,B(9)记m=p/r,则由定理2可以得到TDGu t,BɤC3 u m,B(10)其中C3与t,m,n有关㊂再由式(9)和式(10),有 TDGu p,B,wɤC4|B|(1-γ)γp u m,B w 1p1,B 又由于1/p+(r-1)/p=1/m,于是由Hölder不等式有u m,Bɤ(ʏB(|u|w1p)p d x)1pʏB1w()1r-1d x()p r-1= u p,B,wʏB1w()1r-1d x()p r-1(11)注意到wɪA r(E),因此存在常数C5>0使得对所有的球B⊂E,有1|B|ʏB wdx()1p1|B|ʏB1w()1(r-1)d x()(r-1)p<C5<ɕ这样,再由式(10)和式(11),立即有TDGu p,B,wɤC6|B|1-γPγ|B|1P|B|r-1P u p,B,w=C6|B|r P+1-γPγ u p,B,wɤC6|D|r P+1-γPγ u p,B,wɤC7 u p,B,w结论得证㊂4㊀结论本文证明了微分形式L s空间同伦算子T㊁Green 算子和Dirac算子的复合算子T D G当1<p< n时的高阶可积性,并进一步证明了复合算子当pȡn时的高阶范数估计以及对L p可积微分形式成立的局部加权范数不等式㊂参考文献:[1]㊀IWANIEC T.,LUTOBORSKI A.Integral Estimates forNull Lagrangians[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1993,125(1):25.[2]㊀SCOTT C.Theory of Differential Forms on Manifolds[J].Transactions of the American Mathematical Society,1995,347(6):2075.[3]㊀毕卉,于冰,李贯锋.复合算子的Lipschitz和BMO范数不等式[J].黑龙江大学自然科学学报,2017,34(5):556.BI Hui,YU Bing,LI Guanfeng.Lipschitz and BMONorm Inequalities for the Composite Operator[J].Journalof Natural Science of Heilongjiang University,2017,34(5):556.[4]㊀AGARWAL R.P.,DING Shusen,NOLDER C.Ine-qualities Fordifferential Forms[M].Springer,2009.[5]㊀高红亚,褚玉明.拟正则映射与A-调和方程[M].北741第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G的高阶可积性京:科学出版社,2013.[6]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,DENG Hua,et al.Global Integrability for Solutions to Quasilinear EllipticSystems[J].Manuscripta Mathematica,2021,164:23.[7]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,REN Wei.GlobalRegularity for Minimizers of Some Anisotropic VariationalIntegrals[J].J.Optimization Theory and Applications,2021,188(2):523.[8]㊀NOLDER C.Global Integrability Theorems for A-harmon-ic Tensors[J].Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications,2000,247(1):236.[9]㊀DING Shusen,LIU Bing.A Singular Integral of the Com-posite Operator[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(8):1271.[10]DING Shusen,LIU Bing.Dirac-harmonic Equations forDifferential Forms[J].Nonlinear Analysis,2015,22:43.[11]BI Hui,XING Yuming.Poincare-type Inequalities withLp(logL)-norms for Greenᶄs Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2010,60(10):2764.[12]BI Hui,DING Shusen.Some Strong(p,q)-type Ine-qualities for the Homotopy Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2011,62(4):1780.[13]BI Hui,SUN Yuli.Imbedding Inequalities for the Com-posite Operator in the Sobolev Spaces of DifferentialForms[J].J.Inequalities and Applications,2015,2015(1):1.[14]XING Yuming,DING Shusen.Higher Integrability ofGreenᶄs Operator and Homotopy Operator[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2017,446(1):648.[15]GAO Hongya,LIANG Shuang,CHI Yi.Global Integra-bility Related to Anisotropic Operators[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2016,442(1):244.[16]LU Yueming,LIAN Pan.Variational Integral and SomeInequalities of a Class of Quasilinear Elliptic System[J].Advances in Applied Clifford Algebras,2020,30(4):62.[17]LU Yueming.On Weak Solutions to Dirac Harmonic E-quations for Differential Forms[J].Advances in AppliedClifford Algebras,2017,27(4):3167. [18]TONG Yuxia,LIANG Shuang,ZHENG Shenzhou.Inte-grability of Very Weak Solution to the Dirichlet Problemof Nonlinear Elliptic System[J].Electronic Journal ofDifferential Equations,2019,2019(1):1. [19]GOLᶄDSHTEIN V.,TROYANOV M.Sobolev Inequali-ties for Differential Forms and Lq,p-cohomology[J].Journal of Geometric Analysis,2006,16(4):597.[20]MUCKENHOUPT B.Weighted Norm Inequalities for theHardy-Littlewood Maximal Operator[J].Transactions ofthe American Mathematical Society,1972,165:207.(编辑:温泽宇)841哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀。

微积分中的d

微积分中的d1675年莱布尼兹分别引入「dx」及「dy」以表示x和y的微分，（differentials），始见于他在1684年出版的书中，这符号一直沿用至今。

微分符号d取英文differential,differentiation的首个字母(difference有差距,差额的意思)，其中与微分概念及符号d相关的英文单词有divide,decrease,delta等.另外，符号D 又叫微分算子。

扩展资料：一、微积分产生到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

二、积分相关1、定积分和不定积分积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x)+C]'=f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。

它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系（详见牛顿-莱布尼茨公式）。

2、常微分方程与偏微分方程含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。

未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。

未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

微分方程算子法

微分方程算子法微分方程算子法是微分方程求解的一种重要方法。

它通过引入算子的概念，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。

微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要数学工具。

它包含了未知函数及其导数之间的关系，一般形式为：F(x, y, y', y'', ...) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数等。

求解微分方程的目标就是找到满足这个方程的未知函数y。

常见的微分方程求解方法有分离变量法、变量替换法、常系数线性微分方程求解法等。

而微分方程算子法是其中的一种，它主要用于求解线性微分方程。

所谓线性微分方程，是指未知函数及其导数之间的关系式为线性关系。

对于形如：L(y) = f(x)的线性微分方程，其中L是一个微分方程算子，f(x)是已知函数。

我们的目标是求解出未知函数y。

微分方程算子法的基本思想是引入一个算子D，使得D(y) = y'。

这样，原微分方程L(y) = f(x)就可以转化为：L(D)(y) = f(x)其中L(D)是一个算子，它作用在y上得到一个新的函数。

通过将微分方程转化为代数方程，我们就可以利用代数方法求解。

具体来说，我们可以将微分方程L(D)(y) = f(x)展开为：a0*y + a1*D(y) + a2*D^2(y) + ... + an*D^n(y) = f(x)其中a0、a1、...、an是常数，D^k表示算子D作用k次。

然后，我们可以将未知函数y表示为算子D的多项式形式：y = c0 + c1*D(y) + c2*D^2(y) + ... + cn*D^n(y)将这个表达式代入原微分方程，我们可以得到关于c0、c1、...、cn的代数方程组。

通过求解这个方程组，我们就可以得到未知函数y的表达式。

微分方程算子法的优势在于，它将微分方程转化为代数方程，避免了直接求解导数的麻烦。

此外，它还可以简化一些复杂的非线性微分方程的求解过程。

微分方程算子法总结

1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x），则(D +1)y= 2cos(3x）特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=

一阶微分算子

一阶微分算子微分算子是微积分中的重要概念，它是指对函数进行微分运算的操作符。

一阶微分算子是指对函数进行一次微分运算的操作符。

在微积分中，一阶微分算子是非常重要的，因为它可以用来描述函数的变化率和斜率。

一阶微分算子的定义一阶微分算子是指对函数进行一次微分运算的操作符。

它可以用符号“d/dx”表示，其中“d”表示微分运算符，“dx”表示自变量x 的微小变化量。

一阶微分算子可以用来计算函数在某一点的斜率，也可以用来计算函数在某一点的变化率。

一阶微分算子的应用一阶微分算子在微积分中有着广泛的应用。

它可以用来求解函数的极值、最大值和最小值，也可以用来求解函数的导数和微分方程。

在物理学中，一阶微分算子可以用来描述物体的运动状态和变化率。

一阶微分算子的性质一阶微分算子具有以下性质：1. 线性性：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意两个常数a和b，有d/dx(af(x)+bg(x))=ad/dx(f(x))+bd/dx(g(x))。

2. 乘法法则：对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x))=f(x)d/dx(g(x))+g(x)d/dx(f(x))。

3. 链式法则：对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x)))=f'(g(x))d/dx(g(x))。

4. 反函数法则：对于任意一个可逆函数f(x)，有d/dx(f^-1(x))=1/d/dx(f(x))。

5. 常数函数法则：对于任意一个常数c，有d/dx(c)=0。

6. 幂函数法则：对于任意一个正整数n，有d/dx(x^n)=nx^(n-1)。

7. 指数函数法则：对于任意一个正实数a，有d/dx(a^x)=a^xlna。

8. 对数函数法则：对于任意一个正实数a，有d/dx(loga(x))=1/(xlna)。

总结一阶微分算子是微积分中的重要概念，它可以用来描述函数的变化率和斜率。

一阶微分算子具有线性性、乘法法则、链式法则、反函数法则、常数函数法则、幂函数法则、指数函数法则和对数函数法则等性质。

微分方程算子法总结

微分方程算子法总结微分方程算子法是微分方程的一种解法方法，通过将微分方程中的微分算子用代数符号表示，转化为代数方程的形式来求解微分方程。

这种方法在微分方程的解法中起到了重要的作用。

下面是对微分方程算子法的总结，包括定义、基本原理、解题步骤和应用等方面的内容。

一、定义二、基本原理三、解题步骤1.将微分方程中的微分算子用代数符号表示，一般用p(D)来表示D^k 的形式，其中D表示微分算子，k为一个正整数。

2.对代数符号p(D)进行运算，根据微分算子的运算性质进行替换、展开、相乘等运算。

3.将运算后得到的代数方程转化为普通的代数方程，消去代数符号后求解。

4.最后，根据求得的代数方程解，通过对代数解进行逆运算，将代数解转化为函数解，即为微分方程的解。

四、应用1.线性常微分方程的解法，如齐次线性常微分方程、非齐次线性常微分方程等。

2.偏微分方程的解法，如一维波动方程、一维热传导方程等。

通过微分方程算子法，可以将偏微分方程转化为常微分方程的形式进行求解。

3.变系数微分方程的解法，如变系数线性常微分方程等。

通过微分方程算子法，可以将变系数微分方程转化为常系数微分方程的形式进行求解。

4.高阶微分方程的解法，如二阶、三阶及更高阶微分方程等。

通过微分方程算子法，可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式进行求解。

五、优缺点1.能够将微分方程转化为代数方程进行求解，简化了计算过程。

2.适用范围广泛，能够解决多种类型的微分方程问题。

3.理论基础扎实，运算性质清晰，易于理解和应用。

1.对于非线性微分方程或特殊形式的微分方程，微分方程算子法可能不太适用。

2.运算过程中需要进行大量的代数计算，可能存在繁琐的计算步骤。

3.求解过程中可能会出现复杂的代数式，需要一定的代数知识和计算技巧。

六、总结微分方程算子法是一种重要的微分方程解法方法，通过将微分方程转化为代数方程，简化了微分方程的求解过程。

它在数学和工程领域具有广泛的应用和重要的意义。

微分算子法

��
�� + ��
这里−�� = ��
�� −�� + ��
��
�� （�� + ��）
这里是将�� 前移，D 应该加上 m ��∗ = �� ∗ = �� ∗ (�� + ��) (�� − �� + ��)�� ∗ (�� + ��） ��
= ��
例题��′′ − ��′ + �� = �� ，求��∗ ��∗ = ��∗ = ��∗ = ��∗ = ��∗ = ��∗ = �� − �� + �� −�� − �� + �� − �� + �� − �� + �� (�� + �� ) ��

常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法

n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。

任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。

由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。

定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。

微分方程的算子算法

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常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法导数的性质及求导法则
P ( D)
求导公式运算公式
原函数的性质及积分法
1 P ( D)
积分公式运算公式
计算原函数计算特解
5
的性质及运算法则
的性质及运算法则
常系数线性微分方程的算子解法
1 x 1 x x e xe xe 2 2 ( D 1）（ 2 D 1） 1 D 3!
x 3
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常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题类型3 f ( x) fk ( x)e x cos x或f ( x) fk ( x)e x sin x 解法
考虑方程P( D) y e( i ) x fk ( x)特解的实、虚部
例3 求( D2 2D 5) y xe x sin 2 x的特解。解考虑( D2 2D 5) y e(12i ) x x的特解
1 y* 2 e (1 2 i ) x x ( D 2 D 5)
1 类似于原函数的概念，定义算子： P ( D) 1 f ( x )表示这样函数：用P ( D)作用它的结果是f ( x )，即 P ( D) 1 若函数F ( x )使得P ( D) F ( x ) f ( x )，则 f ( x) F ( x) P ( D) 1 1 n f ( x ) f ( x )dx, f ( x ) L f ( x )( dx ) D Dn 1 将D与P ( D)类比，将 f ( x )dx与 f ( x )类比 P ( D)
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) Dn[ f1 ( x) f2 ( x)] Dn f1 ( x) Dn f2 ( x)

微分算子法多项式除法

微分算子法多项式除法引言微分算子法是一种求解多项式除法的方法。

在代数学中，多项式是一个由常数和自变量的乘积组成的表达式，而多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。

微分算子法通过使用微分算子来简化多项式的除法运算，提高计算效率。

微分算子法的原理微分算子法的核心思想是将多项式除法转化为微分运算。

在微分算子法中，我们定义一个微分算子D，使得D(x^n) = nx^(n-1)，其中x为自变量，n为常数。

通过使用微分算子D，我们可以将多项式的除法问题转化为求导数的问题。

微分算子法的步骤微分算子法的具体步骤如下：1.将被除多项式和除多项式按照降幂排列，确保多项式的最高次数在前面。

2.使用微分算子D对被除多项式进行求导，直至被除多项式的次数小于除多项式的次数。

3.根据求导的结果，将被除多项式与除多项式相乘，并将结果相加得到商多项式。

4.将得到的商多项式与除多项式相乘，并将结果减去被除多项式，得到余数多项式。

5.如果余数多项式的次数大于等于除多项式的次数，则将余数多项式作为新的被除多项式，重复步骤2-5，直至余数多项式的次数小于除多项式的次数。

6.最后得到的商多项式即为所求的结果。

示例假设我们要计算多项式P(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 7x - 9 除以多项式Q(x) = x^2 - 2x + 1。

1.将P(x)和Q(x)按照降幂排列，得到P(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 7x - 9，Q(x) = x^2 - 2x + 1。

2.使用微分算子D对P(x)进行求导，得到P’(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 7。

3.将P’(x)与Q(x)相乘，并将结果相加，得到商多项式S(x) = 3x^2 + 8x +7。

4.将S(x)与Q(x)相乘，并将结果减去P(x)，得到余数多项式R(x) = -9x +16。

5.由于R(x)的次数小于Q(x)的次数，计算结束，得到商多项式S(x) = 3x^2+ 8x + 7和余数多项式R(x) = -9x + 16。

外微分

外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。

因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。

而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

微分算子法中D的运算

微分算子法例题

微积分 d

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例

微分算子法 多项式除法

算子法解微分方程

微分算子法求微分方程的特解2022

作用于微分形式的复合算子T。D。G的高阶可积性

微积分中的d

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微分方程算子法总结

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微分方程算子法总结

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