A班运筹学_2第二章线性规划图解法
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线性规划图解法
第二节 线性规划的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
运筹学线性规划图解法
j =1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
【运筹学】2第二章线性规划图解法
(7, 0)
56
78
9 10
x1
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46
Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
34
56
78
9 10
x1
•画图求解 •2）Max z= 7x1 + 5x2 •3）Max z= 5x1 + 10x2 •4）Max z= 5x1 + 5x2
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2
第2章 线性规划图解法
第2章 线性规划图解法
2.1 线性规划问题 2.2 图解法 2.3 极点和最优解 2.4 计算机求解 2.5 最小化问题 2.6 特例
2.1 线性规划问题
• 在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 •Linear programming （LP）
2.2 图解法
•唯一解 •无穷多个最优解 •无界解 •无可行解
Example 1: A Maximization Problem
• LP Formulation • •
Max z= 5x1 + 7x2
•
s.t.
x1
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
线性规划图解法
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条
件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获
取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投
资回报最大
3
第二章 线性规划的图解法
• 产品生产计划：合理利用人力、物力、财 力等，使获利最大
第二章 线性规划的图解法
• 对于只有两个变量的简单的线性规划问 题，一般采用图解法求解。这种方法仅 适用于只有两个变量的线性规划问题。 它的特点是直观而易于理解，但实用价 值不大。
第二章 线性规划的图解法
1.基本概念 （1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Maxf 7x1 12x2
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
2
2 ln
x2
1 x3
第二章 线性规划的图解法
9x1 4x2 360
s
.t
.43
x1 x1
5x2 10x
200 2 300
x1, x2 0
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素： （也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。
（2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
运筹学第二章线性规划的图解法
3 2 4 2 40
5 50
2
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
max Z 40 x1 30 x2 50 x3
3 x1 x2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x2 x3 360 2 x 3 x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x2 0，x3 0
最优解X=(50,30,10);Z=3400
2013年12月29日星期日
产品 资源 设备A 设备B
甲 乙 3 2 1 2
丙
现有资 源 200 200
2 4
材料C
材料D 利润（元/ 件）
4
2 40
5
3 30
1
5 50
360
300
3
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 4
2013年12月29日星期日
(约束条件)
6
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 7
x2
3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 6
o
2013年12月29日星期日
x1
3 x1 2 x2 6
7
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 11
x2 例3.1
40
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
第2章 运筹学课件图解法
4x2 12
x2
A
可行域
B
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x 0 1 2
最优解（4，2）
x1
x1 16
x1 2x2 8
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定 在凸集的顶点达到
上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2 改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
向量Pj 对应的决策变量是x j
T
用矩阵表述：
max z CX ( LP4 ) s.t AX b X 0
其中
A (aij )mn ( p1, p2 pn )
0 (0,0,0)
T
max z CX s.t AX b X 0
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线
性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论
上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特 别是在计算机能处理成千上万个约束条件和 决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经 常采用的基本方法之一。
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最
第二章 线性规划的图解法
例2.某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制， 如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第二章 线性规划的图解法
问题1具体数据如表所示：
资源 单耗 资源 煤(t) 电(kw.h) 油(t) 单位产品价格 9 4 3 7 4 5 10 12 360 200 300 产品 甲 乙 资源限量
提出和形成问题
建立模型
求解
结果的分析和应用
第二章 线性规划的图解法
在本例中
决策变量： 甲、乙产品的计划产量，记为x1 ，x2； 目标函数： 总收入记为f,则 f=7x1 +12x2 ，为体现对其求极大化， 在f 的前面冠以极大号Max，
第二章 线性规划的图解法 例2：.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B 两种原料，使得购进成本最低？
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素：
（也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。 （2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2 目标函数：想要达到的目标，用决策 变量的表达式表示。 （3）约束条件： 约束条件：由于资源有限，为了实现 目标有哪些资源限制，用决策变量的 等式或不等式表示。
运筹学第2章 线性规划的图解法
约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解: x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有可 能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
x1 , x2 ≥ 0
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值
表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
➢ 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
➢ 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
➢ 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件。
➢ 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
11
§2 图 解 法
例2: 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原 料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其 中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的 规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加 工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1 小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨 A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元， 试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力 的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
运筹学——第2章_线性规划的图解法
Q点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性规划问 题的最优解，购买A原料250吨，购买B原料100吨， 可使成本最小，即2x1+3x2=2×250+3×100=800(万元)。 分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为 250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限，所需 的加工时间为2×250+1×100=600正好达到加工时间 的最高限。而原料A的购进量250吨则比原料A购进量 的最低限125吨多购进了250-125=125吨， 这个超过 量在线性规划中称为剩余量。
7
对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件
下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量 (X1， X2, …, Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代 表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标， 称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问 题过程上所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规 划的数学模型，其一般形式为: 8
品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型 如下：
6
目标函数： max Z=50x1+100x2， 满足约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数， 约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称 之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数， 或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学 模型则称之为非线性规划。 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行 解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标 函数值，简称最优值。
第二章 线性规划图解法.ppt
则有：
目标函数 Min Z = 1000 x1 +800 x2
约束条件
x1
≥1
0.8x1 + x2 ≥ 1.6
x1
≤2
x2 ≤ 1.4
x1，x2 ≥ 0
（ A点） （ B 点） （甲排放量限制） （乙排放量限制）
练习3：生产计划问题
某车间在每个生产期5天所需要的某种刀具的 统计资料如下：
日期
1
（2）数学模型：运筹学模型是数学模型或计算机模 型。在运筹学模型中，反映现实世界的关系用 数学等式或逻辑描述表示。
（3）线性规划模型：属于最优化模型。最优化模型 解决求最大利润、最小成本、最大回报率等问 题。例如：P11的例1。
2. 几个概念：
（1）线性——变量之间呈正比例关系或一次相
加关系；如：y=2x；y=x+6；y=5x1+9x2 等。
• 图解法——通过在平面上作图求解 的方法；
• 可行解——满足约束条件（包括非 负条件）的解， 即可行方案；
• 可行域——全体可行解； • 最优解——使目标函数取得最优的
可行解。
2. 图解法步骤：
（1）在直角坐标系中分别作出各 约束条件，从而确定可行域；
（2）作出一条目标函数等值线；
（3）将目标函数等值线沿目标函数 值增大（或减小）方向移动，以 求得最优解或确定线性规划无解。
• 其它形式转换成标准型：
（1）求 Min Z = CX
则只须令 Z ′= - Z = - CX =（ - C）X = C′X 可转换为求 Max Z ′ = C′X
而最优解为 :
X* 不变
Z* = －(Z ′)*
(2) 约束条件：
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12
Example 1: A Maximization Problem
LP Formulation Max z= 5x1 + 7x2 s.t. x1 < 6 2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8 x1, x2 > 0
13
Example 1: Graphical Solution
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46 Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
20
画图求解
2）Max
z= 7x1 + 5x2 3）Max z= 5x1 + 10x2 4）Max z= 5x1 + 5x2
2x1 + 3x2 < 19
(9 1/2, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
15
Example 1: Graphical Solution
Constraint #3 Graphed x2 (0, 8)
8 7 6 5 4 3 2 1
x1 + x2 < 8
(8, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9
2.1 线性规划问题
一般形式 目标函数：Objective Function Max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件：Constraint a11x1+a12x2+…a1nxn≤(=,≥)b1 a21x1+a22x2+…a2nxn≤(=,≥)b2 …… am1x1+am2x2+…amnxn≤(=,≥)bm x1,x2,…,xn≥0
21
Example 1: Graphical Solution
Optimal Solution x2
8 7 6 5 4 3 2 1
Objective Function 5x1 + 7x2 Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
22
图解法求最大化问题概要
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
Min z = 5x1 + 2x2
4x1 - x2 > 12 x1 + x2 > 4 2x1 + 5x2 > 10
x1
31
Example 2: Graphical Solution
Optimal Solution x2
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 Linear programming （LP）
4
2.1 线性规划问题
生产计划问题
例1：某厂生产两种产品，需要三种资源， 已知各产品的利润、各资源的限量和各产品 的资源消耗系数如下表：
Min z = 5x1 + 2x2
4x1 - x2 > 12 x1 + x2 > 4 2x1 + 5x2 > 10 Optimal: x1 = 16/5 x2 = 4/5 x1
32
2.6 特例
无可行解 无界解 无穷多最优解
33
无可行解
Max s.t.
z= 2x1 + 6x2 4x1 + 3x2 < 12 2x1 + x2 > 8 x1, x2 > 0
28
2.5 最小化问题
Example 2: A Minimization Problem LP Formulation Min z=5x1 + 2x2 s.t. 2x1 + 5x2 > 10 4x1 - x2 > 12 x1 + x2 > 4 x1, x2 > 0
29
Example 2: Graphical Solution
资源限制 630小时 600小时 708小时 135小时
8
2.1 线性规划问题
决策变量 目标函数 约束条件 设产品标准袋、高档袋分别生产X1、X2个 Obj: maxZ=9X1+10X2 S.t. 0.7X1+ X2 ≤ 630 0.5X1+0.83333X2 ≤ 600 1X1+0.33333X2 ≤ 708 0.1X1+ 0.25X2 ≤ 135 X1≥0 , X2≥0
2.67
5
x1
37
无穷多最优解
？？？？
38
作业
39
确定每个约束条件的可行解的图
确定可以满足全部约束条件的可行解的范 围
根据特殊的目标函数的值，画两条目标函 数线 通过平行移动目标函数线，使目标函数值 增大，直到可行域全在直线的一侧 在目标函数线上，使目标函数的值最大的 解就是最优解
23
二维线性规划的几何特征
若可行域非空，它是一个凸集 若线性规划存在最优解（最优解之一），它 一定在可行域的某个（某几个）顶点（极点 ）得到 这两个特征对高维的线性规划也适用。 解题思路：先找出凸集的一个顶点，计算在 顶点处的目标函数值。比较周围相邻顶点的 目标函数值是否比这个值大，如果为否，则 这个顶点就是最优解的点（或之一），否则 转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点 ，重复上述过程，一直找到使目标函数最大 的顶点为止。
(0, 5)
Objective Function max Z= 5x1 + 7x2 5x1 + 7x2 = 35
(7, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
19
Example 1: Graphical Solution
Optimal Solution x2
8 7 6 5 4 3 2 1
B(2,3)
A(0,3)
C (4,2)
A(0,3) S (0,3) 12, B ( 2,3) : S ( 2,3) 18, C ( 4,2) : S ( 4,2) 20, D (6,0) : S (6,0) 18, O : S (0,0) 0.
O
D(6,0)
当x1 4, x2 2时，S max 20.
6
线性规划示意图
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2≤360 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2 ≤300 X1≥0 X2≥0
7
2.1 线性规划问题
例2：高尔夫球袋
标准袋 切割印染 缝合 完成 检查包装 单位产品利 润（美元） 7/10 1/2 1 1/10 9
高档袋 1 5/6 2/3 1/4 10
Constraints Graphed x2
5
4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
Feasible Region 4x1 - x2 > 12 x1 + x2 > 4 2x1 + 5x2 > 10
ical Solution
Objective Function Graphed x2
运筹学
Operations Research
任课教师：徐咏梅博士 副教授 硕士生导师
80613111@
1
第 2章
线性规划图解法
2
第2章 线性规划图解法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
线性规划问题 图解法 极点和最优解 计算机求解 最小化问题 特例
3
2.1 线性规划问题
Feasible Solution Region x2
8 7 6 5 4 3 2 1
Feasible Region
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1
18
Example 1: Graphical Solution
Objective Function Line x2
8 7 6 5 4 3 2 1
x1
16
Example 1: Graphical Solution
Combined-Constraint Graph x2
8
7 6
x1 + x2 < 8 x1 < 6
5
4 3 2 1
2x1 + 3x2 < 19
x1
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Example 1: Graphical Solution
产品A
劳动力 设备 原材料 9 4 3
产品B
4 5 10
资源限制
360工时 200台时 300公斤
单位产品利润 （元）
70
120
5
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0