反比例函数概念与性质

一、反比例函数的概念

1．

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量x 的指数为

，在解决有关自

变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．

（

）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得

到反比例函数的解析式； 3．反比例函数

的自变量

，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．

二、反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原

点对称）．

三、反比例函数及其图象的性质

反比例函数

)0#(k x

k

y =

k 的符号

0>k

0

图象

性质

1、双曲线的两个分支分别位于 第一、第三象限内

2、在每个象限内y 随x 值的增大而减小 1、双曲线的两个分支分别位于 第二、第四象限内 2、在每个象限内y 随x 值的增大而增大

共性

①双曲线

②关于原点成中心对称

反比例函数概念与性质

新知学习

Y

X

O

X

Y

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：

图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在D 双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1图2

5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．

四、反比例函数解析式的确定

求反比例函数的解析式的方法主要有三种：

①待定系数法；②反比例函数k 的几何意义；③实际问题

一、反比例函数的定义：

【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③k

y x

=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有

( )

A ．1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【例2】 已知y=(m 2

+2m)x 1

2-+m m 是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【练一练】如果函数2

22-+=k k kx

y 是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是____ ____；

【例3】 已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________,这时h 是a 的__________；

【例4】 如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成____ ___；

二、反比例函数的图像和性质

【例5】 对于反比例函数x

k y 2=(0

≠k )，下列说法不正确的是（ ）

A. 它的图象分布在第一、三象限

B. 点（k ，k ）在它的图象上

C. 它的图象是中心对称图形

D. y 随x 的增大而增大

【例6】 在反比例函数

5

k y x -=

图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）

A ．k ＞5

B ．k ＞0

C ．k ＜5

D ． k ＜0

【例7】 若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x

y 2

-

=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）

A ．b 1＜b 2

B ．b 1 = b 2

C ．b 1＞b 2

D ．大小不确定

【例8】 在反比例函数x

y 1

-

=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >>

【例9】 在反比例函数

的图象上有两点(－1，y 1)，

，则y 1－y 2的值是( )

A 负数

B 非正数

C 正数

D 不能确定

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