2020-2021学年最新高考总复习数学(文)八校联考模拟试题及答案解析

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2021届陕西省西安市八校高考数学联考试卷(文科)(一)解析

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A，全集U＝{﹣1，﹣2，1，2，3，4}，若∁U A＝{1，3，4），则集合A是（）A．{﹣1，﹣2，0，2}B．{﹣1，﹣2，2}C．{﹣1，﹣2}D．{0}2．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+1，则f（﹣e）＝（）A．2B．0C．﹣2D．13．若a∈（﹣，0），且sinα+cosα＝0，则sin3α＝（）A．﹣B．C．﹣D．4．在1到100的整数中，除去所有可以表示为2n（n∈N+）的整数，则其余整数的和是（）A．3928B．4024C．4920D．49245．已知双曲线S：﹣＝1的离心率为2，则双曲线S的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．或D．或6．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．7．已知点P在圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝1上，直线l：3x+4y＝12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN的面积的最大值是（）A．B．8C．D．98．已知在△ABC角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＝4，b＝3，c＝2．则△ABC的最大角的正弦值是（）A．﹣B．C．﹣D．9．已知f（x）＝sin x cos x+sin2x﹣（x∈[0，]），则f（x）的值域是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣，1]D．[﹣1，1]10．如图，已知底面边长为a的正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为2a，其截面PAC的面积为8，则正四棱锥P﹣ABCD的高是（）A．B．2C．4D．411．已知命题p：∃x∈R，x﹣10＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞，则（）A．“p∨q”是假命题B．“p∧q”是真命题C．“p∨￢q”是假命题D．“p∧￢q”是真命题12．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y＝（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）二、填空题（共4小题）.13．若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是．14．若a∈R，i为虚数单位，|2+|＝4，则a＝．15．设函数f（x）＝，若f（f（））＝8，则m＝．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b有两个零点x1、x2，且﹣1＜x1＜0＜x2＜2，则z＝a﹣2b的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2020—2021年新高考总复习数学(文)八校联考模拟试题及答案解析.docx

高三总复习八校联考文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至8页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题纸上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A, B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A, B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一、选择题（共8小题，每题5分）1. i 是虚数单位，复数ii z -+=131在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）A ．115B ．13C ．23 D ．353. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．74. “1=k ”是“直线0=+-k y x 与圆122=+y x 相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于B A ,两点，弦CD 垂直AB 于E ．则下面结论中正确的有（）个① BEC ∆∽DEA ∆ ②ACP ACE ∠=∠③2DE OE EP =⋅ ④2PC PA AB =⋅A.1B.2C.3D.4 6．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A ．在[,]42ππ上是增函数B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当[0,]3x π∈时，函数()g x 的值域是[1,2]- 7．定义在R 上的函数)(x f 其导函数是)('x f ，且)2()(x f x f -=，当)1,(-∞∈x 时，0)()1('<-x f x ，设)8(log ,)2(,)0(2f c f b f a ===，则（）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<8. 对任意实数b a ,定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是（）A. [)1,2-B.(]2,1-C.[)0,2-D. )1,2(-第Ⅱ卷二、填空题（共6小题，每题5分）9．设全集U R =，集合{}1|||2,|01A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则()U C A B =I10．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为第10题图第11题图 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．12. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB ∆的面积为3，则抛物线的焦点坐标为13.如图，在ABC ∆中，AC AB =，2=BC ，DC AD =，=AE 21EB ,若=⋅AC BD 21-则AB CE ⋅= ．14.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为三、解答题15.研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：如何安排这两种产品的搭载件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？16. 已知函数1cos 2cos sin 32)(2+-=x x x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，若)2(A f =2，边2,1==AB AC ，求边BC 的长及)4sin(π+B 的值.17.如图：在三棱锥P ABC -中，,PB ABC ⊥面ABC∆是直角三角形，902B AB BC ︒∠===,，45PAB ︒∠=，点D 、E F 、分别为AC 、AB BC 、的中点．⊥；（1）求证：EF PD（2）求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；--的正切值．（3）求二面角E PF B18. 定义：称12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,np p p L的“均倒数”．已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n +，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设3nn na c =，试判断并说明数列{}n c 的单调性；（3）求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 经过点)2,0(，离心率为，点O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过左焦点F 任作一直线l ，交椭圆E 于Q P ,两点．求OQ OP ⋅的取值范围；20.已知函数321()3f x x ax bx=++，且 (1)0f '-=（1）试用含a 的代数式表示b ；（2）求()f x 的单调区间；（3）当1-=a 时，设()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x证明:线段MN 与曲线 ()f x 存在异于M 、N 的公共点．高三年级八校联考文科数学答题纸二、填空题9．10．11. 12．13．14. 三、解答题第15题第16题第17题第18题第19题第20题高三年级八校联考文科数学答案二、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D D A C D C A三、填空题9． ()2，+∞ 10． 4011. 8012.)0,1( 13. ﹣14. 4四、解答题15.解析：设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则总预计收益8060z x y =+由题意知203030010511000x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且,x N y N ∈∈，由此作出可行域如图所示，作出直线:430a l x y +=并平移，由图象知，当直线经过M 点时，z 能取到最大值，由2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得94x y =⎧⎨=⎩且满足,x N y N ∈∈，即(9,4)M 是最优解，所以max 809604960z =⨯+⨯=（万元），答：搭载A 产品9件，B 产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元． 16.（1）)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=x x x x fππ==∴22T 所以最小正周期为π （2）2)6sin(2)2(=-=πA A f ，),0(π∈A 32,26πππ=∴=-∴A AABC ∆中，由余弦定理得，AB AC BC AB AC A ⋅-+=2cos 222即712214212=∴⨯⨯-+=-BC BC 由正弦定理B ACA BC sin sin =可得1421sin =B1475cos )2,0(32=∈∴=B B A ππΘ2842145cos 22sin 22)4sin(+=+=+∴B B B π17.（1）连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒∠=. ∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥．又∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影，∴PD AC ⊥．∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC,∴EF PD ⊥． ( 3分)（2）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥,∴PBD EF ⊥平面， ∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的角，EF PO ⊥. .∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒∠=，∴2==AB PB .∵2241==AC OF ，∴522=+=BF PB PF ， ∴在Rt △FPO 中，1010sin ==∠PF OF FPO ．（3）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，∵,,AB PB AB BC ⊥⊥ ∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影，∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角． ∵Rt P F B ∆中，PB BF PF BM ⋅==,∴tan EB EMB BM ∠==．18.试题解析：（1）根据题意可得数列{}n a 的前n 项和为：()S 2n n n =+，当2≥n 时，()()()1S 21121n n n a S n n n n n -=-=+--+=+，且11S 3a ==适合上式，因此；*,12N n n a n ∈+=（2）由（1）可得2133n n n n a n c +==，*N n ∈由于1363212333211<++=+⨯+=++n n n n c c n n n n ，当*N n ∈时恒成立，因此*N n ∈时，1n n c c +>，即{}n c 是递减数列；（3）1231357212133333n n n n n S --+=+++++L12213572121313333n n n n n S ---+=+++++L2312222212333333n n n n S -+=+++++-L =121(1)213331313n nn --++--=2443n n +-． n n n S 322+-=∴19.解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a 2﹣b 2=c 2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）F （﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线方程为x=﹣2，可得P （﹣2，），Q （﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l ：y=k （x+2），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），代入椭圆方程x 2+3y 2=6，可得（1+3k 2）x 2+12k 2x+12k 2﹣6=0， x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，•=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2（x 1+2）（x 2+2） =（1+k 2）x 1x 2+2k 2（x 1+x 2）+4k 2=（1+k 2）•+2k 2•（﹣）+4k 2==﹣，由k 2≥0，3k 2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-310,6；20. 解：（1）依题意得b ax x x f ++=2)(2' ，由021)1('=+-=-b a f 得 12-=a b（2）由（1）得，xa ax x x f )12(31)(23-++=故2()221(1)(21)f x x ax a x x a '=++-=++-，令 ()0f x '=，则 1x =- 或12x a =-①当1a > 时，121a -<- ，可得函数)(x f 的单调增区间为)21,(a --∞和),1(+∞-，单调减区间为)1,21(--a ；②当1a = 时，121a -=-，此时0)('≥x f恒成立，且仅在 1x =-处()0f x '=，故函数)(x f 的单调增区间为R ；③当1a < 时，121a ->- ，函数)(x f 的单调增区间为)1,(--∞ 和),21(+∞-a ，单调减区间为 )21,1(a --（3）当1a =- 时，xx x x f 331)(23--= ，2()230f x x x '=--= ，121,3x x =-=。

2020年12月安徽省皖南八校联盟2021届高三上学期第二次联考数学(文)试题及答案解析

绝密★启用前安徽省皖南八校联盟2021届高三毕业班上学期第二次联考质量检测数学(文)试题2020年12月考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 3．做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑．一、选择题：本题共12小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21|4A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{|B y y ==,则A B ⋃=（） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若复数z 满足(13)z i i =+,则复数z 的虚部为（）A ．1B ．2C ．iD ．2i3．已知132312,log ,log 23a b c ===,则（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4．若等差数列{}n a 各项都是正数,12321a a a ++=,且34545a a a ++=,则1a 的值为（）A ．4B ．3C ．6D ．25．执行如下图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内应填入的条件是（）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >6．如图所示,在边长为2的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为45,则阴影区域的面积为（）A ．5B ．5C ．5D ．57．《海岛算经》第3题：今有南望方邑,不知大小．立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之．令东表与邑东南隅及东北隅参相直．当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半．又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合．问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步．译文如下：现在要测量南边的一个长方形城市ABCD ,不知道大小．在东西两个方向上树立两个标杆E 和F ,EF 相距6丈,标杆和人眼一样高,用绳索连接．令东边的标杆E 和城市的东南角C 和东北角B 平齐．面向标杆E 退5步到达G 处,从G 处向城市西北角A 看,视线交绳索EF 于距离东端的标杆E 2丈2尺6.5寸的H 处．从G 处再退到距离标杆E 13步2尺的I 处,再向城市西北角A 望。

2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高三第八次模拟试题及答案解析

最新高三第八次模拟考试数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B U 为 A. {}1,2,4B. {}2,4,5C. {}0,2,4D. {}0,2,3,42.已知复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+= A. 1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +3.双曲线221102x y -=的焦距为 A. 23B.42C.22D. 434.“0m =”是“方程22420x y x y m +-++=表示圆”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是 A. 3B. 4 C.5D. 66.函数cos 42xxy =的图象大致是7.函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是A.110B.23C.310 D.458.若圆()()22235x y r -++=上有且有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r的取值范围是A. ()4,6B. [4,6)C. (4,6]D. []4,6 9.数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为A.12B. 23C. 32D. 2 10.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为A.()n n Z ∈B.()2n n Z ∈C.2n 或()124n n Z -∈ D.n 或()14n n Z -∈第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.函数22()1f x x =-的定义域是.12.若,x y 满足约束条件210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值是.13.已知ABC ∆满足()(sin sin )()sin c b C B c a A -+=-，则角B =.14.设x R ∈，向量(,1),(1,2)a x b ==-r r，且||5a b +=r r ，则向量,a b r r 夹角的所有可能的余弦值之积为.15.如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列命题正确的是.（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB //平面A 1DE.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()sin 23(12sin )1f x x x =---+. (Ⅰ)求()f x 的单调减区间； (Ⅱ)当[,]66x ππ∈-时，求()f x 的值域.17.（本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X (单位：盒，100200X ≤≤)表示这个开学季内的市场需求量，Y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数； (Ⅱ)将Y 表示为X 的函数；(Ⅲ)根据直方图估计利润不少于4800元的概率．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等边三角形，D 为AC 的中点，16AA AB ==．(Ⅰ)求证：直线1AB ∥平面1BC D ； (Ⅱ)求证：平面1BC D ⊥平面1ACC A ； (Ⅲ)求三棱锥1C BC D -的体积．19.（本小题满分13分）已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足24(1)n n S a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 通项公式； (Ⅱ)设数列{}n b 满足1(*)1n n n b n N a a +=∈，求证：1212n b b b ++<+L .20.（本小题满分13分）设函数()2ln (0)af x ax x a x=-->. (Ⅰ)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；(Ⅱ)若()f x 在定义域上是单调函数，求a 的取值范围．21.（本小题满分13分），P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(Ⅱ)设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于A 、B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），若12,,k k k 恰好构成等比数列，求OAB ∆面积S 的最大值.数学（文科）参考答案一、选择题：1.B2.C3.D4.A5.B6.D7.C8.A9.A10.C二、填空题：11. 12.13.14.15.①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）解: (Ⅰ)………………………3分原函数的单调减区间即是函数+1的单调增区间………5分由正弦函数的性质知，当，即时，函数+1为单调增函数，所以函数的单调减区间为，．…………7分（Ⅱ）因为，所以，…8分所以…10分所以的值域为[-1，1]． (12)分17.（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由频率直方图得到可知，需求量为的频率最大，∴这个开学季内市场需求量的众数估计值是，可求；……4分(Ⅱ)∵每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，∴； (8)分(Ⅲ)∵利润不少于元，∴，解得，∴由知利润不少于元的概率．……………………12分18.（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：连接交于点，连接，则点为的中点．∵为中点，得为中位线，∴∥．因为平面平面∴直线∥平面；………………4分(Ⅱ) 证明：∵底面，∴，∵底面正三角形，是的中点∴∵，∴平面，∵平面，∴平面平面； (8)分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，中，，∴，∴………………12分19.（本小题满分13分）(Ⅰ)令因为，所以，是等差数列； (6)分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，则……………………13分.20.（本小题满分13分）设函数.(Ⅰ)若是的极值点，求的极大值；(Ⅱ)若在定义域上的单调函数，求的取值范围．20.(Ⅰ)∵在时有极值，∴有，又，∴有，∴，则∴由，得列表如下：∴当时，取得极大值，极大值为.……………………7分(Ⅱ)易知在定义域为，，若在定义域上的单调函数，且∴若在定义域上是增函数, 则在时恒成立，∴需时恒成立，化为恒成立，∵，∴. ……………………13分21.（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，，则b=1，∴点Q的轨迹Γ的方程为为．……………………6分（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=．∵k1，k，k2构成等比数列，∴k2=k1k2=，化为：km（x1+x2）+m2=0，∴+m2=0，解得k2=．∵k＞0，∴k=．此时△=16（2﹣m2）＞0，解得．又由A、O、B三点不共线得m≠0，从而．故S==|x1﹣x2|=|m|=故当时，的面积的最大值为1.……………………13分。

陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(文科)(一)(含答案解析)

陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(文科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={1,2，3，4，5，6}，集合A ={3,4，5}，则∁U A =( )A. {1,2，6}B. {3,4，5}C. {1,2，3，4，5，6}D. ⌀2.已知是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有，若，则A. −2B. 2C. 2013D. 20123. 国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.若a ⃗ =(1,cos(2θ+π6))，b ⃗ =(sin(2θ+π6),√3)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. 2B. −1425 C. −2425 D. 14254. 在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置上，则4号位置上坐的是( )小林小方小马小张小李小周体育兴趣爱好篮球，网球，羽毛球足球，排球，跆拳道篮球，棒球，乒乓球击剑，网球，足球棒球，排球，羽毛球跆拳道，击剑，自行车A. 小方B. 小张C. 小周D. 小马5. 双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)中，已知a =4，b =3，则双曲线的离心率为( ) A. 54B. √74C. 53D. 456. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别是a ，b ，c ，a =5，b =8，C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. −13B. 27C. 20√3+5D. −20√3+57. 设P 为直线3x +4y +3=0上的动点，过点P 作圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积最小时∠P =( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°8. 已知△ABC 的三边长a =3，b =4，c =√37，则该三角形的最大内角为( )A. π3B. π6C. 5π6D. 2π39. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，具有以下性质：(1)对任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)，且|x 1−x 2|的最小值为π2； (2)f(x +π6)为奇函数；(3)任取x 1,x 2∈[0,π4]，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2). 同时满足上述性质的一个函数可以是( )A. y =sin(2x −4π3) B. y =sin(2x −π3) C. y =sin(2x +2π3)D. y =sin(2x +π6)10. 已知正三棱锥P −ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为√3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. √33B. √23C. √34D. √2411. 设命题p ：2≥2，命题q ：{1}⊆{0,1，2}，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢p ∧￢q12. f(x)=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点1和−2，且f(1)=1.则关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线相交于A 、B 两点，若为等边三角形，则p = ．14. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1−z1+z =i ，则|z|=______．15. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i(i =1,2，…，12)项能力特征用x i 表示，x i ={0, 如果某学生不具有第i 项能力特征1, 如果某学生具有第i 项能力特征，若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为A =(a 1,a 2,…,a 12)，B =(b 1,b 2,…,b 12)，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为______ (用a i ，b i 表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为______ ．16. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 正项数列{a n }满足a n+12−a n+1(2a n +1)−a n (3a n +1)=0，a 1=1，数列{b n }为等差数列，b 3+1=a 2，a 3=b 13．(1)求证：{a n +12}是等比数列，并求{b n }的通项公式； (2)令∁n =a n ⋅b n ，求数列{∁n }的前n 项和T n ．18. (12分)一个圆锥，它的底面直径和高均为．(1)求这个圆锥的表面积和体积．(2)在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量(单位；克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3．(1)求N；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x−y+√2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点(−12,−1)．21. 已知函数f(x)=−23ax3+x2(a>0)，x∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程．(2)求f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为(2,56π)．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)若点B在曲线C上，|OA||OB|=2√6，求∠AOB的大小．23. 已知函数f(x)=|x+a|+|2x−1|(a∈R)．(Ⅰ)当a=−1时，求不等式f(x)<3的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|32x+1|的解集包含[13,1]，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵全集U ={1,2，3，4，5，6}，集合A ={3,4，5}， ∴∁U A ={1,2，6}，故选：A ．由全集U 及A ，求出A 的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，利用函数的奇偶性求出函数的周期，然后求解函数在即可．解：定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，所以函数的周期是4，f(1)=2，则f(2015)=f(4×504−1)=f(−1)=−f(1)=−2．故选：A ．3.答案：D解析：由题意小正方形的边长为cosθ−sinθ，由(cosθ−sinθ)2=125，得sinθ+cosθ=75，把a ⃗ ⋅b ⃗ 化为2(sinθ+cosθ)(cosθ−sinθ)可得结果．本题考查了三角函数的运算，sinθ、cosθ的和、积、差知一求二，本题表示出小正方形的边长是关键．解：由题意得：直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ−sinθ，∴(cosθ−sinθ)2=125， ∴2sinθcosθ=2425，∴(sinθ+cosθ)2=4925， ∴sinθ+cosθ=75，cosθ−sinθ=15，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sin(2θ+π6)+√3cos(2θ+π6)=2sin(2θ+π2)=2cos2θ=2(sinθ+cosθ)(cosθ−sinθ)=2×75×15=1425．故选D ．4.答案：A解析：解：小林坐在1号位置上，按照相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好，结合6人的体育兴趣爱好推导出1至6号的位置上坐的分别是：小林、小马、小李、小方、小张、小周， ∴4号位置上坐的是小方．故选：A ．小林坐在1号位置上，按照相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好，结合6人的体育兴趣爱好能推导出1至6号的位置上坐的分别是谁．本题考查简单的合情推理的应用，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.答案：A解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中，已知a =4，b =3，可得c =√a 2+b 2=5．双曲线的离心率为：e =ca =54．故选：A ．利用双曲线的性质求出c ，然后求出离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.答案：A解析：解：原式=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，由余弦定理知，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =√a 2+b 2−2abcosC =√52+82−2×5×8×12=7， ∴原式=5×8×cos120°+7=−13．故选A ．由余弦定理，计算出c 的长度，再将题目中的条件代入公式即可算出．在高考中，向量属于相对较新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点．7.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，属于中档题．由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离公式求出PC，然后求出∠P 的大小．解：圆C：x2+y2−2x−2y+1=0，即圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，圆心坐标(1,1)，半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，显然PC最小时四边形面积最小，即PC min=√32+42=2．sin∠CPA=CACP =12，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故选A．8.答案：D解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．判断得到C为最大角，利用余弦定理表示出cos C，把三边长代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．解：∵a<b<c，∴C为最大角，∵△ABC的三边长a=3，b=4，c=√37，∴由余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab =9+16−3724=−12，则该三角形最大内角C为2π3．故选：D．9.答案：B解析：解：(1)由题意可得，f(x1)为函数f(x)的最小值，f(x2)为函数f(x)的最大值，故|x1−x2|的最小值为函数f(x)=sin(ωx+φ)的半个周期，即T2=π2，所以T=π，ω=2πT=2，ABCD都满足；(2)对于A，f(x+π6)=sin(2x+π3−4π3)=sin(2x−π)=−sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于B，f(x+π6)=sin(2x+π3−π3)=sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于C，f(x+π6)=sin(2x+π3+2π3)=sin(2x+π)=−sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于D，f(x+π6)=sin(2x+π3+π6)=sin(2x+π2)=cos2x为偶函数，不满足性质(2)，(3)由x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，可得(x1−x2)f(x1)>(x1−x2)f(x2)，设x1>x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[0,π4]单调递增，而对于ABC三个函数中只有B选项在[0,π4]单调递增，其他皆为单调递减，故同时满足三个性质的一个函数可以是选项B．故选：B．由性质(1)可求得周期T，从而可得ω值，四个选项均满足；再对四个函数，分别求出f(x+π6)，判断函数的奇偶性，可得ABC满足；由性质(3)可判断f(x)在[0,π4]单调递增，再判断选项ABC的函数的单调性，即可求出结论．本题主要考查三角函数的最值、奇偶性与单调性，属于中档题．10.答案：A解析：解：∵正三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为√3，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P −ABC 的体积V =13S △ABC ×ℎ=13S △PAB ×PC =13×12×2×2×2=43 △ABC 为边长为2√2的正三角形，S △ABC =√34×(2√2)2=2√3∴ℎ=V S △ABC=432√33=2√33∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为√3−2√33=√33故选A先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题11.答案：A解析：解：命题p ：2≥2，故命题p 为真命题，命题q ：{1}⊆{0,1，2}，故命题q 为真命题，所以p ∧q 为真．故选：A ．先判断出命题p 和q 的真假，再利用复合命题真假的判断方法进行判断即可．本题考查了命题真假的判断，主要考查了复合命题及其真假的判断，解题的关键是掌握复合命题真假判断的法则．12.答案：A解析：解：函数的导数为f′(x)=3x 2+2ax +b ， ∵f(x)=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点1和−2， ∴f′(1)=0且f′(−2)=0，即1，−2是方程f′(x)=3x 2+2ax +b =0的两个根，则{−2+1=−2a3=−1−2×1=b 3=−2，解得a =32，b =−6.， ∴f(x)=x 3+32x 2−6x +c ，∵f(1)=1，∴f(1)=1+32−6+c =1，即c =92，则f(x)=x 3+32x 2−6x +92，f′(x)=3(x −1)(x +2)，则函数的极小值为f(1)=1，函数的极大值为f(−2)=292．设t =f(x)，则3(f(x))2+2af(x)+b =0等价为3t 2+2×32t −6=0，即3t 2+3t −6=0，则t 2+t −2=0，解得t =1或t =−2．当t =1时，f(x)=1，此时有2个根，当t =−2时，t =−2<f(1)=1，此时有1个根，故方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的个数有3个，故选：A根据函数的极值点1和−2求函数的导数，求出a ，b ，c 的值，求出函数的极值，利用换元法转化为一元二次方程之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数极值和导数的应用，根据条件求出a ，b ，c 的取值，利用换元法是解决本题的关键． 13.答案：6解析：抛物线的准线方程为y =−，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2=|x B |2=3+，所以|AB|=|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得p =|AB|，即p 2=×4×(3+)，所以p =6．14.答案：1解析：解：设z =a +bi ，则1−z 1+z =1−a−bi1+a+bi =i ，∴1−a −bi =−b +(a +1)i ，∴{1−a =−b −b =a +1，解得{a =0b =−1，故z =−i ，|z|=1，故答案为：1．设出z =a +bi ，得到1−a −bi =−b +(a +1)i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．15.答案：∑|12i=1a i −b i |；22解析：解：若第i(i =1,2，…，12)项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i 表示A ，B 两名学生的不同能力特征项数为=|a 1−b 1|+|b 2−c 2|+⋯+|c 12−a 12|=∑|12i=1a i −b i |，设第三个学生为C =(c 1,c 2,…,c 12)，则d i =|a i −b i |+|b i −c i |+|c i −a i |，1≤i ≤12，∵d i 的奇偶性和(a i −b i )+(b i −c i )+(c i −a i )=0一样，∴d i 是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S =d 1+d 2+⋯+d 12为偶数，又S ≥7×3=21.则S ≥22，取A =(0,1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1)，B =(1,0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1)，C =(1,1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1)，则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：∑|12i=1a i −b i |，22根据A ，B 两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．本题主要考查函数的应用问题，读懂题意建立条件关系是解决本题的关键．16.答案：(1,√5)解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为： y =b a x ， ∵点(1,2)在“上”区域内，∴b a × 1<2，即b a < 2， ∴e =c a = √1+ (b a ) 2 <√1+22=√5，又e >1，则双曲线离心率e 的取值范围是(1,√5)．故答案为：(1,√5)．由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：y=bax，及点(1,2)在“上”区域内，得出ba< 2，从而得出双曲线离心率e的取值范围．本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式(组)与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．17.答案：解：(1)证明：由题可得(a n+1+a n)(a n+1−3a n−1)=0，∵a n>0，∴a n+1−3a n−1=0，∴a n+1+12=3(a n+12)，又a1+12=32≠0，∴数列{a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列．∴a n+12=32⋅3n−1=12⋅3n，∴a n=3n−12.∴a2=4，a3=13，由题意得b1+2d+1=4，b1+12d=13，解得b1=d=1，∴b n=1+n−1=n；(2)由(1)得a n=3n−12，b n=n，∴∁n=3n−12⋅n=12(n⋅3n−n)，∴前n项和T n=12(1⋅3+2⋅32+⋯+n⋅3n)−12(1+2+⋯+n)，设S n=1⋅3+2⋅32+⋯+n⋅3n，3S n=1⋅32+2⋅33+⋯+n⋅3n+1，两式相减可得−2S n=3+32+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，化简可得S n=2n−14⋅3n+1+34，则T n=12S n−n(n+1)4=2n−18⋅3n+1+38−n(n+1)4．解析：(1)由题意可得a n+1−3a n−1=0，即有a n+1+12=3(a n+12)，运用等(差)比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；(2)求得∁n=3n−12⋅n=12(n⋅3n−n)，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：(1)。

2020-2021学年高考总复习数学(文科)八校联考模拟试题及答案解析

最新八校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．45．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B．C．D．8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0的值，当多项式为x4+4x3+6x2+4x+1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（）A．15 B．5 C．16 D．119．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=2612．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g若函数f（x）=，则f（7）+f（0）=______．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是______．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．16．设数列{a n}前n项和S n，且a1=1，{S n﹣n2a n}为常数列，则a n=______．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=，（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上一动点P满足：=λ+2μ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣，0），E2（，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．21．设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，过点A作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1，圆O2于点D，E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是圆O2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由=，得，即a=4，b=3．∴复数a+bi在复平面内表示的点的坐标为（4，3），所在的象限是第一象限．故选：A．3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的对称轴以及单调区间，推出条件p中m的范围，然后判断充要条件即可．【解答】解：因为条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，所以，可得m≥﹣1．条件q：m≥﹣，则p是q的充分不必要条件．故选：A．4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得，然后代入向量模的公式得答案．【解答】解：∵||=1，||=，＜，＞=150°，∴=．∴|2﹣|==．故选：C．5．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由（x）与（﹣x）互为余角化余弦为正弦，然后利用二倍角的余弦降幂，再由周期公式求得周期．【解答】解：∵f（x）=sin（x）cos（﹣x）=，∴．故选：B．6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列递推式结合数列是等比数列列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，且a n+a n+1=3•（）n，∴，，∴，解得．∴．故选：C．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设圆心角为120°的扇形OAB的半径为2，根据题意，易得圆心角为120°的扇形OAB的面积，OA为直径作一个半圆的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：设圆心角为120°的扇形OAB的半径为2，根据题意，圆心角为120°的扇形OAB的面积为=，以OA为直径作一个半圆的面积为则正在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为1﹣=，故选：B．8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0的值，当多项式为x4+4x3+6x2+4x+1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（）A．15 B．5 C．16 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法把多项式改写为（（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0的形式，当x=1时，再由内到外计算多项式，即可得解．【解答】解：∵模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0=（（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0求值．∴x4+4x3+6x2+4x+1=（（（x+4）x+6）x+4）x+1，∴x=1时，由内向外计算，可得多项式x4+4x3+6x2+4x+1的值为：（（（1+4）×1+6）×1+4）×1+1=16．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为=2，∴该几何体的表面积S==（12+4）π，故选：D．10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11=2ab+3，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=26【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB的斜率为k，得出AB的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把（﹣2，3）代入圆方程解出k，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设AB的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，得y2﹣y﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4．∴|y1﹣y2|==4．∴以A′B′为直径圆的圆C的圆心为（﹣1，），半径为2．圆C的方程为（x+1）2+（y﹣）2=4（+1）．把（﹣2，3）代入圆的方程得1+（3﹣）2=4（+1）．解得k=2．∴圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=5．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x），再求出f（2）的值，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数h（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到h（x）单调递减，得到h，即e2015g，即gg=e x﹣+x，∴f′（x）=e x﹣x+，∴f′（0）=e0﹣0+，∴f′（0）=2，∴f（x）=e x﹣+x，∴f（2）=e2﹣×4+2=e2，∵g（x）+g′（x）＜0，设h（x）=e x g（x），∴h′（x）=e x g（x）+e x g′（x）=e x（g（x）+g′（x））＜0，∴h（x）单调递减，∴h，∴e2015g，∴g，∴gg若函数f（x）=，则f（7）+f（0）= 5 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数总结求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（7）+f（0）=log39+30+2=2+1+2=5故答案为：5．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是（﹣3，3）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出x＞0时的解析式，f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，先解出|x|的范围，再求x范围即可．【解答】解：设x＞0，可得x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，又f（3）=3，所以f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，所以|x|＜3，解得﹣3＜x＜3，所以不等式f（x+）＜3的解集是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．16．设数列{a n}前n项和S n，且a1=1，{S n﹣n2a n}为常数列，则a n= ．【考点】数列的应用．【分析】利用{S n﹣n2a n}为常数列，得到n≥2时，S n﹣n2a n=S n﹣1﹣（n﹣1）2a n﹣1，可得=，利用叠乘法，即可得出结论．【解答】解：∵{S n﹣n2a n}为常数列，∴n≥2时，S n﹣n2a n=S n﹣1﹣（n﹣1）2a n﹣1，∴=，∴a n=…••=．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=，（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求2cosC=1，从而可求∠C的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，可求﹣≤2x﹣，利用正弦函数的性质即可求得f（x）在区间[0，]上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴（2a﹣b）cosC=ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，∵∠A是△ABC的内角，∴sinA≠0，∴2cosC=1，∴∠C=．（2）由（1）可知∠C=，∴f（x）=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴函数f（x）的值域为[﹣，1]．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图能求出A、B两组学生历史成绩的中位数和平均分．（2）因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中，从而选择B组学生奖励．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，B组历史成绩优秀的学生有2人，由此利用列举法能求出至少有一人来自B学习小组的概率．【解答】解：（1）A组学生历史成绩的中位数为84，B组学生历史成绩的中位数为83A组学生历史成绩的平均分为B组学生历史成绩的平均分为=85（2）选择B组学生奖励，因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，分别设为a1，a2，a3，B组历史成绩优秀的学生有2人，分别设为b1，b2，因此两个学习小组历史成绩优秀的学生共有5人．从这5人中抽取2人共包含10种情况，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记“至少有一人来自B学习小组”为事件A，则事件A共包含7种情况，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），因此P（A）=所以至少有一人来自B学习小组的概率为．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得AB∥CD，从而可证AB∥平面SCD，利用线面平行的性质即可证明l∥AB．（2）连接AC，由已知利用余弦定理得AC=2，可证AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，通过证明BC⊥平面SAG，即可证明BC⊥SA．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊊平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，∴l∥AB．…（2）证明：连接AC，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，由余弦定理得AC=2，∴AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，∴BC⊥SA…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上一动点P满足：=λ+2μ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣，0），E2（，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率为，中心O到直线AB的距离为．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用=+2μ得，结合点P，M，N在椭圆上，通过k QM•k QN==﹣，得到λ2+4μ2=1，由椭圆的定义，推出|QF1|+|QF2|=2即可．【解答】解：（1）因为直线AB的方程为ax+by﹣ab=0．所以=，由已知得=，故可解得a=2，b=；所以椭圆的方程为（2）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由=+2μ得，x=λx1+2μx2，y=λy1+2μy2因为点P，M，N在椭圆上，所以x12+2y12=4，x22+2y22=4，x2+2y2=4故x2+2y2=λ2（x12+2y12）+4μ2（x22+2y22）+4λμ（x1x2+2y1y2）=4λ2+16μ2+4λμ（x1x2+2y1y2）=4设k QM，k QN分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，k QM•k QN==﹣，因此x1•x2+2y1y2=0，所以λ2+4μ2=1，λ2+=1，可知表达式是椭圆，a=1，b=，c=，而E1，E2恰为椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，|QF1|+|QF2|=2．21．设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）令f′（x）=0在定义域（﹣2，+∞）上有两解，根据二次函数的性质列出不等式组解出a的范围；（2）判断g′（x）在（﹣2，0）上的符号得出g（x）在（﹣2，0）上的单调性，从而得出最小值；（3）利用根与系数的关系得出关于x2的函数，令﹣x2=x得出新函数F（x）及定义域，判断F（x）的单调性得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=2x﹣（x＞﹣2），∵f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1、x2，其中x1＜x2．∴关于x的方程2x﹣=0即2x2+4x﹣a=0在区间（﹣2，+∞）内有两个不相等的实数根．∴，解得：﹣2＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣2，0）（2）g′（x）=（x+1）e x，∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）单调递减，g（x）在（﹣1，0）单调递增．∴g min（x）=g（﹣1）=﹣．（3）由（1）知，∴．∴=x2+﹣2（x2+2）ln（﹣x2）+4，令﹣x2=x，则0＜x＜1且，令F（x）=﹣x﹣，则F′（x）=﹣1++2lnx+=令G（x）=，则G′（x）=﹣．∵0＜x＜1，∴G′（x）＜0，即F′（x）在（0，1）上是减函数，∴F′（x）＞F′（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数，∴F（x）＜F（1）=﹣1，即．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，过点A作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1，圆O2于点D，E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是圆O2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到AD2=DB•DE，利用AD是圆O2的切线，AD2=DB•DE，由此即可求DB的长．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是圆O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC（2）解：设PB=x，PE=y，∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，∵AD∥EC，∴，且DP=3y由AD是圆O2的切线，∴AD2=DB•DE，∴62=（3y﹣x）4y②由①②可得，，∴BD=3y﹣x=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）2+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C的方程为∴曲线C表示焦点坐标为（，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得．设A、B两点对应的参数分别为t1，t2则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）2＜（4+ab）2，作差4（a+b）2﹣（4+ab）2，运用平方差和因式分解，即可得证．【解答】解：（1）当m=4时，由|x+1|+|x﹣1|≥4，等价于或或，解得x≤﹣2或x≥2或x∈∅．则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}；（2）证明：当a，b∈C R M时，即﹣2＜a，b＜2，所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，即2|a+b|＜|4+ab|．2016年9月20日。

2020-2021学年高考总复习数学(文科)二轮复习模拟试题及答案解析八

最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．4．在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．6．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．127．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．128．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣39．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．811．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A ﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．15．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a= ．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115） [115，125）频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？20．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．设函数f（x）=e2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[1，2），故选：D．2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．3．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M=时满足条件n≤k，退出循环，输出M的值．【解答】解：n=1时，M=1+=，n=2时，M=2+=，n=3时，M=+=，故选：D．4．在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A6．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x 的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．8．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【考点】基本不等式．【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线经过z=x+ay时取得最小值为7，同理对a＜1得出．【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线经过z=x+ay时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．9．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．11．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A ﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．故答案为：．14．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8 ．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．15．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a= 2 ．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】求出函数的解析式，利用由条件列出方程求解即可．【解答】解：函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=﹣x对称，可得f（x）=a﹣log2（﹣x），由f（﹣2）+f（﹣4）=1，可得：a﹣log22+a﹣log24=1，解得a=2．故答案为：2．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．故答案为：12．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．18．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，∴BE=x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115） [115，125）频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．（II）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位和质量指标值的样本方差．（Ⅲ）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出频率分布表为：[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）质量指标值分组频数 6 26 38 22 8频率0.06 0.26 0.38 0.22 0.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（II）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．∵小矩形高度最高的位于区间[95，105），∴众数100．∵[75，95）内频率为：0.06+0.26=0.32，∴中位数位于[95，105）内，设中位数为x，则x=95+≈99.7，∴中位数为99.7，质量指标值的样本方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．…10 分（Ⅲ）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定.12 分20．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】椭圆的应用．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．设函数f（x）=e2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；导数的运算．【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在定理，即可求出；（Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2e2x﹣．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点，当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣单调递增，∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，又f′（a）＞0，假设存在b满足0＜b＜时，且b＜，f′（b）＜0，故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增，所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于﹣=0，所以f（x0）=+2ax0+aln≥2a+aln．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．2016年6月14日。

江西省八校2021届高三联考-文科数学(附答案)

16．在三棱锥 P ABC 中，PA PB BC 4, AC 8 ， AB BC ．平面 PAB 平面 ABC ，若球 Q
是三棱锥 P ABC 的外接球，则球 O 的表面积为_____________．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．
A． 6
6
B．
3
C． 6
D． 6 3
6．执行如下图所示的程序框图，若输入的 x 为 9 ，则输出 y 的值为（）
A．4 B．7 C．17 D．27
7．函数
f
(x)
x
1 x
cos
2
x
的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有
3．若
a
20210.21
,
b
sin
2021 5
,
c
log2021
0.21
，则（
）
A． c a b B． b a c C． b c a D． c b a
4．已知向量 a (3, 4),
b
(x,
5)
，若
a
(2a
b)
，则
x
（
）
A．0 B． 2
C． 10
D．6
5．已知角终边经过点 P( 2, a) ，若，则 a （） 3
）倍．（注意
A．0.5 倍 B．0.8 倍 C．1 倍 D．1.25 倍
9．在 ABC

2020-2021学年高考数学文科模拟检测综合试题及答案解析

最新高三数学试卷（文科）一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1 D．ρsinθ=﹣14．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4 B．5 C．6 D．75．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A．B．C．D．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元7．已知||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．1 B．C．D．28．在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）A．A B．B C．C D．D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32 x教师48 y自由职业者64 4则调查小组的总人数为．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= ．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．13．已知数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a16= ．14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）场数10 20 40 30（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分表示的集合是：{1}．故选A．2．已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出z2，根据纯虚数的定义，求出a=±b，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵z=a+bi，∴z2=a2﹣b2+2abi，若z2为纯虚数，则a=±b，故是“a=b”的必要不充分条件，故选：B．3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1 D．ρsinθ=﹣1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用化为直角坐标，即可得出．【解答】解：点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．5．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】只需把原函数解析式中x的系数变为原来的倍，即可得到所得的图象所对应的函数解析式．【解答】解：把函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为，故选B．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．7．已知||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则和利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：由||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|2=||2+t2||2﹣2t•=4+4t2+4t=4（t+）2+3，∴当t=﹣时，|﹣t|2的最小值为3，当t=﹣时，则|﹣t|（t∈R）的最小值为，故选：B8．在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）A．A B．B C．C D．D【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意可知，C，D中一定有一个为假的，分别假设C为假币，或D为假币，去判断假设是否成立，问题得以解决．【解答】解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C，D中一定有一个为假的，假设C为假币，则真硬币的重量为5克，则C的重量为6克，满足A，C，E共重16克，故假设成立，若D为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A，C，E共重16克，故假设不成立，则D是真硬币，故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32 x教师48 y自由职业者64 4则调查小组的总人数为．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，即可求出答案．【解答】解：根据分层抽样原理，得==，解得x=2，y=3，所以调查小组的总人数为2+3+4=9（人）．故答案为：9．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合双曲线的方程求出m的值，利用双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），即双曲线的焦点坐标为（2，0），则c=2，且双曲线的焦点在x轴，则a2=m，b2=1，a2+b2=c2，即m+1=4，则m=3，即a=，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= ．【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，列出方程即可求出c的值．【解答】解：△ABC中，a=7，b=8，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，64+c2﹣2×8c•cos=49，c2﹣8c+15=0，解得c=3或5．经验证，3或5都满足题意，所以c的值为3或5．故答案为：3或5．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S==4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：813．已知数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a16= ．【考点】数列递推式．【分析】由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求【解答】解：∵，则=﹣1=2=∴数列{a n}是以3为周期的数列∴a16=a1=故答案为：14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，可得所有元素是：1，2，3，4， (100)A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，可知：最小的5个数分别为：1，2，3，4，5．100必是一个集合的最大元素，含有100集合中的元素，有82，83，84，…，99．和1，2，3，4，5中的一个．这样特征值会比较小，则另一个集合的最大值为：81．类比可知：5个最大值为：24，43，62，81，100．则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为：1+2+3+4+5+24+43+62+81+100=325．故答案为：325．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（Ⅱ）由题意可得：．…所以=…==．…因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）场数10 20 40 30（Ⅰ）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可；（Ⅱ）根据甲乙运动员得分的分布情况，即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性，（Ⅲ）根据平均数的计算公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72．即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72．（Ⅱ）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中[20，30），乙的成绩比较分散，∴甲更稳定．（Ⅲ）∵组距为10，∴甲在区间[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），上得分频率值分别为，，，，设甲的平均得分为S，则=23.80．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，可得5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1，d．可得a n．（2）b n==3×2n﹣1，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，∴5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1=2，d=3．∴a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．（2）b n==3×2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和=3×（2+22+…+2n）﹣n=3×﹣n=3×2n+1﹣6﹣n．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）先证明AF∥平面CDE，AB∥平面CDE，即可证明平面BAF∥平面CDE；（2）证明AC⊥平面EBD平面EAC⊥平面EBD；（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，证明AMNF是平行四边形得出AM∥FN，即可证明AM∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE．同理，AB∥平面CDE，∵AF∩AB=A，∴平面BAF∥平面CDE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE=D．∴AC⊥平面EBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面EBD；解：（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥ED，则MN平行且等于BD，∵AF∥DE，DE=3AF，∴AF平行且等于MN，∴AMNF是平行四边形，∴AM∥FN，∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用焦距为，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；（Ⅱ）直线l与椭圆方程联立，利用，，用A，B的横坐标表示λ1，λ2，从而可得结论．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．因为焦距为，所以c=．当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大，所以，所以．因为a2=b2+c2=4，所以a2=4，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．显然△＞0，且，．因为直线l交y轴于点N，所以N（0，﹣k）．所以，，且所以x1=λ1（1﹣x1），所以，同理．所以．即λ1+λ2为定值是．…20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）令f（x）=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）令，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得：，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）递减递增所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．2016年10月11日。

湖北省八校2020届高三第二次联考数学(文)试题(答案解析)

函数，且 f (2) 3 ，进而原不等式化为 f (log3 x) f (2), 结合 f (x) 的单调性可得 log3 x 2, 所以 0 x 9, 即原不等式的解集为 (0,9) ，故选 B.
10.【答案】A【详解】解析：设 A(a,0),B(0,b),依题意，a>0,b>0,则直线方程为
14.【答案】 2 【详解】由等差数列的性质可知： S6 S3 a4 a5 a6 3a5 0, a4 a6 2a5 0, a6 2.
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参考答案 1.【答案】B【详解】由题意，根据复数的运算可得复数 z 2 i ，则 z 对应点(-2,1)在第二象限，
故选 B．
2.【答案】C【详解】集合U R ，因为集合 A 为大于等于 0 的偶数集，集合 B {x x 0 或 x 2}，
所以 CU B {x 0 x 2} ，故选 C. 3.【答案】B【详解】 F1F2 2c 10
R,VP ABC
VPBCH
VABCH
1 3 ( 3 R)2 2R 3 R3 3,
34 2
8
解得 R 2.
C
B
H
12.【答案】A【详解】设 P(x,y),双曲线的两渐近线方程为 y b x, 进而
a
A
d12
d22
(
bx ay b2 a2
)2 (
bx ay b2 a2
)2
2(b2 x2 a2 y2 ) c2
5.【答案】A【详解】
a
lg
2 3
0
b
log5
2
log5
5 1 , c 0.50.5 0.51 1 ．故 a b c ．
2
2
6.【答案】B【详解】从三个阳数 1,3,5,7,9 中随机抽取三个数共有 10 种取法，合题意的有 2 种：{1,5,9}

2020—2021年新高考总复习数学(文)二轮复习八校联考模拟试题及答案解析.docx

2018年八校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{x|y=ln（1﹣x2）}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．∅ B．M C．N D．{x|0＜x＜1}2．已知i是虚数单位，若（a﹣2i）•i=b﹣i（a，b∈R），则a2+b2=（）A．0 B．2 C．5 D．3．设函数f（x）=，若f（a）+f（﹣1）=4，则a=（）A．±1 B．9 C．﹣9 D．±94．在△ABC中，“A=B”是“sinAcosA=sinBcosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，P是双曲线右支上的点，若线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，且|OM|=b，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．117．球面上过A，B，C三点的截面和球心的距离等于半径的一半，且AB⊥BC，AB=1，BC=，则球的表面积为（）A．B．C．4πD．8．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[4kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[4kπ﹣，kπ+]（k∈Z）9．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B． C．D．1﹣10．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．2 B．C．3 D．11．已知数列{a n}满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n（n∈N+），且a1008=，若函数f（x）=sin2x+2cos2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前2015项和为（）A．2015 B．﹣2015 C．0 D．112．已知变量a，b满足b=2a+，若点（m，n）在函数y=﹣x2+3lnx 上，则（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值为（）A．B．C．16 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若非零向量满足|+|=|﹣|，则与所成的夹角大小为______．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y+6的取值范围是______．15．已知数列{a n}为等比数列，若a2014和a2015是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2016+a2017的值是______．16．已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．（1）求△OAB与△OBC的面积之比；（2）求sin∠BAD的值．18．某工人生产合格零件的产量逐月增长，前5个月的产量如表所示：月份x 1 2 3 4 5合格零件y50 60 70 80 100（件）（1）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（2）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=b+a；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）其回归线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．（1）求证：平面BCE⊥平面CDE；（2）若AB=1，求四棱锥C﹣ABED的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=2，Q（3，0），圆外一动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为（1）求动点M的轨迹方程；（2）若斜率为k且过点P（0，2）的直线l和动点M的轨迹和交于A，B两点，是否存在常数k，使与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若f（x）在[1，e]的最小值为，求a的值；（2）若f（x）＜x+a在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，（1）求PF的长度．（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT 的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．八校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{x|y=ln（1﹣x2）}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．∅ B．M C．N D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=ln（1﹣x2），得到1﹣x2＞0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即M={x|﹣1＜x＜1}，由N中y=2x＞0，得到N={y|y＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：D．2．已知i是虚数单位，若（a﹣2i）•i=b﹣i（a，b∈R），则a2+b2=（）A．0 B．2 C．5 D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（a﹣2i）•i=b﹣i（a，b∈R），∴ai+2=b﹣i，∴2=b，a=﹣1，则a2+b2=22+（﹣1）2=5．故选：C．3．设函数f（x）=，若f（a）+f（﹣1）=4，则a=（）A．±1 B．9 C．﹣9 D．±9【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】先求出f（﹣1）的值，通过分类讨论a的正负，利用方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：由分段函数可知f（﹣1）==1，则由f（a）+f（﹣1）=4，得f（a）=﹣f（﹣1）+4=4﹣1=3，若a＜0，则=3，解得a=﹣9，若a≥0，则=3，解得a=9，故a=±9；故选：D．4．在△ABC中，“A=B”是“sinAcosA=sinBcosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinAcosA=sinBcosB，可得：sin2A=sin2B，由于A，B ∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出结论．【解答】解：由sinAcosA=sinBcosB，可得：sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=，∴“A=B”是“sinAcosA=sinBcosB”的充分不必要条件．故选：A．5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，P是双曲线右支上的点，若线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，且|OM|=b，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，得到OM∥PF2，PF2⊥F1F2，结合直角三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：∵线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，∴OM∥PF2，PF2⊥F1F2，∵|OM|=b，∴|PF2|=2b，∵|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=|PF2|+2a=2a+2b=2（a+b），在直角三角形PF1F2中，4（a+b）2=4b2+4c2，即（a+b）2=b2+c2，即a2+2ab+b2=2b2+a2，即2ab=b2，b=2a，则c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，即c=a，则离心率e==，故选：D6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B7．球面上过A，B，C三点的截面和球心的距离等于半径的一半，且AB⊥BC，AB=1，BC=，则球的表面积为（）A．B．C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】由AB⊥BC，AB=1，BC=，求得△ABC的外接圆半径为r，设球的半径为R，则球心距d=R，求得球的半径，再用表面积公式求解．【解答】解：设球的半径为R，那么球心距d=R，由AB⊥BC，AB=1，BC=，可得△ABC的外接圆半径r=R2=r2+d2=R2+解得R=1则球的表面积S=4πR2=4π．故选：C．8．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[4kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[4kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（ωx+φ）图象；再向右平移个单位长度，得到y=cos[ω（x﹣）+φ]=cos（ωx﹣•ω+φ）的图象，而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴=1，∴ω=2；再根据﹣•2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ=，f（x）=cos（2x+）．令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，（k∈Z），故选：B．9．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B． C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．10．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．2 B．C．3 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥底面面积S=×2×2=2，棱柱高为：2，故棱柱的体积为：4，棱锥的高为：1，故棱锥的体积为：，故组合体的体积V=4﹣=，故选：D．11．已知数列{a n}满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n（n∈N+），且a1008=，若函数f（x）=sin2x+2cos2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前2015项和为（）A．2015 B．﹣2015 C．0 D．1【考点】数列递推式．【分析】由a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n（n∈N+），可知：数列{a n}是等差数列，a1008=，可得a1+a2015=a2+a2014=π=…．由函数f（x）=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1，可得：y n=f（a n）=sin2a n+cosa n+1，f（a1）+f（a2015）=2sin（a1+a2015）cos（a1﹣a2015）+2+2=2=…，即可得出．【解答】解：∵a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n（n∈N+），∴数列{a n}是等差数列，∵a1008=，∴a1+a2015=a2+a2014=π=…．∵函数f（x）=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1，∴y n=f（a n）=sin2a n+cosa n+1，∵f（a1）+f（a2015）=sin2a1+cosa1+sin2a2015+cosa2015+2=2sin（a1+a2015）cos（a1﹣a2015）+2+2=2=f（a2）+f（a2014）=…．．则数列{y n}的前2015项和=2×1007+1=2015，故选：A．12．已知变量a，b满足b=2a+，若点（m，n）在函数y=﹣x2+3lnx 上，则（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值为（）A．B．C．16 D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（a，b）在直线上，（m，n）在曲线上，从而转化为曲线上的点到直线距离的最小值的平方．【解答】解：（a﹣m）2+（b﹣n）的最小值是与直线y=2x+之间的最小距离的平方．对求导，y′=﹣x+，与y=2x+平行的切线斜率为2=﹣，解得x=1或x=﹣3（舍），切点为（1，﹣），切点到直线的距离，故所求最小值为故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若非零向量满足|+|=|﹣|，则与所成的夹角大小为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，将等式两边平方，再由向量垂直的条件，即可得到夹角．【解答】解：向量满足|+|=|﹣|，则（+）2=（﹣）2，即2+2+2•=2+2﹣2•，即有•=0，则与所成的夹角大小：．故答案为：．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y+6的取值范围是[3，11] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y+6得y=﹣x+z﹣3，平移直线y=﹣x+z﹣3，由图象可知当直线y=﹣x+z﹣3经过点A时，直线y=﹣x+z ﹣3的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣1，3），代入目标函数z=x+2y+6得z=11．即目标函数z=2x+y的最大值为6．当直线y=﹣x+z﹣3经过点B时，直线y=﹣x+z﹣3的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣1），代入目标函数z=x+2y+6得z=3．即目标函数的最小值为3．目标函数z=x+2y+6的取值范围是[3，11]．故答案为：[3，11]15．已知数列{a n}为等比数列，若a2014和a2015是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2016+a2017的值是18或．【考点】数列与函数的综合．【分析】设数列{a n}为公比为q的等比数列，求出二次方程的解，可得公比，运用等比数列的通项公式，计算即可得到所求和．【解答】解：设数列{a n}为公比为q的等比数列，a2014和a2015是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2014=，a2015=；或a2015=，a2014=．则公比q=3或，即有a2016+a2017=a2015（q+q2）=×（3+9）=18；或=×（+）=．故答案为：18或．16．已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点A关于直线l：x﹣y+3=0的对称点为C，求出C的坐标，由两点间的距离公式求得|BC|，再由离心率公式，计算可得最大值．【解答】解：如图，设点A关于直线l：x﹣y+3=0的对称点为C，连接BC交直线l于P0，根据平面几何知识可得：当动点P与点P0重合时，|PA|+|PB|取得最小值．设C（m，n），则有，解得m=﹣3，n=1．即有C的坐标为（﹣3，1），得|PA|+|PB|取得最小值为|CB|==，则椭圆长轴长的最小值为，则椭圆的离心率e=的最大值为=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．（1）求△OAB与△OBC的面积之比；（2）求sin∠BAD的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值；（2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）BD为∠ABC的平分线，由角平分线定理知：，即有；（2）由AD∥BC且AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，可得，即有sinC==，故sin∠BAD的值为．18．某工人生产合格零件的产量逐月增长，前5个月的产量如表所示：月份x 1 2 3 4 5合格零件y50 60 70 80 100 （件）（1）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（2）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=b+a；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n）其回归线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据回归方程求出对应的回归系数进行估计即可．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52=10种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种∴P（A）==；（2）由数据求得=3，=72，x i y i=1200，x i2=55，故===12，∴==36，∴y关于x的线性回归方程为=12x+36，当x=6，=108（件），即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．（1）求证：平面BCE⊥平面CDE；（2）若AB=1，求四棱锥C﹣ABED的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取CE的中点G，连FG、BG，由三角形的中位线定理可得GF∥DE，且GF=DE．再由线面垂直的性质可得AB∥DE，则GF∥AB．结合AB=DE，得到则四边形GFAB为平行四边形，得AF∥BG．在等边三角形ACD中，得到AF⊥CD，结合DE⊥平面ACD，可得DE⊥AF．由线面垂直的判定得故AF⊥平面CDE．进一步得到BG⊥平面CDE，由面面垂直的判定得平面平面BCE⊥平面CDE；（2）取AD中点M，连接CM，在△ACD中，可得AF=CM，从而得到V=CM•S ABED=AF•S ABED=．【解答】（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，则GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB，则四边形GFAB为平行四边形，得AF∥BG．∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD，∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE又BG⊂平面BCE，∴平面平面BCE⊥平面CDE；（2）解：取AD中点M，连接CM，∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，∵DE⊥平面ACD，且DE⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，∴CM为四棱锥C﹣ADEB的高，∴V=CM•S ABED=AF•S ABED=．20．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=2，Q（3，0），圆外一动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为（1）求动点M的轨迹方程；（2）若斜率为k且过点P（0，2）的直线l和动点M的轨迹和交于A，B两点，是否存在常数k，使与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），推导出|MO|2﹣2=2|MQ|2，由此能求出点M的轨迹方程．（2）设l的方程为：y=kx+2，联立，得：（1+k2）x2+（4k﹣12）x+24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出存在常数使得与共线．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设M（x，y），∵M到圆C的切线长与|MQ|的比值为，∴|MO|2﹣2=2|MQ|2，∴x2+y2﹣2=2[（x﹣3）2+y2]整理得：x2+y2﹣12x+20=0，∴点M的轨迹方程为：x2+y2﹣12x+20=0．（2）设l的方程为：y=kx+2，联立，得：（1+k2）x2+（4k﹣12）x+24=0，由△＞0，得5k2+6k﹣3＜0（*）∴，∴=（，），∵=（3，﹣2），若与共线，则2（12﹣4k）+3（4+12k）=0，∴代入（*）中符合题意．∴存在常数使得与共线．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若f（x）在[1，e]的最小值为，求a的值；（2）若f（x）＜x+a在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（1）求出导函数，利用①若a≥﹣1时，②若a≤﹣e时，③若﹣e＜a＜﹣1，分别判断函数的单调性，通过函数的最小值求解a的值即可．（2）利用，在（1，+∞）上恒成立，分离变量a，构造新函数，求出新函数的导数，利用新函数的单调性，求解函数的最值，然后推出a的范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由（1）可得，①若a≥﹣1时，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴，∴（舍去），②若a≤﹣e时，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴（舍去），③若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1≤x＜﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，﹣a）上单调递减，当﹣a＜x≤e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e]上单调递增，∴，∴，综上所述，；（2）∵，在（1，+∞）上恒成立∴，∴，令则a＞g （x）max，令h（x）=lnx﹣x2﹣x+1 ∴，在（1，+∞）上恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）=﹣1＜0，∴g′（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴，∴当时，f（x）＜x+a在（1，+∞）上恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，（1）求PF的长度．（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT 的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF的长度；（2）根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F 的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT则PT2=PB•PO=2×4=8，即[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t 是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．【解答】解：（I）将点M的极坐标（4，）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+），可得4=asin（+），解得a=4，由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ），即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即为x2+y2﹣2x﹣2y=0，即曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4；（II ）曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4为圆心C（，1），半径为2，则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，由，可得m=2，t=﹣，这时直线l：，消去t，可得x+y﹣2=0，点M的极坐标为（4，），可得M（2，2），即有M到直线l的距离为d==，可得|MN|的长为2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．2016年10月4日。