二面角的平面角的五种基本图形及作法

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二面角1

Ex:判断下列图形是不是二面角的平面角：
A 注意：二面角的平面角必须满足：（1）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。
C
B
D
A
B C
二面角的平面角作法：
1、定义法：根据定义作出来。 2、应用线面垂直定理：
o
A
l

o

B
A
l
B

ADO 就是二面角－ l －的平面角.
A.

AO 2 3, AD 4
AO 2 3 sin ADO AD 4
∴ ∠ADO=60°. 在Rt△ADO中，
D
O
l

∴二面角－ l－的大小为60 °.
作业． 1、如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
(1)求证：BD CD, BAC 60
0
(2)连接BC，求二面角 A BC D的大小。
A
D
B E
C
作业：P81页第4题，第7题；选作：P86页A组第7题；
例3、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少?
解:因为面CDG是坡面,设DH是地平面的垂线段,DH就是所求的高度.作HG⊥AB,垂足为G,那么DG⊥AB,∠DGH就是坡面和地面所成的二面角的平面角,所以∠DGH=60度.
2.3.2 两个平面垂直的判定
二面角
二面角的画法与记法:
1、二面角的画法：（1）、平卧式
（2）、直立式

2、二面角的记法：面1－棱－面2

二面角

α
∴AO=2 3 ,AD=4
A
在Rt△ADO中, △ D
O
l
18
β
AO ∵sin∠ADO= ∠ AD ∴ ∠ADO=60° °
2 3 3 = = 2 4
∴二面角 α- l- β 的大小为60 °
已知A 例 2 如图,已知 ,B是90°的二面角α— 是 °的二面角α l—β棱l上的两点,线段 ,BD分别在面α, 上的两点线段AC 分别在面 BD β内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC= ,3 =1, AB=3,求线段的长求线段CD的长的长. ∠OAC =90°, ° AO=BD=1, AC=2
1
A1
B1
E C
D A O B
在正方体ABCD ABCD例4 在正方体ABCD-D的中点 (1) 若F是棱CD的中点,请作出二面角D1-AF-D 的平面角; 的平面角; 是棱CC 的中点,请作出平面D AF与平 (2) 若F是棱CC1的中点,请作出平面D1AF与平 ABCD所成的锐角二面角的平面角所成的锐角二面角的平面角. 面ABCD所成的锐角二面角的平面角. D1 A1 B1 D A G H B F C1 F C
二面角
复习回顾
在平面几何中"角"是怎样定义的? 在平面几何中" 是怎样定义的? 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角. 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角. 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角. 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角.
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分, 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分, 直线上的一个直线分成两个部分其中的每一部分都叫做射线射线. 其中的每一部分都叫做射线.
α
∴AO=2 3 ,AD=4 在Rt△ADO中, △ AO ∵sin∠ADO= ∠ AD ∴ ∠ADO=60° °

二面角定义及应用详解

第一课时，第1-11ppt
一．二面角的概念
1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。
半平面有边界，它们只能在分割线的一侧延伸，如图，平面内的直线l把平面分成
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二面角定义与平面角定义的对比
平面角
二面角
A
图形
边
顶点
O
边B
A 棱a
B
面
面
定义构成
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1)
(2)
10
• 问题1:在正四面体中，求相邻两个平面所成
的二面角的的大小
A
D B
E C
问题2:一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角吗?为什么？
问题3：在30度二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
过二面角的棱上任意一点，分别在两个
半平面上作垂直于棱的两条射线，以这两条
射线为边的最小正角叫做二面角的平面角。
AOB =?= AOB
O l
A
B
注:等（角1定）理二：面如果角一的个平角的面两角边与和另顶点一同在个，棱角那上的么两这的边两位分个置别角平相无行等关，。，并）且只方与向二相面角的张角大小有关。
一、二面角的定义：二面角 1－、根l－据定义作出来面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 2、利用直线和平面垂角的棱2、。二这面两角个的半平平面面角叫
直作出来
做二面角的的大面小。与其顶点
二、二面3、角借助的三表垂线示定方理或法：在棱上的位置无关三、二面角12其、、逆的找证定到明平理或1作面中作出的出角来角二：就面是角所的3求平、的面它小二角角的来面平度角面的量角大的小大用

二面角课件

作法:B1B 面ABC, 作B1O AC, 连BO
由三垂线定理得, 二面角B1 AC B的平面角 B1OB
A1
B1
D
C
O
A B
自主总结
二面角的定义、画法、表示、今天学了什么？找二面角的平面角：定义法、三垂线法
角类比到二面角它如何得到？具体上升到抽象
用定义法和三垂线法它又有何用？求作二面角的平面角以度量二面角的大小
适应性练习
判断下列哪些是二面角的平面角（并请说出原因）

l

B
√

B

A

×

l

× ×

A
×

l

√

l

方法训练
1.求作水平面与拦洪坝平面所成二面角的平面角
B A
作二面角的平面角

问题1:棱l与平面ABO垂直吗 ? 为什么?
A

l
l AB且l OB l 面ABO
问题2:已知AO , OB 棱l 求证:ABO是二面角a, 则AO 2a
即二面角的度数是30
sin AOB a 1 AOB 3O 2a 2
l
a

O
?
解
B
题后记:
作
证
点
解 Rt
三垂线法作证二面角的平面角找二面角的平面角
实践体验
3.如图正方体 ABCD A1B1C1D1
(1)求作侧面D1C与底面AC所成二面角的平面角 (2)求作对角面A1 ACC1与底面AC所成二面角的平面角
PDA
A
D
C
B

二面角1

项中，选出最符合作者本意的一项（）（2分） A．作者使用客观公正的态度来评价自己这部小说的。 B．《偷书贼》这本书对作者与读者的意义，已经远远超过了作者当初的想象。 C．作者十分在乎别人对《偷书贼》这本书的评价。 D．作者认为《偷书贼》是他生命的全部，是自己最好的一次
创作。【文本细读】 7．《致中国读者的信》写道“在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。”小说中莉赛尔、汉斯?休伯曼和纳粹士兵的行为充分印代谢了这一点。请概括小说节选内容的相关情节，将下面表格补充完整。（2分）伟大的人性尊贵
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。（节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改）致中国读者的信亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
上下文语句进行分析．（2017浙江金华）5．阅读下面小说《偷书贼》一书的相关内容。完成5-11题。偷书贼 [澳]马克斯?苏萨克/著? 孙张静/译内容提要： 1939年的德国，9岁小女孩莉赛尔和弟弟被帕送往慕尼黑远郊的寄养家庭。6岁的弟弟不幸死在了路途中。在冷清的葬礼后，莉赛尔意外得
到她的第一本书《掘墓人手册》。 ? 这将是14本给她带来无限安慰的书之一。在养父汉斯?休伯曼的帮助下，她学会了阅读。尽管生活艰苦，她却发现了一个比食物更难以抗拒的东西﹣书。她忍不住开始偷书。莉赛尔，这个被称为“偷书贼”的可怜女孩，在战乱的德国努力地生存着，并不可思议地

二面角1

分解析：：过首A先作应A找O⊥到或于作O，出过二面O作角的OD平⊥面l角于,然D后，证连明AD这，个
角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。则l ⊥平面ＡＤＯ得： AD⊥ l .
ADO 就是二面角－ l －的平面角.
A.
AO 2 3, AD 4
在Rt△ADO中，
D
O
sin ADO AO 2 3
A
（3）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
观看动画演示
（4）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他，【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色，指事物、现象等很平常。紫褐色，【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
2.3.2 两个平面垂
直的判定
二面角
二面角的画法与记法:
1、二面角的画法：（1）、平卧式
（2）、直立式
2、二面角的记法：
面1－棱－面2
（1）、以直线 l为棱，
以 , 为半平面的二
面角记为： l
（2）、以直线AB 为棱，
以 , 为半平面的二面角记为： AB
l
B
A
二面角的平面角的定义、范围及作法:
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面
上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角。
AOB
=?=AOB

二面角的平面角及求法-精品

二面角的平面角及求法1、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB、面分别为a、0的二面角记作二面角a-45-0.有时为了方便，也可在a、P内（棱以外的半平面部分）分别取点尸、0,将这个二面角记作夕-AB-Q.如果棱记作/,那么这个二面角记作二面角a-/-0或尸2、二面角的平面角在二面角a-/-0的棱/上任取一点0,以点0为垂足，在半平面a和0内分别作垂直于棱/的射线。

4和08,则射线04和06构成的N4O6叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角NZ06的大小与点。

的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱/上的点0.3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角.（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式;（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；(7)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面a和0的法向量分别为:和若两个平面的夹角为仇则(1)当O〈Vu，v>^—，e=Vu，v>，此时cose=cosVu，v>=-7-^—.2 lullvl―♦―♦—♦1]■V (2)当——<<u，V>W TT时，0=cos(n-Vu，v>)=-cos<u，v>=-=———2 lullvl。

二面角

B
A
l
说明:点击左侧按钮返回二面角的平面角作法点击左侧按钮返回二面角的平面角作法. ★说明点击左侧按钮返回二面角的平面角作法
二面角
β
B P
说明：说明：过点P分别向两个半平面、过点分别向两个半平面α、β 分别向两个半平面作垂线PA、，作垂线、PB，垂足分别为 A、B，过其中一个垂足向、，过其中一个垂足A向作垂线AO，垂足为O，棱l作垂线，垂足为，连作垂线结OB，则平面，则平面PAOB为二面为二面角的一个垂面，角的一个垂面，故∠AOB为为二面角的平面角。二面角的平面角。
∴CD=PC = 2 a ∴∠COD=90 因此，二面角的度数为90 因此，二面角的度数为
一“作 ” 二“证 ” 计算” 三“计算”
二面角
的棱CD上一点上一点，在平例2. A为二面角α－CD－ β 的棱上一点，AB在平为二面角面α内且与棱CD成45角，又AB与平面β 成30，求二内且与棱成角与平面，的大小。面角α－CD－ β 的大小。
α
2、二面角的表示方法、
二面角α 二面角α－AB－ β 二面角α 二面角α－ l－ β C B D
ι
β
A
α
l
F
E B
β
A D
α B β
A 二面角C 二面角－AB－ D
C
二面角C－AB－ E 二面角
点击” ★说明:点击”表示方法”可链接到几何画板演示不同位置和角度放置的二面说明点击表示方法” 角
小结
三、二面角的平面角：二面角的平面角：
1、二面角的平面角必须满足三个条件 2：二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 1、构造法、二面角的计算：五、二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角角的大小来度量 2、三垂线（逆）定理法、三垂线（ 2、证明 1中的角就是所求的角 3、定义法、定义法（计算” 一“作”二“、计算所求的角 ”垂面法） 3 证”三“计算（垂面法）

面角及面角的平面角.pptx

第14页/共15页
第7页/共15页
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
第8页/共15页
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
猜想：
第9页/共15页
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
面面垂直的判定定理
符号表示：
A
B
C
D
线面垂直
面面垂直
线线垂直
②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角
第4页/共15页
二面角的平面角必须满足：
二面角的平面角
哪个对?怎么画才对?
第5页/共15页
1 二面角及二面角的平面角
平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
(1)半平面:
(2)二面角:
第1页/共15页
二面角－AB－
二面角－ l－
二面角C－AB－ D
∠AOB
二面角的认识
你从图中看出了二面角的几种写法?
第2页/共15页
第10页/共15页
课堂练习：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（）
一、判断：
×
×
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )
∪
√
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）
(3)二面角的平面角—
过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的四种求解策略

二面角的平面角的四种基本求法及训练（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

注：o 点在棱上，用定义法。

(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。

注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。

注：点O 在二面角内，用垂面法。

(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S例求二面角A-BC-D 的余弦值．（三垂线定理法）A 图3αβO BlO图5βαlCBAD例2 在60°二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离。

（垂面法）例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

（定义法）例4如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

（补棱法和射影面积法）AC例5.在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

（补棱法和射影面积法）练习题1．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB ⊂α．B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°．则AB 与平面β所成的角的正弦值是2.山坡与水平面成30︒角，坡面上有一条与坡角水平线成30︒角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为 3．在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为。

二面角1

Ex:判断下列图形是不是二面角的平面角：
A
CB D
A BC
注意：二面角的平面角必须
满足：
（1）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。
（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。
二面角的平面角作法：
1、定义法：根据定义作出来。
A
l
oB
2、应用线面垂直定理：
A
o
B
l
二、学以致用
例2、已知二面角－ l －，A为面内一点，A到的距离为 2 3，到 l 的距离为 4。求二面角－ l －的大小。
2.3.2 两个平面垂
直的判定
二面角
二面角的画法与记法:
1、二面角的画法：（1）、平卧式
（2）、直立式
2、二面角的记法：
面1－棱－面2
（1）、以直线 l为棱，
以 , 为半平面的二
面角记为： l
（2）、以直线AB 为棱，
以 , 为半平面的二面角记为： AB
l
B
A
二面角的平面角的定义、范围及作法:
A
（3）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
观看动画演示
（4）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝节或表面：治～不如治本。ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物，并可能有阵雨、冰雹等。欺压别国或别人。界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离

立体几何-二面角求解五法

立体几何-二面角求解五法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

解证（I ）略（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， ∴211423=+=BG FGFG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为6，求二面角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。