二面角的平面角的五种基本图形及作法

二面角的的五种基本图形及其平面角的作法

舒云水

求二面角的关键是要准确作出二面角的平面角，下面介绍二面角的五种基本图形及其平面角作法﹒

在具体立体几何题中二面角常以图1的形式给出，二面角A-

-的两个面以三角形（下文称为面三角形）的形式出现，分BC

D

析好这两个面三角形的图形性质特点，是作好二面角的平面角的关键．还有一条线也是非常重要的，这条线是两个面三角形不在二面角棱上的另一个顶点（如图1中的A、D）的连线（下文称为顶点连线）﹒为了叙述方便，将两个面三角形的公共边称为棱底边，图1中

的线段BC为二面角D

-的棱底边﹒

BC

A-

图

图 1 图 2 图 3

图4

图5 图6 图7 图8

1. 基本图形一：两个面三角形都是以棱底边为底边的等腰三角形﹒

如图2，在二面角D

BD=﹒根据等腰三

AB=，CD

BC

A-

-中，AC

角形的性质：底边上的中线与高重合，取底边BC的中点E，连结

AE、ED，则AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED为二面角D

A-

-的平面

BC

角﹒

2.基本图形二：两个面三角形关于棱底边对称全等﹒

如图3，在二面角D

A-

-中，⊿ABC≅⊿DBC，A与D是对应

BC

点﹒因为两个三角形对称全等，过A作AE⊥BC于E，连结DE，则

DE⊥BC，∠AED为二面角D

A-

-的平面角﹒

BC

3. 基本图形三：顶点连线垂直于二面角的一面﹒

如图4，在二面角D

-中，AD ⊥平面BCD，过D作DE⊥BC

A-

BC

于E，连结AE，根据三垂线定理知AE⊥BC，∠AED为二面角-的平面角﹒这种情况在高考题中出现最多﹒

A-

BC

D

4. 基本图形四：二面角的一个面三角形顶点（不在二面角棱上的顶点）也在的第三个平面内，第三个平面与二面角的另一面垂直﹒

如图5，二面角D

-的面三角形ABC的顶点A在第三个平

BC

A-

面ABD内，平面ABD⊥平面BCD，根据平面ABD⊥平面BCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BCD﹒下一步作法同基本图形三：

过垂足E作EG⊥BC于G，连结AG，则∠AGE为二面角D

A-

-的

BC

平面角﹒

5. 基本图形五：无棱二面角﹒

如图6，两个面三角形只有一个公共点在棱上，这种图形要作二面角的平面角，关键是要作出二面角的棱﹒下面分两种情况谈作棱问题﹒

（1）两个面三角形不过公共点的两边平行，如图7，A B∥CD，易证AB、CD都与棱平行，此时不需作出棱，过O分别作OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F，则OE、OF都与棱垂直，∠EOF为所求二面角的平面角﹒

（2）两个面三角形不过公共点的两边在同一个平面内但不平行，如图8，AB不平行CD，AB、CD在同一个平面内，延长AB、CD 交于点E，连结OE，则OE为平面AOB和平面COD所组成的二面角的棱﹒作出棱后，再根据具体题目的条件作出二面角的平面角﹒