定积分在物理上的应用

2 = −γ 3
(
R −x
2
2 3
)
2γ 3 0 = 3 R .
R
例 5 将 直 角 边 各 为 a 及 2a 的 直 角 三 角 形 薄 板 垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积元素 2(a − x )dx ,
2 2
1 2
dFx = − k
am ρdy
3 2
,
由对称性知， 由对称性知，引力在铅直方向分力为
F y = 0.
例7: 有一半径为R,中心角为ϕ的圆弧形细棒,其线密度
ρ。求这细棒对圆心处质量为m的质点的引力。
y
解: 建立坐标如图
则 变量θ ∈ [
π
2
−
ϕ π +ϕ
,
2 2 积分变量
]
o
x
取微区间 [θ ,θ + dθ ]
f ( x ) = kx ,
w1 = ∫0
h
1
k f ( x )dx= , 2
设 n 次击入的总深度为 h厘米
n 次锤击所作的总功为
wh = ∫ f ( x )dx .
0
wh = ∫0
h
kh2 kxdx = , 2
2
依题意知，每次锤击所作的功相等． 依题意知，每次锤击所作的功相等．
kh k wh = nw1 ⇒ = n⋅ , 2 2
2Gmp π ϕ 2Gmp ϕ = cos( − ) = sin R 2 2 R 2 2Gmp ϕ ∴引力大小 : F = F + F = sin R 2
2 x 2 y
方向: 指向圆弧中点
作业:P259 1-10 作业
一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水 ， 设桶的底半径为 R ， 水的比重为γ ，计算桶的一端面 上所受的压力． 上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
为积分变量， 取x 为积分变量，x ∈ [0, R]
取任一小区间[ x , x + dx ]
o
+∞
例 2 : 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径 3 米， 池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出 问要把池内的水全部吸出， 池内盛满了水 问要把池内的水全部吸出， 需作多少功？ 需作多少功？
解 建立坐标系如图
为积分变量， 取x 为积分变量，
x ∈ [ 0, 5]
o
x
取任一小区间[ x , x + dx ],
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ，计算该棒对质点 M 的引力． 的引力．
解 建立坐标系如图
l l 取 y为积分变量 y ∈ − , , 2 2 取任一小区间[ y , y + dy ]
将典型小段近似看成质点 小段的质量为 ρdy ,
l y 2 y + dy
y
2a
o
a
2a
dP = ( x + 2a ) ⋅ 2(a − x ) ⋅ 1 ⋅ γdx
7 3 P = ∫0 2( x + 2a )(a − x )γdx = γ a . 3
a
x
三、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 为引力系数， 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
r
a
− l 2
o
•
M
x
小段与质点的距离为 r = a + y ,
2 2
引力 ∆F ≈ k m ρdy2 , a2 + y 水平方向的分力元素
(a + y ) l am ρdy − 2km ρl 2 Fx = − ∫− l k 2 , = 3 2 2 2 2 2 (a + y ) a ( 4a + l )
n 次击入的总深度为 h = n ,
第 n 次击入的深度为
n − n − 1.
二、水压力
由物理 学知道 ， 在水深为 h 处的压 强为 p = γh，这里γ 是水的比重．如果有一面积为 A 是水的比重． 那么， 的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为 P = p ⋅ A．
如果平板垂直放置在水中， 如果平板垂直放置在水中， 由于水深不同 不相等， 的点处压强 p 不相等 ， 平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式， 而采用“ 就不能直接使用此公式 ， 而采用 “ 元 素 法 ” 思想． 思想 ．
5
x + dx
x
这一薄层水的重力为
9.8π ⋅ 3 2 dx
o
x
x + dx
5
功元素为 dw = 88.2π ⋅ x ⋅ dx ,
x
w = ∫ 88.2π ⋅ x ⋅ dx
0
5
x = 88.2π ≈ 3462 2 0
2 5
(千焦 ． 千焦)． 千焦
用铁锤把钉子钉入木板， 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比， 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米 厘米， 一次锤击时将铁钉击入 厘米，若每次锤击所作 的功相等， 次锤击时又将铁钉击入多少？ 的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？ 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为
§10.5 定积分在物理上的应用
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道， 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 作用在这物体上， 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么， 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W = F ⋅ s.
连线方向． 连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 且各点对该质点的引力方向也是变化的， 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算． 就不能用此公式计算．
例 6
的均匀细棒， 有一长度为 l 、线密度为 ρ 的均匀细棒，
+1
r
取任一小区间[ r , r + dr ], 功元素 dw =
b
kq dr , 2 r
kq 1 1 1 所求功为 w = ∫a 2 dr = kq − = kq − . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
+∞
b
w = ∫a
kq kq 1 dr = kq − 2 r a = a . r
q F = k 2 （k 是常数） 当这个单位正电荷在电场中从 是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从 ， r r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时， 处时， 计算电场力 F 对
它所作的功． 它所作的功．
解 取 r 为积分变量， 为积分变量，
+q
r ∈ [a , b],
• o
• ⋅ ⋅• •r • ⋅• • • a r + dr b
mpds Gmp Gmp 则 dF = G 2 = 2 Rdθ = d R R R
由对称性 Fx = 0
Gmp 又 dFy = sin θ dF = sin θ dθ R π π Gmp 2Gmp 2 ∴ Fy = 2 ∫π2 ϕ sin θ dθ = [− cosθ ]ϕ − R R 2 2 2
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 就不能直接使用此公式，而采用“ 的，就不能直接使用此公式，而采用“元素 思想. 法”思想
例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 它产生一个电场． 这个电场对周围的电荷有作用力． 由 处， 它产生一个电场． 这个电场对周围的电荷有作用力． 物理学知道， 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 物理学知道， 的地方， 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
x
小矩形片上各处的压强近 似相等 p = γx ,
小矩形片的面积为 2 R 2 − x 2 dx .
x + dx
x
小矩形片的压力元素为 dP = 2γx R 2 − x 2 dx
端面上所受的压力
P = ∫0 2γx R − x dx
2 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R
= −γ ∫0
R
R2 − x 2d ( R2 − x 2 )