1.1 n阶行列式(1)

的排列有关
此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排
列及其逆序数的概念及性质。
20
三、全排列及其逆序数的定义
1. n级排列 定义 由 1,2, , n 组成的一个有序数组
i1 , i2 , , in
称为一个 n 级全排列，简称为 n 级排列。 n级排列的总数： n!
21
2. 排列的逆序数 定义 在一个排列 i1i 2 i t i s i n 中，若数 it i s t s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a21 b1 b2 a12 a22 a12 a22 , ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a21 a12 a22 ,
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al ab b1 bmc1 cn
b经过m次相邻对换
a1 al b b b1 bm a c1 cn 故 a 1 a l ab1 bm bc 1 c n
可经过2m+1次相邻对换
a经过m+1次相邻对换
14
的系数行列式 D a21
a31
若记
a11 D a21 a31 a11
a12 a22 a32 b1 b2 b3
a13 a23 a33 a13 a23 , a33
b1 D1 b2 b3 a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 b1 b2 . b3
16
例3 解
求解方程
1 2 4
1 3 9
1 x 0. x2
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12 x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
17
例4
解线性方程组
x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
在行列式右 侧补写前两列， 再画含三个元素的 主副对角线
a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
13
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33
18
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5, 0 D3 x3 1. D
19
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
解： 由于方程组的系数行列式
1 D 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
4
5
t ( 217986354 ) 18
此排列为偶排列.
27
2
n n 1 n 2 321 ( 用向后法) n1 解： nn 1n 2 321 n 2 t n 1 n 2 2 1 n n 1
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数，其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个，故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
25
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
a 1 a l a b b1 b m a1 a l b a a b1 b m
29
对换与排列的奇偶性的关系:
这个结论是 怎么得到的？
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性。 证明 若对换排列中任意两个相邻元素，设排列为：
a1 al ab b1 bm
对换 a 与 b
1
0
23
3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法：
方法1 向前法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
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例5 解:
求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
上式称为 三阶行列式（Third-Order Determinant）。
11
2. 三阶行列式计算
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
红线上三元素 的乘积冠以正号， 蓝线上三元素 的乘积冠以负号。
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
Remark 1
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
(1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式； (2) 三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行、不 同列的三个元素的乘积，其中三项为正、三项为负。
12
a13 a 11 a 12 D a21 a22 a23 a 21 a 22 a31 a32 a33 a 31 a 32 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11 a12
第一章 行列式
§1.1 行列式的定义
Ø 二阶行列式 Ø 三阶行列式 Ø 全排列及其逆序数的定义 Ø n 阶行列式 Ø 小结
1
一、二阶行列式
1. 引入 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
由方程组的四个系数确定.
3
2. 定义 记：
a11 a12 a11a22 a12a21 , a21 a22 a11 a12 a21 a22
称
为 二阶行列式（Second-Order Determinant），称
a11a22 a12a21 为该行列式的值。
称 aij (i 1,2; j 1,2) 为行列式第 i 行，第 j 列的元 素。
是否也能用类似的行列式来表示？
10
二、三阶行列式
1. 定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31, a33 列标 行标
D1
a11 D2 a21
b1 . b2
7
则二元线性方程组的解为：
b1 a12 a11 b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 aBiblioteka Baidu2
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为 原方程组的系数行列式.
8
5. 例题
3x1 2 x2 12, 例1 求解二元线性方程组： 2 x1 x2 1.
解：
D 3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
3 12 2 1 21,
D1
12 2 1
14, D2
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
9
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
4
主对角线 副对角线
a11
a 21
a12 a22
a11a22 a12a21 .
5
4. 利用二阶行列式求解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
D
a11 a21
a12 a22
,
6
2 ,
当 n 4k ,4k 1 时为偶排列； 当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
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4. 对换的定义 定义 例如 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种变换叫做对换。
a1 a l a a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
2
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 , 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 （3）
方法2 向后法 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
26
例6 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.
1
解：
217986354
( 用向前法)
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0
1 0 0
1 3
4
D2 a21 a31
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
15
４. 例题 例2
计算三阶行列式
1
2 -4 1
D -2 2
-3 4 -2
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 1 1 4 2 ( 2) ( 2) ( 4) 2 ( 3) 4 6 32 4 8 24 14.
在三阶行列式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11 a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为 123，231，312 132，213，321 此三项均为正号 符号与下标
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变. 当 a b时， 经对换后逆序数增加1； 当 a b时， 经对换后逆序数减少1。 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。
30
若对换排列中任意两个不相邻元素，设 排列为： a1 al a b1 bm b c1 cn 现来对换 a 与 b :
22
例如
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数。记为 t ( i 1 , i 2 , , i n )或 ( i 1 , i 2 , , i n ). 例如 排列32514 中，
2 2
0
3 2 5 1 4 故此排列的逆序数为 2+1+ 2 + 0 + 0 =5.
n(n 1) 一个n级排列中共有 2 对数对，我们正是从这些数对中计 算该n级排列的逆序数的。