力学第五次作业解答

第五次作业解答

4-5 某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F ，相应伸长为x ，力与伸长的关系为

F ＝＋（SI ）求：

(1)将弹簧从伸长x 1＝ m 拉伸到伸长x 2＝ m 时，外力所需做的功．

(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2＝ m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x 1＝ m 时，物体的速率．

(3)此弹簧的弹力是保守力吗

解：(1) 外力做的功

＝31 J

(2) 设弹力为F ′

= m/s

(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关．

4-6 如图所示，质量m 为 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 k

为，问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少

解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块

k

m

⎰⎰⋅+==2

1d )4.388.52(d 2x x x

x x x

F W ⎰⎰⋅=-==1212

d d 2

1'

2x x x x W

x F x F m v m

W

2=v

和弹簧）机械能的增量．由题意有 222

1

21v m kx x f r -=- 而

mg f k r μ=

由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 m kx gx k 2

2+=μv

= m/s

[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有 202

1

v m

kxdx mgx x

k -

=-

-⎰μ 其中

20

2

1kx kxdx x

=

⎰

4-10 如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量

为m 的物体，此物体系于一劲度系数为k 的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为E K 0，试求物体在弹簧的伸长达到x 时的动能.

解：如图所示，设l 为弹簧的原长，O 处为弹性势

能零点；x 0为挂上物体后的伸长量，O ＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O

处为重

力势能的零点．由题意得物体在O ＇处的机械能为： αsin )(2

102

001x x mg kx E E K -++= 在O

处，其机械能为：

2222

1

21kx m E +=

v 由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：

22020

02

1

21sin )(21kx m x x mg kx E K +=-++v α 在平衡位置有： mg sin =kx 0

m

k α

O "O '

x 0

x

O

l

∴ k mg x αsin 0=

代入上式整理得： k

mg kx mgx E m K 2)sin (21sin 212202

αα--+=v

4-13 一物体与斜面间的摩擦系数 = ，斜面固定，倾

角

= 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜

面向上滑，如图所示．求：

(1) 物体能够上升的最大高度h ；

(2)

该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．

解：(1)根据功能原理，有 mgh m fs -=202

1v ααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==

mgh m mgh -==2

02

1ctg v αμ )

ctg 1(22

αμ+=g h v = m

(2)根据功能原理有 fs m mgh =-22

1

v

αμctg 2

1

2mgh mgh m -=v []21

)ctg 1(2αμ-=gh v = m/s

4-15 在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形

屏障．质量为m 的滑块以初速度0v

沿切线方向进入屏障内，

滑块与屏障间的摩擦系数为．试证明当滑块从屏障另一端

滑出时，摩擦力所作的功为

)1e (2122

0-=π-μv m W

证：滑块受力如图所示．滑块作圆周运动

R m N /2v = ① t m N f r d /d v =-=μ ②

α

h

0v

m

v 0俯视图

v

N O

f r θ

由①、②可得 θ

θθμd d d d d d d d 2v v v v v ⋅=⋅==-R t t R ∴ v v μθ-=d /d

分离变量进行积分 ⎰⎰π

-=0

d d )/1(θμv

v v

可得 π0e μ-=v v

由动能定理，摩擦力所作的功为

)1e (2

12121π22

0202-=-=-μv v v m m m W

4-16 质量为M 的实验小车上有一根竖立细杆，用一

根长为R 的细绳将质量为m ′的一个小球挂在杆上P 点．该小车和球以共同的初速度v 向右运动，和质量为m 的另一辆静止小车发生完全非弹性碰撞，如图所示．设忽略一切摩擦且设M ，m >> m ′，则小球的运动对两辆小

车的速度的影响也可忽略不计．试证明：欲使小球在竖直面内绕P 点作圆周运动．实验小车和球的初速度大小至少为 gR m

m

M 5+=

v 证：两车相碰后的速度由动量守恒定律有 v m

M M

v +=

' ① 若小车静止不动，小球作圆周运动所需的最小速度为v 1，则小球转至最高

点时R

v m g m 22

'='，则速度Rg v =2，由机械能守恒定律有

)(21)2(2121Rg m R g m m '+'='v ②

即 Rg 51=v

在速度为v ′的运动的车上，若要小球相对车的最小速度等于v 1，则球对地的速度应为 gR v m

M M

v v v v 51=+-

='-=