空间解析几何与向量代数 D矢量
feedid_42_向量代数与空间解析几何讲义
a, f , W 或向量 a, f, W 等.
B
A
图 1
如果两个向量 a 和 b 的大小相等，且方向相同，就说 a 和 b 是相等的向量， 记作 a b .这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的. 注意, 在数学中我们只考虑向量的大小和方向， 而不论它的起点在什么地方. 即 向量可以自由地平行移动,且平移前后都代表相等的向量(同一个向量). 由于向 量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量. 我们只讨论自由向量. 向量的大小叫做向量的模或长度.向量 AB, a 的模依次记作| AB |与| a |.模 是 1 的向量叫做单位向量. 模是 0 的向量叫做零向量， 记作 0 或 0 .注意,零向量 的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的. 如果两个非零向量 a 和 b 的方向相同或者相反，就称两个向量共线也叫平 行，记为 a //b (共线或平行).由于零向量的方向是任意的，因此认为零向量与任
a a = a + ( a ) = 0 .
3
由三角形两边之和大于第三边的原理，有
a +b a b 及 a-b a b
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立. 2.2 数乘向量法 规定实数 乘向量 a 是一个向量,记为 a .它的模是 a a .它的方向当
0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反.
上式称为向量 a = r 的坐标分解式， xi 、 yj 、 zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向 的分向量. z
特别地， 当 0 时， a 0 ，即 a 为零向量，这时它的方向是任意的. 当 1 时,
1a = a, ( 1)a = a .
数乘向量满足下列性质： (1)结合律
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
首页
上页
返回
下页
结束
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
首页
上页
返回
下页
结束
关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
首页
上页
返回
下页
结束
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
首页
上页
返回
下页
结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
第七章空间解析几何与向量代数-
a a
兰州交通大学数理与软件工程学院
减法：a b a ( b )
ab
b
a
ab
特例：a ( a )0 .
b
b c
a
b
c
a
(b)
a
b
卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
兰州交通大学数理与软件工程学院
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
兰州交通大学数理与软件工程学院
向量 r的坐标分解式：r O M xiy jzk 向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如r.
兰州交通大学数理与软件工程学院
例 3 已知 A( x1,,y1,z1 ) 和 B(x2,,y2,z2) 以及实数 -1，在
AB 直线上求点 M ,使 AM MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点，
zA
A O M O M ( x x A 1 ,y y 1 ,z z 1 )M
.
O
e
M'
u
设ax a P (ax jr,xa a ,ya,ya z)P则,jrya,
第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程
兰州交通大学数理与软件工程学院
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数是一种利用矢量来表达物理量的数学方法，它是建立物理现象的关键，在计算中物理量的概念可以被准确的表达，这使得空间与时间的模型可以描述和表示。
空间解析几何是一种学科，旨在探索物体在空间中的几何表示，也是一种多维几何学，它有助于理解空间和时间的结构，及其在空间中的变换。
它也可以用来理解和描述空间结构的特点，并允许进行精确的计算。
向量代数由一系列的矢量方程给出，其中每个矢量由一组有序的数字组成，其中每个数字代表一维的大小和方向。
矢量的操作可以用来描述物体的运动，对于运动的测量和描述是建立物理现象的关键。
一个向量方程可以表述为空间中的实际值，并且可以将一个空间中的点映射到另一个空间中，也可以用来应用多维几何学。
空间解析几何可以用来解决各种物理问题，如定义物体表面，描述物体形状，表示曲线，计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，以及解决方程等等。
它结合了向量代数、多维几何和数学的概念，使得计算机可以在空间中创造和模拟现实世界里的3D几何物体。
空间解析几何有多种用途，可以用来描述物体的几何形状，以及不带有曲线的平面，曲面，以及更复杂的三维空间形状。
它可以用来建立图像和数字地图，以及多维空间分析，可以用来描述复杂的三维物体，可以用来创建电脑模拟（CAD）和图形学技术，为进行机器人操作和智能控制等等作准备。
向量代数和空间解析几何的结合，被用来解决一系列的物理问题，这其中包括火箭发射，飞行器姿态控制系统，重力计算，飞行探测器以及机器人控制等等。
它们最重要的用途是用来模拟空间物体之间的碰撞，控制物理模型，以及快速而可靠地估算物体之间的位置关系，以此实现实时监控和精确控制。
向量代数和空间解析几何在各个领域都有着广泛的应用，从建筑设计，自动驾驶，空间探测，飞行模拟系统，机器人控制，虚拟现实等等，都离不开它们。
它们提供了关于物体在空间中的表示及其形状变换的精确方法，它们还可以用来计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，从而在空间中建立有效的模型。
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是数学中一个重要的分支，它既有广泛的研究应用，又为其他领域提供了支持。
它可以被用来研究多维空间中的几何图形，在物理学、工程学、统计学和经济学等各个领域有广泛的应用。
向量代数与空间解析几何的本质是一种数学技术，它的目的是把多维空间中的几何图形抽象化为一系列表达式和定理，以便研究和解决在实际问题中出现的空间几何结构的变化。
由于它的内容涉及的范围很广，因此，它包括很多不同的方法和理论，比如矢量代数、向量分析、积分几何、椭圆曲线几何和三角几何等。
矢量代数是研究向量的一门数学学科。
它的内容包括向量的定义、性质以及向量运算的基本概念。
它的目的是从多维空间中的几何图形抽象出来，并且探索利用Vector求解空间几何结构的变化。
向量分析是研究向量场的一门数学学科。
它的内容包括向量场的性质、概念、基本操作和运算求解方法。
它的目的主要是利用向量场的性质研究多维空间中的物理场的性质，以及求解多维空间中物理运动的关系。
积分几何是研究积分量的一门数学学科。
它的主要内容是描述和研究在多维空间中的积分量，包括它们的性质、运算方法和物理模拟的应用。
其目的是为了更加深入的理解多维空间中的物理运动，以及利用这种运动来求解空间几何结构的变化。
椭圆曲线几何是一门研究椭圆曲线性质和椭圆曲线方程性质的数学学科。
它的内容包括椭圆曲线性质的探索、特定参数椭圆曲线的解析以及在实际问题中的应用。
它的目的是利用椭圆曲线的性质求解多维空间中的物理性质，以及研究多维空间几何结构的变化。
三角几何是研究三角形的一门数学学科。
它的内容包括三角形的性质、概念、基本操作和运算求解方法。
它的目的是以三角形作为基础，把多维空间中的几何结构抽象出来，以便研究和求解它们的变化。
从上述内容来看，向量代数与空间解析几何是一门非常重要的数学学科，它在物理学、工程学、统计学和经济学等多个领域有着广泛的应用。
它主要有矢量代数、向量分析、积分几何、椭圆曲线几何和三角几何等多种理论和技术，它们的研究可以使我们更好地理解多维空间中的物理性质和几何结构的变化。
第八章 空间解析几何与向量代数 ppt课件
【例4】P11例8 uuur
方法2 :设 OA ( x, y, z)
则由
cos
3
uuxur |OA|
x
6
1 2
3
z
A
O
4 y
x3
cos
4
uuyur y 6 |OA|
2 3 2
2
uuur | OA | x2 y2 z2 6 z 3
A(3, 3 2, 3)
ppt课件
18
目录 上页 下页 返回 结束
(3)
ar
r 0
则
若 0，则 ar 若ar 0，则
分配律.
r r0 ； 0.
见P4
.
(4)定理1.1：设
r a
r 0
,则
r a
/
r /b
1
r R, 使得b
ar
.
(5)与
r a
同向的单位向量为：er
ar o
ar r
.
|a|
ppt课件
6
目录 上页 下页 返回 结束
【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
ppt课件
2
目录 上页 下页 返回 结束
§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
ppt课件
3
目录 上页 下页 返回 结束
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
r rr
gi j k
r
ri 1 0 0
j0 1 0
r
k0 0 1
r
r
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算7.1-1 向量概念称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r，向量a 的模通常表示为|a |或a r．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r−b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称−b 为b 的相反向量．在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu rAB uuu r AB uuu r|=AB .空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．7.1-2 向量的线性运算1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为向量a 与b 的和向 量，记为a +b ；或以向量a 的终点作为向量b 的起点，则由a 的 起点到b 的终点的向量亦是a 与b 的和向量．1在力学中，求作用在同一质点的两个不同方向力F 1,F 2的合 力F 时，所采用的平行四边形法则或三角形法则．推广 任意有限个向量相加．如图所示，OD 就是四个向量 a ,b ,c ,d 的和向量，即ba a +b +c +dcdOD =a +b +c +d ．在求多个向量的和向量时，采用首尾相接方法，显然要优于平行四边形法．向量的减法a -b ，实际上是a 与b 的负向量的和，因此从减 向量终点连向被减向量终点的向量，就是差向量a -b ；或者说差 向量是以a 和b 为邻边作平行四边形的反对角线向量．显然对于任何向量a 都有 a +0=a 向量的加法满足以下运算律：①交换律 a +b =b +a ；②结合律(a +b )+c =a +(b +c )=a +b +c ．2．向量与数的乘法设λ为一实数，向量a 与λ的乘积记作λa ，规定它为满足下列条件的一个向量：(1)|λa | =|λ|⋅|a | ；(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向 相反；当λ=0或a =0时，则λa =0．例如，设a 为已知的非零向量，当λ分别取-2,21, 2时，向量λa 如图所示．特别地，当a ≠0， (1) (-1)⋅a =-a ，即a 的相反向量是原向量数乘-1的结果； (2)记与向量a 方向相同的单位向量为e a ，e a =||1a a ．向量与数的乘法满足以下运算律，其中设λ,μ为实数，a ,b 为向量：(1) 结合律λ(μa )= （λμ）a = μ(λa )；(2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ． 例1 见课本.292P 定理 1 设向量, 则向量b 平行于0a ≠r r ra r 的充分必要条件是存在唯一的实数λ, 使得b a λ=r r. 证明(略)注: 定理1是建立数轴的理论依据.7.1-3 空间直角坐标系在空间取三条相互垂直且相交于原点的数轴——x 轴, y 轴和z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O -xyz ．一般在各数轴上的单位长度相同．把x 轴, y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并规定x 轴, y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：让右手的 四个手指指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向转向y 轴的 正向，大姆指所指的方向为z 轴的正向．因此空间直角坐标系 也可以认为，是平面直角坐标系xOy 按右手法则，在原点添加 z 轴所得．在空间直角坐标系O -xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原点；x 轴, y 轴, z 轴又分别称为横轴、纵轴、竖轴，三条数轴统称为坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共 有xOy 、yOz 、zOx 三个坐标面； 三个坐标面把空间分隔成八 个部分，每个部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限，其 中第一卦限位于x ,y ,z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于 xOy 面的上方，按逆时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正下方，第六至第八卦限也在xOyx 如图所示，设M 为空间的任意一点，M 1为它在xOy平面上的正投影，设M 1在xOy 坐标系中的坐标为(x ,y )；过M 作z 轴的垂线，垂足R 在z 轴上的坐标为z ，这样点 M 就唯一地确定了一组三元有序数组(x , y , z )．反之，如果任给一组三元有序数组(x , y , z )，过xOy 平面上坐标为(x ,y )的点M 1作xOy 平面的垂线l ，过z 轴上坐标为z 的点R 作z 轴的垂直平面，可得与l 唯一的交点M ．称这样的三元 有序实数组(x ,y ,z )为点M 在该空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ,y ,z )或M =(x ,y ,z )，x ,y ,z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，也称为点M 坐标的x ,y 和z 分量．上述讨论也表明，在建立了空间直角坐标系后，就能在空间点M 与其坐标之间建立一一对应的关系．原点O 的坐标均为0，即O (0,0,0）；点M 在xOy 坐标面上⇔M =(x ,y ,0)；点M 在x 轴上⇔M =(x ,0,0)．类似可得其它坐标面或坐标轴上点的坐标特征．八个卦限内点的三个坐标均不为零，各分量的符号由点所在卦限确定．类似于平面直角坐标系下的情形，可以讨论关于坐标轴、坐标面、坐标原点对称的点的坐标关系．例如，与点(x , y , z )关于x 轴对称的点为(x , -y , -z )；与点(x , y , z )关于xOy 坐标面对称的点为(x , y , -z )；与点(x , y , z )关于原点对称的点为(-x , -y , -z )等．例1 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，以顶点A 为原点、过A 的三条棱为坐标轴，建立直角坐标系如图．求长方体各顶点、各个面的中心及长方体中心在该坐标系中的坐标．解 顶点坐标：A (0,0,0), B (a ,0,0), C (a ,b ,0), D (0,b ,0),A 1(0,0,c ),B 1(a ,0,c ),C 1(a ,b ,c ),D 1(0,b ,c )； 各面中心坐标：E 1(2a ,2b ,0), E 2(2a ,2b ,c ), E 3(2a ,0, 2c ), E 4(2a ,b ,2c ), E 5(a ,2b ,2c ), E 6(0,2b ,2c )；长方体中心F 坐标：F (2a ,2b ,2c )．#例2 正圆锥母线与中心轴成ϕ角，P 为锥面上一点，OP =l ；以圆锥顶点为原点、中心轴为z 轴建立坐标系，OP 1为OP 在xOy 坐标面上的正射影，从x 轴正向到OP 1的角为α．试用l , ϕ, α表示点P 的坐标．解 P 坐标的x ,y 分量与P 1在xOy 坐标系中的坐标 相同；OP 1=OP cos(2π-ϕ)=l ⋅sin ϕ，所以P 坐标的x ,y 分量x =l ⋅sin ϕcos α, y =l ⋅sin ϕsin α；P 坐标的z 分量是P 在z 轴上投影P 2的坐标，所以z =l ⋅cos ϕ．综合之，点P 坐标为(l ⋅sin ϕcos α, l ⋅sin ϕsin α, l ⋅cos ϕ)．#同时,如果取x 轴, y 轴和z 轴的单位为单位向量,,i j k r r r或i ,j , k ,则空间中的任意点M 可以看成是原点O 与M 的有向线段,即向量, 其对应于OM OM uuuu r xi y j zk =++uuuu r r rr ,得到向量OM 的坐标分解式, 其中uuuu r ,,xi y j zk r r r称为向量OM uuuu r 沿三个坐标轴方向的分向量.反之, 设在空间中已建立了直角坐标系O -xyz ，把已知向量a 的起点移到原点O 时，其终点在M ，即a =OM ． 称OM 为向径（或矢径），通常记作r ；称点M 的坐标 (x ,y ,z )为a 的坐标，记作a =(x ,y ,z )，即向量a 的坐标 就是与其相等的向径的终点坐标．这样在建立了直角坐标系空间中，向量、向径、坐标之间就有一一对应的关系． 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ 例3 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的过顶点A 的三条棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，直角坐标系O -xyz 的x ,y ,z 轴依次平行于AB ,AD ,AA 1．求以A 和B 为始点的各对角线向量的坐标．解 如图所示，以A 为始点的对角线向量有1AB ,,1AD ,1AC ．1AB 对应的向径为2OB ，2OB =(a ,0,c )，所以1AB =(a ,0,c )；AC 对应的向径为2OC ，2OC =(a ,b ,0)，所以AC =(a ,b ,0)；同理可得1AD =(0,b ,c ), 1AC =(a ,b ,c )．以B 为始点的对角线向量有1BA ,BD ,1BD ,1BC ．1BA 对应的向径为2OA ， 2OA =(-a ,0,c )，所以1BA =(-a ,0,c )； 同理可得BD =(-a ,b ,0), 1BD =(-a , b , c ), 1BC =1AD = (0,b ,c )．#把向量a 的始点移到点M 时，终点在N ．若已知点M ,N 的坐标为(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)，则a =MN 对应向径OP 的终点P 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)，所以 a =(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)即向量坐标为终点坐标减去对应始点坐标．根据公式，立即得到空间两点距离公式：若M (x 1,y 1,z 1),N (x 2,y 2,z 2)，则|MN | =212212212)()()(z z y y x x −+−+−例4 已知向量a =AB =(-3,0,1)始点A 的坐标为(-3,1,4)，求终点B 的坐标．解 设B =(x ,y ,z )，则 =(x +3,y -1,z -4)=(-3,0,1)，所以x =-6,y =1,z =5，即B =(-6,1,5)．# 例5 求点M (x , y , z )到三条坐标轴的距离．解 设点M (x , y , z )在x 轴上的投影为点P ，则点P 为P (x ,0,0)，且线段MP 的长就是点M 到x 轴的距离．由公式得|MP |=()22222)0()0(z y z y x x +=−+−+−．同理可得，点M 到y 轴, z 轴的距离分别为|MQ |=22z x +，|MR |=22y x +，其中点Q , R 分别是点M 在y 轴、z 轴上的投影． #例6 在y 轴上求与点A (1,-3,7)和B (5,7,-5)等距离的点．解 因为所求的点在y 轴上，故可设它为M (0, y ,0)．根据题意有|MA |=|MB |，即()()()()()()2222220570507301−−+−+−=−+−−+−y y ，两边平方去根号，整理后得20y =40，从而有y =2．所以，所求的点M 的坐标为(0, 2, 0)．#7.1-4 利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标可得向量的加法,减法以及向量的数乘运算如下:在空间中已建立了坐标系O -xyz ．以O 为始点的三个单位向量i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)称为坐标基向量 a =(x ,y ,z )为已知向量，对应的向径为OM ．OM 在三个 坐标轴上的投影依次OP ,,OR ，则=x i , OQ =y j , =z k ，依次称这三个向量为向量a 关于x 轴、y 轴和z 轴的分量． a =OM =x i +y j +z k ，设 a =(x 1,y 1,z 1)=x 1i +y 1j +z 1k , b =(x 2,y 2,z 2)=x 2i +y 2j +z 2k ，则 a ±b =(x 1i +y 1j +z 1k )±(x 2i +y 2j +z 2k )=(x 1±x 2)i +(y 1±y 2)j +(z 1±z 2)k ，所以a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2)． λa =(λx 1,λy 1, λz 1). 例7 设a =(0,-1,2)，b =(-1,3,4)，求a +b ，2a -b ． 解 a +b =(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6)；2a -b =(2×0,2×(-1),2×2)- (-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0)．# 例8 设a =(1, 1,-2)，2a -3b =(-1,3,-4)，求b ．解 设b =(x ,y ,z )．则 (2×1,2×1,2×(-2))- (3x ,3y ,3z )=(2-3x ,2-3y ,-4-3z )=(-1,3,-4)，2-3x =-1, x =1；2-3y =3, y =-31；-4-3z =-4, z =0．所以 b =(1, -31,0)．#例9 设a =2i +3j +6k ，试求方向相反、长度为14的向量b ．解 e a =71(2i +3j +6k )， b =14(-e a )=-2(2i +3j +6k )= -4i -6j -12k ．#例2-3 见课本.296P 7.1-5 向量的模,方向角,投影向量的模: 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ ;AB uuu r=212212212)()()(z z y y x x −+−+−例4-6 见课本.297298P − 方向角:1. 向量间夹角计算公式:非零向量a ,b 的夹角公式：(,)a b r r(,)a b r r=arccos ||||b a ba ⋅若已知向量a =a x i +a y j +a z k ,b =b x i +b y j +b z k ，则=arccos(,)a b r r222222zyxzyxz z y y x x bb b a a a b a b a b a ++⋅++++．2.向量的方向余弦的坐标表示非零向量a 与三条坐标轴的夹角α, β, γ称为向量a 的方向角，方向角的余弦cos α, cos β, cos γ称为向量a 的方向余弦． 如图所示，设向量a =(a x ,a y ,a z )，把a 的起点移到坐标原点O ，设它的终点为Ａ，则向量a 与三条坐标轴的夹角即为向 量OA 与三个坐标基向量i , j , k 的夹角．所以ka zcos α=||||i a i a ⋅⋅=222z y x xa a a a ++, cos β=||||j a j a ⋅⋅=222zy x ya a a a ++,cos γ=||||k a k a ⋅⋅=222zy x za a a a ++，即为向量的方向余弦的坐标表示式．比照向量单位化公式，可以发现，实际上向量a 的方向余弦就是a 的单位化向量e a 的坐标，因此任何向量的方向余弦必定满足关系式．1cos cos cos 222=++γβα例7-8 见课本.299P 向量在轴上的投影: 定义(略), 非零向量a 与三条坐标轴的夹角为α, β, γ , 则分别在三条坐标轴的投影为 ()cos ,()cos ,()cos x yz a a a a a a αβγ===r r r r r r .记作 Prj u a r.投影的性质: 见课本.300P 例9 见课本.300P [作业]: 习题7-1: 4, 6, 13, 15, 19.§7.2数量积 向量积 *混合积7.2-1 两向量的数量积1．向量的数量积的概念F 设有一个物体在常力F 的作用下沿直线运动，产生了位移S 力F 可以分解成在位移方向的投影F 1和垂直于位移方向的投影F 2两部分，仅F 1对位移作功．记θ为F 与S 的夹角，则力F 对位移 作功为W =|F ||S |⋅cos θ， (1)等式(1)的右端F 在S 方向上投影与S 模的积．这是两个向量F ,S 的一种运算，称为F ,S 的数量积或点积．(1)向量夹角设a ,b 为非零向量，将它们的起点都平移到同一点，那么表示a ,b 的两个线段所成的在0与π之间的角，称为量a ,b 的夹角，记为(a ,b )或(b ,a )；若(a ,b )=2π，则称a ,b 垂直，记作a ⊥b ；0与任何向量夹角无意义；向量与坐标轴的夹角就是向量与轴正向所成的角．(2)向量的数量积定义 设a ,b 是两个向量，它们的模|a |,|b |及夹角的余弦cos(a ,b )的乘积，称为向量a 与b 的数量积(或称点积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |⋅cos(a ,b )向量的数量积是一个数量，它由两个因子构成，第一因子是向量a 在向量b 方向上投影向量的模|a |⋅cos(a ,b )；第二因子则是向量b 的模|b |．因此向量的数量积实际上是一个向量在另一个向量上的投影积．由向量的数量积的定义，立即可得三个坐标基向量i ,j ,k 之间的数量积关系为 i ⋅i =j ⋅j =k ⋅k =1；i ⋅j =i ⋅k =j ⋅i =j ⋅k =k ⋅i =k ⋅j =0． 数量积有以下运算性质：①a ⋅a =|a |2, (a ⋅a 允许简写成a 2)；②a ⋅0=0，其中0是零向量；③交换律：a ⋅b =b ⋅a ；④结合律：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，其中λ是任意实数；⑤分配律：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例 已知(a , b )=π32，|a |=3,|b |=4，求向量c =3a +2b 的模．解 |c |2=c ⋅c =(3a +2b )⋅(3a +2b )=3a ⋅(3a +2b )+2b ⋅(3a +2b )=9a ⋅a +6a ⋅b +6b ⋅a +4b ⋅b =9a 2+12a ⋅b +4b 2=9a 2+12|a ||b |cos(a ,b )+4b 2，将|a |=3,|b |=4, (a , b )=π32代入，即得|c |2=9×32+12×3×4cos π32+4×42=73，所以，|c |=|3a +2b |=73．#2 数量积的坐标表示式设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ． a ·b = (a x i +a y j +a z k )·(b x i +b y j +b z k )=a x i ·(b x i +b y j +b z k )+ a y j ·(b x i +b y j +b z k )+ a z k ·(b x i +b y j +b z k )即 a ·b =a x b x +a y b y +a z b z例 设a =2i +3j -k ，b =i -j +k ，求a ·b , a 2, (2 a )·(2b )． 解 a ·b =(2,3,-1)·(1,-1,1)=2×1+3×(-1)+(-1)×1=-2； a 2=22+32+(-1)2=14；(3a )·(2b )=(6,9,-3)·(2,-2,2)=6×2+9×(-2)+(-3)×2=-12．#例1-3 见课本.303305P −7.2-2 向量的向量积1.向量的向量积概念陀螺就在原地旋转，并不移动，能量表现在有一种垂直向上或向下的力，使陀螺保持直立不倒．(1)向量积的定义定义 两向量a 与b 按例方式确定一个向量c ，(1)c ⊥b 且c ⊥a ，即c 垂直于向量a ,b 所决定的平面， 且按a ,b ,c 顺序构成右手系；(２)c 的模|c |=|a ||b |sin(a ,b )．则称向量c 为a ,b 的向量积，记作a ×b ．即c =a ×b ．因为向量积的运算符号是‘×’，故也直观地称叉积． 向量积的模的几何意义，表示以向量a 与b 为边所 构成的平行四边形的面积．向量积有以下运算性质：(1)a ×a =0；(2)a ×0=0，其中0是零向量； (3)b ×a =-a ×b ；(4)数乘结合律：（λa ）×b =a ×(λb )= λ（a ×b ）， 其中λ是任意实数；(5)左、右分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ； a ×(b +c )=a ×c +a ×b ．性质(3)说明，向量的向量积不满足交换律．如任意两个基向量的向量积， i ×j =k , j ×k =i , k ×i =j ，而j ×i =-k , k ×j =-i , i ×k =-j ．分配律有左右之分：使用左分配率的向量只能在‘×’的左边；使用右分配率的向量则只能在‘×’的右边．结合律只能是对实数的结合，向量本身也不成立结合律，例如(a ×b )×c 与a ×(b ×c )一般是两个不同的向量． 2．向量积的坐标表示式设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ，根据向量积的运算律，有a ×b =( a x i +a y j +a z k )×(b x i +b y j +b z k )=a x i ×(b x i +b y j +b z k )＋a y j ×(b x i +b y j +b z k )＋ a z k ×(b x i +b y j +b z k )=(a y b z -a z b y )i -(a x b z -a z b x )j +(a x b y -a y b x )k ．此即向量积的坐标表示式．为了便于记忆，把上述结果写成三阶行列式形式，然后按三阶行列式展开法则，关于第一行展开，即i j ka ×b = =i -j + k ． 例 设a =-i +2j -k ，b =2i -j +k ，求a ×b ．解a ×b = = i - j + k =i - j -3k ．#例设已知点A (1,-2,3), B (0,1,-2)及向量a =(4,-1,0)，求a ×AB 及AB ×a ． 解 =(0-1)i +[1-(-2)]j +(-2-3)k =-i +3j -5k ，a ×AB =i -j +k =5i +20j +11k ；AB ×a =-j -11k ．#例 已知三点A (1,0,0),B (-1,1,4),C (2,5,-3)，求以这三点为顶点的空间三角形的面积S ． 解 AB =(-1-1, 1-0, 4-0)=(-2,1,4)；AC =(2-1, 5-0, -3-0)=(1,5,-3)，a a x a y zb x b y b za y a z a x a z a x a yb x b yb y b z b x b z i j k-1 2 -12 -1 12 -1 -1 1 -1 -1 2 1-1 2 2 -1-1 0 3 -5 4 0 4 -1-1 3-1 -5所以i j k AB ×AC = =i -j +k =-23i -2j -11k ；|AB ×AC |=654)11()2(23222=−+−+． S =79.12265421≈=S ．# 7.2-3 向量的关系及判断1.向量垂直及其判定若非零向量a ,b 的夹角(a ,b )=90°，则称向量a ,b 垂直，且记作a ⊥b ．当a ⊥b ，据(9-8)立即可得a ⋅b =|a ||b |⋅cos (a ,b )=0；反之，若a ⋅b =0且a ,b 为非零向量，则必定有cos (a ,b )=0，(a ,b )=90°，即a ⊥b ．由此可得 定理1 两个非零向量a ,b 垂直 ⇔ a ⋅b =0． 定理1以坐标形式如下：定理1′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ，a ,b 垂直 ⇔ a x b x +a y b y +a z b z =0．(9-13)2．两个向量平行及其判定若把向量a ,b 的始点移到同一点后，它们的终点与始点都位于同一条直线上，则称两个向量平行，记作a ∥b ．规定零向量0平行于任何向量．平行向量也称共线向量，如图所示，a ∥b , a ∥c ，也可以说 a ,b ,c 是共线的．共线向量的方向或相同或相反，但模可以不等．定理2 a ∥b ⇔ 存在实数λ使 a =λb ． (9-14) 定理2的坐标形式如下：定理2′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ．为两个非零向量，则a ∥b ⇔zzy y x x b a b a b a ==． (9-15)其中若分母某坐标分量为0，则分子对应坐标分量也为0． 又若a ∥b ，则(a ,b )=0或π，由此sin (a ,b )=0． 定理3 两个非零向量a ∥b ⇔ a ×b =0．例试判定下列向量中哪些是平行的，哪些是垂直的？)2,2,2()2,1,1(),1,1,1()1,1,0(),0,1,1(54321−−=−−=−=−=−=a a a a a 解 ∥5352a a a 所以−=3a 4151314151310a a a a a a a a a a a a ⊥⊥⊥=⋅=⋅=⋅，，，所以 #例 求同时垂直于向量和)1,2,2(=a )3,5,4(=b 的单位向量于和c .解 a ×b 同时垂直a 和b ，a ×b=i-2j+2k所求单位向量有两个，即)22(31)22(2)2(11222k j i k j i b a b a c +−±=+−+−+±=××±=.# -2 1 41 5 -31 4 5 -3-2 41 -3-2 11 5b •ac •••7.2-4 *向量的混合积(略)[作业]: 习题7-2: 1, 2, 7, 9.§7.3 曲面及其方程7.3-1 曲面方程的概念球面，是空间中到定点M 0(球心)的距离为常数R (半径)的动点M 的轨迹Σ.若已经建立了空间直角坐标系O-xyz ，M 0的坐标为(x 0,y 0,z 0)，动点M 的坐标为(x ,y ,z )，则据空间两点距离公式，有M (x ,y ,x )∈∑ ⇔ (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2, (*)或 Σ={(x ,y ,x )|(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2}．(*)式称为是球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程．特别地，当定点M 0是原点时，球面方程是 x 2+y 2+z 2=R 2．一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ．在建立了坐标系后，以M (x ,y ,z )表示动点,以F (x ,y ,z )=0 (1)表示构成Σ的约束条件，则称x ,y ,z 的三元方程(1)为曲面∑O • xM 0•RM的方程.在坐标系中描出满足(1)的点，得到的就是曲面Σ的图 象．例如,描出满足(*)的点，得到的是图中所示的球面． 空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面：(1)据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程；(2)已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质． 1.球面的一般方程例 方程x 2+y 2+z 2-4x +2z =0表示怎样的曲面？解 通过配方，把原方程写成(x -2)2+y 2+(z +1)2=5，由(9-35)可知该方程表示球心为(2,0,-1）、半径为5 的球面． #推广例到一般情况，方程A (x 2+y 2+z 2)+Dx +Ey +Fz +G=0 (2)总可以通过配方成为(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=H 的形式，如果H >0，则满足(2)的点表示球面，因此称(2)为球面的一般方程． 例2-3见课本.311312P −Γ7.3-2．旋转曲面(1)旋转曲面的一般定义.ΣL若动点在曲线Γ上移动，同时曲线Γ又绕定直线L 旋转(简称曲线Γ绕一条定直线L 旋转一周)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为旋转曲面．称曲线Γ为旋转曲面的母线，称定 直线L 为旋转曲面的轴．例 (1)求xOy 平面上的直线Γ：x =R 绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程； (2)求xOy 平面上的圆Γ：x 2+y 2=R 2绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程． 解 (1)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(R ,y 1,0)通过Γ绕y 旋转得到．设P 为M , M 0 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ R=|PM 0|=|PM |=22z x +．x• M 0R•• P • OM 所以Σ 的方程为x 2+z 2=R 2．(2)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转 得到 ⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系：设P 为M 0,M 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）所以 |x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +(．因为M 0∈Γ，=R 220y x +2， x zO•M PM 0于是 M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ (22z x +)2+y 2=R 2，即x 2+y 2+z 2=R 2． 所以Σ的方程为x 2+y 2+z 2=R 2．#(2)一类特殊旋转曲面的方程把例作推广，考虑如下特殊情况：以xOy 坐标面上的曲 线f (x ,y )=0为母线Γ，绕y 轴旋转，得到旋转面Σ，求Σ的方程． 如图所示(旋转面Σ在第一卦限部分)，点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转得到⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系： 设P 为M 0,M 在在旋转轴y 轴上的投影，则|x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +,因为M 0∈Γ，f (x 0,y 0)=0，于是M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ f (±22z x +,y )=0． 所以Σ的方程为f (±22z x +,y )=0．由推导过程可见，旋转面Σ的三元方程可以直接从母线二元方程得到．其规律是：母线方程中旋转轴坐标y 不变，非旋转轴坐标x 变为除旋转轴坐标外另外两个坐标x ,z 平方和的正负方根，所得者即为Σ的方程．考虑用如下一类特殊的旋转面Σ：母线Γ在某坐标平面，旋转轴是该坐标面两根轴之一，通过类似的推导，Σ的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到．具体结果如下表所列：z 轴f (±22y x +,z )=0f (±22y x +,z )=0Γ•zΓ： xM 0y =•• MP •例(@) 求出下列旋转曲面Σ的方程：(1)xOy 平面上的椭圆2222ay b x +=1绕x 轴和绕y 轴旋转； (2)xOz 平面上的抛物线x 2=az 绕对称轴旋转；(3)yOz 平面上的双曲线-2222a z b y +=1绕实轴和虚轴旋转；(4)xOy 平面上直线y =ax +b 绕x 轴和y 旋转．解 (1)绕x 轴、y 轴旋转所得旋转面的方程依次为22222az y b x ++=1, 22222ay b z x ++=1．称此曲面为旋转椭圆面．(2)绕对称轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程依次为x 2+y 2=az ．称此曲面为旋转抛物面． (3)绕实轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程为 -22222a z b y x ++=1，称此曲面为双叶旋转双曲面；绕虚轴(y 轴)旋转所得旋转面的方程为-22222az x b y ++=1，称此曲面为单叶旋转双曲． z(4)绕x 轴旋转所得旋转面的方程为±22z y +=ax +b ，即y 2+z 2=(ax +b )2x•• a ••baOx •O-bayzOb• y -ba• 是顶点在(-ab,0,0)的圆锥面；绕y 轴旋转所得旋转面的方程为y =±a 22z x ++b ，即(y -b )2=a 2(x 2+z 2)，它是顶点在(0,b ,0)的圆锥面．特别地，若b =0，即母线为经过原点的直线y =ax ，则绕x 或y 轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点，方程成为以x 轴为旋转轴：a 2x 2=y 2+z 2；以y 轴为旋转轴： y 2= a 2(x 2+z 2)．#ΓL7.3-3 柱面(1)柱面的一般定义.若动点在直线L 上移动，同时直线L 又沿定曲线Γ平行移动(简称动直线L 沿定曲线Γ平行移动)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为柱面．定曲线Γ称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线．(2)一类特殊柱面的方程.考虑特殊的柱面Σ：准线Γ在xOy 平面上，母线L 平行于z 轴．设Γ在xOy 平面上的方程为F (x ,y )=0，则Γ在空间坐标系O-xyz 中考虑时,方程应为(3) .0,0),(==z y x F 因为母线L M Γ: 为准线,F (x ,y )=0．柱面；轴的柱面．例 (1)(x 解 线平行于y (2)，所以方程表示准线为xOy 平面的椭圆轴的O •y xaz bO(3)方程缺变量x ，所以方程表示准线为yOz 平面的抛物线 、母线平行于x 轴的,0,12=+−=z y z 抛物柱面，其图象为(4)方程缺变量y ，所以方程表示准线为xOz 平面的双曲线 ,0,12222==+−y a z b x 母线平行1O1••于y 轴的双曲柱面，其图象为yzO• • a b #7.3-4 二次曲面例如：(1)把例@(1)的三个平方项系数改为不同，成为方程1222222=++cz b y a x ,(a ,b ,c >0), (4)它的图象称为椭球面，任何平行于坐标面的平面去切割椭球面，只能交得椭圆或点． (2)把例@(2)的两个平方项系数改为不同，成为方程2222b y a x +=z (a ,b >0) (类似地还有2222b z a x +=y ，2222bz a y +=x ), (5) 它的图象称为椭圆抛物面.以垂直于一次项的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆．x •• (3)把例@(3)的三个平方项系数改为不同，成为方程x)O a • •• 222222c z b y a x −+=±1或222222c z b y a x +−=±1 或222222c z b y a x ++−=±1 (a ,b ,c >0) , (6)等式右端取‘－’时的图象称为双叶双曲面，当以垂直于非相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆；等式右端取‘+’时的图象称为单叶双曲面，当以垂直于非c b za zy zO •相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，得到交线都是椭圆． (4)把例@(4)中b =0情况下的两个个平方项系数改为不同，成为方程2222b y a x +=z 2 或2222c z a x +=y 2 或2222c z b y +=x 2(a ,b >0). (9-39) 它的图象称为椭圆锥面，以垂直于等号右端项的坐标轴的平面 去切割曲面，得到交线都是椭圆或点．上述曲面公共特征，是他们的方程都是x ,y ,z 的二次方程．一般地，若其方程为x ,y ,z 的二次方程，则称它为二次曲面．可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图象只有五类：椭球面、抛物面、双曲面(单叶或双叶)、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面(标准的方程形式为2222b y a x −=±z )，只是曲面的位置不那样规范． [作业]: 习题7-3: 1, 2, 5, 6, 7.§7.4 空间曲线及其方程7.4-1 空间曲线方程的概念及一般方程常见的空间曲线Γ，常常是由两张空间曲面Σ1： F 1(x ,y ,z )=0, Σ2：F 2(x ,y ,z )=0相交而成的，因此点 M (x ,y ,z )∈Γ ⇔ M (x ,y ,z )∈Σ1且M (x ,y ,z )∈Σ2 ⇔ M 的坐标(x ,y ,z )同时满足Σ1, Σ2的方程．所以的方程可以表示为.0),,(,0),,(21==z y x F z y x F 空间曲线的这种方程形式称为一般方程．例 方程组 表示怎样的曲线？3,25222==++z y 解 方程组表示球心在原点、半径为5的球面：x 2+y 2+z 2=52与平面z = 3的交线，它是在平面z = 3上圆心为(0,0,3)、半径为4的一个圆．#例 求球面x 2+y 2+z 2=(2R )2与圆柱面(x -R )2+y 2=R 2解 截交线的方程：．2222222)(,)2(R y R x R z y x =+−=++圆柱面过球心且其直径与球面的半径相等，得图象如图所示(图上仅画出了上半球面上的截交线)．这条 交线在数学上常称为维维尼曲线．#7.4-2．空间曲线的参数方程例 在一张透明的矩形纸上有一条与底边成θ角的直 线L ，现在把它卷成半径为R 的圆筒，若忽略纸的厚度， 则矩形成为直圆柱面，L 成为绕卷圆柱面上的曲线．称此曲线为等距螺线，称θ为螺旋角，它的特征a• b• O xΣ1Σ2ΓOO• 2R •是相邻两圈之间等距为b =2πR ⋅tan θ．称b试求等距螺线的方程．解 如图建立坐标系，其中的x 轴 经过L 与矩形底边交点．任取螺旋线上 一点M (x ,y ,z )，M 在xOy 面上的投影为 M 1，从x 轴正向到OM 1转过的角度为t ， 则z =M 1M =b t⋅π2=(R ⋅tan θ)t ，x =R cos t , y =R sin t ．M (x ,y ,z )的坐标满足方程，那么M 必定在螺旋线上．由此得到等距螺线的方程是x =R cos t ,y =R sin t , (t ≥0) (*) z =(R ⋅tan θ)t ，所得到的方程与曲线的一般式不同，它含有一个参数t ，因此称为等距螺线的参数式方程．#曲线从本质上来说是一维图形，即曲线上任何一点，如果确定了一个坐标，另外两个坐标也就跟着被确定了，也就是说它只有一个自由度．这个本质决定了如果它的方程用参数表示，那么参数就只能有一个．因此曲线参数方程的一般形式应该是x =x (t ),y =y (t ), (α≤t ≤β)．(**) z =z (t )，例 求参数方程,2sin 1,sin cos ,sin cos t z t t y t t x −=−=+=所表示的曲线Γ． 解 前两个方程两边平方相加得 x 2+y 2=2；又 y 2=1-2cos t sin t =1-sin2t =z ， 所以曲线方程又能写成．z y y x ==+222,2x参数方程表示的曲线Γ是圆柱面x 2+y 2=2与抛物柱面y 2=z 的交线．其图象如图所示.#7.4-3. 空间曲线在坐标面上的投影(1)空间曲线在坐标面上的投影曲线.在例中，xOy 平面上的圆x 2+y 2=2，是以Γ为准线、母线于平行z 轴的柱面与坐标面xOy 的截交线，这条截交线称为Γ在xOy 面上的投影曲线；同理，yOz 平面上的曲线y 2=x 则是以Γ为准线,母线于平行x 轴的柱面与坐标面yOz 的截交线，这条截交线称为Γ在yOz 面上的投影曲线．得到了曲线在坐标面上的投影曲线，不但可以加强曲线的直 观形象，而且也有助于了解曲线变化范围．O 22••L xΣx对一般的空间曲线Γ，以Γ准线，作母线平行于z 轴的柱面Σz ，称Σz 与xOy 平面的交线L z 为Γ在xOy 平面上的同样曲线(简称投影)，称柱面Σz 为Γ关于xOy 面上的投影柱面(图)．类似地，若柱面的母线平行于x 轴或y 轴，得到的是Γ在yOz 平面或xOz 平面上的投影L x ,L y 及相应的投影曲面Σx , Σy ．(2)从曲线的一般方程求投影曲线的方程为了求出空间曲线Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要能把Γ表示成方程0),,(,0),(==z y x g y x f (1)就行了．因为方程f (x ,y )=0表示母线平行于z 轴的柱面Σz ，这样就把Γ表示成了Σz 与另一个曲面g (x ,y ,z )=0的交线，Σz 正好是Γ关于坐标面xOy 的投影柱面，因此,0),(==z y x f ． 即为Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程．因此以对以一般方程),,(,0),,(==z y x G z y x F (2)给出的空间曲线Γ，为了求得它在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要作等价变换，在(2)的两个方程之一中消去z ，使之成为形式(1)．同理，若在(2)的两个方程之一中消去x 或y ，使之成为形式0),,(,0),(==z y x g z y f 或 0),,(,0),(==z y x g z x f ，那么 0,0),(==x z y f ， 0,0),(==y z x f 就依次是Γ在yOz 平面上的投影L x 和Γ在xOz 平面上的投影L y 的方程的方程．例 求曲面4z =2x 2+y 2与平面x -z =0的交线Γ，在xOy 平面上的投影曲线L z 和yOz 平面上的投影曲线L x 的方程．解 Γ的方程为2224,0y x z z x +==−． 为了求得L z 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去z ．为此，把第一个方程的z =x代入第二个方程，得4x =2x 2+y 2，即2(x -1)2+y 2=2 或 (x -1)2+22y =1，所以Γ的方程可写为 12)1(,022=+−=−y x z x ．由此可得L z 的方 程为012)1(22==+−z y x ．这是xOy 平面上的一个椭圆 ． 为了求得L x 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去x ．为此，把第一个方程的x =z 代入第二个方程，得4z =2z 2+y 2，即2(z -1)2+y 2=2 或 (z -1)2+22y =1，22 •L x• 1•O •所以Γ2以2x 2+y 2=#21• • 例4-5见课本.323324P −[作业]: 习题7-4: 1(1), 2, 4, 5(1), 6.§7.5 平面及其方程7.5-1 平面的点法式方程称垂直于平面α的非零向量N 为α的法向量．一个平面的法向量可以有无限多个，他们互相平行．在空间给定一点M 0和向量N ，要求平面α过M 0(因此平面不能移动)、且以N 为法向量(因此平面不能转动)，那么平面α 就唯一被确定了．如图所示，设点M 0坐标为(x 0,y 0,z 0)，N =(A ,B ,C )， 把N 平移到以M 0为始点,则有 点M (x ,y ,z )∈平面α ⇔0M M uuuuu u r⊥N ⇔0M M uuuuu u r ⋅N =0，0M M uuuuu u r=(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，据向量数量积坐标公式,得点M (x ,y ,z )在平面α上的充分必要条件是 A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0 (*)称方程(*)为平面的点法式方程． 例1-2 见课本.325326P −7.5-2 平面的一般方程。
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。
虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的概念，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系。
向量代数向量代数是研究向量的数学分支，它主要研究向量的运算和性质。
在向量代数中，向量被定义为具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量在空间中可以进行加法、减法、数乘等运算，而这些运算都满足一定的代数规律。
向量代数对于分析和描述空间中的各种物理现象和运动非常重要。
许多力学和动力学问题都可以通过向量代数来解决，从而为实际应用提供了有效的数学工具。
空间解析几何空间解析几何是研究空间中点和曲线的几何性质的数学分支，它主要通过代数方法来描述和研究空间中的几何对象。
在空间解析几何中，点可以用坐标来表示，而曲线可以用方程来描述。
通过空间解析几何，我们可以准确描述空间中的各种几何对象，如直线、平面、曲线等，从而使几何问题更加直观和形象化。
空间解析几何在工程学、物理学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
向量代数与空间解析几何的关系虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的数学分支，但它们之间是密不可分的。
首先，向量可以用坐标表示，而坐标又是空间解析几何的基本概念之一。
通过向量代数的运算规律，我们可以更方便地描述和计算空间中的几何对象。
其次，向量代数中的向量空间和空间解析几何中的空间有着相同的数学结构。
通过向量空间的性质，我们可以进一步研究和理解空间中点和向量的几何关系，从而推广和应用解析几何的方法。
总的来说，向量代数和空间解析几何是两个相互支持、相互促进的数学分支，它们共同构建了我们对空间中几何对象的深刻认识和理解。
总结向量代数与空间解析几何是数学中两个重要的概念，它们在各种领域都有着广泛的应用。
通过向量代数和空间解析几何的研究，我们可以更好地理解和描述空间中的各种几何对象，从而为实际问题的求解提供了有效的数学工具。
虽然向量代数和空间解析几何是独立的数学分支，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系，共同构建了我们对空间几何的理解和认识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(
OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 在 z 轴上求与两点
及
离的点 .
等距
解: 设该点为M (0,0, z), 因为 M A M B ,
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
机动 目录 上页 下页 返回 结束
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(a
b)
MB
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 设 m i j, n 2 j k, 求以向量 m , n 为边的平
行四边形的对角线的长度 .
解：对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1)
m n (1,3, 1)
|mn 3
| m n 11
n m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
解得
故所求点为
M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
提示:
(1) 设动点为M (x , y ,0),利用 M A M B , 得
且
(2) 设动点为 M (x , y , z), 利用 M A M B , 得
M2 M1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
例6. 已知两点
和
求
解: AB AB 1 (3 , 1 , 2)
AB
14
3 , 1 , 2
14 14 14
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
称 =∠AOB
任取空间一点 O
(0≤ ≤ ) 为向量
,
a
,
b 的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y
1
(3
x
b)
(11,
2 ,16)
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
r
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业 P300 3 , 5, 13, 14,
15, 18, 19
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
41k.设, 求m向量3 ia54j m
8k 3
, n
n
p
2i
在
x
4
j
7k
,
p
5i
轴上的投影及在
y
j
轴上的分向量.
解: 因
故在 x 轴上的投影为 a x 13 在 y 轴上的分向量为 ay j 7 j
M B
o
A
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
机动 目录 上页 下页 返回 结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设
r
(x,
y , z ), 作 OM
r,
则有
r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
rHale Waihona Puke x x2 y2 z2z
r
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
cos x
r
cos ry cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab b
a
(
ax
,
a
y
,
az
)
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x
3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
2. 向量的减法 三角不等式
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
1可a见 a ; 1a a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1
a.
因此 a
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
在第一卦限
, 故cos
1 2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束