有限元素法
有限元素法概论
輔導考1
輔導考照2
課程大綱
1.簡介。2.桁架。3.一維元素。4.一維問題之分析。5.二維元素。6.有限元素分析軟體ANSYS 7.二維熱傳問題之分析。8.二維固力問題之分析。9.流力問題之分析。10.三維元素。11.最佳化設計
英文大綱
教學方式
評量方法
平時成績(含作業、測驗)30%
期中考30%
期末考(含報告、測驗)40%
南台科技大學90學年度第2學期課程資訊
課程名稱
有限元素法概論
課程編碼
10D11001
系所代碼
1
開課班級
二技自控四甲二技精密四甲二技精密四乙
開課教師
呂金塗
學分
3.0
時數
3
上課節次地點
一1 2 3教室K213
必選修
選修
課程概述
課程目標
訓練學生使其熟悉有限元素法之基礎理論、模型、分析及相關套裝軟體之應用。
指定用書
有限元素分析基礎篇-ANSYS與Mathematica
參考書籍
S. Moaveni, Finite Element Analysis— Theory and Application with ANSYS, Prentice Hall (高立代理)
先修科目
教學資源
注意事項
全程外語授課
授課語言1
一种模拟动作数据处理方法
一种模拟动作数据处理方法一种模拟动作数据处理方法：基于有限元素法的仿真分析引言：在现代科技的推动下，模拟仿真技术在各个领域中扮演着重要的角色。
而在模拟动作数据处理方面，基于有限元素法的仿真分析方法因其准确性和可靠性而备受关注。
本文将介绍这种方法的原理和应用。
一、有限元素法的基本原理有限元素法是一种通过将复杂结构划分成许多简单的有限元素，并对每个元素进行力学计算的方法。
它基于力学原理和数学方程，将结构的行为建模为离散的节点和元素，通过求解节点上的位移和应力来分析结构的响应。
二、模拟动作数据处理的流程1. 数据采集：首先，需要收集并记录实际动作数据。
这可以通过传感器、摄像机等设备进行采集，以获取动作过程中的位移、速度、加速度等信息。
2. 数据预处理：在将数据输入仿真分析软件之前，需要对采集到的数据进行预处理。
这包括数据的滤波、去噪、插值等处理，以消除测量误差和噪声，并使数据更加平滑和连续。
3. 网格划分：仿真分析软件将结构划分为有限元素网格，每个元素都具有一组节点和相应的属性。
在这一步中，需要根据结构的几何形状和材料特性来确定网格的划分方式，并生成相应的网格。
4. 材料参数定义：每个元素都需要定义材料的力学参数，如弹性模量、泊松比等。
这些参数可以通过实验测量或材料性质表中获取，以保证仿真分析的准确性。
5. 载荷和约束定义：仿真分析中，需要定义施加在结构上的载荷和约束条件。
这可以是外力、边界条件、约束等，以模拟实际动作中的力作用。
6. 求解和分析：在所有数据和参数准备就绪后，可以进行仿真分析的求解和分析。
通过求解节点上的位移和应力，可以得到结构在不同动作过程中的响应情况，如变形、应力分布等。
7. 结果后处理：最后，需要对仿真分析的结果进行后处理。
这包括结果的可视化、数据的提取、对比分析等。
通过这些后处理操作，可以更好地理解和评估动作过程中结构的行为。
三、基于有限元素法的仿真分析应用1. 机械工程：在机械设计中，可以利用仿真分析来评估结构的刚度、强度、疲劳寿命等。
有限元素法
摘要
有限元素法是目前最為廣泛使用的鍛造設計評估方法，但要獲得最適當之鍛造參數設計，常需多次嘗試錯誤的分析、設計修改，仍是相當耗時。
為有效縮短開發時程，本研究建構了一套鍛造參數設計最佳化程序，將於電腦上進行鍛造製程模擬解析視為實驗，在眾多製程參數下，以田口實驗計畫法針對主要參數進行模擬分析規劃，獲得各參數對鍛造設計目標的最佳水準組合與影響性。
對於多工程鍛造設計有道次間相互影響之效應或特殊品質要求，如果把所有因素放入鍛造設計目標，將使得最佳化參數分析變得相當複雜而不易使用。
因此，本研究採用在單一主要特徵目標函數下進行分析，獲得最適當之參數組合後再進行符合品質或其他實務上之評估修正，達到兼顧品質水準及以最少的模擬次數找出最適當之製程條件與鍛模設計的目的。
熱鍛模具主要的失效模式是磨耗，為能更直接以模具壽命做為最佳化之目標函數，本研究完成以Archard磨耗理論為基礎，在模具硬度與模具材料之磨耗係數為溫度函數的假設下，以高溫硬度及高溫磨耗試驗建立其關係函數，並據以修正Archard磨耗理論使之適用於熱鍛模具之磨耗分析。
依據所建構之鍛造參數設計最佳化方法與模具磨耗預測模式，在模具磨耗最小化的目標下，實際應用於鈦合金人工髖關節髖臼杯的鍛造設計最佳化，不但成功鍛造出符合顯微組織與尺寸精度要求之產品，更得到較經驗預估還長的模具壽命。
驗證了本研究建構之方法，不但能縮短設計時程，獲得最佳化的鍛造參數設計，且在設計階段即能預估模具可能之使用壽命。
有限元素法概论
邊界條件 元素 節點
有限元素法概论(19)
元素的种类
1维元素
2维元素
3维元素
有限元素法概论(20)
各种结构所对应之元素
• 各种不同结构特性之分析，所对应常见及广泛应用之 元素类型，综合对应如下： 桁架结构分析→桁架元素 梁结构分析→梁元素 平面结构分析→平面元素 立体结构分析→立体元素 薄壳结构分析→壳元素 接触性结构分析→接触元素
有限元素法概论(32)
由上而下的方式
(1)產生初始元件： 矩形及圓形 (2)布林運算： 矩形及圓形 (3)得到所需 幾何模型
(4)控制元素分割尺寸
(5)进行元素分割
• 就CAE软件应用角度，应了解各种结构之分析流程及其应 考虑事项及原则。 • 了解CAE软件对不同结构之实务应用。
有限元素法概论(22)
理论分析
• 元素之平衡方程式 – 在结构静力分析，任一个元素本身必须呈平衡 (equilibrium)，因此每一个元素都有其平衡方程式 K e ae f e
d(变形量)
L(原始长度)
强度:应力 刚性:变形量
材料的基本观念(4/9)
波松比(Poisson ratio)
波松比= -侧向应变/纵向应变 ex.钢材波松比=0.3 力
纵向应变
剪力弹性系数:
E G 2(1 v )
侧向应变
材料的基本观念(5/9)
应力-应变曲线 上的特性点：
应力(stress)
a.弹性限(Elastic limit: E.L.) b.降服应力(yielding stress),Sy d.抗拉（压）应力(Ultimate strength),Su e.破坏应力(Fracture strength;Ruptures),Sf
第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型
第三章用有限元素法建立结构振动的数学模型3．1 引言【工程要求】：对于简单的连续结构，如单件的杆、板、梁，可以建立结构振动的偏微分方程，但对于杆、板、梁组成的复杂结构，仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。
如果用假设模态法（李兹方法），对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。
要对结构振动进行数值分析，必须建立振动的数学模型——振动方程。
工程结构振动分析中，要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法，来建立结构的数学模型。
【发展简况】有限元素法，是在上一世纪五十年代中期，经过M.T.Turner及J.H.Argyris 等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作，发展起来的一种结构分析的有效方法，上一世纪六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。
有限元素法发展到今天，已经非常成熟，而且与先进的计算机技术结合，已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程（CAE）的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计（VPD）这样的先进概念。
世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。
【有限元动力学分析的任务】在结构振动分析领域，有限元素法处理的问题主要是两类：结构固有振动特性计算和结构振动响应计算（包括频率响应分析与响应时间历程分析）。
两类问题中，用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。
【有限元素法（分析结构振动问题）的特点】：原则上，有限元素法由于其对复杂边界的适应性，它可以处理任何复杂的结构。
求解结果的精度可以根据需要不断改善，建模过程规范统一，计算形式适合于计算机求解。
【存在的问题】：随着精度要求的不断提高，所要求的计算机容量和计算时间急剧增加，从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法，以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。
有限元素法简介
3
下面给出一些有限元方法应用的例子。目的是说明可以用有 限元方法求解的问题的类型、规模和复杂程度，并说明典型的离 散过程和所用单元类型。
4
图1-1表示一个铁路控制塔，该塔是由一系列梁单元组成的三 维框架。用带圆圈的数字标出了单元，用不带圈的数字表示节点。 每个节点有三个转动分量和三个位移分量，称为自由度。由于该 塔结构所受的荷载情况，分析中使用了三维模型。
12
有限元法的基本思想可以用下述几点进行说明： & 假想把连续系统(包括杆系，连续体，连续介质)分割成数目有 限的单元，单元之间只在数目有限的指定点(称为节点)处相互连 接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点上引进 等效载荷(或边界条件)，代替实际作用于系统上的外载荷(或边界 条件)。这一处理称为“结构离散化”。 & 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则(由力学关系或 选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用(力)之间的关 系(力—位移、热量—温度、电压—电流等)。这一处理称为“单 元分析”。
2
随着数字电子计算机的出现，求解离散系统问题一般比较容易， 即使单元数目非常大时也是如此。但对于连续系统，由于实际上 有无限个单元，而计算机的存储量总是有限的，因此由计算机不 容易处理。工程上处理连续体问题的方法一般是将连续系统离散 化，通过离散，使连续系统变成离散系统，从而可以采用解决离 散系统问题的方法，用计算机进行处理。这种离散当然都带有近 似性，但是，它是这样一种近似：当离散变量的数目增加时，它 可以逼近真实的连续解。有限元法用于求解连续系统问题时就是 一种离散化方法。 目前，有限元法已成为工程设计中不可或缺的一种重要方法， 在结构问题分析，例如大型结构作用力分析、变形分析、振动分 析，和非结构问题分析，例如失效分析、传热分析、电磁场分析、 流体流动（包括通过多孔材料的渗流）分析，乃至某些生物力学 工程问题的分析(可能包含应力分析)，例如人的脊柱、头骨、股 关节、颌面移植、树胶牙齿移植、心脏和眼的分析等方面扮演着 越来越重要的角色。
《有限元素法》课件
有限元素法的应用范围
讨论有限元素法在结构力学、电磁学、热力学、流体力学等领域的应用。
有限元素法的优点与缺点
分析有限元素法的优势和局限性，包括精度、计算成本和模型简化等方面。有限元素法中常用的数学公式
罗列有限元素法中常见的数学方程和公式，如有限元刚度矩阵和载荷向量等。
《有限元素法》PPT课件
有限元素法是一种广泛应用于工程领域的数值模拟方法，通过将复杂结构划 分为互不重叠的小单元，以近似的方式求解整个系统的行为。
有限元素法的概述
介绍有限元素法的起源、基本思想和应用领域。展示仿真结果。
有限元素方法的基本原理
探讨有限元素方法的数学基础和数值计算步骤。
有限元素法的速算方法
有限元素法中的网格划分
探讨有限元素法中的网格划分技术，包括三角形、四边形和非结构化网格等。
求磁场的方法
求磁场的方法磁场是物理学中的一个重要的概念，它可以描述磁极或电流的场的分布，是许多物理现象的基础，例如电磁感应、电磁波传播等等。
在探究物理现象的基础上，对磁场的探索及求磁场的方法也成为了研究物理现象的重要环节。
一般来说，求磁场的方法可以分为两类，即利用磁场定律求磁场，以及用有限元素法求磁场。
1.用磁场定律求磁场磁场定律是用来描述磁场的分布的数理公式，它是由物理家艾萨克牛顿发现的，概括地说，它指出场的强度和全向性取决于它周围的物体磁感应强度，以及物体之间的距离，因此利用这个定律，我们可以求出一个物体周围磁场的分布，通过磁场定律求磁场的方法又可以分为以下几种:(1) Jacobi方法：Jacobi方法是一种求解磁场定律的方法，它是由物理学家Jacobi于1835年发明的，它建立了一种求解磁场定律的数学模型，通过它可以计算出任意磁场定律的解，它是求磁场的常用方法，而且它的计算速度很快，而且还可以改进或优化求解。
(2) Holzmann方法：Holzmann方法是一种求解磁场定律的方法，它是由物理学家Holzmann于1897年发明的，它的思路是用代数方法来求解磁场定律，求解的方法是用矩阵来表示磁场定律，由于它比Jacobi方法使用的数学工具更加复杂，它的求解精度更高，但是它的速度比Jacobi方法慢。
2.有限元素法求磁场有限元素法是一种用来求解磁场分布的数值方法，它是由美国物理学家Clayton A. Rowe在1960年代提出的。
它的基本思想是将物体分成若干个小的单元，然后用微分公式来表示这些小单元之间的磁场分布，然后用有限元法来求解这些微分方程，从而得出最终的磁场分布。
有限元素法求磁场的优点是计算精度高，它可以实现对复杂物体的磁场分布的精确求解，同时它也可以用来推导出复杂物体磁场变化的规律，因此，它也是求磁场的重要方法之一。
总之，求磁场的方法有多种，包括利用磁场定律求磁场的方法，如Jacobi方法和Holzmann方法，也有利用有限元素法求磁场的方法，它们都有各自的优缺点，在探索物理现象的基础上，求磁场的方法都有各自的用途，所以应该根据不同的物理现象选择合适的求磁场方法进行探究。
有限元素方法的基本思想
诚信·公平·开放·共赢
Loyalty Fair Opening Win-win
有限元素方法的基本思想
有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。
它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强，形式单纯、规范，解题效能强等优点。
从数学上来说, 有限元素方法是基于变分原理。
它不象差分法那样直接去解偏微分方程, 而是求解一个泛函取极小值的变分问题。
有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的。
采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证。
有限元素法优点：
降低实验所需成本;
減少試验对象的变异困难;
方便参数控制;
可获得实验无法获得的信息;
有限元素法的基本思想:
•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.
•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.
•元素与与元素间以“节点”相连.
•由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.
•采用內插法求得元素內任意点的物理量.。
结构有限元素法
结构有限元素法绪 言1、有限元素法的广泛应用有限元方法是现代发展起来的重要数值计算方法，约经历了30多年的发展历程，已广泛应用于各类工程技术问题的计算分析与性能评估，现成为了现代工程设计分析的必需计算工具与软件，主要应用领域有：● 固体结构的静态弹性或弹塑性的内力分布及形变刚度分析，除常规工程静力学问题外，还如：裂纹尖端区域的应力场强计算、结构的初始临界失稳载荷以及后屈曲、大变形行为分析计算等；● 固体结构的动力学响应及固有品质分析，如：结构受到撞击的动力学响应分析、结构的模态（频率、振型）分析计算等；● 流体中的定常/非定常绕流、射流场计算分析；● 复杂外形及材质的电磁散射场及RCS 数值计算分析；● 土壤结构、隧道渗流、地震响应等数值计算分析；● 飞行器结构工程、桥梁工程、拦河坝工程等设计领域中广泛应用； ● 作为优化设计、可靠性分析、损伤容限设计等结构设计的内核计算工具； ●作为新材料力学性能设计的内核分析工具。
2、有限元方法基础i) 有限元方法是求解数学物理方程（偏微分方程）系统的数值逼近方法。
Examples:a. 三维空间弹性方程系统平衡方程：3,2,1,0==-∂j i P i ij j σ式中，j j x ∂∂=∂ 张量求和记法：32211x x i i i ij j ∂+∂∂+∂∂=∂σσσσ 几何方程：j i j i i j j i ij x u u j i u u ∂∂==+=,,,13,2,1,)(ε 物理方程：kl ijkl ij C εσ=边界条件：(工程中常见混合边值条件)Dirichlet : 基本边界条件：321,,i u U i i e ==ΓNeumann : 自然边界条件：3,2,1==Γi P l i jij t σb. 任意截面的扭转问题 二维Poisson 方程：),(2y x f u =∇- 2),(R y x ⊂Ω∈ 式中，22222y x ∂∂+∂∂=∇ （Laplace 算子） 基本边界条件：),(y x u u =, Ω∂⊂Γ∈D y x ),(, 自然边界条件：),(y x g nu =∂∂, Ω∂⊂Γ∈n y x ),( ii) 有限元方法的分析原理及过程A ）将一个偏微分方程系统求解转换为一个泛函的变分问题。
变分原理与有限元素法
变分原理与有限元素法
变分原理和有限元素法都是计算机辅助工程分析和设计中常用的数值方法。
它们都是基于将复杂的物理问题转化为简化的数学问题进行求解的理念。
1.变分原理
变分原理是一种数学上的极值问题处理方法，将原问题转化为一个可以通过求泛函的极值来解决的数学问题。
它的核心思想是在一个函数空间中找到一个函数，使得一些泛函或者函数als的值取得极值。
这个问题通常可以用一个数学方程或者方程组来描述。
在工程分析和设计中，变分原理常用于求解连续介质力学问题，如结构力学、流体力学等。
通过将连续介质的力学性质和边界条件用数学方式表达出来，并构造一个合适的泛函，再通过极值问题求解的方法求得物理系统的平衡状态。
有限元素法的基本思想是先假设物理问题的解为一系列分段线性或非线性函数，在每个小单元内通过解析或数值方法计算出物理量的近似解。
然后通过连接各个单元的自由度，建立整个物理系统的方程组，通过求解该方程组得到最终的数值解。
有限元素法的优点是适用于多维、复杂形状的物体，并且可以灵活处理各种物理条件和边界条件。
它广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的数值计算。
总结起来，变分原理和有限元素法都是数值方法中常用的数学工具。
变分原理通过构造合适的泛函来描述物理问题，并求取泛函的极值解。
而
有限元素法则通过将物理问题离散化为小单元，并在每个小单元内计算近似解，最终通过连接各个单元的自由度求解得到物理系统的数值解。
有限元法简介
有限元法简介
有限元法(Finite Element Method，FEM)，也称有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限的且按一定方式相互连接在一起的单元组合体。
有限单元法分析问题的思路是从结构矩阵分析推广而来的。
起源于50年代的杆系结构矩阵分析，是把每一杆件作为一个单元，整个结构就看作是由有限单元(杆件)连接而成的集合体，分析每个单元的力学特性后，再集中起来就能建立整体结构的力学方程式，然后利用计算机求解。
有限元离散化是假想把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连(如图1所示)。
根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，把单元划分为各种类型。
节点一般都在单元边界上，节点的位移分量是作为结构的基本未知量。
这样组成的有限单元结合体，在引进等效节点力及节点约束条件后，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体。
图1 二维有限元离散图
1
在此基础上，对每一单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数来近似模拟其位移分量的分布规律，即选择位移模式，再通过虚功原理(或变分原理或其他方法)求得每个单元的平衡方程，就是建立单元节点力与节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种特性关系，按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组。
引入边界约束条件后，解此方程就求得节点位移，并计算出各单元应力。
完整的有限元分析(FEA)流程图如图2所示。
图2 有限元分析流程
2。
4-有限元分析PPT模板
有限元分析
1.1 有限元法的基本概念和特点
1．有限元法基本概念
有限元法（Finite Element Method，FEM） 也称为有限单元法或有限元素法，其基本思想是 将物体（即连续求解域）离散成有限个且按一定 方式相互连接在一起的单元组合，来模拟或逼近 原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题 简化为离散的有限自由度问题进行求解。物体被 离散以后，通过对其中的各个单元进行单元分析， 最终得到对整个物体的分析。网络划分中每个小 的块体称为单元。确定单元形状、单元之间相互 连接的点称为节点。单元上节点处的结构内力为 节点力，外力为节点载荷。
提高自动化的
展到求解非线性问题
网格处理能力
现代设计技术
— 7—
先进制造技术
选择位移模式
分析单元的力学性质
计算等效节点力
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，
找出单元节点力和节点位移的关系式，根据弹性力学的几何方程和物理
方程确定单元的刚度矩阵，形成如下所示的线性方程：
F=Kδ
①
式中：F——节点力向量；
K——单元刚度矩阵；
δ ——节点位移向量。
现代设计技术
04
这是有限元分析的后处理部分，在该步骤中，对
05
计算出来的结果进行加工处理，并以各种形式将计算结 果显示出来。
现代设计技术
— 6—
有限元分析
1.3 有限元分析的发展趋势
由单一场计算向多 物理耦合场问题的求解 方向发展
与CAD/CAM 等软件的集成
软件面向专业 用户的开放性
1
2
3
4
5
由求解线性问题发
现代设计技术
有限元
但在 23 边两端节点仅有二个节点法向导数值，不能唯
一确定 的二次函数，它与单元另一个节点 1 处的变
形有关。
2.2单元刚度矩阵
• 与上节矩形板弯曲单元的推导过程一样，单元刚度矩阵［k］的 计算公式是
• 式中
（2.7）
考虑到
式中
为常数矩阵，上式可改写为
（2.8）
式中
• 根据面积坐标求导公式
• 和
确定。由此证明，相邻单元在共同边界上位移连续， 在单元边界上由于法向
导数是 y(或 x)的三次多项式，而边界两端的两个节点上仅已知两个法向导数，
不能维一确定法向导数，故相邻单元在共同边界上法向导数不连续。
• 将节点坐标 1(-a,-b),2(a,-b),3(a,b),4(-a,b)代入挠度表达式(1.2)及其转 角表达式 中，列出各节点挠度值及转角值与待定系数
• 等等，代回(2.9)式得
（2.11）
左侧小孔固定 右侧小孔下侧受 压力作用
这是一个直角 支架的结构静 力分析的例子
ANSYS中支 架计算模型
ANSYS中计算 模型的网格划 分图
支架应力
彩图
• 及(1.9)式，得内力列阵
（1.14）
式中 为内力矩阵。弹性矩阵 见上页式，
见(1.8)式。 。再由(1.14)
求解线性方程组，就可得到单元节点位移列阵
式求出内力列阵
有 x、y坐标变量，因此内力列阵 有关。
。值得指出的是， 矩阵内含
与计算点的坐标值 x、y
有了计算点(x,y)处的内力列阵，就可计算该处的应力列阵 ｛σ｝，考虑到在板表面 处有最大应力，因此
是保证刚体运动条件所必需的，中间三项
是保证常曲
有限元素法
評分及考試：
依作業、平時考、期中考及期末考百分比計分。
其他注意事項：
92/08/15修訂
編號：22003G-39課程綱要
一、【開課系所】：機械工程學系研究所
二、【開課年級】：一年級
三、【修別】：選修
四、【科目名稱】（中文）：有限元素法
（英文）：The Finite Element Methods
五、【先修科目】：應用力學、工程數學
六、【學分數】：上學期3學分，下學期0學分
七、【授課時數】：（正課）3小時Fra bibliotek（實習）0小時
4.質點平衡方程式與諧和方程式。
5.蓋勒金推導法及虛功法。
6.一維有限單元論。
7.單元特性方程式－勁度，質量與黏滯性。
8.計算機有限單元程式及解析法論。
9.二維有限單元論。
10.座標轉換及數值積分。
11.三維有限單元論。
12.內插函數(型狀函數)。
13.有限單元板殼論。
14.振動力學
15.有限單元振動問題。
八、【教學目的】：
使學生瞭解有限單元法的原理及應用。
九、【內容綱要】：
在工程問題當中，大都非常的複雜，不太可能去求取正解，因此對於在學的學生或者在職的工程師或者研
十、【其他】：
教科書：
授課講義
參考書：
課程說明：
1.有限元素法簡介與概述結構力學。
2.基本結構力學－力法與位移法。
3.位移法與有限元素法之關係。
有限元素法
本章主要是探討有限元素法分析技巧，首先提到的是如何將選定區域作離散 化 ， 並且對離散單元作編碼 ， 最後是對有限元素法於光子晶體計算的應用作介紹 。
3.1 有限元素法簡介
有限元素法是一種解析方法，而它的發展歷史是由1850年到1875年，法國彈 性力學家如那維爾及聖維農等人所開啟。有限元素法與其它方法擬建立數值模擬 解相類似，皆需要推導及解析代數方程式，其快速發展已經普遍被人重視，且由 早期的結構力學應用，如今已廣泛的被應用於熱傳導、能流及電磁波等現象分 析。有限元素法的基本觀念是任何連續量均可用一不連續函數的型式作近似表 示。此型式乃為有限區域的集合分段連續函數所組成。使用連續量的值，以定義 分段連續函數在其有限數次域 (subdomain)。
edge(1,e) 2 3
edge(1,e) 5 4
【表3-2 紀錄相對應邊編碼】 實際上而言，此種編碼方式並非唯一，也可將第一個三角形切割單元的三個 不同節點編成3、1、2或2、3、1，只要遵從逆時針方向即可。因此可知，邊的編 碼也非唯一，但仍須遵從逆時針方向。
3.3 單元插值
【圖3-5典型的三角形切割單元】
26
上式中， x ej 和 y ej ( j = 1, 2,3) 表示第e個單元中第j個節點座標
3.4 有限元素法之光子晶體計算
根據電磁波理論 ， 光子晶體內的電磁波傳播是由馬克斯威爾方程式 （Maxwell 出發。
∇•B = 0
（3.8） （3.9） （3.10） （3.11）
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以對我們所希望的精度，應當維持於單元數最少化的要求。因此我們可知最好的 方法是在計算變化較大的區域採用較小的切割單元，而在計算變化較小的的區域 採用較大的切割單元。 標示計算的每個組成單元時，單元編碼可由單一組整數表示；此外，若是其 它的組成切割單元頂點處之節點，可採用另一組整數作為其它節點的編碼。因為 每一個單元皆與數個節點有關連，因此，一節點除了具有在整個區域中的位置 外，還有在其相對應的切割單元中的位置，因此可將編碼分為下述幾種，分別為 整體邊編碼、局部節點編碼、局部邊編碼、單元編碼與整體節點編碼。為了方便 了解，可用圖3-1、3-2描述。
有限元素法简介_20091030
三角形有限元空間(Linear element)
矩形有限元空間(Bilinear element)
五. 變分問題
PDE問題 Galerkin問題 變分問題 有限元Galerkin提法 有限元變分提法
PDE問題 for 橢圓方程rkin變分提法
3. 透過數學或物理的求解程序，問題的統御方程可 化簡成以有限個節點變化量為未知數的矩陣方程。 4. 解出結點未知數後，可以內插法求出任何位置的 未知變量。
三. 有限元素分析的一般步驟
1. 前處理(preprocessing) 2. 運算求解(solution) 3. 後處理(postprocessing)
後處理(postprocessing)
顯示求解的結果，可為數據表格及圖 形等呈現。 數值結果作後處理以得到更精確的數 值解。例如：後差值處理，外推，分 力外推等。
建立元素方程式之方法
直接公式法。 最小能量法。 殘值法。
四. 構造有限元空間
1. 三角形元：Linear element 2. 矩形元：Binear element
前處理(preprocessing)
建立有限元素模型所需輸入資料，如節點、 座標資料、元素內節點排列次序。 材料物理特性。 元素切割產生有限元空間。 導出元素的方程式。 建構整體的剛度矩陣。 邊界條件；初始值；負荷條件。
運算求解(solution)
求解線性或非線性的代數方程式以獲 得結點的結果。
R. W. Clough(1920- ) 美國科學院、工程院院士、 中國工程院外籍院士、 世界著名地震工程與結構 動力學專家。
R. W. Clough & J. Penzien, Dynamics of Structures,1975, Mcgraw-Hill.
finite element method;
finite element method;一、引言Finite Element Method (有限元素法) 是一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法。
它通过将连续的问题离散化，将复杂的物理问题转化为一系列简单的数学问题，从而得到精确的数值解。
本文将详细介绍有限元素法的原理、应用和实现。
二、有限元素法的原理有限元素法的基本思想是将连续的问题离散化，将一个连续的区域划分为一系列简单的元素，每个元素由有限数量的点组成。
通过这些点，我们可以定义元素的各种物理属性，如强度、刚度、阻尼等。
然后，我们可以将这些属性结合在一起，通过数学方法求解连续体的运动、应力、应变等问题。
有限元素法通常需要解决偏微分方程的问题，这些方程描述了物体在受到外力或内部应力时的行为。
通过将这些问题转化为一系列线性方程组，有限元素法可以求解这些方程组，得到物体的运动和应力的数值解。
三、有限元素法在工程中的应用有限元素法广泛应用于各种工程领域，如结构工程、机械工程、土木工程等。
通过有限元素法，工程师可以模拟物体的受力情况，预测其变形和破坏的可能性，从而优化设计，提高结构的可靠性和安全性。
在结构工程中，有限元素法可以用于分析桥梁、建筑、车辆等结构在各种载荷条件下的行为。
通过模拟，工程师可以了解结构的应力分布、变形情况以及结构的薄弱点，从而优化设计，提高结构的性能。
在机械工程中，有限元素法可以用于分析零件的应力分布、疲劳寿命等问题。
通过模拟，工程师可以优化零件的设计和制造工艺，提高零件的性能和寿命。
在土木工程中，有限元素法可以用于分析桥梁、隧道、堤坝等大型基础设施在各种环境条件下的行为。
通过模拟，工程师可以预测基础设施的变形、破坏等问题，从而制定相应的维护和改造方案。
四、有限元素法的实现有限元素法的实现通常包括前处理、求解器和后处理三个阶段。
前处理阶段包括建立模型、划分元素、定义元素的属性等步骤；求解器阶段通过数学方法求解偏微分方程得到数值解；后处理阶段则包括分析结果、优化设计和评估性能等步骤。
有限元素法的一般步骤
诚信·公平·开放·共赢
Loyalty Fair Opening Win-win
有限元素法的一般步骤
总结有限元素法计算步骤:
推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示；
把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。
然后对每个节点和三角形元素按照约定的规则分别进行编号。
利用公式(5.2.14-15)和(5.2.18-21)，计算出各个三角形元素的系数矩阵。
将各个三角形单元的系数矩阵装配成总矩阵，形成有限元方程组，然后利用强加边界条件法对有限元方程组进行修正。
利用超松弛迭代法求解有限元方程组，则得到域内各个节点上的函数值。
有限元素法与有限差分法的比较:
有限元素法实际上是基于数学上的变分原理
这两种方法在处理物理问题的求解时，在处理问题的数学方法上有较大的差别。
有限差分法和有限元素法在对区域的离散化方法上也有明显差别。
有限元素法的节点配置比较任意，计算格式就要复杂得多。
但这并不会影响它的实际应用。
有限差分法则是孤立地对微分方程及定解条件分别列差分方程，因而各节点精度总体上不够一致。
有限元素法要求的计算机内存量比较大。
有限差分法的适用范围要比有限元素法广泛得多。
有很多物理问题不能用有限元素法求解，但总是可以采用有限差分法。
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有限元素法的基本思想:
•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.•元素与与元素间以“节点”相连.•由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.•采用內插法求得元素內任意点的物理量.
有限元一般方法：直接刚度法变分方法加全余量法
有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下
它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)
总结有限元计算步骤:
解题思路：0力学模型的选取平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，
空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等
1寻找与原问题相适应的变分形式；2建立有限元子空间，即选择元素类型、相应的形状函数、位移模式3单元刚度矩阵，单元结点力列阵的计算和整体总刚度矩阵，总结点力列阵4边界条件的处理和利用变分原理有限元方程组求解（应力、应变、位移），由单元的结点位移列阵计算单元应力5回到实际问题中区
变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题(例如固体力学中的最小势能原理与最小余能原理)。
它使有限元法建立在更加坚实的数学基础上，扩大了有限元法的应用范围。
位移函数：有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘对每个单元可以假定情况可近似地用简单函数来描绘。
对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。
这个函数称为位移函数，或称为位移模式。
对于平面问题，
单元位移函数可以用多项式表示，
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确但选取多少项数要受单元型式的限制，1）数学处理比较方便（微积分运算）2）提高多项式阶数可较好的接近真实解求解的收敛性必须满足：(1) 单元位移模式中应包含单元的刚体位移状态。
(2) 单元位移模式中应包含单元的常应变状态。
(3) 单元位移模式中应保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。
等参元的基本思路：导出规整单元(母元)的形函数，然后采用坐标映射方法，导出不规整单元的形函数和单元刚度矩阵。
等参元的优点：
1. 应用范围广，在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中都可应用。
2. 推导方法具有通用性。
一维、二维、三维问题的推导方法基本相同。
3. 可以模拟曲线边界，适宜于处理各种复杂边界问题。
4. 可以灵活地增添或减少结点，容易构造各种过渡单元。
何谓等参单元？
①等参数单元（简称等参元）就是对坐标变换和单元内的参变量函数（通常是位移函数）
采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
②母元中的坐标线对应于等参元的直线等参元整体坐标(x，y)与局部坐标（ζ，η）之间
存在一一对应关系。
而这种一一对应关系成立的条件是在整个单元内雅可比行列式
应处处不为零，这也就是坐标逆变换成立的条件
变分: y(x)的增量在它很小时称为变分，用dy(x)或dy表示，dy(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即dy(x)=y(x)-y1(x)；这里：dy(x)也是x的函数，只是dy(x)在指定的x域中都是微量。
（假定y(x)在接近y1(x)的一类函数中是任意改变的）。
基本假设
板是线弹性、均匀的和各项同性的研究小挠度问题
广义应力应变的关系
其中弹性关系矩阵D，对于各项同性才来是
平衡方程将广义应变和广义应力代入平衡方程：
得关于得微分方程
是作用板表面得z方向分布载荷。
边界条件：（三种情况）1）
2）3）
最小位能
数值积分求解阶次的选择：1保证积分的精度，当单元尺寸不断减小时，有限元解将单调地收敛于精确解。
2保证结构总刚度矩阵K是非奇异的，即在引入强迫边界条件后K必须是非
奇异的。
单元矩阵精确积分和减缩积分阶次的计算是在| J |＝常数的条件下进行的
提高精度：提高精度的方法：(1)单元尺寸变小，划分较密的网格(2)插值函数，完备的多项式次数提高。
由其他误差(计算误差，包括截断误差，舍入误差) 提高精度的方法：(1)增长字长(双精度) (2)选取有效的计算方法和合理的程序结构。
选择线性单元或高次单元。
阶次越高，精度越高
选择位移模式的一般原则
1广义坐标的个数英语结点自由度相同2选择多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备，必须反映单元刚体位移和长应变的特性3多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式提高单元的精度，若不能选取完全多项式时，应尽量选用坐标对称的项
位移插值函数：1以广义坐标β为待定参数，给出单元内位移μ，μ=Φβ。
2单元结点位移
表示广义坐标β，3以单元结点位移表示位移函数μ，得到形函数矩阵N，4以结点位移
表示应变得到应变矩阵B
形函数的特点及性质：1)形函数Ni为x y 坐标的函数与位移函数有相同的阶次1)形函数Ni为x 、y 坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。
2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。
3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。
4)形函数的值在0 —1间变化。