《信号与系统》_系统的时域分析

信号与系统
重点与难点
1. 系统微分方程的建立与求解
2. 初始条件的确定 3. 卷积积分
难点
4. 系统的全响应
经典法: 齐次解+特解 卷积法: 零输入响应+零状态响应
学 处理好复习与提高的关系 习 注意走出陷入解题技巧的误区,着重物理概 中 念的理解
信号与系统
$$ 微分方程的建立与经典求解 (2.2-2.3)
所以有 r(0 ) r(0) 9 r(0 ) r(0) 9
信号与系统
dr(t) 3r(t) 3 (t)
(1)
dt
冲激平衡法数学方法：
不妨设
dr(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
(2)
两端积分 r(t) a (t) bu(t)

2
d dt
e(t)
信号与系统
练习 P86 2-1 2-2
2-3
对图中所示的双耦合电路，列写电路微分方程得
1
C
t
i1( )d

L
di1(t) dt

M
di2 (t) dt

Ri1(t)

e(t)
1
C
t
i2 ( )d

L
di2 (t) dt
M
di1 (t ) dt
时变 q(0 ) q(0 ), (0 ) (0 )
② 冲激匹配(平衡)法
信号与系统
例2 已知电路如图所示，且iL(0-)=1A，vC(0-)=10V， 求ih(t)。
解:由电路有
R＝ 5 L＝ 1H iL(0－) ＋
di(t) 1 t
Ri(t) L i(t)dt f (t) dt C
练习 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y(t) 4 y(t) 4 y(t) 2 f (t) 3 f (t), t 0
系统的初始状态为y(0-) = 2，y’(0-) =-1， 求系统的零输入响应yzi(t)。
信号与系统
思考：经典法中齐次解与零输入响应解法一样， 它们有什么区别？
6
t
C i(t)dt

f
(t)
0+电路方程 5i(0+)+i′(0+)+vC(0+)=0
iL(0+)=iL(0-)=1A, vC(0+)= vC(0-)=10V
5+i′(0+) +10=0 解得标准初始条件为 i(0+)=1 A 及 i′(0+)=-15 A/s
ih(t)=K1e-2t+K2e-3t t>0
①待定系数确定的时间不同： 齐次解——求出全响应之后再求系数； 零输入响应——求出零输入响应后立刻求。
②待定系数确定的条件不同： 齐次解——初始条件y(0-) ； 零输入响应——起始状态y(0+) 。
2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y '(0)=1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
经典 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 法不 • 若激励信号发生变化，则须重新求解。 足之 • 若初始条件发生变化，则须重新求解。 处 • 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统
响应的物理概念。
2)求非齐次方程 y(t) 6y(t) 的8y特(t)解 0yp(t) 由输入f(t)的形式,设特解yp(t)=Ce-t 将特解代入原微分方程,即可解得C=1/3
信号与系统
3)求方程的完全解y (t)
y(t)

yh (t)

yp (t)

K1e2t

K2e4t

1 3
et
由初始条件y(0)=1, y '(0)=2
& 经典法所求微分方程的全解即系统的完全响应y(t) = 齐次解yh(t) + 特解yp(t)
齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定
①特征根是不等实根
S1，S2，S3，…，Sn
固有频率 （自然频率）
②特征根是相等实根 S1=S2=S3= … =Sn=S
③特征根是成对共轭复根 Si=σi±jωi，i=n/2 高数知识，自己复习
信号与系统
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y(t) 5 y(t) 6 y(t) 4 f (t), t 0
系统的初始状态为y(0-) = 1，y’(0-) = 3，求 系统的零输入响应yzi(t)。 解 零输入响应，即f(t)=0
微分方程变为齐次方程 y(t) 5y(t) 6y(t) 0 特征方程为 2 5 6 0 特征根为 1 2, 2 3
(3)
将式(2)(3)代入式(1)得
[a (t) b (t) cu(t)] 3[a (t) bu(t)] 3 (t)
解得 a 3, b 9, c 9 所以有 r(0 ) r(0) b 9 r(0 ) r(0) 9
练习 P86 2-5
①不含δ(t)及其各阶导数，0-→0+状态无跳变: r(0+) =r(0-)
②含δ(t)及其各阶导数，0-→0+状态有跳变:
r(0 ) r(0 ), r(0 ) r(0 )
信号与系统
如 系统用微分方程 dr(t) 3r(t) 3 (t) 描述，已知
dt
系统的起始状态r(0-)，求r(0+)。
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
信号与系统
齐次解yh(t)的形式 ①特征根是不等实根 S1，S2，S3，…，Sn
yh (t) K1es1t K 2es2t K nesnt
②特征根是相等实根 S1=S2=S3= … =Sn=S yh (t) K1est K2test Knt n1est
信号与系统
第二部分 连续时间系统的时域分析
$$ 微分方程的建立与经典求解 $$ 起始点的跳变
$$ 连续时间LTI系统的响应 零输入响应
零状态响应 $$ 连续时间系统的冲激响应 $$ 卷积积分及其性质 $$ 用算子符号表示微分方程
(2.2-2.3) (2.4) (2.5)
(2.6) (2.7-2.9) (2.10)
＋
f (t)
i(t)
－
1 6
F
C(0－)
5i(t) di(t) 6 t i(t)dt f (t)
dt

－
d 2i(t) dt 2

5
di(t) dt

6i(t)

df (t) dt
解得 ih(t)=K1e-2t+K2e-3t t>0
信号与系统
v (t) 5i(t)
di(t) dt
ul
(t)

l
dil (t) dt
,
1 il (t) l
t
ul ( )d
* 耦合电感V-I关系
信号与系统
耦合电路中的V-I关系
信号与系统
例1 对下图所示电路,分别列写出电压v0(t)的微分 方程表示式。（P86 2-1）
信号与系统
解：
对图中所示电路列写网孔电流方程，得
2i1(t)
③特征根是成对共轭复根 Si=σi±jωi，i=n/2
yh (t) e1t (K1 cos1t K2 sin1t) eit (Kn1 cosit Kn sinit)
信号与系统 常用激励信号对应的特解形式（P51 表2-3）
Ci、Di的求解为yp(t)代入方程, 两边系数匹配求得


di1(t) dt

t
i1( )d

t
i2 ( )d
e(t)


t
[i2 (
)
i1(
)]d
i2 (t)

v0 (t)
又
v0
(t
)

2
di2 (t dt
)
整理得
2
d
3v0 (t) dt3

5
d
2v0 (t dt 2
)

6
d dt
v0
(t)

3v0
(t)
一、微分方程建立的两类约束——电路系统
1.来自连接方式的约束:kvl与kcl,与元件的性质无关；
2.来自元件伏安关系的约束:与元件的连接无关。
* 电阻： R u(t)
i (t )
* 电容： C q(t) ,
u(t)
iC
(t
)

C
du(t) dt
,
uC
(t)

1 C
t
i( )d

* 电感： l , i
1 y(0) K1 K2 3 1
y(0)

2K1

4K2

1 3

2
解得
K1

5 2
,
K2

11 6
全解 y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
通解(自由响应) 特解(强迫响应)
信号与系统
思考：1)若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)， 则系统的完全响应 y(t) =？
K1 K2 2K1
1 3K3

15

KK12
12 13
所以 ih(t)=12e-2t+13e-3t t>0
信号与系统
冲激平衡法 问题：当系统已经用微分方程表示时，如何由系统 的0-状态求0+状态？
系统的0-状态→0+状态是否有跳变？
取决于微分方程右端是否包含δ(t)及其各阶导数
一、系统的零输入响应 系统的零输入响应 是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 * 数学模型：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) 0
* 求解方法： ①根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式； ②再由初始条件确定待定系数。 类似经典法的齐次解求解方法
卷积法
信号与系统
$$ 起始点的跳变 0- 0+ (2.4) 1.系统的状态：系统在 t=t0 时刻的状态是一组必 须知道的最少量数据，利用这组数据和系统模型 以及t>t0的激励信号，就能够完全确定t0以后任何 时刻的响应。
以0-表示激励接入之前的瞬时 以0+表示激励接入之后的瞬时
信号与系统
① 起始状态r(k)(0-)：它决定了yzi在激励接入之前的 瞬时t=0- 系统的状态，它总结了计算未来响应所需 要的过去的全部信息。 ② 初始状态rzs(k)(0+)：跳变量，它决定了yzs在激励 接入之后的瞬时t=0+系统的状态。 ③ 初始条件r(k)(0+)：它决定了完全响应。
信号与系统
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y(t) 6y(t) 8y(t) f (t),t 0 ，初始条件y(0)=1， y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解 1)求齐次方程 y(t) 6y(t) 的8y齐(t)次解0 yh(t) 特征方程为 2 6 8 0 特征根为 1 2, 2 4 齐次解yh(t) yh (t) K1e2t K2e4t
信号与系统
$$ 连续时间LTI系统响应的时域求解 (2.5)
√经典时域分析方法：齐次解+特解 √卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)=yzi(t)+f(t)*h(t)
& 零输入响应求解 ：求解齐次微分方程 & 零状态响应求解 ：卷积积分
信号与系统
三者之间的关系：r(k)(0+) = rzs(k)(0+) + r(k)(0-)
信号与系统
2.初始条件的确定
①
ic
(t
)

c
duc (t dt
)
换 路
ul
(t)

l
dil (t) dt
若电容电流有界 若电感电压有界
定 律
时不变 vc (0 ) vc (0 ), il (0 ) il (0 )
零输入响应 yzi (t) K1e2t K2e3t
信号与系统
由初始状态为y(0-) = 1，y’(0-) = 3，有
yzi (0 ) K1 K2 1 yzi (பைடு நூலகம் ) 2K1 3K2 3
解得 K1 6, K2 5
零输入响应 yzi (t) 6e2t 5e3t
分析：右端含 (t)，可以推测
dr(t) dt
必定含
3 (t)
，
进而推出 r(t) 包含 3 (t) ；
左端：3 (t) + 9 (t)，右端：3 (t) → 不平衡
因此 dr(t) 必须包含 3 (t) 和 9 (t)
dt
说明 r(t)在t=0时刻有 9u(t)存在，

Ri2 (t)

0
Ri2 (t) v0 (t)
整理得
(L2

M
2)
d
4v0 (t) dt 4

2RL
d 3v0 (t) dt3

2( 2L C

R2)
d
2v0 (t) dt 2

2R C
dv0 (t) dt

1 C2
v0 (t)

MR
d 2e(t) dt 2
信号与系统
二、微分方程的求解（经典法）