第6章 插值
6.2 牛顿插值多项式
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
图形学第6章曲线曲面
P(0) 2 2 1 P(1) 3 3 2 p(0) 0 0 1 p' (1) 1 0 0
1 P(0) P(1) 1 M h Gh 0 p(0) 0 p' (1)
x(t ) p(t ) y (t ) t n z (t )
a n t 1 a1 a0
cn T C b1 c1 b0 c0 bn
t [0,1]
将边界条件带入该矩阵方程，得
C Ms G
Q(0) P(1)
几何连续性
0阶几何连续性：与0阶参数连续性相同.是指曲线的几何位 置连接，即
p(1) Q(0)
1阶几何连续性：是指一阶导数在相邻段的交点处成比例， 则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
p (1) Q(0)
2阶几何连续性：是指在相邻段的交点处一阶、二阶导数均 成比例，则相邻曲线段在交点处曲率相等。
要设置足够的边界条件来得到所有系数的值。
描述参数曲线的边界条件有： 端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三次参数曲线， 用其端点矢量P(0),P(1).端点切线矢量
则三次Hermite样条曲线：
p (0), p(1)
p(t ) [t 3 t 2
ax b x t 1] cx d x
a y az a b b y bz 3 2 [t t t 1] T C c y cz c dy dz d
对上式求导，得
p(t ) [3 t 2 2t a b 1 0] c d
将边界条件代入，得
插值方法
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。
插值计算与插值多项式
公式,求 7
p2(x) = +
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
y0 + y2
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
y1
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
i=0, 1, 2
解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得
解上述方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式
6.2.2 拉格朗日插值多项式
❖ 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式
p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x) 。 当 插 值 点 增 加 到 n+1 个 时 ， 我 们 可 以 利 用
6.1 插值法的数学描述
设函数y=f(x) 在区间[a, b]上连续, x0 , x1 , , xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 f (x0 ), f (x1), , f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个 f(x)的近似函数 (x),满足
x1
（给定的三个点在一条直线上）
例6.6 已知f (x)的观测数据
x 0124
f (x) 1 9 23 3
构造Lagrange插值多项式
解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为
l0
(x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)( x 2)(0
数值分析 张铁版 第6章 插值与逼近
(k 0,1, , n)
(6.5)
(6.6)
于是，所求n次插值多项式 Ln ( x) Ln ( x)称为n次LagrangBiblioteka 插值多项式. y l ( x)
k 0 k k
当n=1和n=2时，即为线性插值和抛物插值.
引入记号 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (6.7) n 1 ( xk ) 则 lk ( x) ,k 0,1, , n 注意：基函数只与节 ( x xk )n 1 ( xk ) 点有关，而与具体的 n n 1 ( x) 被插值函数无关 于是 Ln ( x) yk
定理6.1 给定n 1个互异节点x0 , x1 , xn上的函数值y0 , y1 , yn , 则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式Pn ( x)是存在且唯一的.
证：将插值条件P( xi ) yi， 0,1,, n) 分别代入 插值多项式(6.3) (i
a0 a1 x0 a2 x0 2 an x0 n y0 1 x0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 1 x1 a a x a x 2 a x n y 1 xn 2 n n n n 0 1 n
k 0 n
0, i k lk ( xi ) 1, i k
i, k 0,1, , n
(6.4)
由于x0 , , xk 1 , xk 1 , , xn是lk ( x)的零点 所以可设 lk ( x) Ak ( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
( x xk )( x xk 1 ) 所以 lk 1 ( x) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
地理信息系统原理第6章 空间分析
i
其中，Wi为第i个离散目标物权重，Xi，Yi为第i个离散目标物的坐
标。
质心量测经常用于宏观经济分析和市场区位选择，还可以跟踪某些
地理分布的变化，如人口变迁，土地类型变化等。
距离量算
“距离”是人们日常生活中经常涉及到的概念，它描述了两个事物或 实体之间的远近程度。最常用的距离概念是欧氏距离，无论是矢量结构， 还是栅格结构都很容易实现。
是针对矢量数据结构，或者是针对栅格数据结构的空间数据。
线的长度计算
线状地物对象最基本的形态参数之一是长度。
在矢量数据结构下，线表示为点对坐标（X，Y）或（X，Y，Z）的序
列，在不考虑比例尺情况下，线长度的计算公式为：
n1
L
X i1 X i
2
Yi1 Yi
2
Zi1 Zi
2
1 2
ArcGis地理处理工具
1）局部工具集 局部工具可以将输出栅格中 各个像元位置上的值作为所有输入 项在同一位置上的值的函数进行计 算。 通过局部工具，您可以合并 输入栅格，计算输入栅格上的统计 数据，还可以根据多个输入栅格上 各个像元的值，为输出栅格上的每 个像元设定一个评估标准。
像元统计
合并 等于频数 大于频数 最高位置 小于频数 最低位置 频数取值
、右多边形是哪些。 ⑤ 线线查询，如与某条河流相连的支流有哪些，某条道路跨过哪些
河流。 ⑥ 线点查询，如某条道路上有哪些桥梁，某条输电线上有哪些变电
站。 ⑦ 点面查询，如某个点落在哪个多边形内。
⑧ 点线查询，如某个结点由哪些线相交而成。
2) 空间量算
空间信息的自动化量算是地理信息系统所具有的重要功 能，也是进行空间分析的定量化基础。其中的主要量算有：
第6章-图像的几何变换课件
第6章-图像的几何变换
1、几何变换基础
• 几何变换常用于摄象机的几何校正过程，这对于利用 图像进行几何测量的工作是十分重要的。
• 如：仿射变换（Affine Transformation），它属于射影 几何变换，多用于图像配准（Image Registration）作 为比较或匹配的预处理过程；
二维平面图像的几何变换；
三维图像的几何变换；
三维向二维平面投影变换等。
• 从图像的性质分，图像的几何变换有：
平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换；
透视变换和复合变换；
插值运算等。
第6章-图像的几何变换
1、几何变换基础
图像的几何变换是通过改变图像中物体（像素）之间 的空间关系的过程。图像的几何变换可以看成将各像 素在图像内移动的过程。其定义为 ：
x x0 x y y0 y
这个变换用矩阵的形式可以表示为：
x 1 0x0 x
y
0 1y0
y
第6章-图像的几何变换
1.1齐次坐标
O P0(x0 , y0)
x y0
y
P(x , y)
y x0
x
点的平移 第6章-图像的几何变换
1.1齐次坐标
而平面上点的变换矩阵中没有引入平移常
第6章-图像的几何变换
2、图像比例缩放
比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的 关系用矩阵形式可以表示为：
x
fx
0
0
x
0
y 0
fx
0
工程经济学第6章习题参考解答
6-8 拟建某企业，预计产品的固定费用为 31500元，单位可变费用为15元，销售单价 为30元。由于原材料大量采购，单位产品 可变费用随产量增加以1.3‰的比例下降， 由于销售量增加，产品的销售价格随销售 量增加以2.8‰的比例下降，未考虑销售税 金及附加，求该企业盈利的范围区。
解：假定产品产量（销售量）为Q，根据题意： 总成本为C=31500+(15-0.0013Q)Q 销售收入S=(30-0.0028Q)Q 根据盈亏平衡C=S 求解得Q1=3000; Q2=7000 结论：根据非线性盈亏平衡分析可知，当企业产 品的销售量在3000到7000单位之间时可以盈利。
再进行建大厂还是建小厂的决策： 计算建小厂（点③）的期望净现值 E(NPV)3 销路好时： NPV=-140+40(P/A,10%,3)+262.5 (P/F,10%,3) =156.7 （万元） 销路差时： NPV=-140+30(P/A,10%,10)=44.3 （万元） 建小厂的期望净现值 E(NPV)3 E(NPV)3=156.7*0.7+44.3*0.3=123 （万元）
解：（1）画出决策树图。
销路好(0.7)
100
建大厂投
资300万
2
扩建投 销路好 (0.7) 资200万
销路差(0.3) -20
1
建小厂投
资140万
5
95
3
4
不扩建 销路差
6
40
(0两级决策。 先进行是否扩建决策： 计算点⑤和点⑥的净现值 扩建（点⑤）净现值（以第3年末为基点） NPV=-200+95(P/A,10%,7)=262.46（万元） 不扩建（点⑥）净现值（以第3年末为基点） NPV=40(P/A,10%,7)=194.7（万元） 由于扩建的净现值大于不扩建的净现值，因此决 策点④应选择扩建。
第6章 函数逼近与函数插值
第六章 函数逼近与函数插值本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等.6.1 函数逼近的基本概念进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )−f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型.6.1.1 函数空间线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念.在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域ℝ，若讨论复数函数，则相应的是复数域ℂ. 另外，与线性代数中讨论的向量空间ℝn 不同，连续函数空间是无限维的.对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)：1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| .其几何意义如图6-1所示，即函数值绝对值的最大值.2) 1-范数‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a .其几何意义如图6-2所示，即函数曲线与横轴之间的面积总和.3) 2-范数‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.定义6.1：设S为实数域ℝ上的线性空间，∀u,v∈S，定义值域为ℝ的二元运算〈u,v〉，若满足1)〈u,v〉=〈v,u〉, (可交换性)2)〈αu,v〉=α〈u,v〉, ∀α∈ℂ(线性性1)3)〈u+v,w〉=〈u,w〉+〈v,w〉, ∀w∈S(线性性2)4)〈u,u〉≥0，当且仅当u=O时①，〈u,u〉=0, (非负性)则称〈u,v〉为一种实内积运算(inner product). 定义了内积的线性空间称为实内积空间.应说明的是，将定义6.1加以扩展可在更一般的实数域ℂ上定义内积，区别只是将第1条性质改为共轭可交换性：〈u,v〉=〈v,u〉 .例如复向量的内积为: 〈u,v〉=u T v̅，可以验证它满足上述共轭可交换性. 下面只考虑实内积，但得到的结果都可以类似地推广到复内积空间. 另外，定义6.1的条件2还说明零元素与任意元素的内积均等于0.根据内积的线性性可推出：〈α1u1+α2u2,v〉=α1〈u1,v〉+α2〈u2,v〉,∀α1,α2∈ℂ,(6.1) 更一般地有：〈∑αj u j nj=1,v〉=∑αj〈u j,v〉nj=1,∀α1,⋯,αn∈ℂ.(6.2)这里主要考虑函数空间，则(6.2)式表明，线性组合函数(与另一函数作)内积等于(相应各个函数)内积的线性组合.可以规定一种依赖于内积运算的范数：‖u‖≡√〈u,u〉 .易知这种内积导出的范数满足范数定义的三个条件（见3.1.2节），详细证明过程留给读者思考. 应注意，在向量空间中，由内积导出的范数等同于向量的2-范数. 在实函数空间C[a,b]中，一般定义内积为〈u(x),v(x)〉=∫u(x)v(x)dxba,(6.3) 因此，由它导出的范数也等同于函数空间的2-范数.下面介绍与内积有关的两个重要定理.定理6.1：设S为实内积空间，∀u,v∈S，有：|〈u,v〉|2≤〈u,u〉∙〈v,v〉 .(6.4) 这是著名的柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality).定理6.1的证明留给读者思考，若u,v为三维向量，也请思考该定理有什么几何含义？定理6.2：设S为实内积空间，u1,…,u n∈S，则格莱姆矩阵（Gram matrix）G=[〈u1,u1〉〈u2,u1〉⋯〈u n,u1〉〈u1,u2〉〈u2,u2〉⋯〈u n,u2〉⋮⋮⋱⋮〈u1,u n〉〈u2,u n〉⋯〈u n,u n〉](6.5)非奇异的充要条件是u1,…,u n线性无关.[证明] 首先要用到线性代数中的一个基本结论：矩阵G非奇异⟺det(G)≠0⟺齐次线性方程组Ga=0只有全零解.设向量a=[a1,…,a n]T，则方程Ga=0可写成：①这里用正体的字母O表示线性空间的零元素.∑a j 〈u j ,u k 〉nj=1=0,k =1,2,⋯,n (6.6)下面证明方程组(6.6)只有恒零解的充分必要条件是u 1,…,u n 线性无关. 先证必要性，即已知方程组(6.6)只有恒零解，要证u 1,…,u n 线性无关. 采用反证法，若u 1,…,u n 线性相关，即存在不全为0的一组系数{αj ,j =1,⋯,n}使∑αj u j n j=1=O ，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=〈O,u k 〉=0,(k =1,…,n ),即这组{αj }是方程组(6.6)的解，与已知条件矛盾！再证明充分性，即已知u 1,…,u n 线性无关，要证方程组(6.6)只有全零解. 仍采用反证法，若方程组(6.6)存在不全为零的一组解{αj }，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=0,k =1,…,n将上述方程中第k 个方程乘以αk ，累加所有方程得到，〈∑αj u j n j=1,∑αj u j nj=1〉=0 ,根据内积的定义，必有∑αj u j n j=1=O , 也就是说存在不全为0的一组{αj }j=1n 使∑αj u j n j=1=O ，这与u 1,…,u n 线性无关的已知条件矛盾！综上所述，完成了定理的证明.应注意，格莱姆矩阵是实对称矩阵，并且当u 1,…,u n 线性无关时，它是对称正定矩阵. 针对实函数空间C[a, b]，常常有权函数、加权内积的概念.定义6.2：若函数ρ(x )≥0,∀x ∈[a,b]，且满足1) ∫x k ρ(x )dx ba 存在，(k =0,1,…),2) 对非负连续函数g (x )，若∫g (x )ρ(x )dx =0b a 可推出g (x )≡0,则称ρ(x)为区间[a,b]上的权函数(weight function).关于权函数的定义，说明几点：● 定义中对连续性没有要求，即ρ(x )可能不是连续函数；第1个条件要求的是ρ(x )与多项式乘积为可积函数.● 定义中第2条件的意义不是很直观，较直观的一种等价形式为：不存在子区间(c,d )⊆[a,b]，使ρ(x )=0,∀x ∈(c,d )，即“权函数在[a,b]中任一子区间不恒为零”. ● 一般遇到的C [a,b ]中非负函数（一定有界、可积），若不在某一子区间恒为零，则都可作权函数.定义6.3：若ρ(x )为区间[a,b]上的权函数，则可定义C [a,b ]上的内积为：〈u (x ),v (x )〉=∫ρ(x )u (x )v (x )dx b a ,(6.7)并称其为加权内积(weighted inner product).容易验证加权内积满足一般内积的定义，并且常用的函数内积(6.3)式是加权内积的特例，其对应于权函数ρ(x )≡1的情况. 根据加权内积，也可以导出范数，这种范数可看成是广义的2-范数，其公式为：‖f(x)‖=[∫ρ(x )f 2(x )dx b a ]12⁄ .6.1.2 函数逼近的不同类型在函数逼近问题中，用简单函数p(x)来近似f(x)，并要求误差最小. 这里度量误差大小的标准是范数，采用不同范数时其问题的性质是不同的. 下面分两种情况作些讨论.1) ∞-范数考虑误差函数p (x )−f (x )的∞-范数，假设函数的定义域为[a, b]，则可设ε=‖p (x )−f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|p (x )−f (x )| , 因此有−ε≤p (x )−f (x )≤ε,∀x ∈[a,b ]，即p (x )−ε≤f (x )≤p (x )+ε, ∀x ∈[a,b ]图6-3显示了函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系，从中可以看出，在∞-范数意义下的逼近要求使ε尽量小，也就是要p (x )在整个区间上“一致地”接近f (x ). 因此，采用∞-范数的函数逼近问题常称为最佳一致逼近.2) 1-范数和2-范数先看看误差函数p (x )−f (x )的1-范数，‖p (x )−f (x )‖1=∫|p (x )−f (x )|dx ba令A =‖p (x )−f (x )‖1，则它表示p (x )和f (x )两个函数曲线之间的面积（如图6-4所示）. 在1-范数意义下的逼近，要求使A 尽量小，也就是要p (x )与f (x )曲线之间的总面积尽量小，反映出这种逼近有整个区间上“平均”误差尽量小的含义（在某个子区间上误差可能很大）.2-范数的意义与1-范数大体上类似，由于它更容易处理，在实际的逼近问题中一般采用图6-3 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系.图6-4 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖1之间的关系.2-范数. 这种逼近称为最佳平方逼近或最小二乘逼近(least squares fitting).从直观上看，采用∞-范数的最佳一致逼近效果更好一些，而最佳平方逼近具有平均误差最小的含义.除了度量误差函数可采用不同的范数，被逼近函数也可分为连续函数和表格函数两种情况. 表格函数就是仅在一系列离散自变量点上已知函数值的函数，可通过函数值组成的向量来刻画，有关逼近问题的求解有特殊的处理方法. 而在逼近函数类方面，多项式函数是最常用的一种. 下面给出魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass Theorem ），它是用多项式函数进行逼近的一个重要依据.定理6.3：设f (x )∈C[a,b]，则对任何ϵ>0，总存在一个多项式P (x )，使‖P (x )−f (x )‖∞<ϵ在[a, b]上一致成立.该定理的证明已超出了本书的要求，因此不做讨论. 值得一提的是，若f (x )∈C[0,1]，伯恩斯坦多项式(Bernstein polynomial)②B n (f,x )=∑f (k )Q k (x )nk=0 , 其中Q k (x )=(n k)x k (1−x )n−k , 就是满足定理要求的多项式P (x ). 注意B n (f,x )为n 次多项式，并且可以证明，lim n→∞B n (f,x )=f(x)在[0, 1]上一致成立. 因此，C[0,1]中的任意函数都可以用伯恩斯坦多项式（一致）逼近到任意好的程度. 应注意，它一般不是多项式函数类ℙn 中的最佳一致逼近.最后说明一点，求最佳一致逼近多项式的方法比较复杂，感兴趣的读者请参考[4, 9]. 本章后面主要介绍求最佳平方逼近的方法，它有很广泛的应用.6.2 连续函数的最佳平方逼近为了记号的方便，在6.2节和6.3节的介绍中记函数的自变量为t.6.2.1 一般的法方程方法一. 问题描述假设对f (t )∈C [a,b ]进行函数逼近，逼近函数类Φ应是形式简单的函数类，比如多项式函数、三角函数、有理函数，等等，并且它是有限维的线性子空间. 设Φ=span {φ1(t ),…,φn (t )}，则Φ的任一元素可表示为：S (t )=Σj=1n x j φj (t ), (6.8)其中x 1,…,x n ∈ℝ.连续函数的最佳平方逼近问题就是求S (t )∈Φ，使 ‖S (t )−f (t )‖2达到最小值. 利用公式(6.8)以及2-范数的定义，上述问题等价于最小化F =‖S (t )−f (t )‖22=∫[Σj=1n x j φj (t )−f (t )]2dt b a .(6.9)F 是关于实系数x 1,x 2,…,x n 的多元函数，需求出F 的最小值对应的那组系数x 1,x 2,…,x n .二. 法方程方法下面推导如何求(6.9)式的最小值点. 为了记号简便，省略函数记号中的“(t )”，即直接② 由原苏联数学家伯恩斯坦（1880—1968）于1912年提出.f ̃=f (3)=f (2)−2v 2T f (2)v 2T v 2v 2=[ −4.2061330.399807−0.004750130.0009512830.00195269], 此时矩阵A 经变换为： R =A (3)=[ −2.236068−3.35410200.790569000000] . 根据算法6.3，需求解方程R 1x =b ，其中R 1=[−2.236068−3.35410200.790569],b =[−4.2061330.399807]. 解得：x =[1.12250.5057]T ，即拟合公式为y ̃=1.1225+0.5057t ，它与例6.6, 6.7得到的结果是一样的.根据表格函数与其函数值向量的对应关系可证明，算法6.3与通过Gram-Schmidt 正交化过程求最佳逼近函数的方法在数学上是等价的. 不同之处在于：前者不涉及正交函数族，直接得到原基函数对应的拟合系数；前者的主要计算是矩阵的QR 分解，它可通过Householder 变换或Givens 旋转变换等不同方法实现. 由于算法6.3直接利用矩阵的QR 分解的特点，它更易于实现和应用，而且稳定性比算法6.2好. 最后说明一点，若初始的表格函数φ1(t ),…,φn (t )线性相关，矩阵A 不是列满秩的，QR 分解也能进行，但得到的上三角阵R 1奇异. 可以证明，这种情况下有无穷多个最小二乘解，详细的讨论请参考[6].一. 问题背景1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州Los Alamos沙漠试爆了世界上第一颗原子弹，这一事件令全球震惊. 但在当时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的，而很多其他国家的科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大.两年之后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，而其他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家G. I. Taylor(1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带，建立数学模型对爆炸所释放出的能量进行了估计，得到估计值与若干年后正式公布的爆炸能量21 kt 相当接近(1 kt 为1千吨TNT 炸药的爆炸能量). Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢？主要是通过测量爆炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的（如图(A)）. 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传播，爆炸的能量越大，在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过图(A) 原子弹爆炸的蘑菇云.*t 的单位为ms, r 的单位为m.然后通过量纲分析法建立了蘑菇云半径r 与时间t 和爆炸能量E 的关系式，利用上述数据最后求出了爆炸的能量.二. 数学模型考虑到原子弹爆炸在极短的时间内释放出巨大的能量，蘑菇云半径r 主要与时间t 、爆炸能量E 、以及空气密度ρ等几个参数有关. 通过仔细分析这几个量的单位，采用量纲分析法得到如下的蘑菇云半径的近似表达式：r =(t 2E )15. 其中r , t , E 的单位分别为米(m), 秒(s)和焦耳，而空气密度ρ的值为1.25 (kg m 3⁄). 对这次原子弹爆炸来说，E 为一固定值，因此r 与t 2成正比. 图(B)是根据蘑菇云半径与对应时刻的数据画出的散点图，它大体反映了这个趋势. 接下来的问题是如何求未知的参数E .三. 求解过程首先，改写蘑菇云半径的公式为r =at b 的形式，通过测量数据拟合出参数a 和b ，来验证量纲分析法得到的公式. 要作线性最小二乘拟合，进一步改写公式为：lnr =lna +blnt . 根据测量数据我们得到lnr 和lnt 的数据，将它们的函数关系拟合为1次多项式，得到系数b =0.4094，其值与前面分析的结果2/5非常接近，从而验证了量纲分析得到的公式.为了更为准确地计算爆炸能量E ，将蘑菇云半径公式改写为：5lnr −2lnt =ln (E ) . 此时可根据测量数据得到5lnr −2lnt 对应的一组数据，将它拟合为0次多项式（常数），设得到拟合系数为c ，则E ≈ρ∙e c .根据此方法算出E ≈8.6418×1013，单位为焦耳，查表得知1kt=4.184×1012焦耳，因此爆炸能量约等于20.65 kt.6.4函数插值与拉格朗日插值法函数插值可看作一种“特殊”的函数逼近问题，其逼近采用的“度量”准则是要求在插值节点处误差函数的值为0. 本节先介绍关于插值(interpolation)的一些基本概念，然后讨论最简单的一种多项式插值——拉格朗日插值法.图(B) 蘑菇云半径与对应时刻的数据 rt个节点：x 0<x 1<⋯<x n 进行插值，只需将B −k k (x ),B −k+1k (x ),⋯,B n−1k (x )这n+k 个k 次B-样条函数进行组合. 可以证明，它们在区间[x 0,x n ]上的部分组成n+k 个线性无关的基函数. 因此，对于满足额外边界条件的[x 0,x n ]上的k 次样条函数，可唯一地用这些基函数的线性组合表示. 感兴趣地读者可以推导B i 3(x )的表达式，然后利用插值条件和边界条件列方程求这些基函数对应的系数，进而推导出三次样条插值函数的表达式. 这个计算过程将与上一小节的方法得到相同的结果.利用B-样条基函数，可得到确定和计算各阶样条插值的有效而稳定的方法. 此外，它在计算机图形学、几何建模，以及数值求解微分方程等领域都有广泛的应用.评述关于多项式逼近和插值问题的研究历史悠久，应用面也很广. 本章只讨论了一元函数的最佳平方逼近，更多的相关内容，包括多元函数的逼近、正交多项式等，可参考下述文献：● P . J. Davis, Interpolation and Approximation , Dover, 1975.● W. Cheney, Introduction to Approximation Theory , AMS Chelsea Publishing, 2nd edition,1998.● G. A. Baker, and P . R. Graves-Morris, Pade Approximations , Cambridge University Press,2nd edition, 1996.● W. Gautschi, “Orthogonal polynomials: Applications and computation,” Acta Numerica ,Vol. 5, pp. 45-119, 1996.最佳平方逼近的法方程方法在1795年由高斯提出. 格莱姆－斯密特正交化方法在1883年由格莱姆提出，1907年斯密特给出了现代算法. 在求解最小二乘问题中使用QR 分解方法，特别是使用Householder 变换的方法是在1965年由G. Golub ⑥提出的. 最小二乘方法是统计学的重要工具，也称为回归分析，很多常用的数据处理软件（比如微软公司的Excel 软件）都具有这个功能. 本章讨论的线性最小二乘问题实际上是一种最简化的形式，即假设待逼近函数是基函数的线性组合. 在实际应用中还常遇到非线性最小二乘问题，它属于非线性优化问题，见参考文献[6]及其中给出的更多文献. 另外，若考虑所有参量都带有随机误差的情形，则成为完全最小二乘问题，有关详细讨论见文献：● S. Van Huffel and J. Vandewalle, The Total Least Squares Problem , SIAM Press, 1991. 本章也没有讨论拟合的基函数可能线性相关的情况，这在实际中可能由于拟合模型的不合理或数值误差造成，它使得矩阵A 列不满秩. 此时最佳平方逼近解不唯一，要得到实际有用的一个逼近解，需采用列重排的QR 分解等技术，更多讨论参见文献[6]及其他文献.多项式插值问题历史非常悠久，牛顿、拉格朗日等都在这方法做出了很多贡献. 除了将函数值作为条件的插值问题，插值条件中包括各阶导数值的情况也常见于各种工程应用中. 目前，常用的文档编辑软件都已使用保形分段插值来绘制曲线，例如微软公司的Word 和Power Point 软件. 样条函数是1946年由Schoenberg 首先提出的，本章只讨论了一维数据的样条插值和B-样条函数，实际问题中还有高维的插值问题，尤其在计算机图形学中二维B-样条是一个重要的工具. 关于样条的参考文献主要有：● C. de Boor, A Practical Guide to Splines , Springer-Verlag, 2nd edition, 1984.● E. V. Shikin and A. I. Plis, Handbook on Splines for the User , CRC Press, 1995.最后，列表说明Matlab 中与本章讨论的函数逼近与插值有关的命令和功能.⑥ Gene H. Golub (1932-2007), 美国斯坦福大学计算机系教授，美国科学院、工程院、艺术与科学院三院院士，著名的数值计算专家，1996年出版的著作”Matrix Computations ” [21]被奉为矩阵计算领域的经典.线拟合与样条插值的功能.[本章知识点]: 连续函数的范数；内积及其性质；内积空间的格莱姆矩阵、及其非奇异的充要条件；权函数与加权内积；最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念；法方程方法求连续函数的最佳平方逼近；最佳平方逼近的误差；正交函数族与Gram-Schimdit正交化过程；勒让德多项式；用正交函数族作最佳平方逼近；曲线拟合的线性最小二乘问题；线性最小二乘问题的矩阵描述；法方程方法解线性最小二乘问题；表格函数的线性无关性与相关性；利用矩阵的QR分解解线性最小二乘问题；插值的基本概念；范德蒙矩阵与多项式插值的存在唯一性；拉格朗日插值公式；拉格朗日插值余项公式；牛顿插值公式；差商的计算；牛顿插值余项公式；高次多项式插值的问题；分段线性插值；埃尔米特插值；分段三次埃尔米特插值；保形分段插值；三次样条插值及边界条件；三次样条插值的构造方法；三弯矩方程；几种插值的比较；B-样条函数的基本概念与性质.算法背后的历史：拉格朗日与插值法约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736年1月25日—1813年4月10日）是法国数学家、物理学家. 他在数学、力学和天文学三个领域中都有巨大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出. 拉格朗日与同时代的勒让德（Legendre）、拉普拉斯（Laplace）并称为法国的3L.拉格朗日于1736年生于意大利西北部的都灵. 17岁时，开始专攻当时迅速发展的数学分析. 1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士. 1766年赴柏林任普鲁士科学院数学部主任，居住柏林达20年之久，这是他一生科学研究的鼎盛时期. 在此期间，他完成了著作《分析力学》. 1786年加入了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任. 1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
数字图像处理课件第6章图像的几何变换
x Hx H
y Hy H
第6章 图像的几何变换
齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在3D空间H＝1
的平面上，如图6-2所示。如果将xOy平面内的三角形abc的 各顶点表示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成H ＝1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。
图6-2 齐次坐标的几何意义
第6章 图像的几何变换
齐次坐标在2D图像几何变换中的另一个应用是：如某 点S(60 000，40 000)在16位计算机上表示，由于大于32767 的最大坐标值，需要进行复杂的处理操作。但如果把S的坐 标形式变成(Hx, Hy, H)形式的齐次坐标，则情况就不同了。 在齐次坐标系中，设H＝1/2，则S(60 000，40 000)的齐次坐 标为(x/2，y/2，1/2)，那么所要表示的点变为(30 000， 20 000，1/2)，此点显然在16位计算机上二进制数所能表示 的范围之内。
(图像上各点的新齐次坐标)
(图像上各点的原齐次坐标)
第6章 图像的几何变换 设变换矩阵T为
a b p
T c
d
q
l m s
则上述变换可以用公式表示为
=
T
Hx1' Hy1'
Hx2' Hy2'
Hxn' Hyn'
x1 x2 xn
T
y1
y2
yn
H H H 3n
1 1 1 3n
第6章 图像的几何变换
6.4 图像镜像
6.4.1 图像镜像变换 图像的镜像(Mirror)变换不改变图像的形状。 镜像变换分为两种：一种是水平镜像，另外一种是垂直镜
第6章 实验五插值多项式的误差
第6章 实验五插值多项式的误差实验目的：明确插值多项式逼近函数是有误差的，了解误差的分布，哪些地方误差大些，哪些地方误差小些。
我们应该如何控制这些误差。
6.1 插值误差余项多项式举例说明多项式插值误差情况，用ππ≤≤-x 上的5个等距点对函数)cos(x y =进行插值估计，插值多项式是通过以下给定的数据点的四次多项式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππ,2,0,2,x[])sin(),2/sin(),0sin(),2/sin(),sin(ππππ--=y误差定义为：)()cos()(4x L x x e -=),())(cos(!5))(2/)(0)(2/)(()5(ππξξππππ-∈---++=x x x x x其中)(x e 是插值余项，)(4x L 是5个数据点的拉格朗日插值多项式。
图6.1是函数和误差的图形，可以观察到误差曲线是震荡的，它的值在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中十分典型，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质及插值区间的大小a b -。
-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8xc o s (x ) e (x )图6.1 函数和误差曲线的图形清单6.1 （是作图6.1的程序）clear clcx=[-pi,-pi/2,0,pi/2,pi]; % 插值节点横坐标 y=[cos(-pi),cos(pi/2),cos(0),cos(pi/2),cos(pi)]; % 插值节点纵坐标 x1=-pi:0.001:pi; % 绘图点的横坐标 y1=Lagran_(x,y,x1); % 绘图点的纵坐标 e=cos(x1)-y1; % 插值误差 y2=e;plot(x,cos(x),'.',x1,cos(x1),'b',x1,y2,'r') % 绘出两个函数曲线图形 xlabel('x');ylabel('cos(x) e(x)') text(1.2,0.6,'cos(x)','fontsize',18) text(-1.1,-0.1,'e(x)=cos(x)-y','fontsize',18)一般分析插值的误差：),()()!1()())(()(11)1(121+++∈+---=n n n x x f n x x x x x x x R ξξ)(m a x )!1()())(()()1(),(12111ξξ+∈+++---≤n x x n f n x x x x x x x R n 如果当被插值)(x f 是一个n 阶或更低阶多项式，则)(x R =0，即误差为零。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
第6章代数插值多项式
计算系数的计算量Q1 插值计算的量Q2 (优化: 减少计算量的方法)
(3)计算实例：P103页 / 习题P120 1,2题
6.2 Newton插值多项式
Ln(x)的缺点
Ln(x)由n+1个n次多项式组成，形成复杂，手工计 算不便于验算，作插值计算量大； 增加一个节点后，原插值多项式不便于利用 当节点带导数时，Ln(x)无能无力
可见K阶差商就是Newton插值多项式的系数ck
(2) n阶Newton插值多项式
N2(x)=c0+c1(x-x0)+…+cn(x-x0)(x-x1)…(x-xn) ci=f[x0, x1, … , xi] i=0,1,…,n
6.2 Newton插值多项式
3. 无重节点Nn(x)的插值与计算
6.1 Lagrange插值多项式
2. n阶Lagrange插值多项式
n (i ) L ( x ) A i n ( x) n i 0 n (i ) 其中 n ( x) ( x x j ) j 0 j i
n Ln ( x) li ( x) f ( xi ) i 0 n (i ) 其中 n ( x) ( x x j ) j 0 j i
n次多项式wn(x)只缺(x-xi)项
6.1 Lagrange插值多项式
3. 代数插值多项式余项的计算
定理2
[ x0 , xn ]
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn ) (n 1)!
第6章 函数插值-2
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个 插值虽然易算， 都需要重新计算。 节点时， 节点时，全部基函数 l i ( x ) 都需要重新计算。 也就是说， 插值不具有继承性。 也就是说，Lagrange 插值不具有继承性。 能否重新在P 中寻找新的基函数 能否重新在 n中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时， 希望每加一个节点时，只在原有插值的基础上 附加部分计算量（或者说添加一项）即可。 附加部分计算量（或者说添加一项）即可。
1 1 =∑ ⋅ − x −x x −x j =1 ( x j − x1 ) L ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 ) L ( x j − xm −1 ) j 0 j m m f (x j ) f ( x0 ) f ( xm ) 1 ⋅ + + =∑ ′ ′ ′ x0 − xm ωm +1 ( x0 ) ωm +1 ( xm ) j = 0 ωm +1 ( x j )
称为f 在 处的1阶差商 称为 (x)在x0 , x1处的 阶差商
称为f (x)在x1 , x2 处的 阶差商 处的1阶差商 称为 在 称为f 在 处的2阶差商 称为 (x)在x0 , x1 , x2 处的 阶差商
f [x0 , x1] − f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ] = x0 − x2
⇒
f (x1) − f (x0 ) f (x2 ) − f (x0 ) − (x2 − x0 ) Nn (x2 ) − c0 − c1(x 2 −x0 ) x1 − x0 c2 = = (x2 − x0 )(x2 − x1) (x2 − x0 )(x2 − x1)
数值分析第6章-2
（sin 40o 的准确值是0.6428）,三阶牛顿插值已相当准确。
12
结束
6.4 埃尔米特(Hermite)插值
在对函数f(x)进行插值时,有时不仅要求插值多项式在节点处的 值等于被插函数在这些点的值,还要求插值多项式的导数在这些 点的值也等于函数f(x)的导函数在这些点的值,即带指定导数值 的插值,这便是埃尔米特插值.
yi yi
(6.10)
可借鉴拉格朗日插值法构造插值基函数的思想, 令
n
n
H 2n1(x) Hi (x) yi hi (x) yi
i0
第六章 函数插值
第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x 的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)(（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)(得到如下线性代数方程组：n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为ni j j in nnnnn x xx x x x x x x x x D 021211020)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ，;,2,1n i n j ,2,1 时，D 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
GIS分析第6章空间统计学分析
GIS分析第6章空间统计学分析空间统计学是地理信息系统(GIS)中的一种分析方法，主要用于研究地理现象的空间分布规律以及地理现象之间的空间关联关系。
空间统计学分析提供了一种描述和解释地理现象的方法，可以帮助人们理解和预测地理现象的空间模式和变化趋势。
空间统计学的基本概念包括空间自相关、空间群集、空间分析、空间插值等。
空间自相关指的是地理现象之间的空间关联性，即地理现象在空间上的分布是否存在相关性。
空间群集是指地理现象在空间上的聚集或分散程度，用于描述地理现象的空间模式。
空间分析是对地理现象的空间特征进行定量评估和解释的过程，包括空间相关性和空间差异性的测量和模型构建。
空间插值是通过已知点的观测值推断未知点的值，用于填充数据空白区域或生成连续的表面。
空间统计学的主要方法包括空间自相关分析、空间群集分析、局部空间统计分析和空间插值分析等。
空间自相关分析用于研究地理现象之间的空间关联性，包括全局自相关和局部自相关。
全局自相关是通过计算整个研究区域内地理现象的相关性来评估地理现象的整体空间分布规律；局部自相关是通过计算每个地理现象邻近区域内地理现象的相关性来评估地理现象的局部空间分布规律。
空间群集分析用于研究地理现象的空间模式，包括空间聚集和空间分散。
空间聚集分析通过计算地理现象的相似性指数来判断地理现象是否聚集在一起；空间分散分析通过计算地理现象的离散性指数来判断地理现象是否分散。
局部空间统计分析用于研究地理现象的空间异质性，包括局部自相关和局部群集。
局部自相关分析通过计算每个地理现象邻近区域内地理现象的相关性来评估地理现象的局部空间关联性；局部群集分析通过计算地理现象的局部空间聚集程度来评估地理现象的局部空间模式。
空间插值分析用于推断未知点的值，包括确定性插值和随机插值。
确定性插值通过已知点的观测值进行插值，生成连续的表面；随机插值通过已知点的观测值进行随机抽样，生成概率分布。
在GIS分析中，空间统计学分析能够帮助人们更好地理解和使用地理数据，发现地理现象的空间规律和关联关系，为决策支持和空间规划提供科学依据。
第6章+单元和插值函数的构造
第六章单元和插值函数的构造6．1 引言在前章的内容中，我们了解到在一个给定问题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。
在前四章的讨论中，我们已经了解了广义坐标有限元方法的特点，即首先将场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何的函数，从而将场函数表示成由它结点值插值形式的表达式。
无疑这一过程比较麻烦，且有时会遇到困难。
同时我们在高阶三角形单元的讨论中，也已看到如果利用面积坐标(自然坐标)，可以方便地直接建立起单元的插值函数，可以避免广义坐标有限元方法的麻烦和困难。
本章的目的就是着重系统地讨论利用适合各自单元形式的自然坐标直接建立不同类型单元插值函数的方法。
一般说来，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点、方程的类型及求解所希望的精度等因素，而有限元的插值函数则取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素。
例如在图6.1.1上，一个二维域利用一系列三角形或四边形单元进行离散，即将总体求解域理想化为由很多子域(单元)所组成。
图6.1.1二维域的有限元离散 (a)三角形单元(b)四边形单元在一般情况下，总体域也可能是一维或三维的，在图6.1.2上分别给出只具有端结点或角结点的一维、二维和三维单元的几种可能形式。
一维单元可以简单地是一直线，二维单元可以是三角形、矩形或四边形，三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般六面体。
具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。
222223(a)一维单元 (b)二维单元 (c)轴对称单元 (d)三维单元图6.1.2各种形状只有角结点的单元从结点参数的类型上区别，它们可以是只包含场函数的结点值，也可能同时包含场函数导数的结点值。
这主要取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决定。
如果泛函中场函数导数的最高阶为1次，则单元交界面上只要求函数值保持连续，即要求单元保持C 。
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6.2 Newton插值
Lagrange插值的优缺点： 优点：形式整齐、规范，理论上保证插值的存在唯一性。 缺点：计算量大、不具有承袭性。 一、差商及其性质 一阶差商：f (x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f [x0, x1]，
f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] . x0 x1
(6.4)
这里共有 2n 2个插值条件，可唯一确定一个次数不超过 其形式为 2n 1 的多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) ，
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
先求出 2n 2 个插值基函数 j (x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
三、 n 次Newton插值公式 给定n+1个插值点(xi, f(xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi互异，
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ],
类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得
f [ x, x 0 ]
f ( x) f ( x0 ) x x0
j i
所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式：
Ln ( x) l 0 ( x) f ( x0 ) l1 ( x) f ( x1 ) l n ( x) f ( x n ) li ( x) f ( xi ) (6.2)
i 0 n
容易验证， Ln(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2,…, n.
(x−x0)×
(x−x0)…(x−xn−1)
f [ x, x 0 , , x n 1 ] f [ x 0 , x1 , , x n ] ( x x n ) f [ x, x 0 , , x n ],
上述所有n +1个等式相加，得
f ( x) x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x 2 ] f(
例如，k = 2时，
(6.3)
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x 2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x 2 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) . ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 ,, x n ] ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x, x0 , x1 ,, x n ] N n ( x) Rn ( x).
令x = xi, 则分子为0, 说明分子中含有因子x − xi, 与分母约去。
f ( x ) f ( xi ) f [ x, x i ] . x xi
性质 4 若 f (x)在 [a, b] 存在 n +1阶导数，xi∈ [a, b] , i = 0,1,…,n, 固定 x∈[a, b], 则 n+1 阶差商与导数 存在如下关系：
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
f ( x j ),
( j 0,1,, n), 问题是求插值多项式 H (x) ，
满足条件
H (x j ) y j , H ( x j ) m j , ( j 0,1,, n),
两端取对数再求导，得
l ( x j ) j
x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x 0 , x1 ], f[ f[ (x−x0)(x−x1) × x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x 2 ] ( x x 2 ) f [ x, x 0 , x1 , x 2 ], ……
j ( xk ) jk
0, 1, j k, j k,
j ( xk ) 0, ( xk ) jk j
( j , k 0,1, , n).
j ( xk ) 0;
(6.5)
将满足条件（6.4）的插值多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) 写成用插
同理可设
li ( x) ai ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ),
由li (xi)=1，得
1 ai , ( xi x1 ) ( xi xi 1 )( x xi 1 ) ( xi xn )
于是， ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x x n ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( x xi 1 ) ( xi x n ) n xx j , i 1, 2, , n (6.1) x xj j 1 i
其中，
n次Newton 插值公式
N n ( x) x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] f(
( x x0 )( x x1 ) ( x x n 1 ) f [ x0 , x1 , , x n ]
性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会 改变差商的值。设i0, i1, …, ik为0, 1, …, k的任一排列, 则
f [ x0 , x1 ,, xk ] f [ xi0 , xi1 ,, xik ].
由性质1知，任意改变节点的次序，只改变(5.17)式右端求 和的次序，故其值不变。例如,由定义知， f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x0 ]. x0 x1 性质 3 若 f (x)为 n 次多项式，则一阶差商 f [x, xi]为n −1次 多项式。 由定义
第6章 插值
求 n 次多项式 Pn ( x ) a0 a1 x an x n使得
P ( xi ) yi , n
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
(i 0,1, 2,, n)
Lagrange插值 Newton插值 Hermite插值 分段低次插值 三次样条插值 二维插值 实例解析
x1 f (x1) x2 f (x2) x3 f (x3) f [x0, x1] f [x1, x2] f [x2, x3] … f [x0, x1, x2] f [x1, x2, x3] …
三阶差商
… n 阶差商
f [x0, x1, x2, x3] …
… … … n
xn f (xn) f [xn −1, xn] f [xn −2, xn −1, xn] f [xn −3,…, xn] … f [x0, x1, …, xn]
一般地，k 阶差商 f [x0, x1,…, xn] 定义为：
差商的性质 性质1 k 阶差商 f [x0, x1,…, xk]可表成节点上函数值 f(x0), f(x1), …, f(xk) 的线性组合，即
f [ x0 , x1 ,, xk ]
i 0 k
1 f ( xi ). ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi x k )
整理得
ax j b 1; j a 2l ( x j ) 0.
解出
a 2l ( x j ), j b 1 2 x j l ( x j ). j
由于
l j ( x) ( x x0 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xn ) ,
即
节点 基函数 l0(x) l1(x) l2(x) … ln(x)
先构造 l0(x)。有上表知， x1 , x2, …, xn 为 l0(x) 的零点，设
l0 ( x) a0 ( x x1 )( x x2 )( x x n ),
由l0(x0)=1，得
1 a0 , ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x0 x n ) ( x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) l 0 ( x) . ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x0 x n )
值基函数表示的形式
H 2 n 1 ( x) [ y j j ( x) m j j ( x)].
j 0 n
(5.3)
由插值基函数所满足的条件（6.5），有
H 2n1 ( xk ) yk , H 2 n1 ( xk ) mk , (k 0,1,, n)
下面的问题就是如何求出这些基函数 j (x)及 j (x), 利用拉格朗日插值基函数 l j ( x ). 令
二阶差商： f (x)关于点x0，x1， x2的二阶差商记为 f [x0, x1, x2],
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] . x0 x 2
f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x1 , x2 ,, x k ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] . x0 x k
j ( x) (ax b)l 2 ( x), j
由条件（6.5），有
j ( x j ) (ax j b)l 2 ( x j ) 1, j