平行四边形、菱形、矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质及判定归纳表格
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类别性质判定对称性平行四边形①对边平行②对边相等③对角相等④邻角互补⑤对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形中心对称中轴①具有平行四边形的一切性质矩②四个角都是直角形③对角线相等①具有平行四边形的一切性质菱②四条边都相等形③对角线互相垂直平分每组对角①具有平行四边形、矩形、菱正形的一切性质方②对角线与边的夹角为45形①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形④对角线垂直且平分的四边形①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形②一组邻边相等的矩形③一个角是直角的菱形④对角线垂直且相等的平行四边形心对对称称中轴心对对称称中轴心对对称称四种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行对边平行对角相等互相平分中心对称四边形且相等对边平行四个角互相平分轴对称矩形且相等都是直角且相等中心对称菱形对边平行对角相等互相垂直平分且轴对称四条边相等每条对角线平分对角中心对称正方形对边平行四个角互相垂直平分且相等，轴对称四条边相等都是直角每条对角线平分对角中心对称四种特殊四边形常用的判定方法：①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形平行③一组对边平行且相等的四边形四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形①有一个角是直角的平行四边形矩形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形菱形③对角线互相垂直的平行四边形④对角线垂直且平分的四边形①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形②一组邻边相等的矩形正方形③一个角是直角的菱形④对角线垂直且相等的平行四边形。
初中平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结(精)
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积ah=S ab=S2121S dd=（注：d1,d2为菱形两条对角线的长度。
）2S a=2. 判定方法小结：(1) 平行四边形：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(3) 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形(4) 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形；⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
图形的判定
图形的判定
一、平行四边形
1、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3、 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
二、菱形（S=对角线乘积的一半）
1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
4、 四条边都相等的四边形是菱形；
三、矩形（直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半）
1、对角线相等的平行四边形是矩形；
2、有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
3、有三个内角是直角的四边形是矩形；
四、正方形（正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质）
1、一组邻边相等的矩形是正方形；
正方形。
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定
第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。
∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。
例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：∠ADF=∠CBE。
例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。
例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。
例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：2. 识别方法小结：(1) 识别平行四边形的方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2) 识别矩形的方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(3) 识别菱形的方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(4) 识别正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形；⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为(1) ①，其他方法类似）3.基础达标训练：3.1填空：（1）两条对角线的四边形是平行四边形；（2）两条对角线的四边形是矩形；（3）两条对角线的四边形是菱形；（4）两条对角线的四边形是正方形；（5）两条对角线的平行四边形是矩形；（6）两条对角线的平行四边形是菱形；（7）两条对角线的平行四边形是正方形；（8）两条对角线的矩形是正方形；（9）两条对角线的菱形是正方形。
3.2已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1) 求证：△ADE≌△CBF；(2) 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．。
认识几何形矩形菱形平行四边形
认识几何形矩形菱形平行四边形几何形状是数学中的重要概念，包括了各种各样的形状。
其中，矩形、菱形和平行四边形是常见的几何形状，今天我们来认识一下它们。
1. 矩形：矩形是一个拥有四个直角的四边形。
它的特点是对角线相等，且相邻两边互相平行。
如果我们用字母a和b表示矩形的两条边的长度，那么矩形的面积可以计算为A = a * b，周长可以计算为P = 2 * (a + b)。
举个例子，假设我们有一个矩形，其中一条边的长度为4 cm，另一条边的长度为6 cm。
那么这个矩形的面积就是A = 4 cm * 6 cm = 24cm²，周长就是P = 2 * (4 cm + 6 cm) = 20 cm。
2. 菱形：菱形是一个拥有四条边长度相等的四边形。
它的特点是对角线垂直且相等，且相邻两边互相平行。
如果我们用字母d1和d2表示菱形的两条对角线的长度，那么菱形的面积可以计算为A = (d1 * d2) / 2，周长可以计算为P = 4 * a（其中a表示菱形的边长）。
举个例子，假设我们有一个菱形，其中对角线的长度分别为8 cm和12 cm。
那么这个菱形的面积就是A = (8 cm * 12 cm) / 2 = 48 cm²，周长就是P = 4 * 8 cm = 32 cm。
3. 平行四边形：平行四边形是一个拥有两组对边平行的四边形。
它的特点是对角线分割成两条相等的线段，且相邻两边互相平行。
如果我们用字母a和b 表示平行四边形的两条邻边的长度，h表示平行四边形的高（垂直于a 和b的线段），那么平行四边形的面积可以计算为A = a * h，周长可以计算为P = 2 * (a + b)。
举个例子，假设我们有一个平行四边形，其中一条邻边的长度为5 cm，另一条邻边的长度为8 cm，高为4 cm。
那么这个平行四边形的面积就是A = 5 cm * 4 cm = 20 cm²，周长就是P = 2 * (5 cm + 8 cm) = 26 cm。
平行四边形和矩形和菱形和正方形的关系
平行四边形和矩形和菱形和正方形的关系平行四边形、矩形、菱形和正方形，这些几何图形就像是个大家庭，彼此之间的关系有趣得很。
平行四边形就像是那个大哥，身材宽广，四个边对称，然而它的个性可不止于此。
无论你怎么变，它的对边永远是平行的，这可真是个固执的小家伙。
不过，咱们可不能小看它，毕竟很多地方都能见到它的身影，比如桌子、书本，甚至是某些建筑物，都是这个大家伙的风格。
然后呢，咱们要说说矩形。
它就是平行四边形的一个特殊版本。
说实话，矩形有点“矫情”，四个角都是直角，给人一种规规矩矩的感觉。
就像那个总爱把东西摆得整整齐齐的朋友，永远不喜欢乱糟糟的样子。
说到这里，大家可能会想，矩形和正方形有什么区别呢？正方形就是个“极致追求完美”的家伙，四条边长度一样，四个角也都直直的，简直就是几何界的“模范生”。
不管走到哪，正方形都能自信满满，生怕别人看不到它的对称美。
是菱形，嘿，这个家伙有点特别。
它也是平行四边形的亲戚，四条边长度相等，但可没那么简单。
菱形就像个爱折腾的调皮捣蛋鬼，虽然对边平行，但角度却各有千秋，像极了那些永远打破常规、总是给你惊喜的朋友。
说到这，咱们再说说正方形和菱形的关系，正方形就像是菱形的“最佳实践”，在菱形的家族里，正方形可算是个特例，跟其他亲戚一比，正方形更守规矩，真是个乖孩子。
说到这里，咱们也得提一提这些形状在日常生活中的应用。
你看看，平行四边形在建筑中屡见不鲜，很多设计师都喜欢用它来营造那种现代感。
矩形则是最常见的形状，无论是门窗还是电视屏幕，都离不开它的陪伴。
再说菱形，很多装饰图案中都能找到它的踪影，像是一些美丽的地毯或者墙面装饰。
正方形呢，简直就是生活中无处不在，尤其是瓷砖和游戏方块，哈哈，连小朋友都爱这个形状。
此外，这些形状的关系也启示了我们，生活就像几何图形一样，有时候要坚持自己的风格，有时候则需要适应周围的环境。
就像是矩形需要面对的规则一样，生活中的我们也得学会在规矩中找到自己的乐趣。
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
轴对称
4*边长
1边长*高
2两条对角线相乘除以二
矩形
1两组对边分别平行，两组对边分别相等
2四个角都是直角
3对角线相等且平分
1有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2有三个角是直角的四边形是矩形
3对角线相等的平行四边形是矩形。
中心对称
轴对称
2*(长+宽)
长*宽
正方形
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
③有一个角是直角的菱形是正方形。
④对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
中心对称
轴对称
4*边长
①边长*边长
②两条对角线相乘除以二
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：来自四种特殊四边形的性质边
角
对角线
对称性
③对角线互相垂直的平行四边形
④对角线垂直且平分的四边形
正方形
①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形
②一组邻边相等的矩形
③一个角是直角的菱形
④对角线垂直且相等的平行四边形
四种特殊四边形常用的判定方法
平行四边形
①两组对边分别平行的四边形
②两组对边分别相等的四边形
③一组对边平行且相等的四边形
④两组对角分别相等的四边形
⑤对角线互相平分的四边形
矩形
①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
菱形
①有一组邻边相等的平行四边形
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
7-平行四边形,矩形,菱形所有判定方法
正方形常用的判定方法有:
1.一组邻边相等的矩形是正方形;
2.一个内角为直角的菱形是正方形;
3.对角线互相垂直的矩形是正方形;
4.对角线相等的菱形是正方形.
正方形不常用的判定方法:
5.对角线互相垂直平分,且相等的四边形是正方形;
6.四边都相等,且有一个内角为直角的四边形是正方形;
7.四边都相等,且对角线相等的四边形是正方形;
8.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形;
9.一个内角为直角,且一组邻边相等的平行四边形是正方形;
10.对角线平分一个内角的矩形是正方形;
11.两组对边分别平行,且对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
12.两组对角分别相等,且对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
矩形的判定方法
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形
2．对角线相等的平行四边形是矩形
3．有三个角是直角的四边形是矩形
4．四个内角都相等的四边形为矩形
5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
6．对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形
7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形
矩形面积
S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)
S=ab(注:a为长,b为宽)
菱形4个判定方法
1.四边都相等的四边形是菱形
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.一组邻边相等的平行四边形是菱形
4.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。
平行四边形、矩形、菱形
数学八年级14．平行四边形、矩形、菱形平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此，它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件。
连对角线后，平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用。
熟悉以下基本图形、基本结论：例1．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD、交BE于E，∠CAE=15°，那么∠BOE=__________.解题思路从发现矩形内含的特殊三角形入手。
例2．下面有四个命题（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。
（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
其中，正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解题思路从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定。
例3．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1角形的面积。
解题思路如果能判定三角形的形状，其面积求解就更为方便，由已知条件挖掘隐含条件。
例4．如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC 于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD。
精华总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形（正方形图形·定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形~有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质①边：对边平行且相等②角：对角相等，邻角互补~③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①边：四条边相等②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角*具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形）①边：四条边相等②角：四个角是直角③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判定边：!①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形;角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形#②四边都相等的四边形是菱形对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是菱形④对角线互相垂直的矩形是菱形…⑤有一个角是直角的菱形是菱形⑥对角线相等的菱形是菱形面积S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)S=ab(a为一边长，b为另一边长)①~②③S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②①(a为边长)；②(b为对角线长)。
正方形、矩形、菱形和平行四边形四者知识点详细总结汇总
正方形、矩形、菱形和平行四边形四者知识点串联汇总平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关概念图形 定义平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 菱形 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 矩形 一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 正方形 一组邻边相等的矩形叫做正方形平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形边角对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法对角线相等对角线互相垂直有一个角是直角 一组邻边相等平行四边形矩形菱形正方形图形 判别方法平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形一个内角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 正方形一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形二、梯形常见的辅助线 1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和=S△DBE（2）S梯形ABCD5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
关于平行四边形正方形矩形菱形的真假命题
关于平行四边形正方形矩形菱形的真假命题关于平行四边形、正方形、矩形和菱形的真假命题平行四边形、正方形、矩形和菱形是几何学中常见的四边形。
它们具有特定的性质和定义，下面将对关于这些图形的一些常见命题进行讨论。
一、关于平行四边形的命题1. 命题：平行四边形的对角线相等。
答案：真解析：平行四边形由两对平行的边组成，其对角线相交于一个点，并且该点将对角线分成两个等长部分。
平行四边形的对角线相等。
2. 命题：平行四边形的内角和为360度。
答案：真解析：由于平行四边形的对边是平行的，所以其内角相等。
而任意一个多边形（包括四边形）内角和都为360度，因此该命题为真。
3. 命题：所有平行四边形都是矩形。
答案：假解析：矩形是一种特殊类型的平行四边形，其具有相邻两条边相等且内角为直角（90度）。
然而，并非所有平行四边形都满足这些条件，因此该命题为假。
二、关于正方形的命题1. 命题：正方形是矩形。
答案：真解析：正方形是一种特殊类型的矩形，其具有相邻两条边相等且内角为直角。
正方形也满足矩形的定义，该命题为真。
2. 命题：所有正方形都是菱形。
答案：真解析：菱形是一种特殊类型的平行四边形，其具有相邻两条边相等且对角线相等。
由于正方形的四条边长度相等且对角线相等，所以满足菱形的定义。
所有正方形也都是菱形。
3. 命题：所有矩形都是正方形。
答案：假解析：矩形具有相邻两条边相等且内角为直角的性质，但并非所有矩形都满足四条边长度相等的条件。
只有当矩形的四条边长度都相等时，才能称之为正方形。
该命题为假。
三、关于矩形的命题1. 命题：矩形是平行四边形。
答案：真解析：矩形具有相邻两条边相等且内角为直角的性质，而平行四边形是由两对平行的边组成。
因为矩形满足平行四边形的定义，所以该命题为真。
2. 命题：所有矩形都是菱形。
答案：假解析：菱形具有相邻两条边相等且对角线相等的性质，但并非所有矩形都满足对角线相等的条件。
只有当矩形的对角线长度相等时，才能称之为菱形。
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、两条平行线的距离：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
3
四种特殊四边形常用的判定方法：
4
一组邻
对角线
对角线对角线垂
5。
平行四边形菱形矩形
平行四边形一、一周知识概述1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD记作“□ABCD”．如图，在□ABCD中，AB与CD，AD与BC分别为□ABCD的两组对边，∠A与∠C，∠B与∠D是两组对角．2、平行四边形的性质(1)平行四边形对边平行且相等；(2)平行四边形对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分．3、中心对称图形将一个图形绕一点旋转180°后与自身重合，这个图形就是中心对称图形．平行四边形是一个中心对称图形．4、平行四边形的判定方法平行四边形判定方法除它的定义外，还有如下几种方法：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其实，通过比较不难发现，判定方法(1)、(2)、(3)的逆命题就是平行四边形的性质，判定方法(4)的逆命题也是真命题．从这里看，平行四边形的判定与性质是互逆的．这一点可以与平行线的判定与性质进行比较学习．可以用下图说明平行四边形判定与性质的关系．特别说明的是：平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定．5、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线的性质定理是：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．它说明三角形中位线与第三边的位置和大小关系．也是我们将来解决线与线之间平行关系和倍分关系的一种重要方法．6、通过平移，构造平行四边形根据判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，平移线段就可以得到一个平行四边形(如图)．在证明三角形中位线定理时，我们可以运用平移的方法．如图，设D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，过点C作CF∥AD交DE延长线于点F．∵∠1=∠2，AE=CE，∠A=∠3，∴△AED≌△CEF．∴AD=CF．又AD=BD，．故四边形BCFD是平行四边形．以下略．7、等积变换如图，l1∥l2，你知道△ABC与△DBC的面积为什么相等吗？其实只要分别过点A、D作出△ABC和△DBC边上的高AE和DF就可以了．因为AE∥DF，且AD ∥EF，由平行四边形的判定(定义)知四边形AEFD是平行四边形，故AE=DF(平行四边形的性质)．这样两个三角形是同底等高了，当然它们的面积就相等．用同样的方法，我们还可以找到面积相等的三角形，请大家试试看！二、重难点知识归纳重点：平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质难点：应用三、例题剖析例1、如图，四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，证明∠BAE=∠DCF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠DCB．又四边形AECF也是平行四边形，∴∠FAE=∠ECF．∴∠BAD－∠FAE=∠DCB－∠ECF，即∠BAE=∠DCF．点拨：要证的两个角正好是两个平行四边形的对角的差，可运用平行四边形的对角相等的性质．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．求证：点O是BD的中点．证明：如图，连结FB、DE．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴FD∥BE．又AD=BC，AF=CE，∴FD=BE．∴四边形FBED是平行四边形．∴OB=OD，即点O是BD的中点．点评：这里是根据条件，灵活地选择平行四边形的判定，再运用平行四边形的性质，推出对角线互相平分．例3、在图(1)中的网格中画出四边形关于O点的中心对称图形．解：在网格中作出四边形关于O点的中心对称图形，如图(2)．点拨：作中心对称图形的实质，就是将图形的每一个顶点绕中心O旋转180°．比如，作点A′，使点A′与点A 关于O点对称，只要连结AO，并延长AO至A′，使OA′=OA即可．例4、已知，如图，□ABCD的周长是36cm，自钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且，．求这个平行四边形的面积．解：设AB=x cm，BC=y cm．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．又四边形ABCD的周长为36cm，∴2x＋2y=36．①∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴S□ABCD=AB·DE，S□ABCD=BC·DF．．②由①②解得x=10，y=8．∴S□ABCD=AB·DE=．点拨：利用方程思想是解决几何问题的一种重要方法．例5、如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．证明：如图，延长AC、BD交于点F，则△ABF为等腰三角形，且BD=DF．又∵E为BC中点，∴ED是△BCF的中位线．．点拨：这里是由“角平分线＋垂直”易联想到等腰三角形，通过补图，运用等腰三角形三线合一，构造出三角形的中位线．例6、如图，△BAD、△ACE、△BCF是分别以△ABC的边AB、AC、BC为一边的等边三角形．求证：四边形ADFE是平行四边形．证明：∵△BCF、△ACE都是等边三角形，∴CF=CB，CE=CA，∠1=∠2=60°．∴∠1＋∠3=∠2＋∠3，即∠ACB=∠ECF．∴△ABC≌△EFC(SAS)．∴EF=AB．∵AB=AD，∴AD=EF．同理可得AE=DF．∴四边形ADFE是平行四边形．点拨：本题先运用全等证AD=EF，AE=DF，再运用平行四边形的判定得出四边形ADFE为平行四边形．例7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CF是斜边上的高，AT平分∠CAB交CF于点D，过D作DE∥AB交BC于点E．求证：CT=EB．证明：过D作DG∥CB交AB于点G．∵DE∥AB，∴四边形DEBG为平行四边形．∴DG=EB，∠3=∠B．在Rt△ABC与Rt△AFC中，易知∠4=∠B．∴∠4=∠3，∵∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AGD，∴CD=GD．又∠1+∠5=90°，∠2+∠7=∠2+∠6=90°，∴∠5=∠6，∴CD=CT．∴CT=EB．例8、如图，□ABCD中，E、F分别在AB、AD上，且BF=DE，BF，DE交于点P．求证：PC平分∠BPD．证明：过点C分别作CG⊥BF于G，CH⊥DE于H，连结CF，CE，则∴BF·CG=DE·CH．又∵BF=DE，∴CG=CH．∴PC平分∠BPD．点拨：=S△DCE证BF·CG=DE·CH是解题的关键，而面积法是构建关系式解题的常用方法，但注意这里由S△BCF利用等积变换为证题创造条件时，构造垂直关系又是关键、选择题1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，则S□ABCD为（）A．24 B．36C．40 D．482、如图，在□ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，若∠B=50°，则∠BCF=（）A．50°B．40° C．65°D．85°3、下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4、若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A．1个B．2个 C．3个D．4个5、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=4，则AB的取值范围是（）A．AB＞1 B．AB＞4C．1＜AB＜5 D．AB＞06、如图，在□ABCD中，EF∥BC、GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的三角形有（）A．0对B．1对 C．2对D．3对7、如图，在△ABC中，AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分三个三角形周长的和为（）A．70cm B．75cm C．80cm D．81cm8、四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足(a－b)2＋(c－d)2=0，则这个四边形是（）A．任意四边形B．对角线相等的四边形C．对角线垂直的四边形D．平行四边形9、四边形ABCD中，∠A=50°，能使此四边形为平行四边形的条件是（）A．∠D=130°B．∠C=50°C．∠B=130°，∠C=50°D．∠B=50°，∠C=130°10、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种B．4种 C．5种D．6种B 卷二、解答题11、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F是垂足，∠B=50°．求□ABCD的其他三个角及∠EAF的度数．12、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线交AD、BC于点E、F．求证：OE=OF．13、如图，四边形ABCD中，DC∥AB，以AD、AC为边作□ACED，延长DC交EB于点F．求证：EF=FB．14、求证：顺次连结四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形．15、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连结CE、CD．求证：CD=2EC．选择题答案：1D 2C 3D 4C 5C 6D 7D 8D 9C 10B解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D=∠B=50°，∠C=∠BAD(□ABCD的对角相等)．又∵AB∥CD，∴∠C＋∠B=180°．∴∠C=∠BAD=130°．在四边形AECF中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠C=130°，根据四边形内角和定理，得∠EAF=50°．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠1=∠2．在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE=OF．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于点G，连结EG．∵DC∥AB，∴四边形ABGD为平行四边形．∴．在□ACED中，，∴．∴四边形BGEC是平行四边形，∴EF=FB(平行四边形对角线互相平分)．证明：已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．连结BD．∵EH是AB、AD的中点，∴．同理，∴．∴四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，取AC边上的中点F，连结BF．∵AB=BD，AF=CF，∴BF是△ADC的中位线．∴CD=2BF．又∵ AB=AC，∴AE=AF．在△ABF和△ACE中，∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴BF=CE．∴CD=2CE．中考解析例1、（郴州市）如图，在四边形中，已知，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)解析：根据平行四边形的判定方法添加条件，可以是例2、(宁德市)如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）解法1：图中∠CBA＝∠E证明：∵AD＝BE∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDE又∵AC＝DF∴△ABC≌△DEF∴∠CBA＝∠E解法2：图中∠FCB＝∠E证明：∵AC＝DF，AC∥DF∴四边形ADFC是平行四边形∴CF∥AD，CF＝AD∵AD＝BE，∴CF＝BE，CF∥BE∴四边形BEFC是平行四边形∴∠FCB＝∠E例3、（新疆）如图，是四边形的对角线上两点，．求证：（1）．（2）四边形是平行四边形．证明：（1），．，，．又，．（2）由（1）知，，．四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）矩形、菱形一、一周知识概述1、矩形是特殊的平行四边形有一个角是直角的平行四边形叫矩形．矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．2、矩形特有的性质(1)四个角都是直角；(2)对角线相等．特别地有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的对角线将矩形分成两对全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形．3、矩形的判定方法有时，也可以用下面的方法进行判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．4、菱形是一个特殊的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形是菱形．菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．5、菱形特有的性质(1)菱形的四条边相等；(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的两条对角线将菱形分成两对全等的等腰三角形，四个全等的直角三角形．菱形的面积除了用平行四边形的面积公式计算外，还可以用对角线的积来计算，如图，即．6、菱形的判定方法有时，也可以借助于下面的方法进行判定，即对角线互相垂直平分的四边形是菱形．二、重难点知识归纳矩形、菱形的判定和性质的综合运用是重点；矩形、菱形的判定方法的恰当选择是难点．三、例题剖析例1、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E．若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数．例2、已知，如图所示的□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥AC，O是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且．求证：□ABCD是矩形．例3、如图，四边形ABCD中，BE=DF，AC与EF互相平分于点O，∠B=90°．求证：四边形ABCD是矩形．例4、已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CF．求证：AF⊥CF．例5、如图，在□ABCD中，BC=2AB，AE=AB=BF，且点E、F在直线AB上．求证：CE⊥DF．例6、菱形两邻角的比为1︰2，边长为2，求该菱形的面积．例7、如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合．求折痕EF 的长．例8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB．∵AE平分∠BAD，∴∴BA=BE．∵∠CAE=15°，∴∠BAC=60°．∴△ABO为等边三角形．∴OB=AB=BE，∠ABO=60°．∴∠OBE=30°．∴．点拨：这里主要运用结论：“矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形．”证明：取AE的中点G，连结OG．在Rt△AOE中，，∵，∴OE=OG=AG=BE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴△AGO≌△BEO．∴OA=OB．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2BO，∴AC=BD．∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．点拨：此类题告诉我们，当有斜边中点或和直角三角形斜边倍分的线段时，常作斜边中线解题．证明：连结AF、CE，∵EF和AC互相平分，∴四边形AECF是平行四边形．∴AB∥CD，CF=AE．又∵DF=BE，∴AB=CD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．点拨：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，亦即具体情况具体分析．证明：连接BF．∵矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°∴∠DCE=180°－∠BCD=90°又∵DF=FE∴DF=CF，∴∠1=∠2∴∠ADF=∠BCF∴△ADF≌△BCF，∴∠4=∠5∴∠DFB=∠AFC又∵BD=BE， DF=FE∴BF⊥DE，∴∠DFB=90°∴∠AFC=90°．∴AF⊥CF说明：还有两种方法供同学们思考：一是延长CF、AD交于点G，连接AC；二是连接AC交BD于O，连接OF．证明：设EC交AD于点M，DF交BC于点N，连结MN．∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC AB，则DC EA．∴△DCM≌△AEM，∴AM=MD．同理BN=NC．∵AD BC，∴MD NC，∴四边形CDMN为平行四边形．又BC=2AB，∴．∴□CDMN为菱形，∴CM⊥DN，即CE⊥DF．点拨：利用菱形对角线互相垂直平分的性质是证明线段垂直的一种重要方法．解法1：如图(甲)，设在菱形ABCD中，∠B:∠BAD=1︰2．∵∠B＋∠BAD=180°，∴∠B=60°．过A点作AE⊥BC于点E，则∠BAE=30°．又∵AB=2，∴BE=1，．∴．解法2：如图(乙)，连结AC，BD相交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，．∵∠ABC:∠BAD=1:2，∠ABC＋∠BAD=180°，∴∠ABC=60°，∴∠1=30°，△ABC为等边三角形，∴，AC=AB=2．在Rt△AOB中，．∴．∴．点拨：菱形的面积有两种计算方法，可根据题设条件，灵活选取较简单的计算方法．解：连接BD、BE、DF，BD交EF于点O．∵B、D关于EF对称，∴EF⊥BD，OB=OD又∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4∴△OED≌△OFB∴OE=OF，∴EF=2OE．又∵ED=EB，∴设ED=EB=xcm则AE=(8－x)cm又∵∠A=90°，AB=6cm∴x2=(8－x)2＋62∴，又∵∴OB=5cm ∴故，折痕EF的长为．证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的垂直平分线，∴E为AB边的中点，∴CE=AE．又∠BAC=60°，∴△ACE为等边三角形．又AF=CE，则AF=AE．又EF∥CA，∴∠FEA=∠BAC=60°．∴△AEF也为等边三角形．∴AC=AF=FE=CE．故四边形ACEF为菱形．点评：这里直接应用四条边相等的四边形是菱形，一般证明菱形的方法是先证平行四边形，再证有一组邻边相等．、选择题1、矩形的面积是12cm2，一边与一条对角线的比为3∶5，则矩形的对角线长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．12cm2、已知矩形的对角线长为10cm，那么顺次连接矩形四边的中点所得的四边形的周长为（）A．40cm B．10cm C．5cm D．20cm3、已知一个矩形的周长为24cm，相邻两边之比为1∶2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2 C．48cm2D．128cm24、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE:∠EDC=3:2，则∠BDE的度数为（）A．12°B．36° C．18°D．22°5、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．2846、矩形ABCD，O是BC的中点，∠AOD=90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为（）A．1cm B．2cm C．2.5cm D．7、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=（）A．15°B．30° C．45°D．60°8、在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD:AC等于（）A． B． C．1:2 D．9、菱形ABCD中，AC=BD，则菱形ABCD中，∠A、∠B的度数依次为（）A．30°、150°B．150°、30°C．60°、120°D．120°、60°10、如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于F，如果EF=4，那么CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8B 卷二、解答题11、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF平分∠BED交BD于点F．(1)猜想EF与BD具有怎样的关系；(2)试证明你的猜想．12、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．13、如图，矩形ABCD中，CM⊥BD，AE平分∠BAD和MC的延长线交于E．求证：AC=CE．14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG为菱形．15、如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE⊥AB，AB=4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．选择题答案：1C 2D 3B 4C 5C 6D 7A 8B 9C 10D提示：1、设一边为3xcm，则一条对角线为5xcm，于是另一条相邻的边为，所以3x·4x=12．∴x=1，故矩形的对角线长为5x=5(cm)．2、顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是菱形．4、设∠ADE=3x°，∠EDC=2x°．可证∠EDC=∠ADB=2x°，则∠BDE=x°，而3x＋2x=90，∴x=18．答案：(1)解：猜想EF垂直平分BD(2)证明：∵∠ABC=90°，AE=EC∴同理可证∴BE=DE又∵EF平分∠BED，∴EF垂直平分BD．证明：∵AB=AC∴∠B=∠3又∵∠1＋∠2=∠B＋∠3，∠1=∠2∴∠2=∠3 ，∴AE∥BC又∵AB∥DE∴四边形ABDE是平行四边形∴AE=BD又∵AD⊥BC∴BD=DC∴∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠ADC=90°∴四边形ADCE是矩形．证明：∵矩形ABCD中，OA=OD，∴∠4=∠3又∵∠BAD=90°，∴∠1＋∠4=45°，∴∠1＋∠3=45°∴∠3=45°－∠1又∵∠2=∠1＋∠4＋∠3∴∠2=45°＋45°－∠1=90°－∠1 又∵∠5=90°，∴∠E=90°－∠2=∠1 ∴CA=CE证明：∵矩形ABCD中，OA=OD，∴∠4=∠3又∵∠BAD=90°，∴∠1＋∠4=45°，∴∠1＋∠3=45°∴∠3=45°－∠1又∵∠2=∠1＋∠4＋∠3∴∠2=45°＋45°－∠1=90°－∠1又∵∠5=90°，∴∠E=90°－∠2=∠1∴CA=CE证明：∵∠BAC=90°∴∠6＋∠7=90°又∵∠8=90°，∴∠B＋∠7=90°∴∠6=∠B又∵∠1=∠B＋∠4，∠3=∠6＋∠5，∠4=∠5 ∴∠1=∠3 ，∴AE=AG又∵EA⊥AC，EF⊥BC，∴EA=EF，∴EF=AG又∵AD⊥BC，∴EF∥AD∴四边形AEFG是平行四边形∴四边形AEFG是菱形．解：(1)连结BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵E是AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，∴AD=DB=AB，∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD=60°，∴∠ABC=2∠ABD=120°．(2)在Rt△ADE中，，∴∴．中考解析例1、（山西）如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）A．B．C．D．解：设去掉的小正方形的边长为a, 则m-a=n+a，2a=m-n，，故选A答案：A例2、（广东）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝５，AC＝６.过D点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点E.（1）求△BDE的周长；（2）点Ｐ为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝3∴，BD＝2OB=8∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形∴CE＝AD＝BC＝5，DE＝AC＝6∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE＝8+10+6＝24.证明：（2）∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPB=∠OQD．∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ．例3、（广东）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第3个平行四边形……依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB＝12∴∠ABC＝90°，，∴．（2）∵OB∥，OC∥，∴四边形OB是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形OB是菱形．∴∴，∴同理：四边形是矩形，∴‥‥‥第ｎ个平行四边形的面积是：∴正方形一、一周知识概述1、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．2、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点．几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点．三、例题解析1、利用正方形对角线的性质解题例1、如图，在正方形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．请猜测四边形BEDF的形状，并对你的猜测给出合理的说明．解：四边形BEDF为菱形．理由如下：连结BD交AC于点O．∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OD，OA=OC，又AE=CF，∴OE=OF．∴四边形BEDF是平行四边形．又∵AC⊥BD∴四边形BEDF为菱形点拨：正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便．例2、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，E是OA上任一点，CF⊥BE于点F，CF交OB于点G．求证：OE=OG．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC、BD互相垂直平分于点O，即OB=OC，OB⊥AC．又CF⊥BE，∴∠BGF=∠OEB．∴∠OGC=∠BGF=∠OEB．∴Rt△BOE≌Rt△COG，∴OE=OG．点拨：这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的．2、利用正方形的轴对称性解题例3、如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线相交于点M、N．若∠EAF=50°，求∠CME＋∠CNF的度数．解：在四边形AECF中，∵∠ECF=90°，∠EAF=50°，∴∠AEC＋∠AFC=360°－（90°＋50°）=220°．∵NC与NA、MC与MA均关于直线BD对称，∴∠MCN=∠EAF=50°，∴∠1＋∠2=130°．又五边形MECFN内角和为540°，∴∠CME＋∠CNF=540°－(∠1＋∠2)－(∠AEC＋∠AFC)－∠ECF=540°－130°－220°－90°=100°．点拨：利用正方形的对称性作角和线段的转化十分快捷，如图中∠BMA=∠BMC，∠DAN=∠DCN，AM=CM，AN=CN等．例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．（1）求证：BE=DE；（2）你能将上面的命题用文字概括为一个命题吗？（3）你能用这个命题证明下面这道题吗？请写出证明过程．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC 上，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F是垂足．求证：EF=PD．解：（1）∵点E在AC上，点B、D关于AC对称，∴BE=DE．（2）能用文字概括为“正方形一条对角线上的一点和另一条对角线的两端距离相等”．（3）能．证明：连结BP，由（2）可知BP=DP，又∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠PEB=∠PFB=90°．又∵∠ABC=90°，∴四边形EBFP是矩形，∴BP=EF，∴EF=DP．点拨：该题（1）的结论是一个常用到的正方形的性质，也可用对称的知识或证△ABE≌△ADE得到，在例3中该图已经出现过；第（3）小题的证明思路是，抓住正方形是轴对称图形这一特点，把正方形沿对称轴AC翻折，使PD翻折到PB，把要证PD=EF转化为只要证PB=EF，从而达到把分散的条件集中到一块的目的．3、利用旋转法解决有关正方形问题例5、如图，正方形ABCD的边长AB=20，F为AD上一点，连结CF，作CE⊥CF交AB的延长线于点E，作DG⊥CF交CF于点G．若BE=15，求DG的长．解：Rt△CDF绕点C旋转90°后可以得到Rt△CBE，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴．点拨：分析条件DC⊥CB，CF⊥CE，CD=CB，于是可以将Rt△CDF旋转，旋转实质还是两个三角形全等．例6、如图，在一正方形花池ABCD内需要装一只喷头P，且满足PA︰PB︰PC=1︰2︰3．求∠APB的度数．解：将△APB绕B点顺时针旋转90°得△CP′B，连结PP′．∵PA︰PB︰PC=1︰2︰3，∴可设PA=P′C=x，PB=P′B=2x，PC=3x．又△PBP′为等腰直角三角形，∴PP′2=PB2＋P′B2=(2x)2＋(2x)2=8x2．又PC2=(3x)2=9x2，∴P′C2＋P′P2=PC2．∴∠PP′C=90°．故∠BP′C=45°＋90°=135°．∴∠APB=∠BP′C=135°．点拨：这里是通过旋转，将分散的条件集中起来，再由三角形边与边的关系，求出有关角的大小．4、构造正方形解题例7、如图，RA⊥AB，QB⊥AB，P是AB上一点，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RP A=75°，∠QPB=45°．求AB的长．解：过R作BQ的垂线交BQ延长线于点C，则AB=RC．∵∠RPA=75°，∠QPB=45°，∴∠RPQ=180°－(75°＋45°)=60°，∠PQB=90°－45°=45°．又RP=PQ，∴△PRQ是等边三角形，∴RP=RQ．又∠RQC=180°－(60°＋45°)=75°，∴∠RQC=∠RPA，∴Rt△APR≌Rt△CQR．∴AB=RC=AR=h．点拨：此题是通过补图，构造正方形求解．5、利用正方形性质解选择题例8、如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：如图．∵△AB′D为正三角形，四边形ABCD、四边形AB′C′D′均为正方形，∴∠BAB′=∠B′DC=30°．在四边形ABEB′中，易知∠BEB′=360°－90°×2－30°=150°．故∠BEC′=∠B′EC=30°．故选D．点评：本题极易误选B．、选择题1、下列命题中是真命题的是（）A．四边都相等的四边形是正方形B．四个角都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形2、有边长为a的正方形，若在它的一个角上剪去一个边长为b的小正方形后，则剩下的图形的周长是（）A．a2 B．2a C．4a D．4a－2b3、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是正方形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=CO=BO=DOC．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDD．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD4、如图（甲），用一块边长为的正方形ABCD厚纸板，按照下面作法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC的中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于点G，交AC于点H；过G作GL//BC，交AC于点L，再由E作EK//DG，交AC于点K；将正方形ABCD沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图（乙）），这座桥的阴影部分的面积是（）A．8 B．6 C．4 D．55、如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，连结DE、EF，要使四边形ADEF为正方形，还需增加条件为（）A．AB=AC，∠A=90°B．∠A=90°C．AB=AC D．以上均不对6、已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）A．7 B．5 C．3 D．37、如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（）A．B． C．5 D．8、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了，则长方形花坛ABCD的周长是（）A．36m B．48m C．96m D．60m9、已知，正方形ABCD中，对角线AC=24cm，P是AB边上任一点，则点P到对角线AC、BD的距离之和为（）A．10 B． C． D．1210、已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．14B 卷二、解答题11、如图将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续剪下去……根据以上操作方法，请你填写下表：操作次数n 1 2 3 4 5 …n …正方形个数 4 7 10 ……12、设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出an的表达式．13、如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD与CE交于点F．求证：AF⊥BE．14、如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠OCF=∠OBE．求证：OE=OF．15、在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求的值；（2）请你利用图（2），再设计一个能求的值的几何图形．选择题答案：1D 2C 3D 4C 5A 6B 7C 8C 9D 10B提示：6、由互余关系有∠AOE=∠BOF，得△AOE≌△BOF，故BF=AE=4，BE=CF=3．=5，大正方形的面积为5×5=25．7、设AF交ED于点P，依中位线定理知AP=，S△APD8、设AB=a，依得a=16．9、设PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，得△AEP、△BPF为等腰直角三角形，四边形PEOF为矩形．10、连结BN，则BN=DN，当B、N、M共线时，DN＋MN最小，等于BM的长，即DN＋MN=BM==10．答案：操作次数n 1 2 3 4 5 …n …正方形个数 4 7 10 13 16 …3n＋1 …解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=．同理AE=2，EH=，…，即a2=，a3=2，a4=，…．（2）（n为正整数证明：∵正方形ABCD中，∠BAE=∠CDE=90°，AB=DC，AE=DE．∴△ABE≌△DCE，∴∠1=∠2．又∵DA=DC，∠5=∠6，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠4=∠3．又∵∠2＋∠3=90°，∴∠1＋∠4=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥BE．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OC=OB，且OB⊥OC．又∠OCF=∠OBE，∴△OCF≌△OBE（ASA）．故OE=OF．解：（1）．（2）如图（1）、（2）、（3）、（4）．例1、（南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．证明：是正方形，．，．．又，．，．在与中，，．．，．例2、（广东肇庆市）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠90°，∴∠A＝∠B ．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°．∴△ADE≌△BGF．∴AE＝BF．（2）∵∠DEA＝90°，∠A=45°，∴∠ADE=45°．∴AE＝DE．同理BF＝GF，∴EF＝AB===cm．∴正方形DEFG的边长为．例3、（山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°∵CG＝CE∴△BCG≌△DCE（2）答：四边形E′BGD是平行四边形理由：。
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系
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专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（ ）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。
重点高中自招必备 八年级 专题19 平行四边形、矩形、菱形
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1B. 2C. 3D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.能力训练 A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题ABDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，ADAF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB.34ab C. 23ab D. 12ab第8题ABE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题FB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题BA 11P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBAB CB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形 提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ，得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：2S x =，当BE ⊥AD 时，x∴2min S ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 24S =⨯=. S ≤≤. 例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明△CPB ≌△DPB .例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形.∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ，又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ，∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC .∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE .∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°.∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFD S =⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+.3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-，∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5. 6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ， 由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P .∴PE+PC=AE.又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴AE .7. B8. B提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.9. C10.(1)=；图略（2）1；图略（3）3；图略（4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．又∠APM＝120°＝∠MCN．∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．故△AMN为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得□ABCM、□CDEP、□EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AM NPB DABC D EPNMF。
平行四边形、矩形、菱形相关模型
平行四边形、矩形、菱形相关模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平行四边形、菱形、矩形
一、知识点回顾
二、特殊平行四边形与角平分线
角平分线
例1. 如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，DE 平分∠ADC，∠AOB＝60°，
则∠COE＝ ．
练习1. □ABCD 中，AE 、CF 、BF 、DE 分别为四个内角平分线，求证：EGFH 是矩形.
ADE CBF
△≌△
练习2. 如图，∠BAC=90 o ，BF 平分∠ABC 交AC 于F ，EF ⊥BC 于E ，AD ⊥BC 于D ，交BF 于G ．求证：四边形AGEF 为菱形．
三、特殊平行四边形的判定
例2.如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．
练习3.如图，在ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连接E 、BF 、BD ．
（1）求证：
（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊 四边形？请证明你的结论．
四、中点四边形
如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BD ，
BC ，AC 的中点。
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
A
B
C
E
F M N
O
(第19题图）
A
B
C
D
E
F
G
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。